6.2.4 向量的数量积(word练习)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

[对应素能提升训练第9页] 1．(多选)(深圳龙岗区高一期中)关于平面向量a，b，c，下列说法中正确的是(　　) A．(a＋b)·c＝a·c＋b·c B．(a·b)c＝a(b·c) C．若a·b<0，则a与b的夹角为钝角 D．|a·b|＝|a||b|⇔a∥b 解析　 A √ 根据向量的运算律可知，A正确 B × (a·b)c表示与向量c共线的向量，a(b·c)表示与向量a共线的向量，则(a·b)c与a(b·c)不一定相等 C × 当两个非零向量a与b的方向相反时，a·b＝－|a||b|<0，此时a与b的夹角为180°，不是钝角 D √ 若a与b中至少有一个零向量，则|a·b|＝|a||b|＝0，此时a与b共线；若a与b均为非零向量，设a与b的夹角为θ，则|a·b|＝|a||b||cos θ|＝|a||b|，可得cos θ＝±1.又0≤θ≤π，所以θ＝0或π，即a与b共线，反之也成立．综上，|a·b|＝|a||b|⇔a∥b 答案　AD 2．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·(a－b)＝5，则向量a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 解析　因为|a|＝2，a·(a－b)＝a2－a·b＝|a|2－a·b＝5，所以a·b＝－1.设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 答案　C 3．(山西大同高一下联考)已知向量a－b与向量b均为单位向量，且它们的夹角为60°，则向量a在向量b上的投影向量为(　　) A．－a B．b C．－b D．a 解析　因为(a－b)·b＝1×1×＝，所以a·b－b2＝，则a·b＝，故向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 〈a，b〉＝|a|··＝b. 答案　B 4.若O是△ABC所在平面内一点，且满足｜－｜＝｜＋－2｜，则△ABC的形状为 （　　） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析　＋－2＝（－）＋（－）＝＋，－＝＝－，所以｜＋｜＝｜－｜，所以｜＋｜2＝｜－｜2，即·＝0，所以AB⊥AC，故△ABC为直角三角形. 答案　B 5.已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，a·b＝12，b方向上的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为　　　　. 解析　∵cos θ＝＝（θ为a与b的夹角），∴｜a｜cos θ e＝e. 答案　e 6.平面向量a，b，c两两夹角都相等，且｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，则｜a＋2b＋c｜＝　　　　. 解析　由题意，可得任意两向量的夹角是0°或120°.当a，b，c两两夹角为0°时，a，b，c方向相同，则｜a＋2b＋c｜＝5；当a，b，c两两夹角为120°时，由于｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，故｜a＋2b＋c｜2＝a2＋4b2＋c2＋4a·b＋2a·c＋4b·c＝12＋4×12＋22＋4×1×1×cos 120°＋2×1×2×cos 120°＋4×1×2×cos 120°＝1，即｜a＋2b＋c｜2＝1，得｜a＋2b＋c｜＝1.综上，｜a＋2b＋c｜＝5或1. 答案　1或5 7．(江西赣州高一联考)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋b)·(a－2b)＝－16. (1)若(a－λb)⊥(a＋b)，求实数λ的值； (2)求a与a－2b的夹角的余弦值． 解　因为(3a＋b)·(a－2b)＝－16，所以3a2－5a·b－2b2＝－16，即3×22－5a·b－2×32＝－16，解得a·b＝2. (1)若(a－λb)⊥(a＋b)，则(a－λb)·(a＋b)＝0，即a2＋(1－λ)a·b－λb2＝0，即22＋2(1－λ)－λ×32＝0，解得λ＝. (2)因为a·(a－2b)＝a2－2a·b＝22－2×2＝0，所以cos 〈a，a－2b〉＝＝0，即a与a－2b的夹角的余弦值为0. 8.已知平面向量a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝2，a与b的夹角为60°，若（a－mb）⊥a，则实数m的值为 （　　） A.1 B. C.2 D.3 解析　∵（a－mb）⊥a，∴（a－mb）·a＝0，∴a2－ma·b＝0，即9－m×3×2×cos 60°＝0，∴m＝3. 答案　D 9.在△ABC中，若·＞，则该三角形为 （　　） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 解析　∵·＞｜｜2， ∴·－＞0， ∴·（－）＞0，即·＞0，∴·＜0，即cos∠ABC＜0，∴∠ABC为钝角. 答案　B 10．(多选)已知向量a，b，c满足|b＋c|＝2，且|a|＝|b|＝2，|c|＝4，向量a与b，a与c，a＋2b与b－λc的夹角都是，则λ的值可能为(　　) A．－ B． C．－1 D．1 解析　设b与c的夹角为θ，则|b＋c|2＝|b|2＋|c|2＋2b·c＝20＋2b·c＝12，所以b·c＝－4，所以cos θ＝＝－.又0≤θ≤π，所以θ＝.由题意得a·b＝2，a·c＝4，则|a＋2b|＝＝2，|b－λc|＝＝，(a＋2b)·(b－λc)＝4λ＋10，所以＝＝，解得λ＝－或λ＝1. 答案　AD 11.已知a·b＝－9，e1，e2分别是与a，b方向相同的单位向量，a在b上的投影向量为－3e2，b在a上的投影向量为－e1，则a与b的夹角θ＝　　　　. 解析　由题意，得解得 ∴cos θ＝＝＝－. ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 答案　120° 12.已知向量a与b的夹角为60°，且｜a｜＝2，｜b｜＝3.若a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为　　　　. 解析　由题意可知a·b＝｜a｜｜b｜cos 60°＝2×3×＝3.于是（a＋λb）·（λa＋b）＝λa2＋（λ2＋1）a·b＋λb2＝3λ2＋13λ＋3. ∵a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，∴3λ2＋13λ＋3＞0，解得λ＞或λ＜.当λ＝1时，a＋λb与λa＋b共线，其夹角为0°，不符合题意，故实数λ的取值范围是∪∪（1，＋∞）. 答案　∪∪（1，＋∞） 13．(江苏无锡高一期末)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知e1，e2是两个夹角为60°的单位向量，＝e1＋3e2，＝5e1＋e2. (1)求||； (2)设＝te1，是否存在实数t，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 解　(1)因为＝－＝4e1－2e2，所以||＝＝＝＝2. (2)＝－＝(t－1)e1－3e2，＝－＝(t－5)e1－e2.若△ABC是以AB为斜边的直角三角形，则AC⊥BC，即·＝0，则·＝[(t－1)e1－3e2]·[(t－5)e1－e2]＝(t－1)(t－5)＋3－[(t－1)＋3(t－5)]×＝0，化简得t2－8t＋16＝0，解得t＝4.所以存在t＝4 满足条件． 14.已知向量a，b，c满足｜a｜＝，｜b｜＝，a·b＝－5，c＝xa＋（1－x）b. （1）若b⊥c，求实数x的值； （2）当｜c｜取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值. 解　（1）当b⊥c时，b·c＝0， 即b·c＝xa·b＋（1－x）b2＝0， －5x＋5（1－x）＝0， 解得x＝. （2）c2＝x2a2＋2x（1－x）a·b＋（1－x）2b2 ＝25x2－20x＋5＝25＋1， 当x＝时，｜c｜取最小值1， 此时，c＝a＋b. 设向量a与c的夹角为θ， 则a·c＝｜a｜｜c｜cos θ＝a·＝1， 解得cos θ＝，故当｜c｜取最小值时，向量a与c的夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$