精品解析：山东省济宁市2024-2025学年高二上学期期末测试数学试题及答案

2024-2025学年度第一学期质量检测 高二数学试题 2025.01 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间坐标系的概念判断． 【详解】点关于坐标平面对称的点的坐标是， 故选：D． 2. 若，，三点在同一条直线上，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据三点共线，得直线斜率相等，即可列式计算. 【详解】因为，，三点在同一条直线上， 所以,即，解得. 故选：C. 3. 已知，，若，则（ ） A. 3 B. -3 C. 9 D. -9 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量平行的坐标表示求得后可得． 【详解】因为，所以，且，， 所以， 故选：A． 4. 已知两点、，则线段的垂直平分线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出线段的中点坐标，并求出直线的斜率，可得出其中垂线的斜率，结合点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】由题意可知，线段的中点坐标为，， 所以，线段的垂直平分线的斜率为， 因此，线段的垂直平分线方程为，即. 故选：A. 5. 在递增等比数列中，若，且是和的等差中项，则（ ） A. 18 B. 54 C. 162 D. 486 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的单调性及得出，然后再由等差中项的定义与等差数列的通项公式列方程求得，从而可得结论． 【详解】是递增的等比数列，且，所以公比， 是和的等差中项，则，即， 所以，又，故解得， 所以， 故选：C． 6. 在三棱锥中，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出示意图，根据示意图以及空间向量的加、减法运算，将用表示. 【详解】如图所示，连接，因为，，则， 所以 . 故选：D. 7. 设等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2024 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，结合基本不等式得出，然后由等差数列的前项和公式及通项公式进行求解． 【详解】，所以， 显然，因此有，当且仅当时等号成立， 所以，则， 所以， 故选：B． 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的两条渐近线分别交于、两点，若，，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用求出，再求出点坐标代入求出可得答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 不妨设，则，， 因为，所以， 可得， 即，所以，， 又因为，所以点是的中点， 可得，又点在上， 所以，解得， 则双曲线的标准方程为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用求出得到点坐标代入另一条渐近线方程. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设随机事件、、满足，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与独立 C 与互斥 D. 与独立 【答案】BC 【解析】 【分析】利用事件互斥、独立的定义逐项判断即可. 【详解】因，，，，， 则且，所以，与独立且不互斥，A错B对； 因为， 则，即， 所以，与互斥且不独立，C对D错. 故选：BC. 10. 已知圆与圆交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的方程为 B. C. 的面积为 D. 圆上恰有两个点到直线的距离等于1 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两圆的方程可得公共弦方程，进而可判断A，结合勾股定理可得弦长，进而判断B，利用三角形面积公式可判断C，利用圆心到直线的距离可判断D. 【详解】对于A，由两圆的方程相减可得直线的方程，即，A正确； 对于B，圆的圆心为，半径为，恰好位于直线上，所以，B正确； 对于C，圆的圆心为，到直线的距离为，所以面积为，C不正确； 对于D，由C可得到直线的距离为，圆的半径为3，而，所以圆上恰有两个点到直线的距离等于1，D正确. 故选：ABD 11. 若正方体的棱长为2，为的中点，动点在底面上（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 当为中点时， B. 当为中点时，直线与所成角的余弦值为 C. 当直线与所成角为时，到平面的距离的最大值为 D. 当到直线与直线的距离相等时，到直线的距离的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法证明线线垂直，判断A；求异面直线所成的角，判断B，确定点轨迹得轨迹方程，设点坐标，用空间向量法求点面距，判断C，求点线距判断D． 【详解】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，正方体棱长为2，则，，，， 选项A，，，，所以，A正确； 选项B，，， ，所以直线与所成角的余弦值为，B错； 选项C，直线与所成角为时，则，在以为圆心，为半径的圆（正方形内）上，如下图， 在底面上，点轨迹方程为， 设，，， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 到平面的距离为， 因为，所以，其中是锐角， 所以当时，，C正确； 选项D，因此平面，又平面，所以， 所以到直线的距离等于， 所以到直线与直线的距离相等即为到点与直线的距离相等，所以点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，中点是抛物线的顶点，， 在平面上，点轨迹方程为， 设，， ， ， 所以， 又， 所以点到直线的距离为， 点在正方形内，所以， 由得， ， 所以时，， 所以点到直线的距离的最小值为，D错， 故选：AC． 【点睛】方法点睛：本题考查正方体中线线垂直，异面直线所成的角，点面距与点线距，因此利用正方体建立空间直角坐标系，用空间向量法解决问题是常用方法，它可以减少艰难的空间想象能力，把问题转化为计算．对计算能力要求较高，属于难题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若从1~9这9个数中随机选择一个数，则这个数平方的个位数为6的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】因为，，，，，，，，，从这9个数中随机选择一个数共有种选法， 其中这个数的平方的个位数字为6的只有4、6共2个，所以所求的概率 故答案为：. 13. 已知双曲线的左焦点为F，M为双曲线右支上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值是__________. 【答案】10 【解析】 【分析】记双曲线的右焦点为，由双曲线的定义得，则求解即可． 【详解】解：如图所示： 记双曲线的右焦点为，则，得， 圆的圆心，半径为1， 则，等号成立时，四点共线． 故的最小值是：10. 故答案为：10 14. 已知直线，，若直线与直线的交点为，则的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据已知条件得到直线恒过定点，直线恒过定点，且，得到交点在以为直径的圆上，再利用圆上的点与直线的位置关系即可得到最值. 【详解】由题知：直线化简为：，故直线恒过定点；直线化简为：，故直线恒过点. 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则. 当时，，，，则. 故直线恒过定点，直线恒过定点，且. 因为直线与直线交于点， 所以点在以为直径的圆上， 因线段的中点坐标为，且， 则的轨迹方程为(除点)，圆的半径， 因为表示圆上的点到直线的距离， 过圆心作直线的垂线，垂足为D，则， 所以，当共线时取等号.即 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个袋子中有个白球，个黑球，采用不放回方式从中依次随机抽取个球. （1）若，求两次取到球颜色不同的概率； （2）若已知取出的个球都是白球的概率为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出基本事件的总数，记事件表示“第一次取白球，第二次取黑球”，事件表示“第一次取黑球，第二次取白球”，利用古典概型和互斥事件的概率公式可求得事件的概率； （2）计算出基本事件的总数以及事件“取出的个球都是白球”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可得出关于的方程，结合可求得的值. 【小问1详解】 从个球中不放回地随机取出个球，共有种可能取法，即. 设事件表示“第一次取白球，第二次取黑球”，则； 设事件表示“第一次取黑球，第二次取白球”，则. 因为、互斥，所以两次取到的球颜色不同的概率. 【小问2详解】 从个白球，个黑球中不放回地随机取出个球，共有种可能的取法. 所以取出的个球都是白球的概率为， 整理得：即：， 所以或（舍去），所以. 16. 已知数列是首项为1的等差数列，数列满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求解． （2）由错位相减法求和． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，所以， 又数列是首项为1的等差数列，所以，从而， 从而，所以. 【小问2详解】 由（1）得： ① ② 由①-②得： 所以. 17. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，且. （1）求直线的方程； （2）若过点的直线交抛物线于、两点，过点和的直线交抛物线于另一点，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设直线：，联立直线与抛物线，通过消元、韦达定理，结合条件列式计算可得； （2）设出两直线方程，将两直线分别与抛物线联立，利用韦达定理，得到，，变形即可得证. 【小问1详解】 由题意可知点， 设直线方程为，，. 联立得： 由韦达定理知：， 所以 解得： 所以直线的方程为. 【小问2详解】 设方程为，方程为 联立得： 所以 联立得： 所以. 所以. 证明完毕. 18. 如图①，已知矩形的边，，，将沿翻折至，使得，如图②. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）推导出，，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，以在平面内过点垂直于的直线为轴，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 在图①中连接交于点， 由题意知， 且，，则为的中点， 所以，则， 在中，， 在中，由余弦定理得： . 在图②中，，， 所以，，所以， 又，、平面，所以平面. 【小问2详解】 因为平面，以点为坐标原点，以在平面内过点垂直于的直线为轴， 、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系如图所示. 则，，，. 所以，，，. 设平面的法向量为 则， 令，则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 如图，在平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为起始边，按逆时针旋转角，其终边分别交圆和圆于点、，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，记，点坐标为，此时称为点轨迹的离心角. （1）请用表示点的横坐标、纵坐标，并求出点的轨迹方程； （2）若离心角、分别对应点轨迹上、两点，且.证明：和为定值； （3）若直线与点的轨迹交于、两点，为点轨迹上一动点.当时，求到距离的最大值. 【答案】（1），， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合三角函数的定义得出点的坐标，消去参数得轨迹方程； （2）由（1）得坐标，根据的关系化简点坐标，然后利用平方关系可得； （3）设、，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得，代入求得，然后求出椭圆的与直线平行的切线方程，其中一条的切线到直线的距离为最大值． 小问1详解】 由题意可知：，. 所以 所以点的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）可知、 因为，所以， 所以. 所以 【小问3详解】 设、 联立得： 所以， 又 因为，所以 所以 将，代入上式得 解得： 不妨取，则 设直线的平行线为 联立得： 令，即： 解得： 所以 所以当点为与椭圆的切点时，到的距离最大. 最大距离为直线和之间的距离 即：. 所以到距离的最大值为. 【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交的交点问题，一般设交点坐标为，直线方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，由题意中交点满足的另外性质求出交点坐标满足的关系，代入韦达定理的结论化简可得要求结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期质量检测 高二数学试题 2025.01 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 若，，三点在同一条直线上，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 3 已知，，若，则（ ） A. 3 B. -3 C. 9 D. -9 4. 已知两点、，则线段的垂直平分线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在递增等比数列中，若，且是和的等差中项，则（ ） A. 18 B. 54 C. 162 D. 486 6. 在三棱锥中，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2024 D. 2026 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的两条渐近线分别交于、两点，若，，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设随机事件、、满足，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与独立 C. 与互斥 D. 与独立 10. 已知圆与圆交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的方程为 B. C. 的面积为 D. 圆上恰有两个点到直线距离等于1 11. 若正方体的棱长为2，为的中点，动点在底面上（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 当为中点时， B. 当为中点时，直线与所成角的余弦值为 C. 当直线与所成角为时，到平面的距离的最大值为 D. 当到直线与直线的距离相等时，到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若从1~9这9个数中随机选择一个数，则这个数平方个位数为6的概率是__________. 13. 已知双曲线的左焦点为F，M为双曲线右支上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值是__________. 14. 已知直线，，若直线与直线的交点为，则的最大值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个袋子中有个白球，个黑球，采用不放回方式从中依次随机抽取个球. （1）若，求两次取到的球颜色不同的概率； （2）若已知取出的个球都是白球的概率为，求的值. 16. 已知数列是首项为1的等差数列，数列满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列前项和. 17. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，且. （1）求直线方程； （2）若过点的直线交抛物线于、两点，过点和的直线交抛物线于另一点，证明：. 18. 如图①，已知矩形的边，，，将沿翻折至，使得，如图②. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 如图，在平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为起始边，按逆时针旋转角，其终边分别交圆和圆于点、，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，记，点坐标为，此时称为点轨迹的离心角. （1）请用表示点的横坐标、纵坐标，并求出点的轨迹方程； （2）若离心角、分别对应点轨迹上、两点，且.证明：和为定值； （3）若直线与点的轨迹交于、两点，为点轨迹上一动点.当时，求到距离的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$