专题01 复数的概念重难点题型专训（16大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一年级数学重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第二册）

专题01 复数的概念重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 虚数单位i及其性质 题型二 复数的基本概念 题型三 求复数的实部与虚部 题型四 根据相等条件求参数 题型五 复数的相等 题型六 复数的分类及辨析 题型七 已知复数的类型求参数 题型八 复数的坐标表示 题型九 在各象限内点对应复数的特征 题型十 实轴、虚轴上点对应的复数 题型十一 判断复数对应的点所在的象限 题型十二 根据复数的坐标写出对应的复数 题型十三 根据复数对应坐标的特点求参数 题型十四 求复数的模 题型十五 由复数模求参数 题型十六 与复数模相关的轨迹(图形)问题 知识点一 数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①=-1，即i是方程+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 知识点二 复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3) 复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 知识点三 复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 知识点四 共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①=z. ②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 知识点五 复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【经典例题一 虚数单位i及其性质】 【例1】（23-24高一下·河南·期中）（    ） A．0 B． C．1 D． 1．（22-23高一下·江苏淮安·期末）若复数满足方程（i是虚数单位），则（    ） A．1 B．i C． D． 2．（2022高二下·福建·学业考试）计算 （为虚数单位） 3．（22-23高一·湖南·课后作业）化简：． 【经典例题二 复数的基本概念】 【例2】（2024高二下·湖北·学业考试）欧拉恒等式（其中为虚数单位，为欧拉常数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式的特例，即当时，，得.根据欧拉公式，表示的复数是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一下·河北邢台·期中）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 2．（2024高三·全国·专题练习）定义：一般地，当a与b都是实数时，称为复数．复数一般用小写字母z表示，即 ，其中a称为z的 ， 称为z的虚部． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）观察下面方程在已知条件下是否有解？如果没有解，我们怎么变换条件使其有解呢？ (1)在自然数集中求方程的解； (2)在整数集中求方程的解； (3)在有理数集中求方程的解； (4)在实数集中求方程的解. 【经典例题三 求复数的实部与虚部】 【例3】（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 1．（2024高二上·贵州·学业考试）已知复数（为虚数单位），则的实部为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高二上·北京延庆·期中）已知复数，则的虚部为 ． 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）分别写出下列各复数的实部与虚部． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 【经典例题四 根据相等条件求参数】 【例4】（2023·全国·模拟预测）已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（22-23高一·全国·课后作业）下列命题中正确的是（    ）． A．； B．； C．若x，，则的充要条件是； D．若，则． 2．（23-24高一下·新疆·期中）已知，则 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数等于，其中、．求x、y的值． 【经典例题五 复数的相等】 【例5】（24-25高三上·北京西城·期末）设为虚数单位，，且，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2024高三·全国·专题练习）复数相等： ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值． 【经典例题六 复数的分类及辨析】 【例6】（22-23高二下·陕西商洛·阶段练习）如图是一个结构图，在框①②中应分别填入（    ） A．分数，无理数 B．分数，虚数 C．无理数，虚数 D．小数，虚数 1．（24-25高一上·上海·课后作业）在复平面上，平行于轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．实数 B．虚数且非纯虚数 C．纯虚数 D．无法确定 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知复数（a、）： （1）当且仅当时，复数是 ； （2）当时，复数叫做 ； （3）当且时，叫做 ； （4）当且仅当时，z就是实数 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）在下列复数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？各数的实部和虚部分别是什么？ 、、、i、0、． 【经典例题七 已知复数的类型求参数】 【例7】（24-25高三上·吉林松原·期末）已知，若复数是纯虚数，则的值为（   ） A． B． C．或1 D．或 1．（2024·上海宝山·一模）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数 . 2．（24-25高三上·湖北·期末）若复数是纯虚数，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 【经典例题八 复数的坐标表示】 【例8】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知复数，则复数在复平面内所对应的点的坐标为（   ） A．（3，1） B． C． D． 1．（24-25高三上·青海·期中）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于虚轴对称，则复数（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）复数的几何意义 复数与复平面内的点 及平面向量是一一对应关系. 3．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知复数在复平面内对应的点分别为是坐标原点，点是复平面内一点，且. (1)若，求与的关系； (2)若不共线，三点共线，求的值. 【经典例题九 在各象限内点对应复数的特征】 【例9】（22-23高二上·湖南岳阳·期末）“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（22-23高二下·内蒙古兴安盟·期中）若复数在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）若（）在复平面内所对应的点在第一象限，则整数 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，其中是实数． (1)若，求的值； (2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围． 【经典例题十 实轴、虚轴上点对应的复数】 【例10】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（    ） A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴 1．（22-23高一下·北京通州·期末）已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（    ） A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）实数可以和数轴上的点 对应，实数可以用数轴上的点表示. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，. (1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？ (2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？ 【经典例题十一 判断复数对应的点所在的象限】 【例11】（2024高二上·江苏·学业考试）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．（2025高三上·广东·学业考试）复数在复平面的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）复数位于复平面上的第 象限 3．（23-24高一·上海·课堂例题）当复数z满足下列条件时，分别指出z在复平面上所对应的点Z的位置： (1)z是正实数； (2)z是负实数； (3)z是实部小于零、虚部大于零的虚数； (4)z是虚部小于零的纯虚数． 【经典例题十二 根据复数的坐标写出对应的复数】 【例12】（23-24高一下·北京顺义·期中）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·宁夏吴忠·阶段练习）在复平面内，复数和表示的点关于虚轴对称，则复数z＝（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）在复平面内，复数，对应的点分别为A，B，若为线段的中点，则点对应的复数是 ． 3．（22-23高一·全国·随堂练习）如图，设每个小方格的边长是1，指出点A，B，C，D，E所表示的复数．    【经典例题十三 根据复数对应坐标的特点求参数】 【例13】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）复数对应的点在虚轴上，则（   ） A．或 B．且 C． D．或 1．（2024·四川成都·模拟预测）在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）复数在复平面上对应的点在虚轴上，则 ， ． 3．（23-24高二上·北京怀柔·期中）已知复数． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 【经典例题十四 求复数的模】 【例14】（24-25高三上·吉林松原·期末）如果复数，那么（    ） A． B．2 C．4 D．8 1．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（江苏省连云港市2024-2025学年高二上学期期末调研考试数学试题）在复平面内，复数的模为 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）若复数满足，求． 【经典例题十五 由复数模求参数】 【例15】（24-25高三上·辽宁·期末）若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 1．（23-24高二下·广东·期中）已知复数的模为，实部为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，且，则实数的取值范围为 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）若复数，复数满足，且是纯虚数，求复数． 【经典例题十六 与复数模相关的轨迹(图形)问题】 【例16】（23-24高二上·北京怀柔·期中）已知复数满足（i是虚数单位），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（山东省潍坊市普通高中2025届高三上学期学科素养能力测评数学试题）设复数，满足，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·吉林·模拟预测）复数满足，则 . 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数与． (1)求及的值； (2)设，满足的点Z的集合是什么图形？ 1．（2024·宁夏银川·一模）已知复数表示纯虚数，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 2．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 3．（24-25高一上·上海·课后作业）下列集合关系表述正确的是（    ）（其中：自然数集，整数集） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·河南开封·阶段练习）若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·云南红河·期末）已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·山东枣庄·期中） ． 7．（24-25高三上·北京丰台·阶段练习）复数的虚部是 . 8．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知复数与在复平面内用向量和表示（其中是虚数单位，O为坐标原点），则与夹角为 ． 9．（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，，对应的点分别为，，且，是坐标原点，则是 ．（填锐角三角形、直角三角形或钝角三角形） 10．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知复数，若，则的取值范围是 ． 11．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，其中、．求x、y的值． 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？ ，，，，，. 13．（23-24高一下·吉林延边·期中）已知是虚数单位，复数，m为实数． (1)当实数m满足什么条件时，为纯虚数 (2)若复数在复平面内对应的点位于实轴负半轴，求复数 14．（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知，复数. (1)若为纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求整数的值. 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）设z为复数，在复平面内满足下列条件的点Z的集合是什么图形？请画出图形. (1)； (2)； (3)； (4). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 复数的概念重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 虚数单位i及其性质 题型二 复数的基本概念 题型三 求复数的实部与虚部 题型四 根据相等条件求参数 题型五 复数的相等 题型六 复数的分类及辨析 题型七 已知复数的类型求参数 题型八 复数的坐标表示 题型九 在各象限内点对应复数的特征 题型十 实轴、虚轴上点对应的复数 题型十一 判断复数对应的点所在的象限 题型十二 根据复数的坐标写出对应的复数 题型十三 根据复数对应坐标的特点求参数 题型十四 求复数的模 题型十五 由复数模求参数 题型十六 与复数模相关的轨迹(图形)问题 知识点一 数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①=-1，即i是方程+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 知识点二 复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3) 复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 知识点三 复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 知识点四 共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①=z. ②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 知识点五 复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【经典例题一 虚数单位i及其性质】 【例1】（23-24高一下·河南·期中）（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由复数的乘方可以发现具有周期性，周期为，然后由周期性计算即可. 【详解】因为，，，，所以具有周期性，周期为， 所以，所以. 故选：A 1．（22-23高一下·江苏淮安·期末）若复数满足方程（i是虚数单位），则（    ） A．1 B．i C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合虚数单位的概念运算求解 【详解】因为，即，所以. 故选：C. 2．（2022高二下·福建·学业考试）计算 （为虚数单位） 【答案】 【分析】根据虚数单位的幂指数运算可直接得到结果. 【详解】. 故答案为：. 3．（22-23高一·湖南·课后作业）化简：． 【答案】 【分析】根据求解. 【详解】因为， 所以， ， ， . 【经典例题二 复数的基本概念】 【例2】（2024高二下·湖北·学业考试）欧拉恒等式（其中为虚数单位，为欧拉常数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式的特例，即当时，，得.根据欧拉公式，表示的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】复数，进而得出所求复数. 【详解】由题意，复数. 故选：A 1．（22-23高一下·河北邢台·期中）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 【答案】B 【分析】根据复数的概念求解. 【详解】因为，所以，所以与的实部均为1，A，C错误； 的虚部为，B正确，D错误. 故选：B. 2．（2024高三·全国·专题练习）定义：一般地，当a与b都是实数时，称为复数．复数一般用小写字母z表示，即 ，其中a称为z的 ， 称为z的虚部． 【答案】 实部 b 【分析】由复数相关概念可得答案. 【详解】第一空：； 第二空：实部 第三空： 故答案为：；实部； 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）观察下面方程在已知条件下是否有解？如果没有解，我们怎么变换条件使其有解呢？ (1)在自然数集中求方程的解； (2)在整数集中求方程的解； (3)在有理数集中求方程的解； (4)在实数集中求方程的解. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【详解】（1）无解，在整数集中有解，把数集扩展到整数集即可. （2）无解，在有理数集中有解，把数集扩展到有理数集即可. （3）无解，在实数集中有解，把数集扩展到实数集即可. （4）无解，数集进一步扩展，扩展到复数集即可. 【经典例题三 求复数的实部与虚部】 【例3】（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 【答案】C 【分析】利用复数实部、虚部的定义逐项判断得解. 【详解】复数的实部为1，虚部为，ABD错误，C正确. 故选：C 1．（2024高二上·贵州·学业考试）已知复数（为虚数单位），则的实部为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据复数的实部为即可求解. 【详解】因为复数的实部为， 所以复数的实部为2. 故选：A. 2．（23-24高二上·北京延庆·期中）已知复数，则的虚部为 ． 【答案】 【分析】根据复数的概念可求解; 【详解】因为复数，所以的虚部为. 故答案为：. 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）分别写出下列各复数的实部与虚部． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 【答案】(1)实部为，虚部为 (2)实部为，虚部为 (3)实部为，虚部为 (4)实部为，虚部为 (5)实部为，虚部为 (6)实部为，虚部为 (7)实部为，虚部为 (8)实部为，虚部为 (9)实部为，虚部为 (10)实部为，虚部为 (11)实部为，虚部为 (12)实部为，虚部为 【分析】根据复数的实部和虚部的概念进行求解. 【详解】（1）的实部为，虚部为 （2）的实部为，虚部为 （3）的实部为，虚部为 （4）实部为，虚部为 （5）的实部为，虚部为 （6）的实部为，虚部为 （7）的实部为，虚部为 （8）的实部为，虚部为 （9）的实部为，虚部为 （10）的实部为，虚部为 （11）的实部为，虚部为 （12）的实部为，虚部为 【经典例题四 根据相等条件求参数】 【例4】（2023·全国·模拟预测）已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由复数相等的条件列方程组求解出，从而可求出的值. 【详解】由题意得， 所以，得， 所以. 故选：A 1．（22-23高一·全国·课后作业）下列命题中正确的是（    ）． A．； B．； C．若x，，则的充要条件是； D．若，则． 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则即可判断结果． 【详解】，故A    正确； ，故B错误； 若x，，若有；若有； 故是的充分不必要条件，C错误； 若，取则，故D错 故选：A 2．（23-24高一下·新疆·期中）已知，则 ． 【答案】1 【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可． 【详解】由，得，解得． 故答案为：1． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数等于，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【分析】根据复数相等列出方程组，解出，的值． 【详解】解：由题意，， 可得， 由，解得， 则， 解得，． 故、的值分别为4，3． 【经典例题五 复数的相等】 【例5】（24-25高三上·北京西城·期末）设为虚数单位，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数相等求解即可. 【详解】 又，根据复数的相等， 故则 故选：B. 1．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】由虚数单位定义及复数相等可得答案. 【详解】，故，所以. 故选：C. 2．（2024高三·全国·专题练习）复数相等： ． 【答案】且 【分析】由复数相等的定义可得结果. 【详解】由复数相等的定义可得：若，则当且仅当且. 故答案为：且 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值． 【答案】 【分析】由已知结合复数相等的条件即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得. 【经典例题六 复数的分类及辨析】 【例6】（22-23高二下·陕西商洛·阶段练习）如图是一个结构图，在框①②中应分别填入（    ） A．分数，无理数 B．分数，虚数 C．无理数，虚数 D．小数，虚数 【答案】C 【分析】根据题意，结合实数与复数的分类，即可求解. 【详解】根据实数的分类，可得①中应填入无理数；根据复数的分类，可得②中应填入虚数. 故选：C. 1．（24-25高一上·上海·课后作业）在复平面上，平行于轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．实数 B．虚数且非纯虚数 C．纯虚数 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用纯虚数的性质求解即可. 【详解】由题意得平行于轴的非零向量所对应的复数一定是纯虚数，故C正确. 故选：C 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知复数（a、）： （1）当且仅当时，复数是 ； （2）当时，复数叫做 ； （3）当且时，叫做 ； （4）当且仅当时，z就是实数 . 【答案】 实数 虚数 纯虚数 0 【分析】略 【详解】略 3．（23-24高一·上海·课堂例题）在下列复数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？各数的实部和虚部分别是什么？ 、、、i、0、． 【答案】见解析 【分析】直接利用复数的基本概念逐一分析得答案． 【详解】、0是实数，的实部为，虚部为0；0的实部与虚部均为0． 、、、是虚数；i为纯虚数. 的实部为，虚部为6；的实部与虚部均为；的实部为，虚部为；的实部为0，虚部为1． 【经典例题七 已知复数的类型求参数】 【例7】（24-25高三上·吉林松原·期末）已知，若复数是纯虚数，则的值为（   ） A． B． C．或1 D．或 【答案】B 【分析】利用纯虚数的定义列式求解. 【详解】由复数是纯虚数，得，解得. 故选：B. 1．（2024·上海宝山·一模）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数 . 【答案】 【分析】根据已知条件，列出方程即可求解. 【详解】因为为纯虚数，所以，即， 所以. 故答案为： 2．（24-25高三上·湖北·期末）若复数是纯虚数，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由纯虚数的特征，即可列式求解. 【详解】由题意可知，，， 得，根据选项可知，只有满足条件. 故选：C 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由虚部为0，求解的值； （2）由虚部不为0求解值； （3）由实部为0且虚部不为0，求解值. 【详解】（1）若为实数，则，即； （2）若为虚数，则，即； （3）若为纯虚数，则且，即. 【经典例题八 复数的坐标表示】 【例8】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知复数，则复数在复平面内所对应的点的坐标为（   ） A．（3，1） B． C． D． 【答案】B 【分析】化简复数，即可得到复数对应点的坐标. 【详解】由，可得复数在复平面内所对应的点的坐标为，故选B． 1．（24-25高三上·青海·期中）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于虚轴对称，则复数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对进行化简得，从而可得其表示点的坐标，进而可知复数. 【详解】因为，所以. 故选： 2．（2025高三·全国·专题练习）复数的几何意义 复数与复平面内的点 及平面向量是一一对应关系. 【答案】 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知复数在复平面内对应的点分别为是坐标原点，点是复平面内一点，且. (1)若，求与的关系； (2)若不共线，三点共线，求的值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示即可求解； （2）由三点共线，得，再结合平面向量基本定理即可求解. 【详解】（1）由题意，得， 则. 所以. 又，所以， 即， . 因为，所以与的关系为. （2）若三点共线，则有且或1. 所以有， 即.① 又由，得， 即.② 由①②知解得且或1. 所以的值为1. 【经典例题九 在各象限内点对应复数的特征】 【例9】（22-23高二上·湖南岳阳·期末）“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出复数在复平面内对应的点位于第四象限的等价条件，利用集合的包含关系及充分条件、必要条件求解. 【详解】因为复数在复平面内对应的点位于第四象限， 而成立推不出成立，， 所以是复数在复平面内对应的点位于第四象限的必要不充分条件， 故选：B 1．（22-23高二下·内蒙古兴安盟·期中）若复数在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据复数对应的点在各个象限的特征即可求解. 【详解】由在复平面内对应的点在第一象限,所以， 故选：C 2．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）若（）在复平面内所对应的点在第一象限，则整数 ． 【答案】1 【分析】根据对应的点所在象限列出限制条件得出答案. 【详解】由题意可得解得．因为，所以． 故答案为: 1 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，其中是实数． (1)若，求的值； (2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或. 【分析】（1）结合复数为实数的等价条件建立方程进行求解即可． （2）结合复数的几何意义建立不等式关系进行求解即可． 【详解】（1）由题意，， 则，解得或. （2）因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 所以，解得或. 【经典例题十 实轴、虚轴上点对应的复数】 【例10】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（    ） A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义，由复数对应点代入直线方程可求得，即可得出结果. 【详解】复数在复平面内对应的点为， 代入直线，可得，即， 则，在复平面内对应的点为. 故选：C 1．（22-23高一下·北京通州·期末）已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（    ） A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上 【答案】D 【分析】根据复数的分类和其几何意义即可得到答案. 【详解】由题意得，则点P不在实轴上，则C错误，D正确， 若，则A错误，若，则其在虚轴上，则B错误， 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）实数可以和数轴上的点 对应，实数可以用数轴上的点表示. 【答案】一一 【分析】根据复数的几何意义可得答案. 【详解】实数可以和数轴上的点一一对应，实数可以用数轴上的点表示. 故答案为：一一. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，. (1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？ (2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？ 【答案】(1)10个 (2)10个 【分析】（1）利用点的特征确定复数个数即可. （2）利用点的特征确定复数个数即可. 【详解】（1）若点在实轴上，则，此时， 均满足题意，故共有10个这样的复数. （2）若点在虚轴上，则，此时， 均满足题意，故共有10个这样的复数. 【经典例题十一 判断复数对应的点所在的象限】 【例11】（2024高二上·江苏·学业考试）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由复数几何意义可得答案. 【详解】在复平面对应的点为，该点在四象限. 故选：D 1．（2025高三上·广东·学业考试）复数在复平面的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】复数在复平面内的点的坐标为，该点位于第四象限. 故选：D. 2．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）复数位于复平面上的第 象限 【答案】三 【分析】利用复数的几何意义得出对应点坐标，可得结论. 【详解】易知复数对应的点坐标为， 因此在第三象限. 故答案为：三 3．（23-24高一·上海·课堂例题）当复数z满足下列条件时，分别指出z在复平面上所对应的点Z的位置： (1)z是正实数； (2)z是负实数； (3)z是实部小于零、虚部大于零的虚数； (4)z是虚部小于零的纯虚数． 【答案】(1)，此时对应的点在实轴的正半轴上 (2)，此时对应的点在实轴的负半轴上 (3)，此时对应的点在第二象限 (4)，此时对应的点在虚轴的负半轴上 【分析】根据复数的分类、几何意义求出实部、虚部满足的条件可得答案. 【详解】（1）设， 若是正实数，则， 此时对应的点在实轴的正半轴上； （2）设， 若是负实数，则， 此时对应的点在实轴的负半轴上； （3）设， 若是实部小于零、虚部大于零的虚数， 则，此时对应的点在第二象限； （4）设， 若是虚部小于零的纯虚数， 则，此时对应的点在虚轴的负半轴上. 【经典例题十二 根据复数的坐标写出对应的复数】 【例12】（23-24高一下·北京顺义·期中）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义即可得解. 【详解】因为复数z对应的点的坐标是， 所以. 故选：D. 1．（23-24高三上·宁夏吴忠·阶段练习）在复平面内，复数和表示的点关于虚轴对称，则复数z＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据复数的几何意义求解即可. 【详解】由题意可得对应的点为， 该点关于虚轴对称的点为，所以复数对应的点为， 所以. 故选：B 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）在复平面内，复数，对应的点分别为A，B，若为线段的中点，则点对应的复数是 ． 【答案】 【分析】写出复数所对应点的坐标，有中点坐标公式求出的坐标，则答案可求． 【详解】因为复数，对应的点分别为，． 且为线段的中点，所以． 则点对应的复数是． 故答案为：． 3．（22-23高一·全国·随堂练习）如图，设每个小方格的边长是1，指出点A，B，C，D，E所表示的复数．    【答案】 【分析】根据复数的几何意义分析求解. 【详解】由题意可知：， 所以点A，B，C，D，E所表示的复数分别为. 【经典例题十三 根据复数对应坐标的特点求参数】 【例13】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）复数对应的点在虚轴上，则（   ） A．或 B．且 C． D．或 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】由题意可知，复数对应的点的坐标为， 因为复数对应的点在虚轴上， 则，解得或， 故选：D. 1．（2024·四川成都·模拟预测）在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义得出对应不等式即可得结果. 【详解】复数，其对应的点在第二象限， 则，解得． 故选：A 2．（24-25高一下·全国·课后作业）复数在复平面上对应的点在虚轴上，则 ， ． 【答案】 2或0 【分析】由复数在复平面上对应的点在虚轴上得，从而可求出，进而可求出复数的模. 【详解】由题意知，解得， 则当时，，； 当时，，． 故答案为：，2或0 3．（23-24高二上·北京怀柔·期中）已知复数． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解， （2）根据复数的几何意义，结合第二象限点的特征即可求解. 【详解】（1）因为复数为纯虚数，所以， 解的 解得，； （2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以 解之得 得． 所以实数的取值范围为． 【经典例题十四 求复数的模】 【例14】（24-25高三上·吉林松原·期末）如果复数，那么（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】利用复数的模长的定义即可. 【详解】∵，∴. 故选：A. 1．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用复数的模求解即可. 【详解】 故选：B. 2．（江苏省连云港市2024-2025学年高二上学期期末调研考试数学试题）在复平面内，复数的模为 . 【答案】 【分析】根据复数的模长公式即可求解. 【详解】的模为， 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）若复数满足，求． 【答案】或 【分析】设，根据复数模公式可得，解方程组即可求解. 【详解】设（）， ， , 解得或， 或. 【经典例题十五 由复数模求参数】 【例15】（24-25高三上·辽宁·期末）若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 【答案】A 【分析】利用复数模的性质建立方程求解参数，再求虚部即可. 【详解】因为，所以，解得， 则复数的虚部为或2，故A正确. 故选：A 1．（23-24高二下·广东·期中）已知复数的模为，实部为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据条件得到，即可求解. 【详解】设，，由，得， 所以. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意，解不等式即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 即， 解得，. 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）若复数，复数满足，且是纯虚数，求复数． 【答案】或 【分析】设，根据复数的模长以及是纯虚数，列式求解，即得答案. 【详解】设， 由得， ， 由是纯虚数得且， 联立，解得或， 故或. 【经典例题十六 与复数模相关的轨迹(图形)问题】 【例16】（23-24高二上·北京怀柔·期中）已知复数满足（i是虚数单位），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模的几何意义，转化为点到圆心为，半径为的圆上的点的最值问题，从而得解. 【详解】表示对应的点是圆心为，半径为的圆上的点，   的几何意义表示该圆上的点和点之间的距离， 而圆心到点的距离为， 所以的最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故选：D. 1．（山东省潍坊市普通高中2025届高三上学期学科素养能力测评数学试题）设复数，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的几何意义及向量运算可求解答案. 【详解】设复数，在复平面内对应的点为，则由题意, 因为，所以，即为正三角形，其高线长为； . 故选：C 2．（2024·吉林·模拟预测）复数满足，则 . 【答案】 【分析】设，结合复数的几何意义，列出方程组即可求解. 【详解】设复数， 由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 联立，解得，所以， 经检验，满足， 则. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数与． (1)求及的值； (2)设，满足的点Z的集合是什么图形？ 【答案】(1)， (2)是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界 【分析】（1）利用求复数模的公式求解即可； （2）利用复数的几何意义，确定出点的集合即可判断． 【详解】（1），； （2）由（1）知，设（x、）． 因为不等式的解集是以为圆心，1为半径的圆上和该圆外部所有点组成的集合， 不等式的解集是以O为圆心，2为半径的圆上和该圆内部所有点组成的集合， 所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．    1．（2024·宁夏银川·一模）已知复数表示纯虚数，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】B 【分析】根据题意结合复数的相关概念列式求解即可. 【详解】因为， 若复数表示纯虚数，则，解得. 故选：B. 2．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 【答案】C 【分析】利用复数相等的定义，列式求解即可. 【详解】因为，，且，则，，解得. 故选：C 3．（24-25高一上·上海·课后作业）下列集合关系表述正确的是（    ）（其中：自然数集，整数集） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由各数集的含义可得 【详解】为自然数集，为整数集，因为整数集包含自然数集与负整数集，所以； 为整数集，为有理数集，因为有理数集包含整数集和小数集，所以 为有理数集，为实数集，因为实数集包含有理数集与无理数集，所以 为实数集，复数集，因为复数集包含实数集和虚数集，所以， 综上，所以， 故选：A. 4．（22-23高一下·河南开封·阶段练习）若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据复数的几何意义进行求解. 【详解】根据复数的几何意义，对应复平面的点是， 关于轴对称得到的点是，对应的复数是. 故选：B 5．（24-25高二上·云南红河·期末）已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设且，应用复数模长的求法及已知列方程求虚部. 【详解】设且，则， 由，则，解得. 故选：B 6．（22-23高一下·山东枣庄·期中） ． 【答案】 【分析】根据虚数单位的周期性求解. 【详解】, 故答案为： 7．（24-25高三上·北京丰台·阶段练习）复数的虚部是 . 【答案】 【分析】根据虚部的概念直接求解即可. 【详解】复数的虚部是. 故答案为：. 8．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知复数与在复平面内用向量和表示（其中是虚数单位，O为坐标原点），则与夹角为 ． 【答案】 【分析】把复数用坐标表示再结合向量的夹角公式计算即可； 【详解】由题知，， ，∴， 所以与夹角为， 故答案为：． 9．（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，，对应的点分别为，，且，是坐标原点，则是 ．（填锐角三角形、直角三角形或钝角三角形） 【答案】直角三角形 【分析】 根据复数加法的几何意义，结合矩形的判定，可得答案. 【详解】设复数对应的点为，则四边形为平行四边形． 又∵，即，∴四边形为矩形， ∴，∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形. 10．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知复数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】复数本身没有大小，但其模长有大小，根据题意可得为实数，又模长的计算公式解不等式即可得答案. 【详解】因为，所以为实数，故， 又，即，所以， 则的取值范围是. 故答案为：. 11．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【分析】由复数相等的条件列方程组求解． 【详解】解：由， 得，解得． ，． 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？ ，，，，，. 【答案】答案见解析 【分析】根据复数的分类及复数运算分类即可. 【详解】，，是实数； ，，是虚数； 是纯虚数. 13．（23-24高一下·吉林延边·期中）已知是虚数单位，复数，m为实数． (1)当实数m满足什么条件时，为纯虚数 (2)若复数在复平面内对应的点位于实轴负半轴，求复数 【答案】(1)-1 (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义进行求解即可；（2）利用复数的几何意义，根据对应的点位于实轴负半轴进行求解即可. 【详解】（1）根据纯虚数的定义，，解得； （2）利用复数的几何意义，复数坐标为，根据对应的点位于实轴负半轴，，解得，则 14．（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知，复数. (1)若为纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求整数的值. 【答案】(1)； (2)和 【分析】（1）由为纯虚数，求出的值，从而得到复数，求解模长即可； （2）在复平面内对应的点位于第二象限，求出的取值范围，进而得到整数的值即可. 【详解】（1）由于复数为纯虚数， 所以，解得，此时， （2）若在复平面内对应的点位于第二象限， 则，解得， 故整数的值有. 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）设z为复数，在复平面内满足下列条件的点Z的集合是什么图形？请画出图形. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）设，根据实部等于1，确定表示的图形； （2）设，根据虚部等于，确定表示的图形； （3）设，根据模长公式以及圆的方程，确定表示的图形； （4）设，根据模长公式以及圆的方程，确定表示的图形； 【详解】（1）设，因为，所以， 所以在复平面内点Z的集合是表示直线上的点， 其图像如下图所示：    （2）设，因为，所以， 所以在复平面内点Z的集合是表示直线上的点， 其图像如下图所示：    （3）设，因为，所以， 所以在复平面内点Z的集合是表示以原点为圆心，半径为5的圆上的点， 其图形如下图所示：    （4）设，因为，所以， 所以在复平面内点Z的集合表示以原点为圆心， 分别以1和4为半径的两个圆所夹的圆环， 但不包含以圆环原点为圆心，以1为半径的圆的边界. 其图形如下图所示：    学科网（北京）股份有限公司 $$