6.2.3 向量的数乘运算(word练习)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

[对应素能提升训练第7页] 1．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n 解析　A正确；B正确；C错误，由ma＝mb得m(a－b)＝0，当m＝0时也成立，推不出a＝b；D错误，由ma＝na得(m－n)a＝0，当a＝0时也成立，推不出m＝n. 答案　AB 2.设四边形ABCD中，有＝3且｜｜＝｜｜，则这个四边形是 （　　） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 解析　因为＝，所以AB∥DC且AB≠DC，所以四边形ABCD是梯形.又｜｜＝｜｜，所以四边形ABCD是等腰梯形. 答案　C 3.若向量a＝2e1＋e2，b＝－2e1＋3e2，则下列向量中与向量2a＋b共线的是 （　　） A.－5e1＋2e2 B.4e1＋10e2 C.10e1＋4e2 D.e1＋2e2 解析　因为向量a＝2e1＋e2，b＝－2e1＋3e2，所以2a＋b＝2e1＋5e2.又4e1＋10e2＝2（2e1＋5e2），所以B选项与2a＋b共线.故选B. 答案　B 4.已知△ABC中，BC边上的中线为AD，点O满足＝2，则＝ （　　） A.－＋ B.－ C.－ D.－＋ 解析　 如图所示，∵D为BC的中点，∴＝＋.∵＝2，∴＝＝＋，∴＝－＝－＝－＋，故选A. 答案　A 5.设a，b是两个不共线的向量.若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝　　　　. 解析　因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ（8a＋kb）⇒k＝8λ，2＝λk⇒k＝－4（因为方向相反，所以λ＜0⇒k＜0）. 答案　－4 6.已知O，A，B是平面内任意三点，点P在直线AB上，若＝3＋x，则x＝　　　　. 解析　因为点P在直线AB上 ，所以＝λ，λ∈R，－＝λ（－），即＝λ＋（1－λ），所以所以x＝－2. 答案　－2 7．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2. (1)求证A，B，D三点共线； (2)若＝3e1－ke2，且∥，求实数k的值． 解　(1)证明：由已知可得＝－＝e1－4e2，＝2(e1－4e2)＝2⇒∥. ∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线． (2)∵∥，∴存在实数λ，使＝λ， ∴3e1－ke2＝λe1－4λe2，∴(3－λ)e1＝(k－4λ)e2. 又∵e1，e2不共线，∴解得k＝12. 8．已知G为△ABC的重心，＝－，则＝(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ 解析　如图所示，因为＝－，所以A，G，D三点共线．又因为G为△ABC的重心，所以D为BC的中点，故＝＋.故选D． 答案　D 9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 解析　∵△DEF∽△BEA，∴＝＝， ∴DF＝AB＝DC，∴＝＋＝＋. ∵＝＋＝a，＝－＝b， ∴＝(a－b)，＝(a＋b)， ∴＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b. 答案　D 10．(湖北随州高一期中)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，如图①所示，使得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点．如图②所示，在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，设＝x1＋y1，＝x2＋y2，则＋等于(　　) A． B．2 C． D．＋1 解析　由题意知＝＋＝＋· ＝＋(－)＝＋＝＋，同理，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.∴x1＝y2＝，x2＝y1＝，∴＋＝＋＝. 答案　C 11.若｜｜＝2｜｜，且＝λ，则λ＝　　　　. 解析　（1）当点C在线段的延长线上时，如图. 则＝2，则λ＝2. （2）当点C在线段上时，如图. 则＝－2，即λ＝－2. 综上，λ＝±2. 答案　±2 12．(山东泰安高一月考)如图，在△ABC中，D为边BC中点，经过AD中点E的直线分别交线段AB，AC于点M，N，若＝m，＝n，则m＋n＝________；该直线将原三角形分成的两部分，即三角形AMN与四边形BCNM面积之比的最小值是________. 解析　∵△ABC中，D为BC边的中点，E为AD的中点，∴＝＝(＋). ∵＝m，＝n，∴＝＋＝＋＝(＋)，∴＝＋，同理＝＋.∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ(λ<0)，即＋＝λ，∴ 解得∴m＋n＝＋＝4； ∵＝＝＝， 且m＋n＝4，∴mn≤＝4，当且仅当m＝n＝2时取等号，此时有最小值，则有M，N分别为AB，AC的中点时，取得最小值为. 答案　4　 13.如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，求证：M，N，C三点共线. 证明　因为＝，＝＝（＋）， 所以＝－ ＝＋－＝－， ① ＝－＝－， ② 由①②可知＝3，所以与共线且有公共点M，所以M，N，C三点共线. 14.如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，D是将OB分成2∶1 的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b. （1）用a，b表示向量，； （2）若＝λ，求λ的值. 解　（1）由A是BC的中点，则有＝（＋）， 所以＝2－＝2a－b； 由D是将OB分成2∶1的一个内分点， 得＝， 所以＝－＝（2a－b）－b＝2a－b. （2）由于C，E，D三点共线，则＝μ. 又＝－＝（2a－b）－λa＝（2－λ）a－b，＝2a－b， 所以（2－λ）a－b＝μ. 又a，b不共线，则解得λ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$