专题04 二次根式80道计算题专项训练（8大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

第04讲 二次根式80道计算题专项训练（8大题型） 【经典计算题一 二次根式的加减计算】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】此题主要考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． （1）首先计算乘方、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）首先去括号并计算开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25九年级上·河南南阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的加减混合运算， （1）先把每个二次根式化简，再进行加减计算即可； （2）先把每个二次根式化简，最后再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（2024八年级上·上海·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 利用二次根式的性质先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 4．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算． （1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和实数的混合运算． （1）利用绝对值、算术平方根、立方根计算后进行加减法计算即可； （2）先把二次根式化简为最简二次根式，再进行加减法即可． 【详解】（1）解： （2） 6．（24-25八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式加减的混合运算计算即可； （2）根据二次根式混合运算，零指数幂，负整数指数幂公式计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2））解： ． 7．（24-25九年级上·吉林长春·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得． 【详解】解： ． 8．（24-25八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，实数的混合运算，二次根式的加减运算； （1）先化简绝对值，二次根式，计算乘方，负整数指数幂，再合并即可； （2）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算及立方根，熟练掌握二次根式的运算及立方根是解题的关键； （1）根据二次根式的加减乘运算可进行求解； （2）先利用二次根式及立方根的性质化简，然后再进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．（24-25八年级上·全国·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查二次根式的加减混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （2）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （3）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （4）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． 【详解】（1）解： ; （2）解： ; （3）解： ; （4）解： . 【经典计算题二 二次根式的乘除计算】 11．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题了二次根式的加减乘除混合运算，掌握运算法则，正确化简是解题的关键． （1）先化简二次根式和立方根，再进行合并同类二次根式即可； （2）先化简二次根式，再进行乘除计算，最后再进行加减计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 12．（24-25九年级上·江苏·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：关键是先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． （1）利用二次根式的乘除法则运算； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 13．（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式性质、立方根化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先运用完全平方公式、平方差公式计算，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25八年级上·四川达州·期中）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）先利用二次根式的性质化简，然后再计算二次根式的乘除，最后再计算二次根式的加减法． （2）先利用完全平方公式以及平方差公式展开，然后再计算二次根式的加减法运算． 【详解】（1）解： （2）解： 15．（23-24八年级下·河南郑州·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是： （1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可； （2）先计算二次根式的乘法，然后根据二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可； （3）先根据平方差公式、完全平方公式展开，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 16．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简，再合并同类二次根式； （2）先进行乘除运算，再进行加减计算； （3）分别化简计算负整数指数幂，绝对值，零指数幂，二次根式，再进行加减计算即可； （4）利用完全平方公式和平方差公式化简，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，二次根式的化简，平方差公式和完全平方公式，熟练掌握知识点和运算法则是解题的关键． 17．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，绝对值的化简，立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先进行二次根式的化简，再合并同类二次根式即可； （1）先化简绝对值，求出立方根，零指数幂，再进行计算即可； （3）先计算二次根式的乘法与除法，再合并同类二次根式即可； （4）先计算二次根式的乘法运算和乘方运算，化简二次根式，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 18．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题主要考查二次根式的运算． （1）利用二次根式的乘除运算法则计算即可； （2）先化简二次根式，再算加减法即可； （3）先化简二次根式，再算除法，最后算加减即可； （4）先化简二次根式，再运用平方差公式，最后算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 19．（24-25八年级上·北京顺义·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及到了二次根式的混合运算，完全平方公式与平方差公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式后运算即可； （2）化简二次根式后运算即可； （3）利用分配律运算后，再化简二次根式运算即可； （4）利用平方差公式和完全平方公式运算即可． 【详解】（1） 解：原式 （2） 解：原式 （3） 解：原式 （4） 解：原式 20．（24-25九年级上·云南·期末）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)7 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式性质，有理数乘方，0指数幂，二次根式的混合运算，是解题的关键． （1）先化简二次根式再根据二次根式的乘法运算法则计算即可； （2）先化简二次根式再根据二次根式的加减法运算法则计算即可； （3）先化简二次根式再根据二次根式的加减法运算法则计算即可； （4）先化简二次根式，去括号，乘方，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【经典计算题三 二次根式的化简求值】 21．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查二次根式的加减，乘法运算，分式的求值，完全平方公式等知识，将所求式子进行合理的变形，再将已知代入求解是解题的关键． （1）首先分母有理化，再计算出，然后将利用完全平方公式变形代数求解即可； （2）首先计算出，，然后将变形为，再代入数据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ． （2），， ， ， ∴ ． 22．（24-25八年级下·全国·期末）设，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将的值代入，分母有理化即可得出答案； （2）先计算出，把变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 23．（23-24八年级下·全国·期末）已知，求 的值 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用乘法公式进行整体代入是解题关键． 首先化简得到，，然后求出，，然后代入求解即可． 【详解】解：， ， ∴，， ． 24．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算及分母有理化是解题的关键， （1）根据，，，代入求值即可； （2）先由，，求得，，再将化为后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 25．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知，，求代数式的值： (1)； (2) ． 【答案】(1)16 (2)4 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的运用，注意整体思想的运用； （1）先分别计算出的值，由完全平方公式得，再代入求值即可； （2）原式化为，再整体代入即可． 【详解】（1）解：∵，； ∴； （2）解：． 26．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，，求下列代数式的值： (1) (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先求出、的值，再将式子变形为，代入计算即可得解； （2）根据分式的混合运算法则进行化简，再代入的值计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解： ， 由（1）可得：，故原式． 27．（24-25八年级上·全国·期末）已知，， (1)求及的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)7 【分析】本题考查了分母有理化、二次根式的化简求值的知识，掌握分母有理化、二次根式的运算法则是关键． （1）先求出再代入求值即可； （2）先计算，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：， 将代入得： 28．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项把原式化简，把、的值代入计算得到答案． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 29．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据平方差公式、多项式乘多项式的运算法则去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将，的值代入计算即可． 【详解】解： ． 当时， 原式， ， ． 30．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先根据平方差公式、单项式乘以多项式的运算法则把原式化简，再把的值代入计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 【经典计算题四 二次根式的混合运算】 31．（重庆市奉节县2024—2025学年八年级上学期期末数学试题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算即可求解； （2）先利用平方差公式和完全平方公式化简，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．（24-25八年级上·福建三明·期末）计算题：． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值、化简二次根式、二次根式的乘法与减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先化简绝对值、化简二次根式、计算二次根式的乘法，再计算二次根式的减法即可得． 【详解】解： ． 33．（24-25八年级上·重庆·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）先算乘方和负整数指数幂，再算除法，最后算加减即可； （2）先算乘除，再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 34．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算． （1）先算乘方、开方、绝对值，再算加减； （2）先根据乘法公式计算，再算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．（2025八年级下·全国·专题练习）计算与化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，利用二次根式性质化简，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式，结合二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 36．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）运用平方差公式及完全平方公式进行运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先进行零次幂、负指数幂、去绝对值运算，同时将二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算，即可求解； 掌握二次根式混合运算的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 37．（24-25八年级上·河北沧州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式的应用，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）根据平方根，立方根，绝对值的性质进行计算即可； （2）利用平方差公式，完全平方公式展开计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 38．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： 【答案】8 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据完全平方公式，平方差公式，零指数幂，以及化简绝对值，进行计算即可求解． 【详解】解： ． 39．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）运用乘法公式，二次根式的混合法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 40．（24-25八年级上·山东青岛·期末）化简计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先根据立方根和算术平方根的性质化简，再计算，即可求解； （2）先根据算术平方根的性质化简，再计算，即可求解． （3）根据平方差公式和二次根式的混合运算法则计算即可求解； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【经典计算题五 复合二次根式的化简】 41．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：（a＞b） 例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12 即， ∴= （1）填空：＝　 　，＝　 　； （2）化简：． 【答案】（1） ， ；（2） 【分析】（1）化简时，根据范例确定a，b值为3和1，化简时，根据范例确定a，b值为4和5，再根据范例求解.（2）化简时，根据范例确定a，b值为15和4，再根据范例求解. 【详解】解：（1）在中，m=4，n=3，由于3+1=4，3×1=3 即， ∴=； 首先把化为，这里m＝9，n＝20，由于4+5＝9，4×5＝20 即， ∴= （2）首先把化为，这里m＝19，n＝60，由于15+4＝19，15×4＝60 即， ∴= 【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的形式是解答此题的关键. 42．（24-25九年级上·湖北随州·期中）阅读理解题：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，我们来进行以下的探索： 设a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n都是正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样就得出了把类似a+b的式子化为平方式的方法，请仿照上述方法探索并解决下列问题： （1）当a，b，m，n都为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝　 　，b＝　 　． （2）若a﹣4＝（m﹣n）2且a，m，n都为正整数，求a的值． 【答案】（1）m2+5n2，2mn   （2）21或9 【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2＝m2+5n2+2mn，而a，b，m，n都是正整数，则利用无理数和有理数的意义得到a＝m2+5n2，b＝2mn； （2）利用（1）的方法得到﹣2mn＝﹣4，a＝m2+5n2，再利用m，n都为正整数得到m＝1，n＝2或m＝2，n＝1，然后计算对应的a的值即可． 【详解】解：（1）（m+n）2＝m2+5n2+2mn， ∴a＝m2+5n2，b＝2mn； 故答案为m2+5n2，b＝2mn； （2）∵a﹣4＝（m﹣n）2， ∴a﹣4＝m2+5n2﹣2mn， ∴﹣2mn＝﹣4，a＝m2+5n2， ∵a，m，n都为正整数， 而mn＝2， ∴当m＝1时，n＝2，此时a＝12+5×22＝21； 当m＝2时，n＝1，此时a＝22+5×12＝9； 综上所述，a的值为21或9． 【点睛】此题主要考查新定义运算的求解，解题的关键是熟知完全平方公式的运用. 43．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）观察下列各式及其化简过程: ==+1 ==- （1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，填空：= =-1 （2）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将化简; （3）针对上述各式反映的规律，写出=-()中m、n与之间的关系． 【答案】（1）；（2）；（3）m=a＋b，n=ab 【分析】观察上述例子可发现，通过把被开方数变成一个完全平方式，再利用二次根式性质化简即可， 需注意完全平方公式中的a2＋b2在被开方数中被合并，可以通过2ab去判断a、b的值. 【详解】解：（1）===-1， 故填：； （2）==== （3）通过以上规律不难发现：m=a＋b，n=ab. 【点睛】此题考查的是利用完全平方公式化简同类二次根式，找出其中的规律是解决此题的关键. 44．（24-25八年级上·上海黄浦·阶段练习）观察下列各式及其化简过程：=; （1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将的化简； （2）化简： （3）化简； 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）观察题中给的例子，我们将10拆成与构成完全平方式，接下来按照二次根式的性质化简即可； （2）将10拆成与构成完全平方式，接下来按照二次根式的性质化简即可； （3）将原式变形为，即，然后将12拆成与构成完全平方式，接下来按照二次根式的性质化简即可. 【详解】（1）===； （2）===； （3）======. 【点睛】本题考查了二次根式化简与完全平方式的综合运用，通过题干得出相应的方法是解题关键. 45．（24-25八年级上·福建三明·期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有：. 例如：化简：. 解：首先把化为，这里，， 因为，， 即，， 所以== 根据上述例题的方法化简： 【答案】 【分析】直接利用完全平方公式化简求出答案. 【详解】解：首先把化为，这里，， 因为， 即，， 所以== 故答案为. 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题的关键. 46．（24-25八年级上·全国·课后作业）对于完全平方公式：，同学们已经非常熟悉.现在我们又学习了算术平方根，知道任何一个非负数都有算术平方根，那么怎样来求的算术平方根呢？ 解：. 点评：解题的关键是将3拆成2和1. 请你继续完成下列题目. 计算：(1) ； (2) . 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）将化为，仿照例题直接利用完全平方公式开平方即可求解；（2）将化为 ，仿照例题直接利用完全平方公式开平方即可求解． 【详解】（1） . （2） 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练应用完全平方公式是解决问题的关键． 47．（24-25八年级下·山东济南·期末）同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟悉掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有非负数都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察： ； 反之，； ∴； ∴. 仿上例，求： （1）； （2）若，则、与、的关系是什么？并说明理由. 【答案】（1）；（2），.理由见解析. 【分析】（1）根据阅读材料即可求解； （2）根据阅读材料两边同时平方即可求解. 【详解】（1） ； （2），； ∵，∴， ∴， ∴，. 【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的运算法则. 48．（24-25八年级下·广东·阶段练习）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b(其中a、b、m、n均为整数)， 则有：a+b，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b，用含m、n的式子分别表示a、b得：a＝　 　，b＝　 　； (2)利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+4＝　 　． (3)请化简：. 【答案】(1)m2+3n2，2mn；(2)(2+)2；(3)3- . 【分析】（1）根据完全平方公式展开，再得出即可； （2）根据完全平方公式得出即可； （3）根据（1）即可解答． 【详解】解：(1)(m+n)2＝m2+3n2+2mn， ∴a＝m2+3n2，b＝2mn． 故答案为m2+3n2，2mn； (2)7+4＝(2+)2； 故答案为(2+)2； (3)∵12﹣6＝(3﹣)2， ∴． 【点睛】本题考查了平方根、立方根、完全平方公式、算术平方根等知识点，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键． 49．（24-25八年级下·全国·课后作业）有这样一类题目：将化简，如果能找到两个数m、n，使且，则可将变成，即变成开方，从而使得化简. 例如：5+2=3+2+2 = = 请仿照上例化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据完全平方公式把5-2化为，然后利用二次根式的性质计算； （2）根据完全平方公式把4-2化为，然后利用二次根式的性质计算． 【详解】(1)5-2=3+3-2=+-2=，所以=． (2)4-2=3+1-2=+(1)2-2 =，所以=． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了完全平方公式和阅读理解能力． 50．（24-25八年级下·浙江·课后作业）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：＝|1＋|＝1＋ 解决问题：①模仿上例的过程填空：＝_________________＝________________＝_________________ ②根据上述思路，试将下列各式化简： (1)；    (2). 【答案】①，，3+；②(1)5-；(2) . 【分析】①模仿阅读材料的方法将原式变形，计算即可得到结果； ②仿照以上方法将各式化简即可． 【详解】①===3+， 故答案为，，3+； ②(1) = = = = =5-； (2) = = = = =. 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【经典计算题六 分母有理化】 51．（24-25八年级上·广东茂名·期中）阅读下列解题过程： ； ． 请回答下列问题： (1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②______；③的倒数是______； (2)应用：求的值； 【答案】(1)①；②；③； (2) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）仿照阅读材料分母有理化即可； （2）根据（1）的规律变形后计算即可． 【详解】（1）解：①； ②， ③∵， ∴的倒数是； 故答案为：，，； （2）解：原式． 52．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． (1)直接写出结果 ； (2)利用上面的规律，计算：； (3)比较大小：与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式、分母有理化、二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则和运算顺序，注意平方差公式的应用． （1）根据①中的计算方法，可以求得所求式子的值； （2）根据（1） 中的结果，可以将所求式子展开，然后计算即可； （3）根据（1）中的结果，可以将与变形，从而可以求得 与的大小关系． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ； （3）解：， ， ∵， ∴， 即． 53．（24-25八年级上·福建宁德·期中）我们已经知道，因此像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以下各小题 (1)计算：； (2)比较：与的大小； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）分子、分母同时乘以，进行分母有理化即可求解； （2）根据材料提示，将的分子、分母同时乘以分母有理化得，将的分子、分母同时乘以分母有理化得，再将两数作差进行比较即可； （3）根据材料提示，分别进行分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 54．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）材料阅读题： 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化． 例如：化简． 解：． 观察上面解题过程，并解答下列问题： (1)求______，的倒数是______； (2)若a是的小数部分，化简：； (3)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，读懂题中材料：分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据分母有理化化简即可解答； （2）估算出的整数部分，即可求得a的值，然后把值代入并化简即可； （3）利用分母有理化的方法化简每个二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：， 的倒数是； （2）解：∵， ∴， 即的整数部分为2， ∴． 当时，． （3）解：原式 ． 55．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）面对一些二次根式，其实可以用了因式分解中的分组分解法来解决问题： ， 则． 利用这种思想，解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式混合运算，找到有理化因式是解题的关键． （1）根据题意分母有理化即可 （2）根据题意分母有理化即可 （3）根据题意分母有理化，在合并同类二次根式即可 【详解】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 56．（24-25九年级上·海南海口·期中）阅读下列解题过程： ； 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出______； (2)利用上面的解法，化简 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要查了二次根式的混合运算： （1）通过观察题目中的解题过程可以看出：相邻的两个数算术平方根的和的倒数等于它们算术平方根的差，即可； （2）根据规律，先化简成二次根式的加减运算，再进行计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解： ． 57．（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）阅读下列计算过程： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 请解决下列问题： (1)写出第个等式，并证明； (2)计算：． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查平方差公式、分母有理化，熟练掌握平方差公式、分母有理化是解决本题的关键． （1）先观察，再根据平方差公式、分母有理化解决此题． （2）利用（1）中的等式规律求解． 【详解】（1）解：第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第个等式：， 证明：左边右边； （2）解：， ． 58．（24-25八年级上·山东青岛·期中）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖，双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如： ；，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如；，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化，解决问题： (1)的有理化因式是_______，分母有理化得________； (2)比较大小：__________（用“”“”或“”填空）； (3)计算：． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）根据题中的步骤进行有理化因式，分母有理化即可求解； （）将和进行分母有理化，然后作差值即可比较大小； （）将原式分母有理化，化简即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，的有理化因式是：； ， 故答案为：，； （2）解：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 59．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）小辉在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： 1．一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：． 2．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：． (1)根据以上方法，写出下列式子的结果： ①________；②________ ； (2)若，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、完全平方公式、分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解答本题的关键． （1）①根据1中的解法解答即可； ②根据2中的解法解答即可； （2）根据完全平方公式和分母有理化可以解答本题； 【详解】（1）解：①； ②， 故答案为：①；②． （2）解：， 则 ． 60．（24-25八年级上·江西吉安·期中）观察与计算： ；        ； ______；    ______． 像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如： ；；． 【应用】 （1）化简：①；② （2）化简： 【答案】观察与计算：；；应用：（1）①；②；（2） 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的乘法计算： 观察与计算：直接根据二次根式乘法计算法则求解即可； 应用：（1）①先把分母化简，再把分子分母同时乘以即可得到答案；②把分子分母同时乘以，再计算化简即可得到答案； （2）证明（n为正偶数），再把所求式子裂项并计算求解即可． 【详解】解：观察与计算：； ； 应用：（1）①； ② ； （2）（n为正偶数） ， ∴ ． 【经典计算题七 二次根式中的新定义运算】 61．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化． 解：原式． 运用以上方法解决问题： (1)将分母有理化； (2)比较大小：（在横线上填“>”、“<”或“=”） ________； _________（，且n为整数）； (3)化简：． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，解题的关键是能正确进行分母有理化． （1）根据平方差公式先分子和分母都乘以，即可求出答案； （2）先分母有理化，求出后进行判断即可； （3）先分母有理化，最后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，，， ， ∵，， ∴， 故答案为：，； （3）解： ． 62．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可； （3）根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“行知区间”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“行知区间”是； 故答案为：； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的“行知区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：，解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“行知区间”为． 63．（23-24八年级下·陕西延安·期中）定义：形如“”，“”的根式，我们称之为一对“对偶式”．因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将根号去掉．当分式的分母上含有根号时，我们可以分子，分母同时乘以分母的对偶式，这样就可以消除分母上的根式，这样的做法我们叫做“分母有理化”．同样的道理，我们可应用此法将分子上的根号去掉，这样的做法叫做“分子有理化”． 根据以上材料，解答下列问题． (1)利用分母有理化，计算：的值． (2)利用分子有理化，比较与的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． （）根据分母有理化即可求解； （）根据分子有理化即可求解； 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 64．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． （1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据新定义，列出含有的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴． 65．（24-25八年级上·广东茂名·开学考试）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是_____； (2)若，求的“麓外区间”． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可． 【详解】（1）∵， ∴， 即：无理数的“麓外区间”是； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的“麓外区间”为． 66．（23-24八年级上·福建漳州·期中）定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)与是关于3的“实验数”．理由见解析． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与-1是关于3的“实验数”； （2）把代入计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【详解】（1）解：， 所以与是关于的“实验数”， ， 所以与是关于的“实验数” 故依次填：，； （2）解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ∴与是关于的“实验数”． 67．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为连续的整数），则称无理数的“臻美区间”为，如，所以的“臻美区间”为． (1)无理数的“臻美区间”是______． (2)若一个无理数的“臻美区间”为，且满足，其中是关于的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数满足如下关系式：，求的算术平方根的“臻美区间”． 【答案】(1) (2)37 (3) 【分析】（1）先估算的大小，然后再估算的大小，然后根据无理数的“臻美区间”进行解答即可； （2）先根据已知条件，求出满足题意的，的值，从而求出，，然后根据二元一次方程解的定义，把、、和的值分别代入，求出即可； （3）先根据二次根式的非负性，求出，从而得到，再根据偶次方的非负性，列出关于，的两个含有字母参数的二元一次方程，从而求出的值，然后估算的算术平方根的大小，求出的“臻美区间”即可． 【详解】（1）解：， ， ， 无理数的“臻美区间”是， 故答案为：； （2）解：、为连续的整数，是关于，的二元一次方程的一组正整数解， 是正整数，， 一个无理数的“臻美区间”为， ， ， 当，即时，不存在，舍去； 当，即时，不满足不等式，舍去； 当，即时，满足不等式，则； 当，即时，不存在，舍去； 满足题意的，的值为， ，则； （3）解：，，， ， ， ， ， ，， ①，②， ①②得，则，即，解得， ，即， 的算术平方根的“臻美区间”为． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算和新定义，涉及二元一次方程的解、非负数的性质-算术平方根、二次根式有意义的条件、非负数的性质-偶次方、估算无理数的大小等知识，解题关键是熟练掌握正确估算无理数的大小和理解新定义的含义． 68．（23-24八年级下·江西南昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a，b是因子二次根式，c为因子． (1)请判断和是否为因子二次根式．如果是，求出因子；如果不是，请说明理由． (2)若与是因子二次根式，3为因子，求n的值． 【答案】(1)和是因子二次根式，因子为； (2)． 【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． （1）根据因子二次根式的定义进行计算即可； （2）根据因子二次根式的定义得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴和是因子二次根式，因子为； （2）解：由题意，得：， ∴， ∴． 69．（23-24八年级下·山东济宁·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)代数式中x的取值范围是______； (2)已知：，求： ①_____； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：． 【答案】(1)； (2)①2；②． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质、平方差公式的应用等知识点，掌握二次根式有意义的条件成为解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件列不等式组求解即可； （2）①运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可；②根据（1）构成方程组求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：，解得：， ∴x的取值范围为． 故答案为：． （2）解：①∵， ∴． 故答案为：2． ②由题意可得：，则，解得：， 经检验，是方程的根． ∴方程的解为． 70．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）阅读材料： 规定表示一对数对，给出如下定义：，．将与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是________与________； (2)若数对的一对“对称数对”相同，则的值是多少？ (3)若数对一个“对称数对”是，求、的值． 【答案】(1)，； (2) (3)，或， 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，理解题意是解题的关键． （1）根据“对称数对”的定义代入计算即可； （2）先将数对的一对“对称数对”表示出来，根据“数对的一对“对称数对”相同”，可得的值； （3）将数对的一对“对称数对”求出来，分类讨论求出，，即可知、的值． 【详解】（1）由题意得，， 数对的一对“对称数对”是与； 故答案为：，； （2）由题意得， 数对的一对“对称数对”为与， 数对的一对“对称数对”相同， ， ； （3）数对一个“对称数对”是，， ，或，， ，或，． 【经典计算题八 二次根式中的规律计算】 71．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 【答案】(1)； (2)2023； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的式子，总结规律，即可作答． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：； （2）解： ． 故答案为：2023， （3）解：依题意， ． 72．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读理解 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例1：，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 例2： 请仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式是________．的有理化因式是________（均写出一个即可）． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用你发现的规律计算下面式子的值 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式， （1）根据题目中的材料，可以求出的有理化因式和的有理化因式； （2）先求出，再代入进行分母有理化即可； （3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴的有理化因式为，的有理化因式为， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∴， ∴， （3） ． 73．（24-25八年级上·江西抚州·期中）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． (1)直接写出结果________； (2)利用上面的规律，计算：； (3)比较大小：与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则和运算顺序，注意平方差公式的应用． （1）根据①中的计算方法，可以求得所求式子的值； （2）根据（1） 中的结果，可以将所求式子展开，然后计算即可； （3）根据②中的结果，可以将与变形，从而可以求得 与的大小关系． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：，， ∵， ∴， 即． 74．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数字类的规律探索： （1）仿照①化简求解即可； （2）根据（1）中式子可得一个大于等于2的正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数再加上这个正整数的和的算术平方根等于这个正整数乘以这个正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数的算术平方根，据此求解即可； （3）仿照①中化简二次根式的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④； ……．， 以此类推，可知； （3）证明： ． 75．（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ， …… 请解答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出 ； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上述各式子的规律； (3)利用上面的规律，请化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，解题的关键是根据题目中给出的数字表达式，找出规律，准确计算． （1）根据题目中给出的方法进行计算即可； （2）根据（1）中找出的规律，写出用含n（n 为正整数）的关系式表示的规律即可； （3）根据解析（2）找出的一般规律进行化简计算即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：． （2）解：观察前面例子的过程和结果得： ． （3）解： ． 76．（24-25九年级上·河南南阳·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析； (4)． 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法把，再根据二次根式的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解 ：根据材料提示可得，特例4为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）解： ． 77．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）观察下列各式及其验证过程 ， 验证： ， 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明． 【答案】(1)猜想，验证见详解 (2)，验证见详解 【分析】本题考查数字的变化类，理解题目所提供的等式的呈现规律是正确解答的关键． （1）根据题目中所提供的方法进行验证即可； （2）总结概括出一般的规律，用代数式表示出来，再利用题目所提供的方法进行验证即可． 【详解】（1）解：猜想， 验证：； （2）解：， 验证：． 78．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）阅读下列解题过程： 请根据上面的解题过程解答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简： ① ② （2）请你用含（为正整数）的关系式表示上面各式子的变形规律：_____________； （3）利用（2）中的结论，试求 的值． 【答案】（1）①，②；（2）；（3）． 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题例运算即可求解； （2）根据题例即可得出一般规律； （3）原式各项分母有理化后，合并即可得出答案． 【详解】解：（1）依题意可得： ① ②； （2）根据题意，观察式子的规律可得： ， 故答案为：； （3） ． 79．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先化简，再代入代数式计算即可； （）利用倒数的关系，先分别化简、，比较结果的大小，进而可比较与的大小； （）由题意可得每项可表示为，利用该规律拆项后计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简及化简求值，二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴原式 ， ， ； （2）解：∵， ， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ∴原式 ， ． 80．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）（1）观察下列各式的特点：，，，… 根据以上规律可知：______． （2）观察下列式子的化简过程： ， ， ，… 根据观察，请写出式子的化简过程． （3）计算下列算式：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用题目中的规律进行判断即可； （2）利用分母有理化进行化简即可； （3）利用（2）中的化简方法得到原式，然后合并即可． 【详解】解：（1）根据题目中的规律可知：， 故答案为：； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的混合运算，先把二次根式化简为最简二次根式，然后进行乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，能结合题目，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往事半功倍． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次根式80道计算题专项训练（8大题型） 【经典计算题一 二次根式的加减计算】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 2．（24-25九年级上·河南南阳·期末）计算： (1) (2) 3．（2024八年级上·上海·专题练习）计算：． 4．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1) (2) 5．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2) 6．（24-25八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 7．（24-25九年级上·吉林长春·期末）计算：． 8．（24-25八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 9．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）计算： (1) (2)． 10．（24-25八年级上·全国·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【经典计算题二 二次根式的乘除计算】11．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）计算： (1) (2) 12．（24-25九年级上·江苏·期中）计算： (1)； (2)． 13．（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）计算． (1) (2) 14．（24-25八年级上·四川达州·期中）化简 (1) (2) 15．（23-24八年级下·河南郑州·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 16．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 17．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 18．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 19．（24-25八年级上·北京顺义·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 20．（24-25九年级上·云南·期末）计算 (1) (2) (3) (4) 【经典计算题三 二次根式的化简求值】 21．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 22．（24-25八年级下·全国·期末）设，求下列各式的值： (1)； (2)． 23．（23-24八年级下·全国·期末）已知，求 的值 24．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)． 25．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知，，求代数式的值： (1)； (2) ． 26．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，，求下列代数式的值： (1) (2)先化简，再求值：． 27．（24-25八年级上·全国·期末）已知，， (1)求及的值； (2)求的值． 28．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 29．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中 30．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【经典计算题四 二次根式的混合运算】 31．（重庆市奉节县2024—2025学年八年级上学期期末数学试题）计算： (1)； (2)． 32．（24-25八年级上·福建三明·期末）计算题：． 33．（24-25八年级上·重庆·期末）计算： (1) (2) 34．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）计算： (1)； (2)； 35．（2025八年级下·全国·专题练习）计算与化简： (1)； (2)． 36．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）计算 (1)； (2)． 37．（24-25八年级上·河北沧州·期末）计算： (1) (2) 38．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： 39．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）计算： (1)； (2)． 40．（24-25八年级上·山东青岛·期末）化简计算 (1) (2) (3) 【经典计算题五 复合二次根式的化简】 41．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：（a＞b） 例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12 即， ∴= （1）填空：＝　 　，＝　 　； （2）化简：． 42．（24-25九年级上·湖北随州·期中）阅读理解题：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，我们来进行以下的探索： 设a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n都是正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样就得出了把类似a+b的式子化为平方式的方法，请仿照上述方法探索并解决下列问题： （1）当a，b，m，n都为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝　 　，b＝　 　． （2）若a﹣4＝（m﹣n）2且a，m，n都为正整数，求a的值． 43．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）观察下列各式及其化简过程: ==+1 ==- （1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，填空：= =-1 （2）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将化简; （3）针对上述各式反映的规律，写出=-()中m、n与之间的关系． 44．（24-25八年级上·上海黄浦·阶段练习）观察下列各式及其化简过程：=; （1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将的化简； （2）化简： （3）化简； 45．（24-25八年级上·福建三明·期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有：. 例如：化简：. 解：首先把化为，这里，， 因为，， 即，， 所以== 根据上述例题的方法化简： 46．（24-25八年级上·全国·课后作业）对于完全平方公式：，同学们已经非常熟悉.现在我们又学习了算术平方根，知道任何一个非负数都有算术平方根，那么怎样来求的算术平方根呢？ 解：. 点评：解题的关键是将3拆成2和1. 请你继续完成下列题目. 计算：(1) ； (2) . 47．（24-25八年级下·山东济南·期末）同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟悉掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有非负数都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察： ； 反之，； ∴； ∴. 仿上例，求： （1）； （2）若，则、与、的关系是什么？并说明理由. 48．（24-25八年级下·广东·阶段练习）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b(其中a、b、m、n均为整数)， 则有：a+b，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b，用含m、n的式子分别表示a、b得：a＝　 　，b＝　 　； (2)利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+4＝　 　． (3)请化简：. 49．（24-25八年级下·全国·课后作业）有这样一类题目：将化简，如果能找到两个数m、n，使且，则可将变成，即变成开方，从而使得化简. 例如：5+2=3+2+2 = = 请仿照上例化简下列各式： (1) (2) 50．（24-25八年级下·浙江·课后作业）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：＝|1＋|＝1＋ 解决问题：①模仿上例的过程填空：＝_________________＝________________＝_________________ ②根据上述思路，试将下列各式化简： (1)；    (2). 【经典计算题六 分母有理化】 51．（24-25八年级上·广东茂名·期中）阅读下列解题过程： ； ． 请回答下列问题： (1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②______；③的倒数是______； (2)应用：求的值； 52．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． (1)直接写出结果 ； (2)利用上面的规律，计算：； (3)比较大小：与． 53．（24-25八年级上·福建宁德·期中）我们已经知道，因此像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以下各小题 (1)计算：； (2)比较：与的大小； (3)化简：． 54．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）材料阅读题： 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化． 例如：化简． 解：． 观察上面解题过程，并解答下列问题： (1)求______，的倒数是______； (2)若a是的小数部分，化简：； (3)利用上面的解法，请化简：． 55．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）面对一些二次根式，其实可以用了因式分解中的分组分解法来解决问题： ， 则． 利用这种思想，解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)化简：． 56．（24-25九年级上·海南海口·期中）阅读下列解题过程： ； 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出______； (2)利用上面的解法，化简 ． 57．（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）阅读下列计算过程： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 请解决下列问题： (1)写出第个等式，并证明； (2)计算：． 58．（24-25八年级上·山东青岛·期中）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖，双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如： ；，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如；，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化，解决问题： (1)的有理化因式是_______，分母有理化得________； (2)比较大小：__________（用“”“”或“”填空）； (3)计算：． 59．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）小辉在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： 1．一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：． 2．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：． (1)根据以上方法，写出下列式子的结果： ①________；②________ ； (2)若，求的值． 60．（24-25八年级上·江西吉安·期中）观察与计算： ；        ； ______；    ______． 像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如： ；；． 【应用】 （1）化简：①；② （2）化简： 【经典计算题七 二次根式中的新定义运算】 61．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化． 解：原式． 运用以上方法解决问题： (1)将分母有理化； (2)比较大小：（在横线上填“>”、“<”或“=”） ________； _________（，且n为整数）； (3)化简：． 62．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 63．（23-24八年级下·陕西延安·期中）定义：形如“”，“”的根式，我们称之为一对“对偶式”．因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将根号去掉．当分式的分母上含有根号时，我们可以分子，分母同时乘以分母的对偶式，这样就可以消除分母上的根式，这样的做法我们叫做“分母有理化”．同样的道理，我们可应用此法将分子上的根号去掉，这样的做法叫做“分子有理化”． 根据以上材料，解答下列问题． (1)利用分母有理化，计算：的值． (2)利用分子有理化，比较与的大小． 64．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 65．（24-25八年级上·广东茂名·开学考试）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是_____； (2)若，求的“麓外区间”． 66．（23-24八年级上·福建漳州·期中）定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 67．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为连续的整数），则称无理数的“臻美区间”为，如，所以的“臻美区间”为． (1)无理数的“臻美区间”是______． (2)若一个无理数的“臻美区间”为，且满足，其中是关于的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数满足如下关系式：，求的算术平方根的“臻美区间”． 68．（23-24八年级下·江西南昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a，b是因子二次根式，c为因子． (1)请判断和是否为因子二次根式．如果是，求出因子；如果不是，请说明理由． (2)若与是因子二次根式，3为因子，求n的值． 69．（23-24八年级下·山东济宁·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)代数式中x的取值范围是______； (2)已知：，求： ①_____； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：． 70．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）阅读材料： 规定表示一对数对，给出如下定义：，．将与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是________与________； (2)若数对的一对“对称数对”相同，则的值是多少？ (3)若数对一个“对称数对”是，求、的值． 【经典计算题八 二次根式中的规律计算】 71．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 72．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读理解 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例1：，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 例2： 请仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式是________．的有理化因式是________（均写出一个即可）． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用你发现的规律计算下面式子的值 73．（24-25八年级上·江西抚州·期中）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． (1)直接写出结果________； (2)利用上面的规律，计算：； (3)比较大小：与． 74．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 75．（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ， …… 请解答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出 ； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上述各式子的规律； (3)利用上面的规律，请化简：． 76．（24-25九年级上·河南南阳·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 77．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）观察下列各式及其验证过程 ， 验证： ， 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明． 78．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）阅读下列解题过程： 请根据上面的解题过程解答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简： ① ② （2）请你用含（为正整数）的关系式表示上面各式子的变形规律：_____________； （3）利用（2）中的结论，试求 的值． 79．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 80．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）（1）观察下列各式的特点：，，，… 根据以上规律可知：______． （2）观察下列式子的化简过程： ， ， ，… 根据观察，请写出式子的化简过程． （3）计算下列算式：． 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