专题05 二次根式40道压轴题型专训（8大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题05 二次根式40道压轴题型专训（8大题型） 【题型目录】题型一 利用二次根式的性质化简 题型二 复合二次根式的化简 题型三 二次根式的混合运算 题型四 二次根式的化简求值 题型五 分母有理化 题型六 二次根式的应用 题型七 二次根式的规律计算 题型八 二次根式的新定义计算 【经典例题一 利用二次根式的性质化简】 1．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东深圳·期中）观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·浙江·自主招生）设则不超过的最大整数为 ． 4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）求值： ． 5．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）若三个实数x，y，z满足，且，则有：． 例如：．请解决下列问题： (1)求的值． (2)设，求的整数部分． (3)已知（，），且，当取得最小值时，求的取值． 【经典例题二 复合二次根式的化简】 6．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）化简 ． 8．（24-25八年级下·广东广州·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=+，从而可化简=．类比小明的思路，请化简 ． 9．（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 10．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【经典例题三 二次根式的混合运算】 11．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 12．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）计算 (1)； (2)（）． 13．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1) (2) 14．（24-25七年级下·上海·期末）计算：． 15．（24-25八年级下·广东云浮·阶段练习）先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题： (1)的有理化因式是 _______； (2)化去式子分母中的根号： _____．（直接写结果） (3) （填或） (4)利用你发现的规律计算下列式子的值： 【经典例题四 二次根式的化简求值】 16．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 17．（23-24九年级上·四川内江·期中）当时，多项式的值为 18．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知y＝＋＋18，求代数式﹣的值为 ． 19．（24-25八年级上·上海·阶段练习）先化简，再求值：，其中. 20．（24-25八年级下·广东阳江·期中）学习了二次根式的乘除后，老师给同学们出了这样一道题：已知a＝，求的值．刘峰想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程： 解：∵， 又∵a＝， ∴， ∴原式＝． 你认为刘峰的解法对吗？如果对，请你给他一句鼓励的话；如果不对，请找出错误的原因，并改正． 【经典例题五 分母有理化】 21．（24-25九年级上·山西临汾·期末）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出______； （2）利用上面的解法，请化简： （3）和的值哪个较大，请说明理由． 22．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：，，，… （1）填空：＝　 　； （2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．并证明你的结论． （3）利用上面的结论，求下列式子的值：． 23．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式的化简与运算时，有时会碰上如，这样的式子其实我们还可以进一步化简．例如：，这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）请参照上述方法化简： （2）猜想：　　　　　（用含n的式子表示） （3）化简： 24．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．     在进行二次根式运算时，形如一样的式子，我们可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）请用上述的方法化简； （2）利用上面的解法，化简：． 25．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）阅读理解：把分母中的根号化去叫做分母有理化，例如：①＝＝；②＝＝＝．等运算都是分母有理化，根据上述材料， （1）化简：； （2）+++…+． 【经典例题六 二次根式的应用】 26．（24-25八年级下·山西忻州·期末）对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（    ） A． B． C． D． 27．（24-25七年级下·浙江·期中）读取表格中的信息，解决下列问题 … … … … 已知，求 ． 28．（24-25九年级上·全国·单元测试）观察下列各式: 化简以上各式，并计算出结果; 以上式子与其结果存在一定的规律．请按规律写出第个式子及结果． 猜想第个式子及结果(用含(的整数)的式子写出)，并对猜想进行证明． 29．（2019·山西吕梁·三模）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 古希腊几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式(海伦公式)：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积是． 印度算术家波罗摩笈多和婆什迦罗还给出了四边形面积的计算公式：如果一个四边形的四边长分别为，记，那么四边形的面积是(其中，和表示四边形的一组对角的度数) 根据上述信息解决下列问题： （1）已知三角形的三边是4，6，8，则这个三角形的面积是　　　　　　　　　　　　 （2）小明的父亲是工程师，设计的某个零件的平面图是如图的四边形，已知，，，，，．求出这个零件平面图的面积．    30．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·期中）【阅读下列材料】 若，则（注：）． ．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大：当时，取等号．） 【例】：若，求的最小值． 解：， ． 时，的最小值为8． 【解决问题】 (1)若，求的最大值； (2)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (3)用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少． 【经典例题七 二次根式的规律计算】 31．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）． (3)请用（2）中发现的规律计算：． 32．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）观察下列各式： ，，，…… (1)请你运用所发现的规律，写出第4个式子________． (2)请你将第n个式子（用含n的代数式）表示出来：________． 33．（24-25八年级下·广东广州·期中）观察下列各式： ①， ②， ③． (1)根据你发现的规律填空：__________． (2)用含的等式表示你的猜想（，为整数），并通过计算证明你的猜想． 34．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）观察下列各式： ①；②；③． 请回答下面的探究问题： （1）探究1：请回答上面各式是否成立； （2）探究2：猜想__________，并验证你的猜想； （3）探究3：用含有n的式子将规律表示出来，说明n的取值范围，并用数学知识证明你所写式子的正确性． 拓展：，，，… 根据观察上面各式的结构特点，归纳一个猜想，并验证你的猜想． 35．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）观察下列式子：             ①             ②             ③ …… 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)第4个算式为___________． (2)求的值． (3)求的值． 【经典例题八 二次根式的新定义计算】 36．（23-24八年级下·北京·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数． 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程 (1)若，则_____， _____， _____； (2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 37．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下： 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______，______； (2)若，求x的值． 38．（23-24八年级下·山东济宁·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)代数式中x的取值范围是______； (2)已知：，求： ①_____； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：． 39．（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，，； 再根据平方根的定义可得： ，，； 请回答下列问题： (1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；（n为正整数）=______． ② ______；当时，化简______． (2)应用：求；的值． (3)拓广：求的值． 40．（23-24八年级下·全国·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为 ，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求： ①________； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________； (3)计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次根式40道压轴题型专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 利用二次根式的性质化简 题型二 复合二次根式的化简 题型三 二次根式的混合运算 题型四 二次根式的化简求值 题型五 分母有理化 题型六 二次根式的应用 题型七 二次根式的规律计算 题型八 二次根式的新定义计算 【经典例题一 利用二次根式的性质化简】 1．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 故选：A． 2．（23-24八年级上·广东深圳·期中）观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 由此可知：， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了数字类规律探究、二次根式化简中的简便运算．熟练掌握题目中给定的计算方法是解题的关键． 3．（23-24九年级下·浙江·自主招生）设则不超过的最大整数为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，能正确化简是解答本题的关键． 首先将化简，可得，然后再代入原式求出即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 不超过的最大整数， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）求值： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的应用，先推导公式，然后利用公式计算即可． 【详解】解： ， ∴原式 ， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）若三个实数x，y，z满足，且，则有：． 例如：．请解决下列问题： (1)求的值． (2)设，求的整数部分． (3)已知（，），且，当取得最小值时，求的取值． 【答案】(1)； (2)整数部分为2019； (3)． 【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可； （2）将原式进行化简，再确定整数部分； （3）将原式化简为，再根据取最小值时，确定的取值范围． 【详解】（1）解：； （2）解： ， 故整数部分为2019； （3）解：由题意得， ， ， 又， 原式， 因为取最小值， 所以，而， 因此，， 答：的取值范围为． 【点睛】本题考查了分式的加减法、实数的运算、二次根式的运算，解题关键是掌握数字间的变化规律，准确计算． 【经典例题二 复合二次根式的化简】 6．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）化简 ． 【答案】 【分析】设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论． 【详解】解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0， 则 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键． 8．（24-25八年级下·广东广州·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=+，从而可化简=．类比小明的思路，请化简 ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式，，然后通过计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． 9．（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，读懂阅读材料中的方法是解题的关键．先将原式变形，再由，，仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】解：，这里， 由于，， ∴， ∴ ． 10．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 【经典例题三 二次根式的混合运算】 11．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再进行乘法运算，然后合并同类二次根式即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式即可； （4）先计算括号内，再进行除法运算即可； （5）先计算括号内，再进行除法运算即可； （6）根据乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 12．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）计算 (1)； (2)（）． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可； （2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可． 【详解】（1） 解： ＝ ＝－＋ ． （2） 解： ＝· ． 【点睛】 本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键． 13．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得． 【详解】（1）解：原式= = = （2）解：原式= = = 【点睛】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点． 14．（24-25七年级下·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法. 【详解】 = = =. 【点睛】此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键. 15．（24-25八年级下·广东云浮·阶段练习）先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题： (1)的有理化因式是 _______； (2)化去式子分母中的根号： _____．（直接写结果） (3) （填或） (4)利用你发现的规律计算下列式子的值： 【答案】（1）+1；（2）；（3）<；（4）2017. 【分析】（1）根据有理化因式的定义求解； （2）利用分母有理化计算； （3）通过比较它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到；  ，然后进行大小比较； （4）先根据规律化简第一个括号中的式子，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）-1的有理化因式是+1； （2）； （3），， ∵ ∴> ∴<； （4）原式= = =2018-1 =2017． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【经典例题四 二次根式的化简求值】 16．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把代入所求式子进行化简求值是解题的关键． 先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 17．（23-24九年级上·四川内江·期中）当时，多项式的值为 【答案】 【分析】本题考查已知字母的值，求代数式的值，根据已知条件，得到，进而得到，将多项式转化为，再代值计算即可，本题的难度较大，关键是将已知式子进行变形，转化． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：. 18．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知y＝＋＋18，求代数式﹣的值为 ． 【答案】- 【分析】首先由二次根式有意义的条件求得x＝8，则y＝18，然后代入化简后的代数式求值． 【详解】解：由题意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0， 解得，x＝8，则y＝18， ∵x＞0，y＞0， ∴原式＝﹣ ＝﹣ ＝ ＝﹣ 把x＝8， y＝18代入 原式＝﹣ ＝2﹣3 ＝-， 故答案为：-． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简求值，解题关键是根据二次根式有意义的条件确定x、y的值，能够熟练的运用二次根式的性质化简． 19．（24-25八年级上·上海·阶段练习）先化简，再求值：，其中. 【答案】， 【分析】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 当时， 原式 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键． 20．（24-25八年级下·广东阳江·期中）学习了二次根式的乘除后，老师给同学们出了这样一道题：已知a＝，求的值．刘峰想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程： 解：∵， 又∵a＝， ∴， ∴原式＝． 你认为刘峰的解法对吗？如果对，请你给他一句鼓励的话；如果不对，请找出错误的原因，并改正． 【答案】答案见解析. 【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案． 【详解】刘峰的解法错误， 原因是：错误地运用了＝这个公式， 正确解法是：∵a＝＝＜1， ∴a﹣1＜0， ∴＝ ＝ ＝ ＝﹣， ∴原式＝﹣． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 【经典例题五 分母有理化】 21．（24-25九年级上·山西临汾·期末）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出______； （2）利用上面的解法，请化简： （3）和的值哪个较大，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）由（1）的方法可得，， ，根据可得 ，据此判断即可． 【详解】解：（1）； （2） （3）由（1）的方法可得， ∵ ∴ 即，． 【点睛】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 22．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：，，，… （1）填空：＝　 　； （2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．并证明你的结论． （3）利用上面的结论，求下列式子的值：． 【答案】（1）；（2）（n为正整数），证明见解析；（3）2007 【分析】（1）根据公式得到两个被开方数相邻的二次根式的和的倒数等于这两个二次根式的差，即可得到答案； （2）被开方数是两个相邻的数，它的分母有理化因式为，再利用平方差公式将分母化简； （3）根据（2）将各数化简合并同类二次根式，再利用平方差公式计算即可. 【详解】解：（1）原式＝=； 故答案为：； （2）规律为（n为正整数）． 证明如下：=＝=（n为正整数）； （3）原式＝() ＝（﹣1）（+1） ＝2008﹣1 ＝2007. 【点睛】此题考查二次根式的分母有理化，二次根式的混合运算，解决本题的关键是要熟练掌握运算的法则. 23．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式的化简与运算时，有时会碰上如，这样的式子其实我们还可以进一步化简．例如：，这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）请参照上述方法化简： （2）猜想：　　　　　（用含n的式子表示） （3）化简： 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据材料运用方法进行分母有理化即可； （2）根据题意总结规律即可； （3）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解． 【详解】解：（1） = =； （2） = = 故答案为：； （3） = = = 【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是根据材料能正确的进行分母有理化． 24．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．     在进行二次根式运算时，形如一样的式子，我们可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）请用上述的方法化简； （2）利用上面的解法，化简：． 【答案】（1）；（2）18 【分析】（1）给分子、分母同时乘以，然后在化简即可； （2）先分别给各无理式分母有理化、然后找规律解答即可． 【详解】解：（1）； （2） = = =     =     =18． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，掌握分母有理化并根据分母有理化总结规律、应用规律是解答本题的关键． 25．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）阅读理解：把分母中的根号化去叫做分母有理化，例如：①＝＝；②＝＝＝．等运算都是分母有理化，根据上述材料， （1）化简：； （2）+++…+． 【答案】（1）+；（2）． 【分析】（1）分母有理化即可； （2）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】解：（1）； （2）+++…+ ＝． 【点睛】此题考查了二次根式的分母有理化，本题中二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．找出分母的有理化因式是解本题的关键． 【经典例题六 二次根式的应用】 26．（24-25八年级下·山西忻州·期末）对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公式解答即可． 【详解】根据题意，若一个三角形的三边长分别为，，4，则 其面积为 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键． 27．（24-25七年级下·浙江·期中）读取表格中的信息，解决下列问题 … … … … 已知，求 ． 【答案】7 【分析】先分别求出，，的值，再归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：由题意得：， ， ， 归纳类推得：，其中为正整数， 当时， 则，即， 解得， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了二次根式运算的规律问题等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 28．（24-25九年级上·全国·单元测试）观察下列各式: 化简以上各式，并计算出结果; 以上式子与其结果存在一定的规律．请按规律写出第个式子及结果． 猜想第个式子及结果(用含(的整数)的式子写出)，并对猜想进行证明． 【答案】；；第个式子为及结果为，证明见解析 【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果； （2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果； （3）根据（1）的规律可得，然后分母有理化，求出结果即可． 【详解】解： 第个式子为及结果为 证明：左边 右边 成立 【点睛】本题主要考查分母有理化的知识点，解答本题的关键是找出上述各式的变化规律，此题难度一般． 29．（2019·山西吕梁·三模）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 古希腊几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式(海伦公式)：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积是． 印度算术家波罗摩笈多和婆什迦罗还给出了四边形面积的计算公式：如果一个四边形的四边长分别为，记，那么四边形的面积是(其中，和表示四边形的一组对角的度数) 根据上述信息解决下列问题： （1）已知三角形的三边是4，6，8，则这个三角形的面积是　　　　　　　　　　　　 （2）小明的父亲是工程师，设计的某个零件的平面图是如图的四边形，已知，，，，，．求出这个零件平面图的面积．    【答案】（1）；（2） 【分析】(1)根据三角形的面积公式直接代入数据计算即可； 【详解】(1)p=， ∴三角形的面积是： ； (2) ， ∴， ， ∴， ∴ ， 又， ∴， ∴这个零件平面图的面积是． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据题目给出的公式代入计算．还考查了计算能力． 30．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·期中）【阅读下列材料】 若，则（注：）． ．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大：当时，取等号．） 【例】：若，求的最小值． 解：， ． 时，的最小值为8． 【解决问题】 (1)若，求的最大值； (2)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (3)用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少． 【答案】(1) (2)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； (3)菜园的长为，宽为时，面积最大为平方米 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）根据基本不等式即可求解； （2）设这个长方形的长为x米，则另一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可； （3）设一边为，则另一边长为，则，根据基本不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时，的最大值为； （2）解：设这个长方形的长为x米，另一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （3）解：设一边为，则另一边长为，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时的最大值为 ∴当时，菜园的面积有最大值为平方米， 答：菜园的长为，宽为时，面积最大为平方米． 【经典例题七 二次根式的规律计算】 31．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）． (3)请用（2）中发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究，分式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意可得，第4个等式； （2）由题意知，第n个等式为； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，第4个等式， 故答案为：； （2）解：由题意知，第n个等式为； （3）解： ， ∴． 32．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）观察下列各式： ，，，…… (1)请你运用所发现的规律，写出第4个式子________． (2)请你将第n个式子（用含n的代数式）表示出来：________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所给例子，猜想结果并验证即可； （2）根据规律，写出等式进行验证即可． 【详解】（1）解：，验证如下： ， ∴等式成立． （2）根据规律，可以表示为： ，验证如下： 左边右边． ∴等式成立． 【点睛】本题考查了二次根式的加减法，验证等式时注意需要转化成完全平方才能开到根号外． 33．（24-25八年级下·广东广州·期中）观察下列各式： ①， ②， ③． (1)根据你发现的规律填空：__________． (2)用含的等式表示你的猜想（，为整数），并通过计算证明你的猜想． 【答案】(1) (2)（，n为自然数），证明见解析 【分析】（1）根据已知3个等式的规律解答即可； （2）先将被开方数通分，再根据二次根式的性质化简即可. 【详解】（1）④； 故答案为：；. （2）（，n为自然数）， 验证： （，n为自然数）． 【点睛】此题主要考查二次根式的性质以及规律探索，熟练掌握，即可解题． 34．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）观察下列各式： ①；②；③． 请回答下面的探究问题： （1）探究1：请回答上面各式是否成立； （2）探究2：猜想__________，并验证你的猜想； （3）探究3：用含有n的式子将规律表示出来，说明n的取值范围，并用数学知识证明你所写式子的正确性． 拓展：，，，… 根据观察上面各式的结构特点，归纳一个猜想，并验证你的猜想． 【答案】探究：（1）成立；（2）；理由见解析；（3）；证明见解析；拓展：猜想；验证见解析 【分析】探究：（1）根据二次根式性质进行化简计算即可得出答案； （2）根据给出的式子得出的规律进行解答即可； （3）用含有n的式子将规律表示出来，并用二次根式性质进行化简，验证即可； 拓展：根据给出的式子得出的结论，结合立方根定义，得出答案即可． 【详解】解：探究： （1）成立；理由如下： ①； ②； ③； （2）； 故答案为：． （3）用含有n的式子表示为： ， 证明：∵ ； ∴； 拓展：∵，，，… ∴猜想， 验证：当时，； 当时，． 【点睛】本题主要考查了二次根式和三次根式的化简计算，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，立方根的定义，准确计算． 35．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）观察下列式子：             ①             ②             ③ …… 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)第4个算式为___________． (2)求的值． (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据前三个式子的规律写出第4个算式； （2）由根号形式转化为积的性质，对每一项进行转化，从而计算出结果； （3）将（2）题进一步扩展到项即可． 【详解】（1）解：依题意，第4个算式为：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，观察式子的变化，找到规律是解题的关键． 【经典例题八 二次根式的新定义计算】 36．（23-24八年级下·北京·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数． 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程 (1)若，则_____， _____， _____； (2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 【答案】(1)，， (2)①作图见解析；② 【分析】（1）将分别代入求值即可得； （2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：当时， ， ， ， 故答案为：，，； （2）①， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， 都是正数， 都是正数， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键． 37．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下： 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______，______； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，解分式方程： （1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可； （2）分和，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∵， ∴； 故答案为：，； （2）当，即：时，则：，解得：， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴（舍去）； 当，即：时，则：， ∴或（舍去）； ∴． 38．（23-24八年级下·山东济宁·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)代数式中x的取值范围是______； (2)已知：，求： ①_____； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：． 【答案】(1)； (2)①2；②． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质、平方差公式的应用等知识点，掌握二次根式有意义的条件成为解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件列不等式组求解即可； （2）①运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可；②根据（1）构成方程组求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：，解得：， ∴x的取值范围为． 故答案为：． （2）解：①∵， ∴． 故答案为：2． ②由题意可得：，则，解得：， 经检验，是方程的根． ∴方程的解为． 39．（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，，； 再根据平方根的定义可得： ，，； 请回答下列问题： (1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；（n为正整数）=______． ② ______；当时，化简______． (2)应用：求；的值． (3)拓广：求的值． 【答案】(1)①；（n为正整数）；②； (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简，根据题意正确分母有理化以及化简二次根式是解答本题的关键． （1）①根据题干提供的方法进行分母有理化即可；②分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可； （2）每项进行分母有理化然后进行求解即可； （3）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简分母有理化，最后合并即可． 【详解】（1）解：①； ； 故答案为：；（n为正整数）； ②； ； 故答案为：；； （2） ； （3） ， ． 40．（23-24八年级下·全国·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为 ，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求： ①________； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________； (3)计算：． 【答案】(1)①2；② (2)，10，2 (3) 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）利用原题的过程，对原式进行变形后，即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴； 故答案为：2 ② 由①得，已知，两式相加得到， ， 即， 则，解得， 经检验，满足题意， 即方程的解是； （2）解：由二根式有意义的条件得到， 解得， 即的取值范围是，x的最大值是10，x的最小值是2； 故答案为：，10，2 （3） 【点睛】此题考查了二次根式的性质和混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$