6.4.3 余弦定理、正弦定理 第2课时 正弦定理(word练习)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

[对应素能提升训练第23页] 1．(广东深圳高一下期中)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sin B＝，C＝，则b＝(　　) A．1 B．2 C． D． 解析　因为sin B＝，C＝，所以B＝，A＝.由正弦定理＝，得b＝＝1. 答案　A 2．(渝东九校联考)在△ABC中，若A＝，BC＝，AB＝，则C＝(　　) A． B． C． D．或 解析　在△ABC 中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin C＝.因为A＝，所以0<C<，所以C＝. 答案　A 3．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin Asin B＋bcos2 A＝a，则＝(　　) A．2 B．2 C． D． 解析　由asin Asin B＋bcos2 A＝a及正弦定理，得sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，所以sin B(sin2 A＋cos2 A)＝sin A，即sin B＝sin A，所以＝＝. 答案　D 4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为 （　　） A. B.π C.2π D.4π 解析　在△ABC中，A＝75°，B＝45°，所以C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆的半径为R，则由正弦定理，可得2R＝＝＝2，解得R＝1，故△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π. 答案　B 5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝　　　　. 解析　由正弦定理得sin Bsin A＋sin Acos B＝0.∵A∈（0，π），B∈（0，π），∴sin A≠0，得sin B＋cos B＝0，即tan B＝－1，∴B＝. 答案　 6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝　　　　，c＝　　　　. 解析　由正弦定理＝，得sin B＝·sin A＝×＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得7＝4＋c2－4c×cos 60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或－1（舍去）. 答案　　3 7．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中边c最长，并且sin2 A＋sin2 B＝1. (1)求证△ABC是直角三角形； (2)当c＝1时，求△ABC面积的最大值． 解　(1)证明：由sin2 A＋sin2 B＝1，得sin2 A＝1－sin2 B，即sin2 A＝cos2 B．又边c最长，则A，B均为锐角，所以sin A＝cos B＝sin ，解得A＝－B，A＋B＝，即C＝，所以△ABC为直角三角形． (2)因为C＝，由勾股定理a2＋b2＝c2及c＝1，得a2＋b2＝1.记△ABC的面积为S，则S＝ab，由2ab≤a2＋b2得S＝ab≤(a2＋b2)＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以当a＝b＝时，△ABC的面积取到最大值. 8.（多选）锐角△ABC中，三个内角分别是A，B，C，且A＞B，则下列说法正确的是 （　　） A.sin A＞sin B B.cos A＜cos B C.sin A＞cos B D.sin B＜cos A 解析　A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，故A成立.函数y＝cos x在区间[0，π]上是减函数，∵A＞B，∴cos A＜cos B，故B成立.在锐角三角形中，∵A＋B＞，∴A＞－B，函数y＝sin x在区间上是增函数，则有sin A＞sin，即sin A＞cos B，C成立，同理sin B＞cos A，故D不成立. 答案　ABC 9.在△ABC中，a＝4，b＝，5cos（B＋C）＋3＝0，则角B的大小为 （　　） A. B. C. D.π 解析　由5cos（B＋C）＋3＝0得cos A＝，∴A∈，∴sin A＝，由正弦定理得＝，∴sin B＝.又∵a＞b，∴A＞B，且A∈，∴B必为锐角，∴B＝. 答案　A 10.人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图所示，三角形ABC就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得sin 54°等于(　　) A． B． C． D． 解析　在△ABC中，∠ABC ＝∠ACB＝72°，由正弦定理得＝，即＝＝，由倍角公式得＝，解得cos 36°＝，则sin 54°＝sin (90°－36°)＝cos 36°＝. 答案　A 11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝ （　　） A.6 B.5 C.4 D.3 解析　由asin A－bsin B＝4csin C可得a2－b2＝4c2，又cos A＝＝－，所以2（b2＋c2－a2）＝－bc.又a2－b2＝4c2，所以6c2＝bc，即＝6，故选A. 答案　A 12.在△ABC中，B＝，BC边上的高AD等于BC，且AD＝1，则AC＝　　　　，sin A＝　　　　. 解析　 如图，由AD＝1，B＝，知BD＝1，又AD＝BC＝BD，∴BC＝3，DC＝2，AC＝＝.由正弦定理知，sin ∠BAC＝＝＝. 答案　　 13.(新课标全国Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 解　(1)由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，对比已知a2＋b2－c2＝ab， 可得cos C＝＝＝. 因为C∈(0，π)，所以sin C>0， 从而sin C＝＝＝. 又因为sin C＝cos B，即cos B＝. 因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)由(1)可得B＝，cos C＝，C∈(0，π)，从而C＝，A＝π－－＝. 而sin A＝sin ＝sin ＝×＋×＝. 由正弦定理有＝＝， 从而a＝·c＝c，b＝·c＝c. 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为 S△ABC＝absin C＝·c·c·＝c2. 由已知△ABC的面积为3＋，可得c2＝3＋， 所以c＝2. 14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C. （1）求角C的大小； （2）求sin A－cos的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小. 解　（1）由正弦定理及已知条件得sin Csin A＝sin Acos C.因为0＜A＜π，所以sin A＞0，从而sin C＝cos C，又C∈（0，π），则C＝. （2）由（1）知，B＝－A， 于是sin A－cos＝sin A－cos（π－A） ＝sin A＋cos A＝2sin. 因为0＜A＜，所以＜A＋＜. 从而当A＋＝，即A＝时， 2sin取得最大值2. 综上所述，sin A－cos的最大值为2，此时A＝，B＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$