6.1 平面向量的概念(word练习)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

[对应素能提升训练第1页] 1.下列说法正确的是 （　　） A.两个单位向量一定相等 B.若a与b不共线，则a与b都是非零向量 C.共线的单位向量必相等 D.两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 解析　两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；若a与b不共线，则a与b都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；共线的单位向量必相等错误，共线的单位向量方向也可能相反；两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同错误，因为两个向量相等的条件是长度相等、方向相同，与起点无关. 答案　B 2．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么(　　) A．s>|a| B．s<|a| C．s＝|a| D．s与|a|不能比较大小 解析　如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，那么飞机飞行的路程为s＝200＋300＝500(km)，|a|＝＝100(km)，所以s>|a|.故选A． 答案　A 3．(多选)设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正确的是(　　) A．＝ B．||＝|| C．＝ D．与共线 解析　因为点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，所以O是AC中点，即有＝，A正确；平行四边形对角线长不一定相等，则||与||不一定相等，B不正确；点A，O，B不共线，C不正确；平行四边形ABCD中，AB∥CD，即有与共线，D正确．故选AD． 答案　AD 4.下列五个结论： ①温度有零上和零下之分，所以温度是向量； ②向量a≠b，则a与b的方向必不相同； ③｜a｜＞｜b｜，则a＞b； ④向量a是单位向量，向量b也是单位向量，则向量a与向量b共线； ⑤方向为北偏西50°的向量与方向为东偏南40°的向量一定是平行向量. 其中，正确的有 （　　） A.①⑤ B.④ C.⑤ D.②④ 解析　温度虽有大小却无方向，故不是向量，①错误；a≠b，但a与b的方向可以相同，②错误；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，③错误；单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，④错误；作图易得⑤正确. 答案　C 5．中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”．若马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共有________个． 解析　此题中，马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走．如图，以B为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个；以C为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共8个．所以共有11个． 答案　11 6.给出以下5个条件： ①a＝b；②｜a｜＝｜b｜；③a与b的方向相反；④｜a｜＝0或｜b｜＝0；⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是　　　　（填序号）. 解析　相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任意向量平行，④能使a∥b. 答案　①③④ 7.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2 km到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6 km到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2 km才到达B地. （1）在如图所示的坐标系中画出，，，； （2）求B地相对于A地的位移. 解　（1）向量，，，，如图所示. （2）由题意知＝. 所以ADBC，则四边形ABCD为平行四边形.所以＝，则B地相对于A地的位移为“北偏东60°，6 km”. 8.已知在平面内点O固定，且｜｜＝2，则A点构成的图形是 （　　） A.一个点 B.一条直线 C.一个圆 D.不能确定 解析　由于｜｜＝2，所以A点构成一个以O为圆心，半径为2的圆.故选C. 答案　C 9．(多选)(江苏启东高一期中)已知a为非零向量，集合A＝{b|b是与a共线的向量}，B＝{b|b是与a长度相等的向量}，C＝{b|b是与a长度相等且方向相反的向量}，则下列关系正确的是(　　) A．A∩B＝{a} B．C⊆A C．C⊆B D．{a}⊆A∩B 解析　 A × 与a共线且与a长度相等的向量为a，－a，则A∩B＝{a，－a} B √ 与a长度相等且方向相反的向量为－a，则C⊆A，C⊆B C √ D √ 由A∩B＝{a，－a}，可得{a}⊆A∩B 答案　BCD 10.（多选）如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是 （　　） A.｜｜＝｜｜ B.与共线 C.与共线 D.＝ 解析　由向量相等及共线的概念，结合图形可知C不一定正确. 答案　ABD 11.若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移是　　　　. 解析　据题意画出图形如图所示，由图可知｜｜＝5 km，且∠ABC＝45°，故C地相对于B地的位移是西北方向5 km. 答案　西北方向5 km 12．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，设点集S＝{A，B，C，D，O}，集合T＝{|M，N∈S，且M，N不重合}，则集合T中元素的个数为________. 解析　由题意，可知从点A，B，C，D，O中任取2个不同的点作向量，共有20个，分别为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.由平行四边形的性质，可知共有8对向量相等：＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.因为集合中的元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个． 答案　12 13.如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且｜｜＝. （1）画出所有满足条件的向量； （2）求｜｜的最大值与最小值. 解　（1）画出所有满足条件的向量，即（i＝1，2，…，8），如图所示. （2）由（1）所画的图知，当点C位于点C1或C2的位置时，｜｜取得最小值＝； 当点C位于点C5或C6的位置时，｜｜取得最大值＝， 故｜｜的最大值为，最小值为. 14.飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1 400 km到达B地，再从B地按东偏南15°的方向飞行1 400 km到达C地，那么C地在A地哪个方向？C地距A地多远？ 解　如图所示，表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则｜｜＝1 400 km.表示飞机从B地按东偏南15°方向飞行到C地的位移，则｜｜＝1 400 km. 所以为从A地到C地的位移. 在△ABC中，AB＝BC＝1 400 km，且∠ABC＝（90°－15°）－15°＝60°，故△ABC为等边三角形，所以AC＝1 400 km. 所以C地在A地北偏东60°－15°＝45°，距离A地1 400 km 处. 学科网（北京）股份有限公司 $$