6.4.3 余弦定理、正弦定理 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例(word练习)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

[对应素能提升训练第25页] 1．(黑龙江哈尔滨高一下期末)为运输方便，某工程队将从A到D修建一条湖底隧道，如图，工程队从A出发向正东方向行10km到达B，然后从B向南偏西45°方向行了一段距离到达C，再从C向北偏西75°方向行了4 km到达D，已知C在A南偏东15°方向上，则A到D的距离为(　　) A．15km B．2km C．10km D．15km 解析　连接AC，由题意，知∠ABC＝45°，∠ACD＝75°－15°＝60°，∠ACB＝15°＋45°＝60°，AB＝10km，CD＝4km.在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，则AC＝10 km.在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD cos ∠ACD＝152，则AD＝2km. 答案　B 2.两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为 （　　） A.a km B.a km C.a km D.2a km 解析　△ABC中，AC＝BC＝a km，∠ACB＝90°， 所以AB＝a km. 答案　A 3.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为 （　　） A.2h米 B.h米 C.h米 D.2h米 解析　如图所示，BC＝h，AC＝h， ∴AB＝＝2 h. 答案　A 4.（多选）某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰好 km，那么x的值是 （　　） A. B.2 C.3 D.6 解析　 解法一：由题作出示意图，如图所示，易知B＝30°，AC＝，BC＝3，由正弦定理得sin A＝＝＝，因为BC＞AC，所以A＞B.又因为B＝30°，所以A有两解，即A＝60°或120°.当A＝60°时，∠ACB＝90°，x＝2；当A＝120°时，∠ACB＝30°，x＝. 解法二：由题意可知△ABC中B＝30°，AC＝. 由余弦定理知3＝x2＋9－6x·cos 30°，∴x2－3x＋6＝0，∴x＝2或x＝. 答案　AB 5.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为　　　　km. 解析　如图，由题意知∠C＝45°，由正弦定理得＝.所以AC＝×＝（km）. 答案　 6．(广东广州高一下期中)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝45°，C点的仰角∠CAB＝30°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知另一座山高BC＝50 m，则山高MN＝________m. 解析　在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，BC＝50 m，所以AC＝100 m．在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，由正弦定理得＝，因此AM＝50 m．在Rt△MNA中，AM＝50 m，∠MAN＝45°，得MN＝AMsin 45°＝50(m). 答案　50 7.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值. 解　如题中图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°， 由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝20 n mile. 由正弦定理得＝⇒sin∠ACB＝·sin∠BAC＝. 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角， 则cos∠ACB＝. 由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos（∠ACB＋30°）＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝. 8.如图，在离地面h m的热气球M上，观察到山顶C处的仰角为θ，在山脚A处观察到山顶C处的仰角为60°，且热气球M在地面上的射影D在A左侧．若A到热气球的距离AM＝400m，山的高度BC＝600 m，∠ACM＝45°，则θ＝(　　) A．30° B．25° C．20° D．15° 解析　在Rt△ABC中，BC＝600 m，∠CAB＝60°，所以AC＝＝400(m).在△MAC中，由正弦定理知＝，解得sin ∠AMC＝，所以∠AMC＝60°或120°.若∠AMC＝60°，则∠MAC＝75°，∠MAD＝45°，所以θ＝60°－45°＝15°；若∠AMC＝120°，则∠MAC＝15°，∠MAB＝75°，此时D在A右侧，不符合题意．综上所述，θ＝15°.故选D． 答案　D 9.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）： ①测量A，B，b；②测量a，b，C； ③测量A，B，a. 则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为 （　　） A.3 B.2 C.1 D.0 解析　对于①，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于②，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c；对于③，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c.故选A. 答案　A 10.（多选）一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°方向，之后它以每小时32 n mile的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距8 n mile，则灯塔S可能在B处的 （　　） A.北偏东75° B.南偏东15° C.东北方向 D.东南方向 解析　 画出示意图如图，客船半小时航行的路程为32×＝16（n mile）， ∴AB＝16 n mile. 又BS＝8 n mile，∠BAS＝30°，∴＝，∴sin ∠ASB＝，∴∠ASB＝45°或∠ASB＝135°.当船在B处时，∠ASB＝45°，∠B'BS＝75°；当船在B'处时，∠ASB'＝135°，∠AB'S＝15°.综上，灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°，故选AB. 答案　AB 11.某人从A处出发，沿北偏东60°方向行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为　　　　 km. 解析　 如图所示，由题意可知AB＝3 km，BC＝2 km，∠ABC＝150°.由余弦定理得AC2＝27＋4－2×3×2×cos 150°＝49，AC＝7 km.则A，C两地距离为7 km. 答案　7 12.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼的高是　　　　米，乙楼的高是　　　　米. 解析　甲楼的高为20tan 60°＝20×＝20 （米）；乙楼的高为20 －20tan 30°＝20－20×＝ （米）. 答案　20　 13．(江苏常州高一期中)常州现代传媒中心是常州市最高的标志性建筑．某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的准确性及测算常州现代传媒中心的高度．如图①，龙城大道沿线的水平路面上有两点A，B，首先利用百度地图测距功能测出AB的长度为2 km，接着在飞龙路沿线选定水平路面上可直接测距的C，D两点，测得∠BCA＝30°，∠ACD＝45°，∠BDC＝60°，∠ADB＝30°.该学习小组根据上述条件计算出CD的长度，并将其与CD的实际长度2.84 km进行比较，若误差介于－20 m～20 m之间，则认为百度地图测距是准确的． (1)通过计算说明百度地图测距是否准确？(≈1.414) (2)如图②，该学习小组在A处测得常州现代传媒中心楼底N在其西偏北θ方向上，且楼顶M的仰角∠MAN＝4.8°，在B处测得楼底N在其西偏北φ方向上，通过计算得＝，＝，tan 4.8°≈0.084.若百度地图测出的AB＝2 km是准确的，请根据以上数据算出常州现代传媒中心的高度．(精确到1 m) 解　(1)设CD＝a km. 在△ADC中，∠BDC＝60°，∠ADB＝30°，∠ACD＝45°， 则∠CAD＝45°，所以△ADC是等腰直角三角形， 所以AC＝a km. 在△BCD中，∠BCA＝30°，∠ACD＝45°，∠BDC＝60°， 可得∠CBD＝45°. 由正弦定理得＝，解得BC＝a km. 在△ABC中，由余弦定理得 AB＝＝a(km). 因为AB＝2 km，所以a＝2， 即CD＝2 km≈2.828 km＝2 828 m. 因为|2 828－2 840|＝12<20， 所以百度地图测距是准确的． (2)在△ABN中，由正弦定理得＝＝＝. 设BN＝3x km，AN＝4x km. 在△ABN中，由余弦定理得cos θ＝＝， cos ∠ABN＝＝， cos φ＝cos (π－∠ABN)＝－cos ∠ABN＝. 又＝，所以x＝1，所以BN＝3 km，AN＝4 km. 在Rt△ANM中，MN＝AN·tan ∠MAN＝4×tan 4.8°≈0.336(km)＝336(m). 故常州现代传媒中心的高度为336 m． 14.如图，游客从景点A下山至C有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A下山.甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.已知缆车从A到B要8 min，AC长为1 260 m，若cos A＝，sin B＝.为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，求乙步行的速度v（m/min）的取值范围. 解　在△ABC中，∵cos A＝，sin B＝， ∴sin A＝＝＝. 由正弦定理，得BC＝＝＝500（m）. 乙从B出发时，甲已经走了50×（2＋8＋1）＝550（m）， 甲还需走710 m才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min， 由题意得≤3， 解得≤v≤. ∴为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度v m/min的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$