专题04 平面向量的应用重难点题型专训（28大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一年级数学重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第二册）

专题04 平面向量的应用重难点题型专训（28大题型+15道提优训练） 题型一 用向量证明线段垂直 题型二 用向量解决夹角问场 题型三 用向量解决线段的长度问题 题型四 向量与几何最值 题型五 向量在几何中的其他应用 题型六 解析法在向量中的应用 题型七 力的合成 题型八 速度、位移的合成 题型九 功、动量的计算 题型十 余弦定理及辨析 题型十一 余弦定理解三角形 题型十二 余弦定理边角互化的应用 题型十三 正弦定理及辨析 题型十四 正弦定理解三角形 题型十五 正弦定理判定三角形解的个数 题型十六 正弦定理求外接圆半径 题型十七 正弦定理边角互化的应用 题型十八 三角形面积公式及其应用 题型十九 正、余弦定理判定三角形形状 题型二十 证明三角形中的恒等式或不等式 题型二十一 求三角形中的边长或周长的最值或范围 题型二十二 几何图形中的计算 题型二十三 求三角形面积的最值或范围 题型二十四 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 题型二十五 距离测量问题 题型二十六 高度测量问题 题型二十七 角度测量问题 题型二十八 正、余弦定理的其他应用 知识点1余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 (2)对余弦定理的理解 ①余弦定理对任意的三角形都成立. ②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量. ③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦 定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. ④余弦定理的另一种常见变式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC. 知识点2正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可得 正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 知识点3 解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； ③已知三边，求三角形的三个角. (3)正弦定理在解三角形中的应用 公式==反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 知识点4对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 【经典例题一 用向量证明线段垂直】 【例1】（22-23高一下·江苏无锡·期中）在中，，，为的重心，若，则外接圆的半径为(    ) A． B．1 C．2 D． 1．（23-24高一下·山西运城·期中）在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（    ） A． B． C．13 D．26 2．（23-24高二上·山东泰安·开学考试）在四边形中，，则四边形的形状是 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【经典例题二 用向量解决夹角问场】 【例2】（22-23高一下·全国·单元测试）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 1．（22-23高一下·江苏扬州·期中）如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（　　）米时，看A、的视角最大. A．4 B．5 C．6 D．7 2．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 3．（22-23高一下·湖南常德·阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【经典例题三 用向量解决线段的长度问题】 【例3】（24-25高三上·海南海口·期末）已知是平行四边形所在平面内一点，且，，则有（   ） A． B． C． D． 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，是边的中点，过点作于点，延长交于点，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·课前预习）通过 ，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值，以及y取得最大值时x的值． 【经典例题四 向量与几何最值】 【例4】（2024高三·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以三角形ABC边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形ABC边长为60，点D，E分别为线段AB，AC的中点，点P为圆弧上的一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知点M是边长为2的正方形内部（包括边界）的一动点，点P是边的中点，则的最大值是 ；的最小值是 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）试用作图法验证下列不等式： (1)； (2)． 【经典例题五 向量在几何中的其他应用】 【例5】（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 1．（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 2．（24-25高三上·天津河北·期中）已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知点分别是三角形的外心、重心和垂心．求证：、、三点共线．（此直线称为欧拉线） 【经典例题六 解析法在向量中的应用】 【例6】（23-24高一下·重庆·期中）在边长为2的正方形中，是的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·辽宁·期中）扇形的半径为1，，点在弧上运动，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D．-1 2．（2023·山东德州·模拟预测）在中，，若是所在平面上的一点，则的最小值为 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知均为正数，且．求证：． 【经典例题七 力的合成】 【例7】（2024高二上·黑龙江·学业考试）在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·河北保定·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 2．（22-23高二上·陕西宝鸡·期中）已知是作用于同一质点的两个力，N，N，和的夹角为，则合力的大小是 N. 3．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？    【经典例题八 速度、位移的合成】 【例8】（23-24高一下·北京石景山·期中）红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的（    ） A．曲线 B．直线 C．曲线 D．无法确定 1．（23-24高一下·浙江台州·期末）一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·全国·专题练习）某人从点向正东方向走30 m到达点，再向正北方向走 m到达点，则此人的位移的大小是 m，方向是北偏东 ． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）一条河的两岸平行，河宽.一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处.航行的速度，水流的速度，水流方向向正东方向，求行驶航程最短时，所用的时间是多少.（结果精确到0.1min） 【经典例题九 功、动量的计算】 【例9】（23-24高一下·河北石家庄·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B． C．1 D．41 1．（23-24高一下·河北邢台·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（   ） A．－41 B．－1 C．1 D．41 2．（24-25高一下·全国·期中）两个力，作用于同一个质点，使该质点从点移到点，则这两个力的合力对质点所做的功为 ． 3．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，一辆小车在拉力的作用下产生了位移，由上节知识可知，拉力所做的功.对应图中的哪个量？拉力所做的功还可以如何描述？    【经典例题十 余弦定理及辨析】 【例10】（2022高三上·河南·专题练习）已知的内角，，的对边分别为a，b，c，且，若，则角不可能（    ） A．为直角 B．为锐角 C．为钝角 D．在之间 1．（23-24高一下·山东济南·阶段练习）设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课前预习）余弦定理：（1）文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的 减去这两边与它们夹角的 ；（2）符号语言：在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 ； ； . 3．（24-25高一上·上海·课前预习）余弦定理何时成立？它揭示了怎样的关系？它的主要作用是什么？ 【经典例题十一 余弦定理解三角形】 【例11】（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）在中，若，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 1．（2025高三·全国·专题练习）在中，，则边上的中线长为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25高二上·北京·期末）在中，，，则的一个取值可以为 . 3．（24-25高三上·新疆·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求； (2)若，，求． 【经典例题十二 余弦定理边角互化的应用】 【例12】（2024高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 1．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若边上的高为4，则的面积为 . 3．（24-25高三上·山东烟台·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【经典例题十三 正弦定理及辨析】 【例13】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·全国·课前预习）扩充的正弦定理：设的边长分别为a，b，c，外接圆的半径为，则 ，这个结果称为扩充的正弦定理．该式表明三角形各边与它所对角的 的比值为一个常数，这个常数等于该三角形外接圆的 ． 2．（2024·湖北黄石·三模）若的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C． D．6 3．（24-25高一下·全国·课前预习）在中，，在锐角三角形或钝角三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？ 【经典例题十四 正弦定理解三角形】 【例14】（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，若，，，则角的大小为（   ） A． B． C． D．或 1．（2024高二上·河南安阳·学业考试）在中，若，则B为（    ） A． B．或 C． D．或 2．（24-25高二上·上海·期末）的内角，，的对边分别为，，，，，， 则等于 . 3．（江苏省连云港市2024-2025学年高二上学期期末调研考试数学试题）在中，为边上一点，. (1)求； (2)求的面积. 【经典例题十五 正弦定理判定三角形解的个数】 【例15】（22-23高三上·北京房山·期中）在中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 1．（22-23高三下·江苏扬州·开学考试）在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知的内角所对的边分别为，则使得有两组解的的值为 ．（写出满足条件的一个整数值即可）． 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）下列三角形是否有解？有解的作出解答，已知. (1)，，； (2)，，； (3)，，. 【经典例题十六 正弦定理求外接圆半径】 【例16】（24-25高三上·甘肃·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．6 D．12 1．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．8 D． 2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）布罗卡尔点（Brocard’s point）是三角形几何中的一个特殊点.罗卡尔点的发现可以追溯到1816年.由德国数学家克雷尔（A．L.Crelle）首次发现，但当时并未受到广泛关注.直到1875年，法国军官布罗卡尔重新发现了这个点，并用自己的名字命名，从而引起了数学界的广泛关注.它的定义是：若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点.若设，则称为布罗卡尔角.已知中，，，若P为的布罗卡尔点，并记、、的外接圆面积分别为、、，则 . 3．（24-25高三上·吉林·期末）在中，角，，的对边分别为a，b，c，已知. (1)求的值； (2)若点在边上，且，，，求的外接圆面积. 【经典例题十七 正弦定理边角互化的应用】 【例17】（2025·江西·一模）的内角的对边分别为.已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在中，内角A，，的对边分别为，，，已知，则（   ） A．4049 B．4048 C．4047 D．4046 2．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，则 . 3．（2025·河南郑州·模拟预测）已知在△ABC中，. (1)求A； (2)证明：. 【经典例题十八 三角形面积公式及其应用】 【例18】（24-25高三上·吉林长春·期末）在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）克罗狄·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师，托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为:圆的内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两组对边长的乘积之和.已知四边形是圆的内接四边形，且，若，则（1）圆的半径是 ，（2）四边形面积的取值范围是 . 2．（2024·甘肃张掖·一模）在中，内角的对边分别为，记的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（江西省新余市2024-2025学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷）在中，已知角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求三角形ABC的周长. 【经典例题十九 正、余弦定理判定三角形形状】 【例19】（24-25高三上·福建南平·期中）在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 1．（24-25高三上·上海闵行·期中）在中，已知，且，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）在中，若，则此三角形是 三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）． 3．（24-25高一上·河北·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知 (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状并给出证明. 【经典例题二十 证明三角形中的恒等式或不等式】 【例20】（22-23高三上·贵州贵阳·期末）若A，B，C是△ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一下·上海·课后作业）在中，，，，，则下列关系不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南·三模）已知，且，则的最小值为 . 3．（2024·安徽·模拟预测）在中，A，B，C所对的边是a，b，c． (1)请用正弦定理证明：若，则； (2)请用余弦定理证明：若，则． 【经典例题二十一 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 【例21】（2025高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，点分别是半径及扇形弧上的三个动点(不同于三点)，则周长的最小值是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知中，为钝角，内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是 ． 3．（24-25高三上·辽宁·期末）在中，已知. (1)求； (2)若在边上存在点，使为锐角三角形，求的取值范围. 【经典例题二十二 几何图形中的计算】 【例22】（23-24高一下·重庆·期末）某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 1．（2024·安徽·模拟预测）在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）若三角形的两个内角和满足，则称该三角形为“准互余三角形”．在中，，，，点是边上一点，若是准互余三角形，则 ；的面积为 ． 3．（24-25高三上·安徽·期中）如图，在平面四边形中，与的交点为E，平分，，． (1)证明：； (2)若，求． 【经典例题二十三 求三角形面积的最值或范围】 【例23】（23-24高三上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，四边形中，，若，且，则面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24高二上·安徽亳州·期中）在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知角，，若是锐角三角形，则的面积为S的取值范围为 ；若是钝角三角形，则边a的取值范围为 . 3．（2024·重庆·模拟预测）已知的内角 所对应的边分别为，若. (1)求； (2)求面积的最大值. 【经典例题二十四 正余弦定理与三角函数性质的结合应用】 【例24】（23-24高三上·山东德州·阶段练习）已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一下·福建宁德·阶段练习）已知在中，角，，所对的边分别为，，，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西·模拟预测）钝角中，角的对边分别为，，，若，则的最大值是 . 3．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 【经典例题二十五 距离测量问题】 【例25】（2024高二上·江苏·学业考试）已知甲船位于灯塔A的北偏东方向，且与A相距3的处.乙船位于灯塔的北偏西方向上的处.若两船相距，则乙船与灯塔A之间的距离（单位：）为（    ） A．1 B． C．2 D． 1．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（    ） A．60 B． C．30 D． 2．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 m．（，结果精确到0.1） 3．（24-25高一下·全国·单元测试）已知海岛四周海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在处望见岛在北偏东，航行海里后，在处望见岛在北偏东，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险?（提示：） 【经典例题二十六 高度测量问题】 【例26】（2025高三·全国·专题练习）雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山之上，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点共面），在点C处测得点A，B的仰角分别为，，在点D处测得点A的仰角为，且测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，为测量某大厦的高度，小明选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点与在同一水平面上，他测得米，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则该大厦的高度 米． 3．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）如图所示，在路边安装路灯，路宽23米，灯杆AB长2.5米，且与灯柱OB成角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆垂直．当灯柱高约为多少米时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交?，精确到0.01m）.    【经典例题二十七 角度测量问题】 【例27】（24-25高二上·广西·期中）一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为（   ） A．18海里 B．16海里 C．14海里 D．12海里 1．（24-25高三上·天津北辰·期中）在某测量中，设点在点的南偏东，则点在点的（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．北偏西 D．南偏西 2．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）如图，测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为 米． 3．（2024高一·全国·专题练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 【经典例题二十八 正、余弦定理的其他应用】 【例28】（23-24高一下·江苏南京·期末）在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （    ） A．2 B．4.5 C．9.5 D．10 1．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 . 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲船在B岛的正南A处，，甲船以4的速度向正北航行驶向B岛，同时乙船从B岛出发以6的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是多少？ 1．（23-24高一下·湖北·期末）在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知非零向量与满足且，则为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 3．（22-23高一·全国·课后作业）共点力，作用在物体M上，产生位移，则共点力对物体做的功为（    ）． A． B．lg5 C．1 D．2 4．（22-23高一下·陕西咸阳·阶段练习）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则F对冰球所做的功为（    ）    A． B．18 C． D．12 5．（2024·湖北黄冈·一模）已知的内角所对的边分别为，，下面可使得有两组解的的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 7．（23-24高一下·上海·期中）作用于同一点的三个力平衡，已知，且与之间的夹角是，则的大小是 ． 8．（2024·山西·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，且，则 . 9．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为 . 10．（22-23高一下·江苏扬州·期中）如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高 m． 11．（22-23高一下·辽宁抚顺·期中）如图，AB为半圆O的直径，，C，D为（不含端点）上两个不同的动点.    (1)若C是上更靠近点B的三等分点，D是上更靠近点A的三等分点，用向量方法证明：且. (2)若与共线，求面积的最大值. 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，一艘船从A点出发，船头偏向上游，在水流的作用下，以实际5千米/时的速度向垂直于对岸的方向行驶，江水的速度为向东2千米/时，求该船的速度大小及航向．（方向用与江水速度间的夹角表示，精确到0.1度） 13．（23-24高一下·福建莆田·期末）设的内角所对的边分别为． (1)证明：； (2)若，，，求． 14．（23-24高二下·湖南郴州·期末）在锐角中，内角所对的边分别为，，且满足. (1)证明：； (2)求的取值范围. 15．（23-24高一下·山东青岛·期中）如图，游客从崂山的景点处至处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘景区观光车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处到处，甲沿匀速步行，乙从乘观光车到，再从匀速步行到．假设山路长为1890米，经测量，，． (1)求观光车路线的长； (2)若甲的速度为，观光车匀速直线运行的速度为．在甲出发2分钟后，乙乘上观光车出发，问：乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平面向量的应用重难点题型专训（28大题型+15道提优训练） 题型一 用向量证明线段垂直 题型二 用向量解决夹角问场 题型三 用向量解决线段的长度问题 题型四 向量与几何最值 题型五 向量在几何中的其他应用 题型六 解析法在向量中的应用 题型七 力的合成 题型八 速度、位移的合成 题型九 功、动量的计算 题型十 余弦定理及辨析 题型十一 余弦定理解三角形 题型十二 余弦定理边角互化的应用 题型十三 正弦定理及辨析 题型十四 正弦定理解三角形 题型十五 正弦定理判定三角形解的个数 题型十六 正弦定理求外接圆半径 题型十七 正弦定理边角互化的应用 题型十八 三角形面积公式及其应用 题型十九 正、余弦定理判定三角形形状 题型二十 证明三角形中的恒等式或不等式 题型二十一 求三角形中的边长或周长的最值或范围 题型二十二 几何图形中的计算 题型二十三 求三角形面积的最值或范围 题型二十四 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 题型二十五 距离测量问题 题型二十六 高度测量问题 题型二十七 角度测量问题 题型二十八 正、余弦定理的其他应用 知识点1余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 (2)对余弦定理的理解 ①余弦定理对任意的三角形都成立. ②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量. ③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦 定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. ④余弦定理的另一种常见变式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC. 知识点2正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可得 正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 知识点3 解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； ③已知三边，求三角形的三个角. (3)正弦定理在解三角形中的应用 公式==反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 知识点4对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 【经典例题一 用向量证明线段垂直】 【例1】（22-23高一下·江苏无锡·期中）在中，，，为的重心，若，则外接圆的半径为(    ) A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的分配率结合可得，即AG⊥CB，结合G为△ABC重心可得△ABC为等腰三角形，再根据几何关系即可求△ABC外接圆半径． 【详解】延长AG交BC于D，∵G是△ABC重心，∴AD为△ABC中线． ， 即AD⊥BC，故△ABC是等腰三角形，且， 则△ABC外接圆圆心在AD上，设为O，则OA=OC， ∵∠OAC=，∴△OAC是等边三角形，∴OA=OC=AC=AB=1，即△ABC外接圆半径为1． 故选：B． 1．（23-24高一下·山西运城·期中）在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（    ） A． B． C．13 D．26 【答案】C 【分析】根据判断AC与BD关系，根据对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半即可求解. 【详解】∵，∴AC⊥BD， 所以四边形ABCD面积为：. 故选：C. 2．（23-24高二上·山东泰安·开学考试）在四边形中，，则四边形的形状是 . 【答案】矩形 【分析】根据向量数量积可得垂直，根据向量相等可证平行. 【详解】由可知,进而， 由可得且，所以四边形为矩形， 故答案为：矩形 3．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 【经典例题二 用向量解决夹角问场】 【例2】（22-23高一下·全国·单元测试）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据向量的运算与模长关系可得，从而确定向量与的夹角为的夹角，即可得答案. 【详解】由题意作图如下，设，    故向量， 因为，所以，则四边形ABCD为矩形，则 又因为，所以，则， 故向量与的夹角为的夹角，故为. 故选：C. 1．（22-23高一下·江苏扬州·期中）如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（　　）米时，看A、的视角最大. A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的方法即可求得看A、的视角最大时该人离此树距离. 【详解】如图建立平面直角坐标系，则，设， 则， 则 又，且余弦函数在单调递减， 则当，即时最大. 即该人离此树6米时，看A、的视角最大. 故选：C 2．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 【答案】/ 【分析】根据正三角形的性质，建立平面直角坐标系，根据向量的共线定理的坐标运算求解点坐标，再根据向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以，则， 则，又， 所以. 故答案为：. 3．（22-23高一下·湖南常德·阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．   的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 【经典例题三 用向量解决线段的长度问题】 【例3】（24-25高三上·海南海口·期末）已知是平行四边形所在平面内一点，且，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当为中点时，可判断A；由，可判断B；计算可得判断C；计算可得可判断D. 【详解】当为中点时，，所以，故A错误； 因为，又，所以，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，是边的中点，过点作于点，延长交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，依题意可得，根据数量积的运算律求出，从而得到. 【详解】方法一：设，∵，∴， 又是边的中点，所以， ∴，∴， ∴， ∵，，所以，且， ∴，，， 代入得，解得， ∴，∴. 方法二：因为，，所以为等腰直角三角形， 又因为，为中线，所以，， 所以. 因为，所以， 所以，即， 所以. 过点作交于点，所以， 因为，设，则， 所以，解得，∴.    故选：C 2．（23-24高一下·全国·课前预习）通过 ，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． 【答案】向量运算 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值，以及y取得最大值时x的值． 【答案】当时，函数取得最大值为． 【分析】对函数变形后，将问题转化为求两个向量模的差的最大值问题，然后利用向量模的性质求解即可. 【详解】， 可设向量，，则， 所以，当且仅当与同向时，等号成立． 由，解得． 因此，当时，函数取得最大值为． 【经典例题四 向量与几何最值】 【例4】（2024高三·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据，结合正六边形的性质求解的范围即可. 【详解】如图所示，由正六边形的几何性质可知，，，，，，均是边长为4的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值4， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以． 所以， 即的最小值为8． 故选：D 1．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以三角形ABC边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形ABC边长为60，点D，E分别为线段AB，AC的中点，点P为圆弧上的一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取三角形ABC的重心和DE中点，由平面向量线性运算化简所求向量，再又三点共线的逆定理得到点在平面的位置，用勾股定理求出线段CH长，从而求得所求向量的最小值. 【详解】取DE中点F，三角形的重心G， ∵，， 则， 设，则可得，设BC中点为M， 则， ，， 在扇形中，当三点共线时，最小，所以的最小值为， 的最小值为. 故选：B 2．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知点M是边长为2的正方形内部（包括边界）的一动点，点P是边的中点，则的最大值是 ；的最小值是 . 【答案】 【分析】第一空利用向量形式的三角不等式即可求解；第二空将转化为，再利用极化恒等式即可求解. 【详解】解：，当点与点重合时等号成立； 如图所示，取中点，连接，取的中点为，连接， 则． 又因为点为正方形内部（包括边界）一动点， 所以， 当点与点重合时，取得最小值． 故答案为，． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）试用作图法验证下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）共线时，原不等式显然成立；不共线时，可作，，得出，然后根据三角形的边的关系可得出，最后得出原不等式成立； （2）共线时，原不等式显然成立；不共线时，可作，得出，然后根据三角形的边的关系得出原不等式成立． 【详解】（1）同向时，显然，； 反向时，显然，； 不共线时，作，，则，如下图所示：    由图看出， 综上得，； （2）同向时，显然，； 反向时，显然，； 不共线时，作，则，如下图所示：    由图看出，， 综上得，． 【经典例题五 向量在几何中的其他应用】 【例5】（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】由，可得，即可判断的形状. 【详解】因为，即，即， 所以，所以是等腰三角形. 故选：A. 1．（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A. 2．（24-25高三上·天津河北·期中）已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 . 【答案】 【分析】根据重心和外心性质，通过转化法利用数量积可得，再由三角形法则计算可求出的长为. 【详解】延长交于点，连接，作于点，则分别为的中点，如下图所示： 易知， 同理可得， 由重心性质可知； 所以； 又，即，可得； 所以，可得； 因此，即. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于要充分利用重心和外心的性质，将数量积通过转化得出三角形边长之间的关系，再由即可得出结果. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知点分别是三角形的外心、重心和垂心．求证：、、三点共线．（此直线称为欧拉线） 【答案】证明见解析 【分析】法一：作的外接圆，连接，并延长交外接圆于点，作中线，连接，设交于点，根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质可得为的重心，即与重合，即可证明；法二：由平面向量线性运算及三角形重心的性质证明即可． 【详解】方法一： 证明：作的外接圆，连接，并延长交外接圆于点，作中线，连接，设交于点，如图所示， 因为为直径， 所以，则， 又因为点为的垂心， 所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为是中点，是中点， 所以，， 所以，， 所以，则， 又为的中线， 所以点是的重心，即点和点重合， 所以、、三点共线． 方法二： 由法一得，四边形为平行四边形， 所以， 所以， 因为点为的重心， 所以， 所以，即， 由，，得， 所以、、三点共线． 【经典例题六 解析法在向量中的应用】 【例6】（23-24高一下·重庆·期中）在边长为2的正方形中，是的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示及数量积的坐标运算计算即可. 【详解】 如图所示建立平面直角坐标系，设，显然， 所以， 由二次函数的单调性知. 故选：A 1．（23-24高一下·辽宁·期中）扇形的半径为1，，点在弧上运动，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D．-1 【答案】A 【分析】利用三角函数的定义可得，即可根据向量的坐标运算，结合三角恒等变换可得，即可利用三角函数的性质求解. 【详解】以为原点，以所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系， 设，则，其中，，， 故，,， ， ，，， ， 的取值范围为,，故的最小值为； 故选：A． 2．（2023·山东德州·模拟预测）在中，，若是所在平面上的一点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解. 【详解】由题设，可建立如图所示平面直角坐标系： 则，，，即为腰长为1的等腰直角三角形， 设，则，，， 则， 所以， 当，时，取得最小值. 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知均为正数，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】建立平面直角坐标系，将正数看成位于直线上的点的横纵坐标，得到的坐标，所以解转化为两点间的距离的平方，当时，两点间的距离最小，然后由向量的数量积为零求解最小值证明即可. 【详解】证明：如图，取，， 将正数看成位于线段AB上的点的横纵坐标， 故，所以，设， 所以转化为两点间的距离的平方， 当时，两点间的距离最小， 所以，，， 所以，即，，所以， 所以，时，. 【经典例题七 力的合成】 【例7】（2024高二上·黑龙江·学业考试）在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出即可得解. 【详解】由，，得，而，解得， 所以. 故选：A 1．（23-24高一下·河北保定·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 【答案】C 【分析】根据平衡状态得，结合向量的数量积求解即可． 【详解】由题意得，， 所以， 故选：C． 2．（22-23高二上·陕西宝鸡·期中）已知是作用于同一质点的两个力，N，N，和的夹角为，则合力的大小是 N. 【答案】 【分析】根据条件及进行数量积的运算即可求出答案. 【详解】根据，所以， 则 . 故答案为：. 3．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？    【答案】答案见解析 【详解】该木块受到重力的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力的作用沿斜面下滑； 二是木块产生垂直于斜面的压力， 也就是说，重力的效果等价于力和的合力的效果，即. 【经典例题八 速度、位移的合成】 【例8】（23-24高一下·北京石景山·期中）红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的（    ） A．曲线 B．直线 C．曲线 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题意，结合合速度的方向与合加速度的方向不在一条直线上，物体做曲线运动，进而得到答案. 【详解】当红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时， 合速度的方向与合加速度的方向，不在一条直线上，物体做曲线运动， 因为玻璃管水平向右做匀加速直线运动，所以红蜡块在竖直方向运动相同的距离时，向右的运动的距离越来越大， 所以运动轨迹为曲线. 故选：A. 1．（23-24高一下·浙江台州·期末）一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸，利用勾股定理求出合速度，从而可求出航行时间. 【详解】设一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，设船的速度，水流速度， 要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸， 如图指：， 所以. 故选：A. 2．（2024高一下·全国·专题练习）某人从点向正东方向走30 m到达点，再向正北方向走 m到达点，则此人的位移的大小是 m，方向是北偏东 ． 【答案】 60 【分析】通过向量的加法运算，然后计算模长可得. 【详解】如图所示， 此人的位移是，且， 所以(m)， 又，0°180°，所以， 所以的方向为北偏东． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）一条河的两岸平行，河宽.一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处.航行的速度，水流的速度，水流方向向正东方向，求行驶航程最短时，所用的时间是多少.（结果精确到0.1min） 【答案】所用的时间是3.1min 【分析】作出示意图，设该船航行时的速度为，水流的速度为，合速度为，由题意可得，进而求得航程最短时，所需时间. 【详解】若行驶航程最短，则航行方向与河岸垂直，如图所示， 设该船航行时的速度为，水流的速度为，合速度为， 已知，，    则， 所以. 所以行驶航程最短时，所用的时间是3.1min. 【经典例题九 功、动量的计算】 【例9】（23-24高一下·河北石家庄·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B． C．1 D．41 【答案】A 【分析】根据功，即可求得物体所做的功. 【详解】由题意可知，，， 所以对该物体所做的功为． 故选：A． 1．（23-24高一下·河北邢台·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（   ） A．－41 B．－1 C．1 D．41 【答案】A 【分析】根据功，即可求得物体所做的功. 【详解】由题意可知，， 所以对该物体所做的功为-41． 故选：A． 2．（24-25高一下·全国·期中）两个力，作用于同一个质点，使该质点从点移到点，则这两个力的合力对质点所做的功为 ． 【答案】－5 【分析】根据题意，先求其合力和位移，再根据功的计算公式计算即可. 【详解】两个力，作用于同一个质点， 其合力大小为， 从点移到点，其位移， 则这两个力的合力对质点所做的功为． 故答案为：. 3．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，一辆小车在拉力的作用下产生了位移，由上节知识可知，拉力所做的功.对应图中的哪个量？拉力所做的功还可以如何描述？    【答案】，拉力所做的功等于拉力在位移方向上的分量与的乘积. 【分析】略 【详解】由题意可知， 拉力所做的功等于拉力在位移方向上的分量与的乘积. 【经典例题十 余弦定理及辨析】 【例10】（2022高三上·河南·专题练习）已知的内角，，的对边分别为a，b，c，且，若，则角不可能（    ） A．为直角 B．为锐角 C．为钝角 D．在之间 【答案】C 【分析】选项A，当时，角为直角，从而判断出选项A的正误；选项B和C，当，根据条件可得，再利用余弦定理可得为锐角，从而可判断出选项B和C的正误；选项D，根据条件可得，，再利用三角形的性质，可得，从而得出选项D的正误. 【详解】当时，由，得到角为直角，故选A错误； 当时，由，且，得到，所以， 故，得到，所以， 即为锐角，不可能为钝角，故选项B错误，选项C正确， 又由，得，，故，即，故选项D错误， 故选：C. 1．（23-24高一下·山东济南·阶段练习）设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】根据余弦定理可知，. 故选：B 2．（24-25高一下·全国·课前预习）余弦定理：（1）文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的 减去这两边与它们夹角的 ；（2）符号语言：在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 ； ； . 【答案】 平方和 余弦的积的两倍 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一上·上海·课前预习）余弦定理何时成立？它揭示了怎样的关系？它的主要作用是什么？ 【答案】答案见解析 【分析】略 【详解】余弦定理对任意的三角形都成立.注意其结构特征：“平方”“夹角”“余弦”.它揭示了三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.其主要功能是实现三角形中边角关系的转化. 【经典例题十一 余弦定理解三角形】 【例11】（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）在中，若，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】结合完全和平方公式，利用余弦定理即可求解. 【详解】因为在中，， 所以由余弦定理可得： ，所以. 故选：B 1．（2025高三·全国·专题练习）在中，，则边上的中线长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用余弦定理求的长度，再利用中线长定理求解即可. 【详解】由余弦定理可得， 由中线长定理知边上的中线长为， 故选：B 2．（24-25高二上·北京·期末）在中，，，则的一个取值可以为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】先由题设得，且，再结合余弦定理求出的取值范围即可得解. 【详解】因为，， 所以，所以，且， 所以，且， 所以. 故答案为：（答案不唯一）. 3．（24-25高三上·新疆·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求； (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理和得到，结合，得到； （2）由余弦定理得到方程组，结合，得到，求出答案. 【详解】（1），由余弦定理得， 故，将其代入中得，， 故； （2），故，， 因为，所以①， 由余弦定理得，又， 所以， ，由余弦定理得， 故②， 联立①②得③， 又，故，将其代入中得 ④， 联立③④得， 解得，解得，负值舍去 【经典例题十二 余弦定理边角互化的应用】 【例12】（2024高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据二倍角公式可得，即可利用余弦定理化简得求解. 【详解】在中，由已知得，所以， 根据余弦定理，得 所以，即， 因此是直角三角形. 故选：B. 1．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及余弦边角关系可得，进而有，即可求目标函数值. 【详解】由题设，易知，又，则， 所以. 故选：C 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若边上的高为4，则的面积为 . 【答案】12 【分析】设边上的高为，由射影定理可得，结合三角形面积公式即可得解. 【详解】 设边上的高为，则， 由题意， 故则的面积为. 故答案为：12. 3．（24-25高三上·山东烟台·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用给定条件结合余弦定理求解角度即可. （2）利用正弦定理边化角，再结合三角形周长公式将目标式用三角函数表示，利用三角函数的性质求解取值范围即可. 【详解】（1）在锐角中，因为， 所以由正弦定理得，故， 得到，化为， 故得，化简得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. （2）因为，由正弦定理得， 所以，且设周长为， 所以， ， ， 因为在锐角中，所以， 所以，解得， 综上可得，所以， 故，则， 得到，即， 故周长的取值范围为. 【经典例题十三 正弦定理及辨析】 【例13】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得，对比选项可知只有B正确． 故选：B． 1．（24-25高一下·全国·课前预习）扩充的正弦定理：设的边长分别为a，b，c，外接圆的半径为，则 ，这个结果称为扩充的正弦定理．该式表明三角形各边与它所对角的 的比值为一个常数，这个常数等于该三角形外接圆的 ． 【答案】 2R 正弦 直径 【分析】略. 【详解】略. 2．（2024·湖北黄石·三模）若的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据正弦定理和比例的性质可得，可得结果. 【详解】在中，，所以，所以， 由正弦定理以及比例的性质可得：. 故选：B 3．（24-25高一下·全国·课前预习）在中，，在锐角三角形或钝角三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？ 【答案】成立，证明见解析 【分析】略 【详解】成立，理由如下： 若是锐角三角形，如图，设CD为AB边上的高，易知.    方法一，故． 同理可证，故； 方法二，由于的面积不变， 故有. 因此，即. 同理可证，即. 若为钝角三角形，若为钝角， 设CD为AB边上的高，    做边上的高交的延长线于点， 所以， 做边上的高交的延长线于点， 所以， 所以， 可得， 且， 所以， 即. 【经典例题十四 正弦定理解三角形】 【例14】（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，若，，，则角的大小为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用正弦定理求得，由此求得角的大小. 【详解】由正弦定理得，即， 又因为，则， 所以或. 故选：D 1．（2024高二上·河南安阳·学业考试）在中，若，则B为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】利用正弦定理求角的大小. 【详解】由，又且， 所以或. 故选：B 2．（24-25高二上·上海·期末）的内角，，的对边分别为，，，，，， 则等于 . 【答案】 【分析】利用正弦定理可得边长. 【详解】在中， 由正弦定理， 即，解得， 故答案为：. 3．（江苏省连云港市2024-2025学年高二上学期期末调研考试数学试题）在中，为边上一点，. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1)7； (2). 【分析】（1）法一：应用正余弦定理求边长；法二：过点作的垂线，垂足为，根据已知求边长； （2）应用三角形面积公式求面积. 【详解】（1）法一：在中，由正弦定理得， 则， 在中，由余弦定理得 ； 法二：过点作的垂线，垂足为， 在中，则， 在中，则， 所以 在中，. （2）由（1）可得，. 【经典例题十五 正弦定理判定三角形解的个数】 【例15】（22-23高三上·北京房山·期中）在中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用正弦定理先求B，再根据三角形内角和计算即可. 【详解】利用正弦定理可知，解之得， 因为，所以，则， 或，则. 根据大边对大角，以上两种情况都符合题意. 故选：C 1．（22-23高三下·江苏扬州·开学考试）在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】由条件利用正弦定理以及大边对大角，逐项判断解的个数即可得解． 【详解】对于A，若，，，由正弦定理可得，得， 得，再根据，可得，得可能是锐角也可能是钝角， 即角有个值，故有两解； 对于B，若，，，由正弦定理可得，得， 得，再根据，可得，只能是锐角，故有一个解； 对于C，若，，， 由正弦定理可得，得，得， 再根据，则只能是锐角，故有一解； 对于D，若，，， 则由正弦定理可得，得，求得，故无解，得不存在. 故选：A． 2．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知的内角所对的边分别为，则使得有两组解的的值为 ．（写出满足条件的一个整数值即可）． 【答案】 【分析】先根据正弦定理表示出，再根据三角形有两组解的条件确定的取值范围，从而得出满足条件的的整数值. 【详解】由正弦定理，已知，， 可得. 因为，，要使有两组解，则有两个值. 要使有两个值，则且，即. 所以满足条件的一个整数值. 故答案为： 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）下列三角形是否有解？有解的作出解答，已知. (1)，，； (2)，，； (3)，，. 【答案】(1)无解 (2)一解，答案见解析 (3)两解，答案见解析 【分析】（1）由已知，可得，又，所以三角形无解； （2）由已知，可得，又，所以三角形只有一解，由正弦定理可求得，进而求得，再由正弦定理可求得； （3）由已知，可得，所以三角形有两解，由正弦定理，可得或，再利用三角形内角和为和正弦定理，分情况求出和即可. 【详解】（1）由，，可得，所以， 又由，所以这样的三角形无解. （2）由，，可得，所以， 又由，所以这样的三角形只有一解， 由正弦定理，可得， 所以，所以， 所以. （3）由，，可得， 又由，且，所以， 所以这样的三角形有两解； 由正弦定理，可得， 所以或， 当时，，， 当时，，， 所以，，或，，. 【经典例题十六 正弦定理求外接圆半径】 【例16】（24-25高三上·甘肃·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【分析】根据正弦定理（为的外接圆半径）求解即可. 【详解】设外接圆的半径为， 则，即. 故选：A . 1．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】由正弦定理可得外接圆直径，进而求得半径. 【详解】解：由正弦定理可知：， 为外接圆的半径，所以. 故选：A 2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）布罗卡尔点（Brocard’s point）是三角形几何中的一个特殊点.罗卡尔点的发现可以追溯到1816年.由德国数学家克雷尔（A．L.Crelle）首次发现，但当时并未受到广泛关注.直到1875年，法国军官布罗卡尔重新发现了这个点，并用自己的名字命名，从而引起了数学界的广泛关注.它的定义是：若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点.若设，则称为布罗卡尔角.已知中，，，若P为的布罗卡尔点，并记、、的外接圆面积分别为、、，则 . 【答案】 【分析】利用正弦定理可得的外接圆半径，根据题意分析可知，，进而可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：的外接圆半径， 设、、的外接圆半径分别为、、， 在中，则， 可得， 则， 同理可得， 可得 ， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高三上·吉林·期末）在中，角，，的对边分别为a，b，c，已知. (1)求的值； (2)若点在边上，且，，，求的外接圆面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和正弦公式即可求得，代入计算即可； （2）首先在和中，运用两次余弦定理，得，，结合同角三角函数的平方关系、正弦定理和圆的面积公式即可得解 【详解】（1）因为，由正弦定理知， 所以， 得， 即，因为， 所以，所以. （2）由（1）可得，，得， 在中，， 在中，， 所以，所以， 所以，因为，所以， 又，所以的外接圆半径为， 所以的外接圆面积为. 【经典例题十七 正弦定理边角互化的应用】 【例17】（2025·江西·一模）的内角的对边分别为.已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理，得， 所以， 又，所以，所以. 故选：A. 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在中，内角A，，的对边分别为，，，已知，则（   ） A．4049 B．4048 C．4047 D．4046 【答案】A 【分析】根据同角的三角函数关系结合两角和的正弦公式化简可得，利用正余弦定理角化边可得，即可得答案. 【详解】在中，，可得， 即，故， 即，所以， 所以，即，所以 故. 故选：A. 2．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，则 . 【答案】4 【分析】利用正弦定理，边角互化即可求解. 【详解】由正弦定理得， 则， 故答案为：4 3．（2025·河南郑州·模拟预测）已知在△ABC中，. (1)求A； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据两角和与差的正弦公式，将题中所给条件化为，再根据角是三角形内角，即可求出结果； （2）根据正弦定理，以及（1）的结果，要证，即证，不妨设（其中），将不等式左侧化简整理，即可证明结论成立. 【详解】（1）由题意，， 即， 化简得， 即，故或， 又，解得或（舍去），故． （2）要证，即证，即证， 由（1），，所以，即证． 不妨设（其中）， 则 显然恒成立． 故，命题得证． 【经典例题十八 三角形面积公式及其应用】 【例18】（24-25高三上·吉林长春·期末）在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，可求，可求的面积. 【详解】因为在中，，又为边上一点，且， 所以， 又， 所以， 所以，解得， 所以. 故选:D. 1．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）克罗狄·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师，托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为:圆的内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两组对边长的乘积之和.已知四边形是圆的内接四边形，且，若，则（1）圆的半径是 ，（2）四边形面积的取值范围是 . 【答案】 2 【分析】根据题意可得，利用正弦定理可得，即可得，即可得外接圆半径；分析可知，，取临界状态，分析可知点A在劣弧或上，且与的夹角，进而可求面积. 【详解】由托勒密定理，得． 因为，所以． 设圆的半径为，由正弦定理，得． 又，所以． 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，则，故． 因为，可知点到直线的距离， 可知直线为以为圆心，半径为1的圆的切线， 在中，可知，结合圆的性质可知点在优弧上， 取，则；取，则； 取，则；取，则； 可知点A在劣弧或上，且与的夹角， 所以四边形面积. 故答案为：2；. 2．（2024·甘肃张掖·一模）在中，内角的对边分别为，记的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式将原条件转化化简为，再利用二倍角即可求得角A. 【详解】因为，所以．结合余弦定理，得，所以．所以，解得．因为，所以，所以． 故选：B. 3．（江西省新余市2024-2025学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷）在中，已知角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求三角形ABC的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由余弦边角关系及已知可得，再应用余弦定理即可求角的大小； （2）由三角形面积公式，应用等面积法列方程得，结合（1）的结论，并应用余弦定理求边长，进而确定三角形的周长. 【详解】（1）由题设及余弦定理知，整理得， 所以，，则； （2）由题意及（1）知：，则， 由，即， 所以（负值舍），故，而， 所以三角形ABC的周长为. 【经典例题十九 正、余弦定理判定三角形形状】 【例19】（24-25高三上·福建南平·期中）在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】由向量，共线可得，利用正弦定理结合倍角公式分析可得，同理可得，即可判断结果. 【详解】因为向量，共线， 则，由正弦定理可得：， 则， 因为，则，可知，，，均不为， 可得，则，即； 同理由向量，共线可得：； 综上所述：. 所以的形状为等边三角形. 故选：A 1．（24-25高三上·上海闵行·期中）在中，已知，且，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由余弦定理，正弦定理，同角的三角函数关系化简即可； 【详解】由可得， 又，所以， 由和正弦定理可得，即， 所以，所以，所以的形状为等边三角形， 故选：D. 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）在中，若，则此三角形是 三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）． 【答案】直角 【分析】利用对数的运算性质得到，进而得到，再对其进行变形，然后利用正弦定理即可. 【详解】因为， 所以， 因为在定义域内单调递增， 所以 即, 所以， 即， 所以为直角三角形. 故答案为：直角. 3．（24-25高一上·河北·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知 (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状并给出证明. 【答案】(1) (2)为等边三角形，证明见解析 【分析】（1）由余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）解法一：利用正弦定理得出，推导出，求出的值，结合角的值，可得出结论； 解法二：利用正弦定理和余弦定理可得出，化简该等式，结合角的值，可得出结论. 【详解】（1）由，可得， 因为，所以. （2）解法一：为等边三角形，证明如下： 由三角形内角和定理得，， 故，由已知条件，可得， 整理得，所以， 因为、，则，所以， 又由（1）知，所以为等边三角形； 解法二：为等边三角形，证明如下： 因为，由正弦定理和余弦定理，得， 整理得，即. 又由（1）知，所以为等边三角形. 【经典例题二十 证明三角形中的恒等式或不等式】 【例20】（22-23高三上·贵州贵阳·期末）若A，B，C是△ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理、三角形内角及余弦函数性质判断A、B；特殊值即可判断C、D. 【详解】由，则，而，则，A错； 由，结合余弦函数性质知：，B对； 对于，则，，C、D错； 故选：B 1．（22-23高一下·上海·课后作业）在中，，，，，则下列关系不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义对各个选项进行变形，判断即可． 【详解】解：对于A，，则，故A成立； 对于B，因为，所以，故B成立； 对于C，，则，故C成立； 对于D，，则，故D不成立. 故选：D. 2．（2024·河南·三模）已知，且，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】在等边三角形中，令，利用三角形的面积，即可求解. 【详解】，注意到， 如图：设等边三角形的边长为1，分别为上的点，设，且， 故, 即， 故，即，所以， 故答案为：1 3．（2024·安徽·模拟预测）在中，A，B，C所对的边是a，b，c． (1)请用正弦定理证明：若，则； (2)请用余弦定理证明：若，则． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据正弦定理结合已知条件得出，对角的范围进行分类讨论，再利用正弦函数的单调性即可得出结果； （2）根据余弦函数在上单调递减，得，利用余弦定理转化为边的关系即可得出结果. 【详解】（1）由正弦定理知，，若，则，即． （ⅰ）若A，，则由在单调递增，得． （ⅱ）若，，则，此时， 由在单调递增，得，显然不成立，舍去． （ⅲ）若，，必有成立. 综上，在中，若，则. （2）由在上单调递减，若，则， 由余弦定理得，，则， 所以， 即， 即， 而，，所以． 所以在中，若，则. 【经典例题二十一 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 【例21】（2025高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理角化边得到，结合基本不等式得到，再由中线长公式求解. 【详解】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C 1．（24-25高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，点分别是半径及扇形弧上的三个动点(不同于三点)，则周长的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对称性将边,边转移,再根据三角形三边在一直线上时周长最小的思路即可解. 【详解】作点关于线段，的对称点，且它们在以为圆心，2为半径的圆上， 连接，如图：则，    又， 而 ， ， 故选：B 2．（2024高三·全国·专题练习）已知中，为钝角，内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先利用正弦定理、余弦定理将式子化简，得，结合为钝角，由此确定，化为，换元后化为：，，结合二次函数的单调性即可求解. 【详解】因为，由余弦定理有：， 由正弦定理有：， 所以，因为， 所以，所以或， 当时，，得， 而为钝角，则为钝角，这是不可能的，故不成立； 当时，由为钝角知， 得，， ， 令，原式化为，， 函数的对称轴为，所以函数在单调递增， 当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高三上·辽宁·期末）在中，已知. (1)求； (2)若在边上存在点，使为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知三边求角，利用余弦定理即可求解； （2）利用余弦定理求出，设，利用正弦定理有， 即，利用函数即可求解. 【详解】（1）因为由余弦定理有：， 因为为的内角，所以 （2）因为由余弦定理有： =， 所以 设，由点在边上，且为锐角三角形，所以， 所以. 在中，由， 所以，所以， 所以 由是定义域上的减函数，所以， 所以的范围为. 【经典例题二十二 几何图形中的计算】 【例22】（23-24高一下·重庆·期末）某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据锐角三角函数可得，再在中利用余弦定理得到，再由三角恒等变换公式及三角函数的性质求出，即可得解． 【详解】设，， 则， 在中，， 在中， 所以当时，，， 所以最大值为． 故选：C． 1．（2024·安徽·模拟预测）在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数，结合图形，即可求解. 【详解】如图，边上的高为，，且， 所以，则， 则，， 所以，则. 故选：B 2．（2024高三·全国·专题练习）若三角形的两个内角和满足，则称该三角形为“准互余三角形”．在中，，，，点是边上一点，若是准互余三角形，则 ；的面积为 ． 【答案】 ； 【分析】根据以及准互余的定义可得，进而可判断为的平分线，即可根据三角形相似可得，，即可根据面积公式求解. 【详解】，，，由勾股定理得， 易知，所以，又易知， 所以在准互余三角形中，， 又因为， 所以，所以为的平分线， 如图，过点作的垂线交于点， 则，，， 因为，所以，则， 所以．因为， 所以的面积为．    故答案为：， 3．（24-25高三上·安徽·期中）如图，在平面四边形中，与的交点为E，平分，，． (1)证明：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可得，结合余弦定理证明即可. （2）由、及，可证得四边形是等腰梯形，进而可得，进而可求得，在中，由正弦定理可得，再结合、可得即可. 【详解】（1）如图， 由题意知，则， 由余弦定理得， 即，整理得， 因为，所以． （2）因为，所以， 因为，所以，所以． 又因为，，所以四边形是等腰梯形，所以． 设，则，解得． ． 在中，由正弦定理可得， 又因为，所以． 【经典例题二十三 求三角形面积的最值或范围】 【例23】（23-24高三上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，四边形中，，若，且，则面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】线段上取点E使得，结合已知可得，进而有，设，，再结合相关三角形面积、线段的数量关系得，进而得，即可求最大值. 【详解】线段上取点E使得，又， 则，故， 所以，则， 设，则. 由上易知，且，而， 所以，则， 结合及，且， 由三角形内角性质，所以， 综上，. 故选：C    【点睛】关键点点睛：线段上取点E使得，利用向量加减、数乘整理题设条件为，进而得到相关三角形面积、线段的数量关系，结合及三角形面积公式求最值. 1．（23-24高二上·安徽亳州·期中）在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，从而求出，由重要不等式求出的最大值，最后由面积公式计算可得. 【详解】因为， 由正弦定理可得，即，即， 所以，又，则， 又因为，，即， 所以，当且仅当时取得等号， 所以， 即面积的最大值为，当且仅当时取得. 故选：A． 2．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知角，，若是锐角三角形，则的面积为S的取值范围为 ；若是钝角三角形，则边a的取值范围为 . 【答案】 【分析】若是锐角三角形，先利用正弦定理求出，再表达出锐角三角形的面积，求出的范围，即可求解；若是钝角三角形，分别讨论为钝角及为钝角，结合直角的临界状态计算即可得. 【详解】由正弦定理得，所以， 故， 又因为是锐角三角形，所以，故， 所以，，故， 即的面积为S的取值范围为； 因为是钝角三角形， 若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 综上所述：的取值范围是； 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：当是钝角三角形，关键点在于分为钝角及为钝角，分别找出直角的临界情况求出范围. 3．（2024·重庆·模拟预测）已知的内角 所对应的边分别为，若. (1)求； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，得到，再利用余弦定理，即可求解； （2）由（1）结果，利用基本不等式，得到，再利用面积公式，即可求解. 【详解】（1），得到， 由余弦定理知，， 因为，所以． （2），得到，当且仅当取等， 所以，（当且仅当取等．）故面积的最大值为． 【经典例题二十四 正余弦定理与三角函数性质的结合应用】 【例24】（23-24高三上·山东德州·阶段练习）已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由正弦定理化简得到，求得，设，得到，再结合正弦定理，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为， 由正弦定理得，可得，即， 所以，，则， 设，则，且， 在中，且，则， 在中，由，则， 由，即， 又由正弦定理知（为的外接圆半径）， 所以， 则，即， 又因为，故当，即时，所以. 故选：B.    1．（22-23高一下·福建宁德·阶段练习）已知在中，角，，所对的边分别为，，，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，利用余弦边角关系可得，结合角的范围求目标式的范围. 【详解】由题设， 则，， 所以，而， 所以. 故选：C 2．（2024·山西·模拟预测）钝角中，角的对边分别为，，，若，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据题意，得到，结合是钝角三角形矛盾，得到，化简，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，则或. 当时，可得，与是钝角三角形矛盾，所以， 由，则，可得， 所以 ， 所以当时，的最大值为. 故答案为：. 3．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助向量平行的坐标运算计算并结合三角恒等变换公式化简后即可得； （2）借助正弦定理可得，再利用锐角三角形性质得到的范围即可得. 【详解】（1）由，则有， 即 ， 由为锐角三角形，故、，故， 则有，即，即； （2）由正弦定理可得 ， 由为锐角三角形，故，解得， 故，则，则. 【经典例题二十五 距离测量问题】 【例25】（2024高二上·江苏·学业考试）已知甲船位于灯塔A的北偏东方向，且与A相距3的处.乙船位于灯塔的北偏西方向上的处.若两船相距，则乙船与灯塔A之间的距离（单位：）为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由图结合余弦定理可得答案. 【详解】由图可得，， 则由余弦定理可得： . 故选：C 1．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（    ） A．60 B． C．30 D． 【答案】A 【分析】利用锐角三角函数，得到，，进而利用，即可得到答案. 【详解】由已知得，得到，，所以. 故选：A 2．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 m．（，结果精确到0.1） 【答案】13.8 【分析】分别在两个直角三角形中，利用三角函数求得和,再求和即可. 【详解】根据题意得，在中，，, 在中，,, . 故答案为：13.8 3．（24-25高一下·全国·单元测试）已知海岛四周海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在处望见岛在北偏东，航行海里后，在处望见岛在北偏东，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险?（提示：） 【答案】无触礁风险. 【分析】根据题意作出示意图，利用正弦定理求，并与进行比较即可判断. 【详解】如图所示，在中，（海里）， ，． 由正弦定理得， 所以（海里）． 故到航线的距离为（海里）． 因为，所以货轮无触礁危险． 【经典例题二十六 高度测量问题】 【例26】（2025高三·全国·专题练习）雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山之上，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点共面），在点C处测得点A，B的仰角分别为，，在点D处测得点A的仰角为，且测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长DC与AB的延长线交于点E，根据角的关系得，，设，在中由余弦定理得列式得，从而有，即可求解. 【详解】如图，在中，延长DC与AB的延长线交于点E. 由已知得，， 则，则，， 设，则， 又，则在中，由余弦定理得， 即，解得，所以， 又因为，所以. 故选：C 1．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中条件，先得到，，在中，根据正弦定理可求得，进而在中，可求得. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以，所以， 又，， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以， 在中，因为， 所以. 故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，为测量某大厦的高度，小明选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点与在同一水平面上，他测得米，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则该大厦的高度 米． 【答案】204 【分析】设米，根据余弦定理列方程求解． 【详解】设米，因为在点处测得点的仰角为，所以， 所以米． 因为在点处测得点的仰角为，所以米． 在中，由余弦定理可得， 即，解得． 故答案为：204. 3．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）如图所示，在路边安装路灯，路宽23米，灯杆AB长2.5米，且与灯柱OB成角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆垂直．当灯柱高约为多少米时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交?，精确到0.01m）.    【答案】米． 【分析】如图，作于，作于，在直角和直角中求得即得． 【详解】如图，作于，作于， 由于，，则， ，因此，， 易知，而，， 又，所以， 所以， 所以（米）．      【经典例题二十七 角度测量问题】 【例27】（24-25高二上·广西·期中）一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为（   ） A．18海里 B．16海里 C．14海里 D．12海里 【答案】C 【分析】根据题意作出图示，然后利用余弦定理求解出结果. 【详解】记轮船的初始位置为，灯塔的位置为，半小时后轮船的位置为，如图所示. 依题意得海里，海里，. 在中，由余弦定理得， 所以海里，即行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为海里. 故选：C. 1．（24-25高三上·天津北辰·期中）在某测量中，设点在点的南偏东，则点在点的（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．北偏西 D．南偏西 【答案】A 【分析】根据方向角的概念判断即可 【详解】如下图所示：    因为点在点的南偏东，点在点的北偏西， 故选：A. 2．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）如图，测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为 米． 【答案】 【分析】通过作出两条垂线，利用解直角三角形求出,再利用等角证明等边求出，再利用解直角三角形求出，最后可得高度. 【详解】 过点作,垂足为,过作,垂足为， 在直角中，,可得, 在直角中，,可得：, 在直角中，,可得：, 所以可得：, ,即, 所以,再由, 再由图中三个直角可知四边形是矩形，所以, 即, 故答案为：. 3．（2024高一·全国·专题练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 【答案】(1)159米 (2)米 【分析】（1）分别在和中，利用正切函数表示出，结合图形列方程可求出结果. （2）由图，将表示为，设米，对取正切并化简，结合均值不等式可求得最大值. 【详解】（1）在中，，得， 在中，，得， 因为， 所以， 解得米. （2）由图可知，设米， 则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 根据题意，对于锐角越大，则越大，反之亦然， 显然，可得最大时最大. 答：当为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 【经典例题二十八 正、余弦定理的其他应用】 【例28】（23-24高一下·江苏南京·期末）在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （    ） A．2 B．4.5 C．9.5 D．10 【答案】B 【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理即可求解. 【详解】 如图，当台风中心向西北方向移动到达点时，的距离恰好150km，此时该城市所在地开始受到影响， 设小时后该城市所在地开始受到影响, 台风中心移动速度的大小为20km/h，所以km，由题意知，km, 又台风中心向西北方向移动，所以, 由余弦定理可得， 解得或（舍）， 则开始受到影响在之后. 故选：B. 1．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合物理学知识求解即可. 【详解】如图，由余弦定理，得 ， 于是， 解得或， 所以，台风从O到B用时小时，台风从O到C用时小时. 故，A点受到台风影响的时间是早上8:00后的5小时至10小时之间，即13:00-18:00. 故选：B. 2．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 . 【答案】 【分析】设海警船的航行方向是北偏东，根据条件，利用正弦定理得到，即可求解. 【详解】设海警船的航行方向是北偏东， 由题知，，， 在中，由正弦定理得到，得到， 又，所以，得到， 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲船在B岛的正南A处，，甲船以4的速度向正北航行驶向B岛，同时乙船从B岛出发以6的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是多少？ 【答案】小时 【分析】令经过小时后甲、乙分别在两处，利用余弦定理可得到的表达式，再借助二次函数最小值求解即可. 【详解】如图，令经过小时后甲、乙分别在两处，甲、乙两船距离为s， 则在中，，，， 由余弦定理得， 即. 当时，最小，此时. 即经过小时，甲、乙两船相距最近. 1．（23-24高一下·湖北·期末）在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】使用向量法建立，得到从而得到结果. 【详解】如图，所以， 则，即， 由，所以， 所以，，可得或（舍），故， 所以. 故选：C. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知非零向量与满足且，则为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】根据数量积的定义可得，进而结合得，即可判断. 【详解】在中，设内角的对边长分别为，则由已知有，所以，从而. 而，故. 所以是有一个内角是的等腰三角形，从而一定是等边三角形. 故选：D 3．（22-23高一·全国·课后作业）共点力，作用在物体M上，产生位移，则共点力对物体做的功为（    ）． A． B．lg5 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据题意计算共点力的合力是，结合对物体做的功为计算出结果. 【详解】根据题意得：共点力的合力是， 对物体做的功为. 故选：D． 4．（22-23高一下·陕西咸阳·阶段练习）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则F对冰球所做的功为（    ）    A． B．18 C． D．12 【答案】D 【分析】由平面向量数量积的定义即可得出答案. 【详解】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：D. 5．（2024·湖北黄冈·一模）已知的内角所对的边分别为，，下面可使得有两组解的的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，即可得到答案. 【详解】要使得有两组解，则，又，得到， 故选：D. 6．（2024高三·全国·专题练习）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值； 解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 7．（23-24高一下·上海·期中）作用于同一点的三个力平衡，已知，且与之间的夹角是，则的大小是 ． 【答案】70 【分析】根据题意得到，然后两边平方求解. 【详解】解：由题意得， 所以， 两边同时平方得， 所以， 故答案为：70 8．（2024·山西·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，且，则 . 【答案】 【分析】利用余弦定理即可得解. 【详解】因为在中，， 所以， 则. 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为 . 【答案】等腰或直角三角形 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简推理即得. 【详解】在中，及正弦定理得， 而，则， 于是，则或，而，因此或， 所以为等腰或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 10．（22-23高一下·江苏扬州·期中）如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高 m． 【答案】 【分析】在中求出AC，在中用正弦定理求出AM，再在中求解作答. 【详解】在中，因，则， 在，，则， 由正弦定理可得，即，解得， 在中，，，则． 所以山高为. 故答案为：. 11．（22-23高一下·辽宁抚顺·期中）如图，AB为半圆O的直径，，C，D为（不含端点）上两个不同的动点.    (1)若C是上更靠近点B的三等分点，D是上更靠近点A的三等分点，用向量方法证明：且. (2)若与共线，求面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出、、的坐标，从而有，即可证明； （2）设点的坐标，求出，利用三角形面积公式及正弦函数最值求解即可. 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系.    由题意可知，， 则，，，， 得，， 因为，所以，且. （2）设C在第一象限，，， 则，， 得，的高为， 所以的面积为， 当时，的面积取得最大值，且最大值为. 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，一艘船从A点出发，船头偏向上游，在水流的作用下，以实际5千米/时的速度向垂直于对岸的方向行驶，江水的速度为向东2千米/时，求该船的速度大小及航向．（方向用与江水速度间的夹角表示，精确到0.1度） 【答案】该船的速度为千米/时，航向约为北偏东 【分析】利用勾股定理求出，再求即可. 【详解】如图，在中，，， ∴． ∵， ∴． ∴该船的速度为千米/时，航向约为北偏东． 13．（23-24高一下·福建莆田·期末）设的内角所对的边分别为． (1)证明：； (2)若，，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）直接使用余弦定理即可证明； （2）先得到，然后分情况讨论的取值. 【详解】（1）由余弦定理即得. （2）由已知有，故. 若，则； 若，则，解得或（舍去）. 所以或. 14．（23-24高二下·湖南郴州·期末）在锐角中，内角所对的边分别为，，且满足. (1)证明：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合两角差的正弦公式可证明结论； （2）由（1）结合为锐角三角形可得，又注意到，由函数在上的取值范围可得答案. 【详解】（1）由， 结合正弦定理得： 可得， 所以，所以或（舍去）， 所以； （2）在锐角中，， 即，所以. 由正弦定理结合（1），. 令， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以. 15．（23-24高一下·山东青岛·期中）如图，游客从崂山的景点处至处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘景区观光车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处到处，甲沿匀速步行，乙从乘观光车到，再从匀速步行到．假设山路长为1890米，经测量，，． (1)求观光车路线的长； (2)若甲的速度为，观光车匀速直线运行的速度为．在甲出发2分钟后，乙乘上观光车出发，问：乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由和可得和，从而得，由正弦定理，可得AB； （2）假设乙出发分钟后，通过余弦定理算出此时甲乙之间的距离，结合二次函数即可得最值. 【详解】（1）由题意得：， 所以， 由正弦定理得即， 所以. （2）设乙出发（）后到达点，此时甲到达点，如图所示， 则，， 由余弦定理得： ， 所以当时，最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短. 学科网（北京）股份有限公司 $$