6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例(word练习)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

[对应素能提升训练第19页] 1．在四边形ABCD中，若＝，且||＝||，则这个四边形是(　　) A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 解析　由＝知DC∥AB，且DC＝AB，因此四边形ABCD是梯形．又因为||＝||，所以四边形ABCD是等腰梯形．故选C． 答案　C 2．(江苏扬州高一期中)如图，在重100 N的物体上有两根绳子，两根绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°.物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为(　　) A．50N，50N B．50 N，100 N C．50N，50 N D．100 N，50N 解析　设两根绳子的拉力分别为，.作▱OACB如图所示，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在▱OACB中，||＝100 N，∠ACO＝∠BOC＝60°，所以∠OAC＝90°，所以||＝||cos 30°＝50N，||＝||sin 30°＝50 N，所以||＝||＝50 N，故两根绳子拉力的大小分别为50N，50 N. 答案　C 3.已知△ABC满足＝·＋·＋·，则△ABC是 （　　） A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 解析　由题意得＝·＋·＋·＝·（＋）＋·＝＋·，∴·＝0，∴⊥，∴△ABC是直角三角形. 答案　C 4.质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为｜v｜个单位）.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为 （　　） A.（－2，4） B.（－30，25） C.（10，－5） D.（5，－10） 解析　设（－10，10）为A，5秒后P点的坐标为A1（x，y），则＝（x＋10，y－10），由题意有＝5v.即（x＋10，y－10）＝（20，－15），所以解得 答案　C 5.在四边形ABCD中，已知＝（4，－2），＝（7，4），＝（3，6），则四边形ABCD的面积是　　　　. 解析　＝－＝（3，6）＝.又因为·＝（4，－2）·（3，6）＝0，所以四边形ABCD为矩形，所以｜｜＝＝2，｜｜＝＝3，所以S＝｜｜｜｜＝2×3＝30. 答案　30 6．(北京海淀区高一期中)一条河宽为800 m，一艘船从岸边的某处出发向对岸航行．船的速度的大小为20 km/h，水流速度的大小为12 km/h，则当航程最短时，这艘船行驶完全程所需要的时间为________min. 解析　如图所示，当合速度v2的方向垂直于岸边时，所需航程最短， 此时＝＝16(km/h).故所需时间t＝＝0.05(h)＝3(min). 答案　3 7．(山东菏泽高一期中)在△ABC中，已知BC＝4，AC＝3，P在线段BC上，且＝，＝，设＝a，＝b. (1)用向量a，b表示； (2)若∠ACB＝60°，求·. 解　(1)由题得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. (2)＝－＝－＝a－b，∴·＝·＝|a|2－a·b－|b|2＝×42－×4×3×cos 60°－×32＝. 8.在△ABC中，设－＝2·，那么动点M的轨迹必通过△ABC的 （　　） A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 解析　设BC的中点是O，则－＝（＋）·（－）＝2·＝2·，即（－）·＝·＝0，所以⊥，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，故选C. 答案　C 9.一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40 m/s，则鹰的飞行速率为 （　　） A. m/s B. m/s C. m/s D. m/s 解析　设鹰的飞行速度为v1，鹰在地面上的影子的速度为v2，则｜v2｜＝40 （m/s），因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，故｜v1｜＝＝（m/s），故选C. 答案　C 10．(广东东莞月考)在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，则下列结论中正确的是(　　) A．θ越小越费力，θ越大越省力 B．θ的范围为[0，π] C．当θ＝时，|F1|＝|G| D．当θ＝时，|F1|＝|G| 解析　如图所示，根据题意依次分析选项： 对于A，由于F1＋F2＝G，且|F1|＝|F2|， 则有|F1|cos ＝|G|，即|F1|＝.又|G|为定值，故θ越小越省力，θ越大越费力，A错误；对于B，0<|F1|cos ≤，且θ＝0时，|F1|＝|F2|＝，所以∈，即θ的取值范围是[0，π)，B错误；对于C，当θ＝时，有|F1|cos ＝|G|，则|F1|＝|G|，C正确；对于D，当θ＝时，有|F1|cos ＝|G|，则|F1|＝|G|，D错误． 答案　C 11.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝　　　　. 解析　＝＋，＝＋，且＝－，所以·＝（＋）·（＋）＝－＝－1＝－. 答案　－ 12.河水的流速大小为2 m/s，一艘小船以大小为10 m/s的速度沿垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为　　　　m/s. 解析　设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则v＝v1＋v2，｜v1｜＝2 m/s，｜v｜＝10 m/s. 所以｜v2｜＝｜v－v1｜＝＝＝＝2（m/s）. 答案　2 13．(四川宜宾高一期中)在△ABC中，已知·＝·. (1)求证：△ABC为等腰三角形； (2)若|＋|＝2且B∈，求·的取值范围． 解　(1)证明：因为·＝·， 所以·(－)＝0. 因为＋＋＝0， 所以＝－(＋)， 所以－(＋)·(－)＝0， 所以2－2＝0， 所以||＝||，故△ABC为等腰三角形． (2)因为B∈， 所以cos B∈. 设||＝||＝a. 因为|＋|＝2，所以|＋|2＝4， 所以a2＋a2＋2a2cos B＝4，所以a2＝. 又因为·＝||||cos B＝a2cos B＝＝2－，－≤cos B≤， 所以－2≤2－≤， 故·的取值范围为. 14. 在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南θ方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 解　设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°. ∵＝＋， ∴＝（＋）2＝＋＋2·， ∴＝＋－2｜｜｜｜cos（θ－45°）＝3002＋（20t）2－2×300×20t×＝100（4t2－96t＋900）. 依题意得≤（60＋10t）2，解得12≤t≤24. 即12 h后该城市开始受到台风的侵袭. 学科网（北京）股份有限公司 $$