第六章 平面向量及其应用重难点检测卷-2024-2025学年高一年级数学重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共19题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：本章全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25高三上·北京丰台·期末）设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（22-23高一下·河北石家庄·阶段练习）下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 3．（2023高二下·辽宁·学业考试）如图所示，平行四边形的两条对角线相交于点．，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·安徽·期中）设为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（江苏省连云港市2024-2025学年高二上学期期末调研考试数学试题）已知，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D．2 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 7．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知符号）（表示不平行，向量，.设命题，，则（    ） A．，，且为真命题 B．，，且为真命题 C．，，且为假命题 D．，，且为假命题 8．（23-24高一下·四川成都·期中）如图，正方形的边长为分别为边上的点，则以下错误的是（    ） A．若，则以为圆心，半径为1的圆与相切 B．若，则面积的取值范围是 C．若点与点重合，周长为4，则 D．不可能小于 二、多选题（3小题，每小题6分，共18分） 9．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与是共线向量，则四点共线 C．若非零向量与共线，则 D．若，则 10．（22-23高一下·陕西咸阳·阶段练习）下列命题中错误的有（    ） A．的充要条件是且 B．若，，则 C．若，则存在实数，使得 D． 11．（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）下面给出的关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． m第II卷（非选择题） 三、填空题（3小题，每小题4分，共12分） 12．（23-24高一下·北京·期中）若三点共线，则实数的值为 . 13．（2024高一下·全国·专题练习）一条河宽为8 000 m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为 h． 14．（23-24高一下·浙江·期中）在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为 . 四、解答题（5小题，共66分） 15．（2024高一·江苏·专题练习）化简： (1)． (2)． 16．（24-25高一上·上海·课后作业）已知、，试确定、、在网格中的位置：；；. 17．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 18．（2024高二上·辽宁·学业考试）在物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.如图所示，在光滑的水平面上静止的物体受到力与的作用. (1)求物体受到与的合力的大小； (2)求. 19．（23-24高一下·浙江杭州·期中）在某海域A处的巡逻船发现南偏东方向，相距a海里的B处有一可疑船只，此可疑船只正沿东偏北（以B点为坐标原点，正东，正北方向分别为x轴，y轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行．巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt．若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇． (1)求a，b的值； (2)若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否拦截成功？若能，求出拦截时间；若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量及其应用重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共19题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：本章全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25高三上·北京丰台·期末）设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 2．（22-23高一下·河北石家庄·阶段练习）下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【分析】根据向量的定义，相反向量，单位向量，模的定义，判断选项. 【详解】和长度相等，方向相反，故A正确； 单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误； 向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确； 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确． 故选：B 3．（2023高二下·辽宁·学业考试）如图所示，平行四边形的两条对角线相交于点．，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量加法的平行四边形法则可求得结果. 【详解】因为行四边形的两条对角线相交于点，，， 则为的中点，且， 又因为，则，故. 故选：B. 4．（23-24高一下·安徽·期中）设为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助向量的线性运算法则计算即可得. 【详解】. 故选：A. 5．（江苏省连云港市2024-2025学年高二上学期期末调研考试数学试题）已知，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用向量数量积的运算律，结合已知条件求解. 【详解】. 故选：C. 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用向量线性运算可得，根据平面向量基本定理得，即可得解. 【详解】因为，所以， 因为是的中点，所以， 所以， 又，所以，即. 故选：D. 7．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知符号）（表示不平行，向量，.设命题，，则（    ） A．，，且为真命题 B．，，且为真命题 C．，，且为假命题 D．，，且为假命题 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定求出，再结合向量共线判断真假即可. 【详解】命题，是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 则，，排除BD； 而向量，，当时，，即， 因此为真命题，排除C，A正确. 故选：A 8．（23-24高一下·四川成都·期中）如图，正方形的边长为分别为边上的点，则以下错误的是（    ） A．若，则以为圆心，半径为1的圆与相切 B．若，则面积的取值范围是 C．若点与点重合，周长为4，则 D．不可能小于 【答案】B 【分析】作，易得，即可判断A，设，则，利用三角恒等变换及三角形面积公式得，根据余弦函数性质求得范围判断B，记，利用勾股定理得，利用两角和的正切公式求得，即可判断C，作正方形外接圆，通过位置分析即可判断D. 【详解】对于A，过P作， 则，所以， 所以，又，所以∽， 所以且， 所以，所以， 又，所以，所以， 又，所以≌，所以， 即以为圆心，半径为1的圆与相切，正确； 对于B，设，则， 所以， 记，则，，从而， 又，所以， 所以，所以， 所以，所以，错误； 对于C，周长为4，即，所以，记， 则在中，，所以， 而，所以， 所以，所以，正确； 对于D，显然，当点分别与点重合时，才能取得最小值， 作正方形外接圆，只有点与点或点重合时在圆上，此时， 点在线段其余位置时位于圆内，均大于，正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键时选项CD的判断，对于选项C，利用两角和的正切公式求解角的大小，对于选项D，通过正方形外接圆的性质判断角的范围，属于较难题. 二、多选题（3小题，每小题6分，共18分） 9．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与是共线向量，则四点共线 C．若非零向量与共线，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】利用向量的定义、共线向量、向量相等、向量的模的概念进行确定即可． 【详解】对于A，两个有共同起点且相等的向量，其终点相同，A错误； 对于B，如平行四边形中，与共线，但四点不共线，B错误； 对于C，两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量，C错误； 对于D，向量相等，即大小相等、方向相同，D正确． 故选：ABC. 10．（22-23高一下·陕西咸阳·阶段练习）下列命题中错误的有（    ） A．的充要条件是且 B．若，，则 C．若，则存在实数，使得 D． 【答案】ABC 【分析】利用平面向量相等的定义判断A；举反例判断BC；利用向量三角形法则判断D. 【详解】对于A：的充要条件是且方向相同，故A错误； 对于B：当时，则不一定平行，故B错误； 对于C：当，时，不存在实数，使得，故C错误； 对于D：根据向量加、减法的三角形法则，可知成立，故D正确. 故选：ABC. 11．（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）下面给出的关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的数量积定义及运算性质逐一分析即可. 【详解】因为数与向量相乘为向量，所以，故正确； 向量的数量积满足交换律，所以，故正确； 根据数量积定义知，数量积为一实数， 所以为，表示与共线的向量， 而为，表示与共线的向量， 所以不一定成立，故错误； 根据数量积定义知，故正确； 故选：. m第II卷（非选择题） 三、填空题（3小题，每小题4分，共12分） 12．（23-24高一下·北京·期中）若三点共线，则实数的值为 . 【答案】5 【分析】由共线即可列方程求解. 【详解】因为，所以， 而三点共线，所以共线， 所以，解得. 故答案为：5. 13．（2024高一下·全国·专题练习）一条河宽为8 000 m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为 h． 【答案】/ 【分析】根据题意画出示意图，求得实际速度，即可求解. 【详解】如图， 则，，， ∴． ∴所需时间 (h)． ∴该船到达B处所需的时间为h． 故答案为：. 14．（23-24高一下·浙江·期中）在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据正弦定理和图形关系得到，然后解不等式即可. 【详解】在中，，，若有两解，必须满足的条件为：，即， 故答案为： 四、解答题（5小题，共66分） 15．（2024高一·江苏·专题练习）化简： (1)． (2)． 【答案】(1). (2). 【分析】 （1）（2）直接利用向量的加法运算律即可求解. 【详解】（1）. （2）. 16．（24-25高一上·上海·课后作业）已知、，试确定、、在网格中的位置：；；. 【答案】答案见解析 【分析】根据平行四边形定则与三角形定则直接作图即可. 【详解】如图所示， 根据平行四边形定则分别作平行四边形，即可得解. 17．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由平面向量的夹角公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得的值，计算出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值； （2）求出向量的坐标，分析可知且向量与不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为， 则，解得， 所以，，则， 故. （2）由（1）可得，且， 因为与所成的角是锐角，则，解得， 且向量与不共线，则，即， 因此，实数的取值范围是. 18．（2024高二上·辽宁·学业考试）在物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.如图所示，在光滑的水平面上静止的物体受到力与的作用. (1)求物体受到与的合力的大小； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算求解合力，利用模的坐标运算求解即可； （2）利用向量的坐标运算及数量积的坐标运算公式计算即可. 【详解】（1）由题图可知，， 则物体受到与的合力为， 所以其大小为； （2）因为，， 所以. 19．（23-24高一下·浙江杭州·期中）在某海域A处的巡逻船发现南偏东方向，相距a海里的B处有一可疑船只，此可疑船只正沿东偏北（以B点为坐标原点，正东，正北方向分别为x轴，y轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行．巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt．若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇． (1)求a，b的值； (2)若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否拦截成功？若能，求出拦截时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能够拦截成功拦截，时间为2小时 【分析】（1）设1小时后两船相遇于点C，根据关于y轴对称，且，即可求解； （2）设t小时后两船相遇于点D，利用余弦定理列出方程，即可求解. 【详解】（1）若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C， 如图所示，则轴，，且关于y轴对称， 所以， 所以. （2）若巡逻船以海里/小时进行追击，设t小时后两船相遇于点D，如图所示， 则，，，， 因为， 可得， 整理得，解得或（舍去）， 所以能够拦截成功拦截时间为2小时. 学科网（北京）股份有限公司 $$