第一章 直角三角形重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

第一章 直角三角形重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级下册第一章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）下列各组数中，是勾股数的是（） A．1，，2 B．5，12，13 C．6，7，8 D．8，24，25 2．（24-25八年级下·湖南常德·期末）如图，在中，，下列数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）如图，已知正方形的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 5．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，在中，是的角平分线，测得，点D到的距离为1，则的面积为（   ） A． B． C．5 D．6 6．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，某公园里的一个池塘周边有三条小路和，其中，，现在打算从B处修一座木桥直通的中点D处，木桥的长为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·湖南湘潭·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为：，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．12 C．10 D．8 8．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，中，，，，将折叠后点恰好落在边上的点处，折痕为，，则线段的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 9．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中错误的是（    ） A．是的平分线 B． C．点D在的垂直平分线上 D． 10．（24-25八年级下·湖南·期末）年月日是第七个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），则装饰带的长度最短为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 . 12．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，两条笔直的公路，相交于点，为，指挥中心设在路段上，与地的距离为25千米．一次行动中，王警官带队从地出发，沿方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在12千米之内进行通话，则王警官在行进过程中 （填“能”或“不能”）与指挥中心用对讲机通话． 13．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）我国清初数学家梅文鼎所著的《勾股举隅》一书中，勾股定理的证明是将个边长分别为，，的全等直角三角形拼成如图所示的五边形．若，，则空白部分的面积是 ． 14．（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）如图，三条直线a、b、c互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上．已知，，且a、b之间的距离为2，b、c之间的距离为3，则 ． 15．（24-25八年级下·湖南张家界·期末）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，，若一只蚂蚁从A点开始沿图中3个侧面（即沿）爬行到达P点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ． 16．（24-25八年级下·湖南株洲·单元测试）如图，，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，，则下列说法：①为的中点；②点到的距离为5；③；④．正确的有 ．（请填写序号） 三、解答题（9小题，共72分） 17．（23-24八年级下·湖南益阳·假期作业）判断下列各组数是不是勾股数． (1)3，4，7； (2)5，12，13； (3)； (4)3，，5． 18．（24-25八年级下·湖南常德·期末）如图，已知，，，．求证：． 19．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，已知直三棱柱中，，，，直三棱柱的侧棱．求该直三棱柱的表面积． 20．（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 21．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若的面积为80，，求的长． 22．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）如图，在中，，，分别过B、C向过A点的直线作垂线，垂足分别为E、F．    (1)求证：； (2)若，，，求的长．（取） 23．（24-25八年级下·湖南常德·期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位， 体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明：； (2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值． 24．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 25．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）阅读下面材料： 三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点． 如图①，已知，，是的三条内角平分线． 求证：，，交于一点． 证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，． ∵点是的平分线上一点， ∴（依据1）． 同理． ∴． ∵是的平分线， ∴点在上（依据2）． ∴，，交于一点． 请解答问题： (1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？ (2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________． (3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直角三角形重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级下册第一章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）下列各组数中，是勾股数的是（） A．1，，2 B．5，12，13 C．6，7，8 D．8，24，25 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数，熟知勾股数是满足勾股定理的一组正整数是解题的关键．根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A．不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意； В．，正确，是勾股数，符合题意； C．，错误，不是勾股数，不符合题意； D．，错误，不是勾股数，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖南常德·期末）如图，在中，，下列数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理判断即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）如图，已知正方形的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是解题的关键． 根据正方形的边长是面积的算术平方根得，再根据勾股定理可得，再结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为5， ∴， ∴ ∵点A表示的数是，且点E在点A的右侧， ∴点E表示的数为． 故选：A． 4．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形全等的判定条件，掌握直角三角形全等的判定条件是解答本题的关键． 根据直角三角形全等的判定条件逐个判断即可解答． 【详解】解： 根据直角三角形全等的判定条件“”，即斜边和一条直角边对应相等， 和满足定理“”， 故选：B． 5．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，在中，是的角平分线，测得，点D到的距离为1，则的面积为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点D到，的距离相等，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】∵是的角平分线， ∴点D到，的距离相等， ∴， 的面积为， 故选B． 6．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，某公园里的一个池塘周边有三条小路和，其中，，现在打算从B处修一座木桥直通的中点D处，木桥的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半． 根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：依题意可得，， ∵是的中点， ． 故选：A． 7．（24-25八年级下·湖南湘潭·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为：，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出，即，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：，即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 故选：A． 8．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，中，，，，将折叠后点恰好落在边上的点处，折痕为，，则线段的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，设，由折叠可知，，求出，由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，由折叠可知，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即线段的长为， 故选：C 9．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中错误的是（    ） A．是的平分线 B． C．点D在的垂直平分线上 D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图的步骤可知平分，可判断A，即可求出的度数，进而判断B，然后根据，可得，可判断C，最后根据角平分线的性质得，再根据含直角三角形的性质得，接下来根据勾股定理求出，即可说明D． 【详解】解：如图所示，过点D作，交于点E， 根据题意可知可知平分．故A正确； ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴．故B正确； ∵， ∴， ∴点D在的垂直平分线上．故C正确； ∵平分，， ∴． 在中，， ∴， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， 即．故D不正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理，直角三角形的性质，理解含直角三角形的性质是解题的关键． 10．（24-25八年级下·湖南·期末）年月日是第七个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），则装饰带的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的展开图求最短距离问题，画出圆柱的展开图，连接，由勾股定理即可求解，正确画出展开图是解题的关键. 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，连接， ∴即为最短， ∴，， ∴， 故选：． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 . 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理；先设三角形的三边长分别为，，，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可求解． 【详解】解：三角形的三边长的比为， ∴设三角形的三边长分别为，，， 其周长为， ，解得， ∴三角形的三边长分别是，，， ∵， 此三角形是直角三角形， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，两条笔直的公路，相交于点，为，指挥中心设在路段上，与地的距离为25千米．一次行动中，王警官带队从地出发，沿方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在12千米之内进行通话，则王警官在行进过程中 （填“能”或“不能”）与指挥中心用对讲机通话． 【答案】不能 【分析】本题主要考查了含有的直角三角形的性质的实际应用，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 过点M作于点H，在中已知一角，以及一条边，根据“直角三角形中，所对应的直角边等于斜边的一半”就可以求出． 【详解】解：过点M作于点H，点H是路段距离指挥中心最近的点． 在中， 千米，， （千米）． 千米千米， 王警官在行进过程中不能与指挥中心用对讲机通话． 故答案为：不能． 13．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）我国清初数学家梅文鼎所著的《勾股举隅》一书中，勾股定理的证明是将个边长分别为，，的全等直角三角形拼成如图所示的五边形．若，，则空白部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由空白部分的面积等于正方形的面积减去个直角三角形面积即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四个直角三角形全等， ∴，， ∵， ∴为正方形， ∴空白部分的面积为： ， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）如图，三条直线a、b、c互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上．已知，，且a、b之间的距离为2，b、c之间的距离为3，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理．过A作于D，交直线c于点E，证明，得出，根据勾股定理得出，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：过A作于D，交直线c于点E，如图所示： ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·湖南张家界·期末）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，，若一只蚂蚁从A点开始沿图中3个侧面（即沿）爬行到达P点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：将长方体展开，连接A、P，如图，当点M、N在线段上时，根据“两点之间线段最短”，得最短路径为线段的长， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，且， ∴，， ∴， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 故答案为：5． 16．（24-25八年级下·湖南株洲·单元测试）如图，，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，，则下列说法：①为的中点；②点到的距离为5；③；④．正确的有 ．（请填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的性质可得，，由此即可判断①正确；根据即可判断②正确；根据定理证出，，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断③正确；根据全等三角形的性质可得，，由此可得，即④正确． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴为的中点，则说法①正确； ∵， ∴， 即点到的距离为5，则说法②正确； 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴，则说法③正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，则说法④正确； 综上，说法正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（23-24八年级下·湖南益阳·假期作业）判断下列各组数是不是勾股数． (1)3，4，7； (2)5，12，13； (3)； (4)3，，5． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)不是 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股数的定义(凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数.)及勾股定理的逆定理计算判断即可． （1）分别计算三边的平方，即可完成判断； （2）分别计算三边的平方，即可完成判断； （3）根据勾股数不能为分数完成判断； （3）根据勾股数不能为负数完成判断； 【详解】（1）解：因为, 所以3，4，7不是勾股数； （2）因为, 所以5，12，13是勾股数； （3）因为勾股数不能为分数，所以不是勾股数； （4）因为勾股数不能为负数，所以3，-4，5不是勾股数． 18．（24-25八年级下·湖南常德·期末）如图，已知，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质．利用证明，根据全等三角形的性质求得． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 19．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，已知直三棱柱中，，，，直三棱柱的侧棱．求该直三棱柱的表面积． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，再根据直三棱柱的表面积的计算公式解答即可．本题考查了勾股定理的逆定理，直三棱柱的表面积公式，熟练运用直三棱柱的表面积的公式是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴该直三棱柱的表面积是：， 即该直三棱柱的表面积是． 20．（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质： （1）由线段中点的定义得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得到，则可得到，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 21．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若的面积为80，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形面积求法，难度中等，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． （1）由角平分线的性质直接得出结论即可； （2）先算出的面积，得出的面积，从而算出． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 22．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）如图，在中，，，分别过B、C向过A点的直线作垂线，垂足分别为E、F．    (1)求证：； (2)若，，，求的长．（取） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、含角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）先说明，，再利用全等三角形的判定即可证明； （2）利用含角的直角三角形的性质得出，由（1）得，可得，，再利用线段的和差即可求出的长． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：在中，， ， 由（1）得，， ，， ， 的长为． 23．（24-25八年级下·湖南常德·期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位， 体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明：； (2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】此题考查了勾股定理的证明和应用． （1）大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积，据此列式计算即可得到结论； （2）由大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积列式求出，由题意知，即可求出的值． 【详解】（1）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积． ， ， ． （2）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积． 大正方形的面积是15，小正方形的面积是4， ， ， 由题意知， ． 24．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 【答案】(1)A (2) (3)最短为，方案见解析 【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键． （1）结合图形即可得出结果； （2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解； （3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意， 故选：A； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为：， ∴最短长度是； （3）①把展开，如图此时总路程为， ②把展开，如图 此时的总路程为； ③如图所示，把展开， 此时的总路程为， 由于，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 25．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）阅读下面材料： 三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点． 如图①，已知，，是的三条内角平分线． 求证：，，交于一点． 证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，． ∵点是的平分线上一点， ∴（依据1）． 同理． ∴． ∵是的平分线， ∴点在上（依据2）． ∴，，交于一点． 请解答问题： (1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？ (2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________． (3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积． 【答案】(1)依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 (2)相等 (3) 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及判定定理，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键． （1）根据题意可直接进行作答； （2）结合（1）可得答案； （3）由（2）可得，然后根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，上述证明过程中， 依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； （2）结合（1）可知，三角形的内心到三角形三边的距离相等． 故答案为：相等； （3）∵，，，， ∴， ∴ ， 即的面积表示为． 学科网（北京）股份有限公司 $$