6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(word练习)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

[对应素能提升训练第17页] 1．(江苏南京高一下期中)已知向量a＝(3，4)，a－b＝(1，2)，则a·b＝(　　) A．5 B．14 C．－6 D．2 解析　解法一：因为a＝(3，4)，a－b＝(1，2)，所以b＝a－(a－b)＝(2，2)，所以a·b＝3×2＋4×2＝14. 解法二：a·(a－b)＝3×1＋4×2＝11.又a·(a－b)＝a2－a·b，所以a·b＝a2－11＝32＋42－11＝14. 答案　B 2.已知向量a＝（0，－2），b＝（1，），则向量a在向量b方向上的投影向量为 （　　） A. B. C. D. 解析　设向量e是与b同向的单位向量，则e＝，则向量a在b方向上的投影向量为e＝e＝－3e＝.故选D. 答案　D 3.若向量＝（3，－1），n＝（2，1），且n·＝7，则n·等于 （　　） A.－2 B.2 C.－2或2 D.0 解析　∵＝－，∴n·＝n·－n·＝7－5＝2. 答案　B 4．(新课标全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且⊥b，则|b|＝(　　) A． B． C． D．1 解析　因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b.又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝. 答案　B 5.设向量a＝（1，－1），b＝（m＋1，2m－4），若a⊥b，则m＝　　　　. 解析　因为a⊥b，所以a·b＝0，即1×（m＋1）＋（－1）×（2m－4）＝0，解得m＝5. 答案　5 6.已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（k＋1，k－2）.若△ABC中A为钝角，则实数k应满足的条件是　　　　. 解析　因为＝（1，－3），＝（2，－1），＝（k＋1，k－2），所以＝（1，2），＝（k，k＋1）.因为A为钝角，所以·＜0，所以（1，2）·（k，k＋1）＜0，即3k＋2＜0，解得k＜－.又，共线时，2k＝k＋1，解得k＝1＞－，不符合.则实数k应满足的条件是k＜－. 答案　 7．(安徽六安高一月考)已知平面向量a，b满足a＝(1，－1)，b＝. (1)求(a＋b)·(a－b)； (2)求向量a与向量a＋2b的夹角． 解　(1)因为a＝(1，－1)，b＝，所以a＋b＝，a－b＝，所以(a＋b)·(a－b)＝×＋0＝. (2)因为a＝(1，－1)，b＝，所以a＋2b＝(0，1)，所以cos 〈a，a＋2b〉＝＝＝－，所以向量a与向量a＋2b的夹角为. 8．已知平面向量a＝(1，m)，b＝(－1，)，且|a－b|＝|a＋b|，则m等于(　　) A． B． C． D．3 解析　由|a－b|＝|a＋b|，可得|a－b|2＝|a＋b|2，整理得a2－2a·b＋b2＝a2＋2a·b＋b2，可得a·b＝0.又由平面向量a＝(1，m)，b＝(－1，)，可得a·b＝1×(－1)＋m＝0，解得m＝. 答案　B 9.已知O为坐标原点，向量＝（2，2），＝（4，1），在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是 （　　） A.（－3，0） B.（2，0） C.（3，0） D.（4，0） 解析　设P（x，0），则＝（x－2，－2），＝（x－4，－1），∴·＝（x－2）（x－4）＋2＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，故当x＝3时，·最小，此时点P的坐标为（3，0）. 答案　C 10.（多选）在△ABC中，＝（2，3），＝（1，k），若△ABC是直角三角形，则k的值可能为 （　　） A.－ B. C. D. 解析　∵＝（2，3），＝（1，k），∴＝－＝（－1，k－3）.若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；若∠B＝90°，则·＝2×（－1）＋3（k－3）＝0，∴k＝；若∠C＝90°，则·＝1×（－1）＋k（k－3）＝0，∴k＝.故所求k的值为－或或. 答案　ABC 11.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是　　　　. 解析　以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设F（x，2），所以＝（，1），＝（x，2），＝（，0），所以·＝x＝，所以x＝1，所以F的坐标为（1，2），所以＝（1，2）－（，0）＝（1－，2），所以·＝. 答案　 12.已知向量a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），且a≠±b，那么a＋b与a－b的夹角是　　　　. 解析　因为a＋b＝（cos α＋cos β，sin α＋sin β），a－b＝（cos α－cos β，sin α－sin β），所以（a＋b）·（a－b）＝（cos α＋cos β）（cos α－cos β）＋（sin α＋sin β）（sin α－sin β）＝cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝sin2α＋cos2α－（sin2β＋cos2β）＝0.所以（a＋b）⊥（a－b），即a＋b与a－b的夹角为. 答案　 13．已知向量a＝，b＝. (1)若m＝0，试研究函数f(x)＝a·b的单调性； (2)若tan x＝2，且a∥b，试求m的值． 解　(1)当m＝0时，f(x)＝sin sin x＝sin x·(sin x＋cos x)＝sin2 x＋sin xcos x＝＋＝sin ＋，由x∈，得2x－∈.当2x－∈，即x∈时，函数f(x)单调递增；当2x－∈，即x∈时，函数f(x)单调递减． (2)由a∥b可得msin sin ＝sin x·sin .由tan x＝2，可得 sin ≠0（若sin ＝0，则x＝kπ－(k∈Z)，此时tan x＝－1，与条件矛盾).从而有msin ＝sin x，即m(sin x－cos x)＝sin x，两边同除以cos x，可得m(tan x－1)＝tan x＝2，∴m＝2. 14．(安徽合肥高一期中)如图所示，数轴x，y的交点为O，夹角为θ，与x轴、y轴正向同向的单位向量分别是e1，e2.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xe1＋ye2，我们把(x，y)叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标(以下各点的坐标都指在斜坐标系xOy中的坐标). (1)若θ＝90°，为单位向量，且与e1的夹角为120°，求点P的坐标； (2)若θ＝45°，点P的坐标为(1，)，求向量与e1的夹角α的余弦值． 解　(1)当θ＝90°时，坐标系xOy为平面直角坐标系，设点P(x，y)，则有＝(x，y)，而e1＝(1，0)，·e1＝x.又·e1＝||·|e1|·cos 120°＝－，所以x＝－.又||＝＝1，解得y＝±，故点P的坐标是. (2)依题意，e1，e2的夹角为45°，故e1·e2＝|e1|·|e2|·cos 45°＝，＝e1＋e2，所以||＝|e1＋e2|＝＝＝，·e1＝||·|e1|·cos α＝cos α，·e1＝(e1＋e2)·e1＝e＋·e2·e1＝2，所以cos α＝2，故cos α＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$