2025年沪科版九年级中考数学总复习压轴题训练- 四边形的综合应用

2025年沪科版九年级中考数学总复习压轴题训练 - 四边形的综合应用 1、 解答题： 1.在中，，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD， 如图1，求的大小； 已知点D和边AC上的点E满足， ①如图2，求证：AD平分； ②如图3，连接BE，若，，求的值． 2.如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作且，连接CE，OE， 求证：▱ABCD是菱形；若，，求AE的长． 3.如图，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，于点O，点G，F分别在边CD，AB上，求证：； 如图，在矩形ABCD中，为常数将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由； 在的条件下，连接CP，当时，若，，求CP的长． 4.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且， 求证：四边形EBFD是矩形； 若，，求BF的长． 5.如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，，，于点F，于点G， 求证：四边形AECD是平行四边形； 若，，，求AB的长． 6.如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上． 求证：； 若这个矩形的边，则PN的长度． 7.如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O，AC平分，过点C作交AB的延长线于点E，连接 求证：四边形ABCD是菱形； 若，，求OE的长． 8.勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，是数学中最重要的定理之一，勾股定理的证明过程多数采用的方法是“用两种不同的方法和含有a，b，c的式子表示同一个图形的而积”，由于同一个图形的而积相等，从而得到含有a，b，c的恒等式，通过化简即可完成勾股定理的证明． 下面是直立的长方体火柴盒在果面上倒下，启迪人们发现的证明勾股定理的一种思路． 如图1，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置，连接CF，此时，，，利用直角梯形BCFG的面积就能完成勾股定理的证明． 任务： 请你根据上述材料中的思路证明勾股定理； 如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知，，求AD，BC之间的距离． 9.如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的点，点F在边CD上，且 求证：；若，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长． 10.已知正方形ABCD的边长为1，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，，设 如图1，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，连结 ①当时，请直接写出线段CF的长为          ； ②设，请求出n与m的关系式；如图2，AF交CD于点Q，在中，设边QE上的高为h，求h的最大值． 11.如图，正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为6和4，连接BE，H为BE的中点，连接将正方形AEFG绕点A旋转一周; 求FH的取值范围; 当C、F、G三点共线时，求BE的长. 12.小明在学习矩形的时候发现：如图①，当点P在矩形ABCD的边BC上时，点P到四个顶点的距离PA，PB，PC，PD之间满足，请对小明发现的结论给出证明； 如图②，当点P在矩形ABCD内部或矩形ABCD外部时，PA，PB，PC，PD之间的数量关系仍成立吗？如果成立，请加以证明请选择点P在矩形ABCD内部或外部的一种情况即可；如果不成立，请说明理由； 在中，，，P为平面内一点，，，则PB长的取值范围是          . 13.已知点E是正方形ABCD内部一点，且 【初步探究】如图1，延长CE交AD于点求证：； 【深入探究】如图2，连接DE并延长交BC于点F，当点F是BC的中点时，求的值； 【延伸探究】连接DE并延长交BC于点F，DF把分成两个角，当这两个角的度数之比为时，请直接写出的值． 14.如图1，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作交BC的延长线于点求证：小李在学习了该例题后，与学习小组的同学在“课后服务”进一步开展了探究活动：如图2，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，点P在DE上，点M在边AD上，连接MP并延长与BC相交于点 如图2，若，则仍然成立吗？请说明理由． 若，，点P是DE的中点． ①如图3，若，求PN的长； ②如图4，当MN与DE不垂直时，是否存在这样的点M使？若存在，请直接写出DM的长；若不存在，请说明理由． 2025年沪科版九年级中考数学总复习压轴题训练 - 四边形的综合应用 1.【答案】解：  是 AB 的中点， ，由旋转的性质得：  ，  ，  ， ，  ，即  的大小为  ； ①证明：  ， ， ，  ， ， 四边形 EMBD 是平行四边形，  ， ， 四边形 EAMD 是平行四边形，  ， 平行四边形 EAMD 是菱形， ， 平分  ； ②解：如图3，过点 E 作  于点 H ， 则  ， 在  中，由勾股定理得：  ，  四边形 EAMD 是菱形， ， ，  ， ，  ， ，即  的值为  ． 2.【答案】解：证明：，，四边形OCED是平行四边形． ，平行四边形OCED是矩形，，，▱ABCD是菱形； 四边形ABCD是菱形，，，， ，是等边三角形，， ，在中，由勾股定理得：， 由可知，四边形OCED是矩形，，， ，即AE的长为：  3.【答案】解：证明：四边形ABCD是正方形， ，，，， ，，，， ，，，，四边形DQFG是平行四边形， ，，； 结论：理由如下：如图2中，过G作于M， ，，，， ，，，， 四边形AMGD是矩形，，， 解：如图3中，过点P作交BC的延长线于 ，，即， ，， 即，，， 设，， 则，， ，，，， 或不合题意，舍去，，，，， ，，，， ，， ，，， 解之得：，，，   4.【答案】证明：四边形ABCD是菱形， ，，，，即， 四边形EBFD是平行四边形，，，四边形EBFD是矩形； 解：四边形ABCD是菱形，，，， 在中，，，，， 四边形EBFD是矩形，，在中，，   5.【答案】【小题1】证明：，， ，四边形AECD是平行四边形； 【小题2】 解：由可知，四边形AECD是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ≌，， ， 是等腰直角三角形，， ， ，，， ，  6.【答案】证明：四边形PQMN是矩形，，即， ，∽； 解：，设，，设AD与PQ的交点为点E， ，AD是高，，即AE是的高，在矩形PQMN中，， 四边形PNDE是矩形，， ∽，，即，， ，，，  7.【答案】【小题1】 证明：，， 平分，，， ，又，，又，四边形ABCD是平行四边形， 又，▱是菱形． 【小题2】 解：四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O， ，，，， 在中，，，，， 在中，，O为AC中点， 8.【答案】【小题1】证明：根据题意得：， 6fb81c2ec6cfe43760c7a23812cf8d83   0fa396d5ed01dc54035ef874f7a943af   整理得：； 【小题2】解：设、之间的距离为h， 四边形ABCD是菱形，，， ，3faa7901523e82ac15e517940a666875，  9.【答案】【小题1】 解：四边形ABCD为正方形，， ，，，； 【小题2】 解：四边形ABCD为正方形， ，，，，设，， ，即，解得：， ，，，， ，，，，  10.【答案】解：①；②，， ∽，，即，，即； 如图，将绕点A顺时针旋转得， 则，，，，， 即，，，G，E三点共线， 又，≌，，，， ，即当时，h有最大值为  11.【答案】解：正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为6和4，，， 延长EF到M，使，连接BM、AM，如图： ，H为BE的中点，是的中位线，， 在中，，，，， 根据旋转的基本性质可知，M在以A为圆心，以AM的长为半径的圆上运动，当M在BA的延长线上时，BM有最大值，当M在AB的延长线上时，BM有最小值， 的最大值为，BM的最小值为， 的最大值为，FH的最小值为， 的取值范围是； 当C、F、G三点共线时，分两种情况画出图形，①当点F在线段CG上时，连接AC、AF，如图： 正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为6和4， ，，，，， ，，∽， ，， 在中，，，， ，， ； ②当点F在线段CG的延长线上时，连接AC、AF，如图： 正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为6和4， ，，，，， ，， ∽，，， 在中，，，， ，， ； 综上所述，BF的长为或  12.【答案】【小题1】因为四边形ABCD是矩形，所以，， 所以，，所以， 所以 【小题2】答案不唯一选择点P在矩形ABCD内部这一情况.仍成立.证明如下： 过点P作，分别交AB，CD于点E，F， 易证四边形AEFD和四边形EBCF都为矩形. 由，得①，②. ①-②，得，所以 【小题3】 13.【答案】【小题1】 证明：四边形ABCD是正方形，，，， ，，； 【小题2】解：如图1， 作于G，，四边形ABCD是正方形， ，，，，， ，，点F是BC的中点，， 不妨设，则，， ，，，， ，， ，，， ， ； 【小题3】解：如图， 当时，即，设，分别延长CE，BE，分别交AD于G，交CD于H， ，、D、H、E共圆，， ，，≌，，， ，， 当时，即， 同理可得：， ，，， ，综上所述：或 14.【答案】【小题1】解：仍然成立． 理由：如图，过点M作于点 由正方形ABCD得，，，四边形ABFM为矩形，， 由正方形ABCD得，， ，，， ，， 又，，≌，； 【小题2】①由正方形ABCD得，，，， ，，，，点P是DE的中点，， 同理：在直角中可得，，由可得； ②当MN与DE不垂直时，存在这样的点M使， 如图，过点P作分别交AD、BC于点66ed7d2e3ed289dc55789b82850be707， 由可得，， 过点P作分别交AD、BC于点H、K，作线段关于HK对称的线段MN，则， 由①可得，， ，，， 由对称得，是等边三角形，，   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$