6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理(word练习)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

[对应素能提升训练第21页] 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，b＝3，c＝，则C＝(　　) A． B． C． D． 解析　∵a＝2，b＝3，c＝，∴由余弦定理可得cos C＝＝＝.∵C∈(0，π)，∴C＝.故选C． 答案　C 2.在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC＝ （　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析　在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，AB2＝BC2＋AC2－2AC·BCcos C，可得13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1或－4（舍去）. 答案　A 3．(陕西西安高一期中)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若A＋C＝2B，a2＋c2－2acsin B＝9，则b＝(　　) A．3 B．3 C．6 D． 解析　因为A＋C＝2B，而A＋C＋B＝π，所以B＝，则a2＋c2－2acsin ＝a2＋c2－ac＝9，得a2＋c2－ac＝9.根据余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝9，故b＝3.故选B． 答案　B 4.若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a＋b）2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为 （　　） A. B.8－4 C.1 D. 解析　依题意两式相减得ab＝. 答案　A 5.在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝2，则b＝　　　　. 解析　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋12－2×2×2×＝4，所以b＝2. 答案　2 6．(陕西西安高一期中)在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若9b2＋6bccos A＝11c2，则角B的最大值为________. 解析　由余弦定理可得cos A＝，代入9b2＋6bccos A＝11c2，得9b2＋3(b2＋c2－a2)＝11c2，整理得b2＝(3a2＋8c2)，则cos B＝＝＝≥＝，当且仅当3a＝2c时取“＝”．又因为B∈(0，π)，所以0<B≤，所以角B的最大值为. 答案　 7.在△ABC中，已知A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c. 解　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝（b＋c）2－2bc（1＋cos A）， 所以49＝64－2bc，即bc＝15， 由解得或 8.锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的值可以为 （　　） A.1.8 B.2 C.3 D.4 解析　若a为最大边，则b2＋c2－a2＞0，即a2＜5，∴a＜，若c为最大边，则a2＋b2＞c2，即a2＞3，∴a＞，故＜a＜. 答案　B 9.若△ABC的三条边a，b，c满足（a＋b）∶（b＋c）∶（c＋a）＝7∶9∶10，则△ABC （　　） A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形也可能是钝角三角形 解析　∵（a＋b）∶（b＋c）∶（c＋a）＝7∶9∶10，不妨设a＋b＝7k，则b＋c＝9k，c＋a＝10k（k是不为0的正常数），解得a＝4k，b＝3k，c＝6k.由余弦定理可得cos C＝＝－＜0.∵0＜C＜π，故C为钝角，则△ABC为钝角三角形. 答案　C 10．(多选)(安徽高一期中联考)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“△ABC是直角三角形”的充分条件是(　　) A．sin A＝cos B B．sin 2A＋sin 2B＝sin 2C C．acos A＝bcos B D．acos B＝c 解析　对于A选项，sin A＝cos B>0且A，B∈(0，π)，则B∈，若A为锐角，则sin A＝cos B＝sin ，且－B∈，此时A＝－B，即A＋B＝；若A为钝角，则sin A＝cos B＝sin ，且＋B∈，此时A＝＋B，即A－B＝.综上所述，△ABC为直角三角形或钝角三角形，A不满足条件．对于B选项，因为sin 2A＋sin 2B＝sin 2C，即sin 2C＝sin [(A＋B)＋(A－B)]＋sin [(A＋B)－(A－B)]＝sin (A＋B)cos (A－B)＋cos (A＋B)sin (A－B)＋sin (A＋B)cos (A－B)－cos (A＋B)·sin (A－B)＝2sin (A＋B)cos (A－B)＝2sin C cos (A－B)，即sin C cos C＝sin C cos (A－B).因为C∈(0，π)，所以sin C>0，所以cos (A－B)＝cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B)，即cos Acos B＋sin Asin B＝sin Asin B－cos Acos B，所以cos Acos B＝0，所以cos A＝0或cos B＝0.因为A，B属于(0，π)，所以A或B为直角，故△ABC为直角三角形，B满足条件．对于C选项，因为acos A＝bcos B，即＝，整理可得(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2，故△ABC为等腰三角形或直角三角形，C不满足条件．对于D选项，因为c＝acos B＝a·，整理可得b2＋c2＝a2，所以△ABC为直角三角形，D满足条件． 答案　BD 11.已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝　　　　. 解析　∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0. 答案　0 12．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC中，若AF＝1，FD＝2，则AB＝________. 解析　由题意知△EFD为等边三角形，则∠EDA＝，所以∠BDA＝，根据条件△AFC与△BDA全等，所以AF＝BD＝1，在△ABD中，AD＝3，BD＝1，则AB2＝AD2＋BD2－2×AD×BD×cos ∠BDA＝32＋12－2×3×1×＝13，所以AB＝. 答案　 13.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边. （1）若2bcos C－2a＋c＝0，求角B的大小； （2）若a＋c＝5，ac＝4，tan B＝1，求b2. 解　（1）2bcos C－2a＋c＝0， 由余弦定理得2b×－2a＋c＝0 ⇒a2＋c2－b2＝ac， 则cos B＝＝＝. 又因为0＜B＜π，所以B＝. （2）由tan B＝1，0＜B＜π得B＝. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B ＝（a＋c）2－2ac－2accos B ＝52－2×4－2×4×＝17－8. 14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________.在下面的三个条件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答． ①2a－b＝2ccos B，②sin ＝cos C＋，③m＝(a－c，b－a)，n＝(a＋c，b)，m⊥n. (1)求角C； (2)若c＝，求△ABC周长的取值范围． 解　(1)方案一：选条件①.由题意得2a－b＝2c·，化简得a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝.又C∈(0，π)，所以C＝. 方案二：选条件②.由sin ＝cos C＋，得sin C＋cos C＝cos C＋，即sin C－cos C＝，所以sin ＝.因为C∈(0，π)，所以C－∈，所以C－＝，所以C＝. 方案三：选条件③.因为m＝(a－c，b－a)，n＝(a＋c，b)，m⊥n，所以(a－c)·(a＋c)＋(b－a)·b＝0，化简得a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝.又C∈(0，π)，所以C＝. (2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab.又≥，所以ab≤，当且仅当a＝b时等号成立，所以3ab＝(a＋b)2－3≤(a＋b)2，所以0<a＋b≤2，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以a＋b＋c≤2＋＝3.又a＋b>c，所以a＋b＋c>2c＝2，所以△ABC周长的取值范围为(2，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $$