专题03 二次根式的加减重难点题型专训（12大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题03 二次根式的加减重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减运算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 分母有理化 题型五 已知字母的值，化简求值 题型六 已知条件式，化简求值 题型七 比较二次根式的大小 题型八 二次根式的实际应用 题型九 二次根式的新定义问题 题型十 二次根式的阅读理解类问题 题型十一 二次根式加减法中的规律计算 题型十二 二次根式计算综合问题 【知识梳理】 知识点1： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点2： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点3：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【经典例题一 同类二次根式】 【例1】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）若与可以合并成一项，则m可以是（   ） A．50 B．15 C．0.5 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义，把每个选项代入化简，检验化简后被开方数是否相同． 【详解】解：A、把50代入化简得：，故A选项不符合题意； B、把15代入化简得：，故B选项不符合题意； C、把0.5代入化简得：，故C选项不符合题意； D、把代入化简得：，故D选项符合题意； 故选：D． 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，将各项先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类二次根式，该选项不合题意； 、∵， ∴与不是同类二次根式，该选项不合题意； 、∵，， ∴与是同类二次根式，该选项符合题意； 、∵，， ∴与不是同类二次根式，该选项不合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）在，，，，，中不是的同类二次根式的有 ． 【答案】， 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 将二次根式，，，，，分别化简后得到与是同类二次根式的个数． 【详解】解：二次根式，，，，，， 与不是同类二次根式是：，． 故答案为：，． 3．（24-25七年级上·北京海淀·期末）已知最简二次根式和是同类二次根式，求的平方根． 【答案】 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义列出关于x、y的方程组，解方程组得出x、y的值，再求出的值，最后求出平方根即可． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，平方根的定义，最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的定义，准确进行计算． 【经典例题二 二次根式的加减运算】 【例2】（24-25八年级上·山西运城·期中）下列各式计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．根据二次根式的计算法则及二次根式的性质逐一计算即可得答案． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意； B．，故该选项计算错误，不符合题意； C．，故该选项计算正确，符合题意； D．，故该选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式加减混合运算，先化成最简二次根式，再进行加减运算，即可求解；掌握二次根式加减混合运算法则，能熟练化简二次根式是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 5．（24-25八年级上·全国·期中）计算 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别根据算术平方根的性质和立方根的定义化简各项后再合并即可． 【详解】解： 6．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）已知，，． (1)______，______； (2)求的值． 【答案】(1)4， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，分式的化简求值，以及平方差公式的运用． （1）根据二次根式的加减混合运算法则代入求解即可； （2）先对原式进行化简，再结合平方差公式代入求值即可． 【详解】（1）解：，， ， ， 故答案为：4，． （2）解： ． 【经典例题三 二次根式的混合运算】 【例3】（23-24八年级上·四川眉山·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 7．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．先利用二次根式的乘除法法则计算，再加减． 【详解】解：原式， ， ， 8．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)2 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的除法运算，掌握二次根式的性质以及二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，求一个数的立方根和平方根，进而根据实数的性质进行计算即可； （2）根据二次根式的乘除法运算进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（24-25八年级上·四川达州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则______； (2)化简：______； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，应用“对偶式”进行分母有理化． （1）根据阅读材料的方法进行求解即可； （2）分母有理化即可得答案； （3）将每个加数分母有理化，再相加即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 故答案为：2； （2）解：原式， 故答案为：； （3）原式 ， ． 【经典例题四 分母有理化】 【例4】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】将的值代入代数式中，然后再分母有理化即可． 【详解】解：原式； 故选：． 【点睛】此题考查的是二次根式的分母有理化． 10．（24-25八年级上·四川成都·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的化简和二次根式的混合运算，先利用分母有理化得到，把代数式变形后整体代入即可． 【详解】解: ， ． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）分母有理化应用： (1)填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； (2)化简：； (3)利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的混运算； （1）根据平方差公式以及二次根式的性质化简，即可求解； （2）分别分母有理化，然后再合并 二次根式，即可求解； （3）比较两数的倒数的大小，即可求解． 【详解】（1）解： ； 故答案为： ，； （2） ； （3）理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴． 12．（24-25八年级下·四川泸州·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______，______． (2)已知：，求的值． (3)计算：． 【答案】(1) (2)16 (3)2022 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，解题关键是熟练掌握如何把二次根式分母有理化． （1）各个算式分别把分子和分母乘以分母的有理化因式，把分母中的根号去掉进行化简即可； （2）先根据已知条件，把x，y化简，再利用完全平方公式把所求代数式分解因式，然后直接把化简后的x，y代入进行计算即可； （3）把括号内的每个分式进行分母有理化，然后进行简便计算，最后再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ； （3）解： ． 【经典例题五 已知字母的值，化简求值】 【例5】（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把代入计算解题即可． 【详解】解： ， 故选D． 【点睛】本题考查已知未知数的值，求代数式的值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 13．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若，则的值是 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，分母有理化，先分母有理数化得出，求出，将原式变形为再将代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，将式子变形为，代入计算即可得解． 【详解】解： ∵，， ∴ ． 15．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：. (2)计算：； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分子、分母都乘以，化简得结果； （2）分别化简每个项，再运算二次根式的加减法，即可作答． （3）表示数的分子、分母都乘以，化简后代入代数式里，计算得结果． 本题考查了二次根式的运算，掌握分母有理化和二次根式的运算法则是解决本题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． ． 原式 ． 【经典例题六 已知条件式，化简求值】 【例6】（24-25八年级·江苏·假期作业）代数式的最小值是（    ） A．0 B．3 C． D．不存在 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义，求出x取值范围，再根据，，都随x的增大而增大，则在x取值范围内x取最小值时代入计算，即可求解． 【详解】解：若代数式++有意义， 则， 解得：x≥2， ∵由，，都随x的增大而增大， ∴当x＝2时，代数式的值最小， 即++＝1+0+2＝3． 故选：B． 【点睛】此题考查了函数的最值问题，考查了二次根式的意义．此题难度适中，解题的关键是根据题意求得x的取值范围． 16．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如果，，那么 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，最后将式子的值代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 17．（24-25八年级下·山东临沂·阶段练习）已知，求 ． 【答案】 【分析】将进行平方，再将整体代入求值即可． 【详解】解： 将代入得： ∴（负值舍去） 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解决本题的关键是整体代入法求值． 18．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）已知：，求的值． 【答案】 【分析】根据进行计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，正确根据完全平方公式得到是解题的关键． 【经典例题七 比较二次根式的大小】 【例7】（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 19．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小： （1）仿照题意求解即可； （2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，． 【详解】（1）解： ； ， 故答案为：，； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________； (2)化简：； (3)比较，的大小，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本题的关键． （1）根据题目所给有理化因式的定义进行解答即可； （2）分子分母同乘以即可得出答案； （3）将原式按类比分母有理化的步骤进行化简，再根据分子相同，分母越大，式子越小即可比较大小． 【详解】（1）的有理化因式是，的有理化因式是； 故答案为：，； （2）； （3）；； ， ． 21．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出定理：对于任意两个正数，，若，则．随后讲解了一道例题： 参考下面例题的解法，解答下列问题： 试比较和的大小． 解：，， ∵， ∴ (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，先求原数的平方，再由负数比较大小的法则即可得到答案； （2）参考例题解法，由完全平方公式对原数进行处理，进而即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 【经典例题八 二次根式的实际应用】 【例8】（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形和正方形，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求阴影部分的面积，二次根式的混合运算．正确的识图，确定长方形的长和宽，是解题的关键． 分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得解． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别为1和2， ∴它们的边长分别为：和， 由图可知，长方形的长为两个正方形的边长之和，即为，宽为大正方形的边长，即为， ∴阴影部分的面积为； 故选：B． 22．（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简） (2)求原长方形木料的面积； (3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意，正确进行计算是解题的关键． （1）由正方形的面积可得边长分别为和，再对二次根式进行化简即可； （2）先计算出原矩形木料的长为，再根据矩形的面积公式进行计算即可； （3）剩余矩形木料的长为，宽为，再和2进行大小比较即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：小正方形木板的边长为， 大正方形木板的边长为， 故答案为：，； （2）原长方形木料的长为，宽为， ， ∴原长方形木料的面积为； （3）不能，理由如下： 根据题意，得剩余矩形木料的长为，宽为， ∵， ∴这块正方形木板的边长不能为． 23．（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．    (1)求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1)长方形的周长为米 (2)购买地砖需要花费元 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解； （2）先求得长方形的面积，根据面积乘以6即可求解． 【详解】（1）解：         （米）． 答：长方形的周长为米． （2）解： （平方米）． （元）． 答：购买地砖需要花费元． 24．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】 （1）既可以从算术平方根的角度理解，也能将其看成是面积为 的正方形的边长； （2）图1、图2是由同一个五边形通过不同的分割法所形成，图1、图2都含有3块全等的直角三角形，已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c． ①图1的面积为 ，②图2的面积为 ． ③由此我们可以得到等式： ； 【类比学习】 探究的近似值（精确到0.001） 凯凯：我们已经知道是介于1.4与1.5之间的一个无理数，设．图3是边长为的正方形，观察图3后写下如下过程：，即，由于x较小，可忽略不计，得：，故 仿照凯凯的方法，探究的近似值（精确到0.001），设计出图形并直接写出结果． （数据参考：） ． 【答案】已有认识：（1）2；（2）①，②，③；类比学习： 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，二次根式的应用及整式与几何图形面积的实际应用． 已有认识： （1）根据正方形面积公式，利用算术平方根的定义即可解答； （2）①根据图形用三个直角三角形的面积加上两个正方形的面积即可表示出面积；②用三个直角三角形的面积加上正方形的面积即可表示出面积；③根据两个图形的面积相等，建立等式，根据等式的性质即可解答 类比学习：根据材料设，仿照材料即可解答． 【详解】解：（1）， 也能将其看成是面积为2的正方形的边长； （2）①图1的面积为， ②图2的面积为． ③由此我们可以得到等式：，即； 类比学习： 设， 即， 由于x较小，可忽略不计，得：， ， ，即． 【经典例题九 二次根式的新定义问题】 【例9】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． 根据已知条件中的新定义，列出算式，进行二次根式的加减法即可； 【详解】解：∵， ∴ 故选：A 25．（24-25八年级下·山东临沂·期末）对于任意正数m，n，定义运算※如下：，计算的结果为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：2． 26．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了新定义下的实数的运算，根据，求的算术平方根，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 27．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）在学习二次根式时，小明同学发现了两个非常有趣的式子，分别把它们定义为“L运算”和“X运算”．其中，．为了使二次根式有意义，我们规定a为实数，且满足． (1)求证：； (2)若实数x满足，求x的值； (3)已知实数x，y满足，t为任意实数，求代数式的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）只需要证明即可； （2）根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （3）由（1）得，，再由，得到，，由此推出，，进而得到，由，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：由（1）知， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合计算，解无理方程，非负数的性质，正确理解题意是解题的关键． 【经典例题十 二次根式的阅读理解类问题】 【例10】（24-25八年级下·重庆江津·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请根据上述方法分析下列结论： ①； ②若，，则； ③，且，则 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①根据题干中给出的信息进行分母有理化，即可判断； ②先化简a、b，然后代入求值即可； ③先化简a、b，然后将a、b代入，求出即可． 【详解】解：①，故①正确； ②， ， ∴ ，故②正确； ③ ， ， ∵， ∴， ∴， 即， ， ∴， ∴，故③正确； 综上分析可知，正确的个数是3个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 28．（24-25九年级上·吉林长春·期末）阅读材料，回答下列问题． 【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______，的有理化因式是______；（写出一个即可） 【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：； 【材料三】与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．例如：． （3）用分子有理化直接比较和的大小． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据所得规律计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较，大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：；； （2）解： ． （3）． 理由如下： ∵， ， ∵， ∴， ∴． 29．（2024八年级上·湖南·专题练习）材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式． 请解决下列问题： (1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为，即，，， ∴___________． 根据海伦公式可得：___________． (2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 【答案】(1)9， (2) 【分析】本题主要考查三角形面积的计算方法，实数的运算，二次根式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握实数的计算，二次根式的运算法则是解题的关键． （1）直接代入求解即可； （2）根据材料提示，运用二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：∵，，， ∴，，， ∴ ． 30．（2025八年级下·全国·专题练习）阅读下面的材料，解决下面的问题． 古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则三角形的面积． 我国南宋著名的数学家秦九韶提出了利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则三角形的面积． (1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______； (2)若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算． （1）把的长代入公式求出，即可得解； （2）把的长代入公式求出，即可得解． 【详解】（1）解：， ． 答：这个三角形的面积等于． 故答案为：． （2）解： ． 答：这个三角形的面积是． 【经典例题十一 二次根式加减法中的规律计算】 【例11】（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对表示第行，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（   ） 第1行 第2行 第3行 第4行 …… …… A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字类的规律探索，用有序数对表示位置，二次根式．理解题意找出规律是解题关键．根据表格可知规律为每行数的个数与行数相同，被开方数为正整数按顺序排列，由此可求出第八行第1个数，从而即可求出第八行第5个数． 【详解】解：由表格可知每行数的个数与行数相同，被开方数为正整数按顺序排列， ∴第八行第1个数为， ∴第八行第5个数为， ∴表示的实数是． 故选B． 31．（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）阅读下面计算过程： (1)通过观察你能得出什么规律？ _________（用含有自然数的等式表示出来） (2)利用（）中你发现的规律，完成下列计算： ． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据题意即可得出规律； （）根据规律将式子化简，再运用平方差公式求解即可； 本题考查了二次根式的分母有理化，平方差公式，二次根式的加减法，二次根式乘法运算，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴； （2）解：由（）得： ∴ ． 32．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）阅读下面计算过程． ； ； ． 请解快下列问题 (1)根据上面的规律，请直接写出______； (2)利用上面的解法，请化简： ． (3)你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程． 【答案】(1)； (2)44； (3)能，化简见解析． 【分析】此题考查的是分母有理化，掌握含根号的式子的有理化因式是解决此题的关键． （1）根据规律，即可得解； （2）将每个式子都分母有理化即可发现规律； （3）分子、分母同时乘分母的有理化因式即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为； （2）解： ； （3）解：； 故答案为：． 33．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）阅读下面计算过程： ； ； . 解答下列问题． (1)仿照上面的解题过程化简： (2)请直接写出的化简结果： ． (3)利用上面的规律，请化简 ． (4)利用（2）中的结论比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算； （1）根据例题进行计算即可求解． （2）根据题中的算式，直接得出规律即可； （3）利用（2）中规律展开，然后去括号合并即可． （4）根据（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：，． （2）解：由题目计算过程可得：， 故答案为：； （3）解：原式 ． （4）解：∵理由如下， 根据（2）中的规律可得：，， ∵， ∴， ∴． 【经典例题十二 二次根式计算综合问题】 【例12】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算∶_____． (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)5 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，二次根式的加减混合，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先化简a，求出，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ∴， ∴． 1．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先化简，再代入代数式计算即可； （）利用倒数的关系，先分别化简、，比较结果的大小，进而可比较与的大小； （）由题意可得每项可表示为，利用该规律拆项后计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简及化简求值，二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴原式 ， ， ； （2）解：∵， ， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ∴原式 ， ． 2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再进行乘法运算，然后合并同类二次根式即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式即可； （4）先计算括号内，再进行除法运算即可； （5）先计算括号内，再进行除法运算即可； （6）根据乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 3．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；当时，，，则也可以按公式（当且仅当时取等号）来计算； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出篱笆长，利用题中结论解决问题即可 （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 1．（24-25八年级上·重庆云阳·阶段练习）估计的值应在（   ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先根据二次根式的运算法则求出，再根据无理数的估算方法得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质进行化简，二次根式的减法．熟练掌握实数与数轴，利用二次根式的性质进行化简，二次根式的减法是解题的关键． 由数轴可知，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对表示第行，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（   ） 第1行 第2行 第3行 第4行 …… …… A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字类的规律探索，用有序数对表示位置，二次根式．理解题意找出规律是解题关键．根据表格可知规律为每行数的个数与行数相同，被开方数为正整数按顺序排列，由此可求出第八行第1个数，从而即可求出第八行第5个数． 【详解】解：由表格可知每行数的个数与行数相同，被开方数为正整数按顺序排列， ∴第八行第1个数为， ∴第八行第5个数为， ∴表示的实数是． 故选B． 4．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列二次根式的运算：①；②；③；④；⑤；⑥；其中运算正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的性质及运算，分别根据二次根式的性质以及运算法则计算出各小题后再判断即可． 【详解】解：①，故①运算正确； ②，故②运算错误； ③，故③运算正确； ④，故④运算错误； ⑤，故⑤运算错误； ⑥，故⑥运算错误； ∴运算正确的是①③，共2个， 故选：A． 5．（2024·河北·模拟预测）老师在复习二次根式的运算时，给出了一道题：计算．甲、乙分别给出了不同的解法： 甲： ． 乙： ． 对于甲、乙的计算过程及结果，下列判断正确的是（     ） A．甲和乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲和乙都错 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法分配律的逆用和二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律的逆用和二次根式的混合运算法则，根据二次根式的混合运算法则和乘法分配律的逆用即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得：甲和乙都对， 故选：A． 6．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简求值，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据题意求出，再利用完全平方公式把代数式变形为，代入求值即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）分母有理化： ． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化，分子分母同乘计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，因式分解的应用，先计算、，再提取公因式得到，再把、的值代入进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）如果，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）观察下列二次根式的化简：，，，从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值． ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的分母有理化以及二次根式的加减运算，先将第一个括号内的各项分母有理化，此时发现，除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，由此可计算出第一个括号的值，然后再计算和第二个括号的乘积，能够发现式子的规律是解答此题的关键． 【详解】 解：原式 ， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·江西吉安·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式展开，然后合并即可； （2）根据二次根式的性质，绝对值的性质，负整数指数幂的性质计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，绝对值的性质，负整数指数幂的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 12．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）观察下列运算过程： ； 请运用上面的运算方法计算： (1)已知，，求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了计算规律探究、分母有理化、平方差公式，发现计算规律并正确运用是解题关键． （1）根据分母有理化得出，，进而得到，，再代入代数式进行计算即可求解； （2）根据运算方法可得到，然后按照规律计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， ，， ； （2） ． 13．（24-25八年级上·河南郑州·期中）观察下列算式： …………………………………………① ………………………………② ………………………………③ … (1)由上述三个算式，可得________； (2)请直接用含（正整数）的代数式表示上述规律； (3)请借助探究中获得的经验判断是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用前三个式子的规律解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律得，据此计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：依据上述运算的规律可得：； （3）解：正确，理由如下， 由（2）的结论得， ∴． 14．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：；． 解答下列问题： (1)根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式 ； (2)若，求的值； (3)请在以下问题①和②任选一个题作答： ①设实数，满足，求的值． ②化简：． 【答案】(1) (2) (3)选①，；选②， 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法，可以找出相应的有理化因式． （1）根据题目中的材料，可以求出的有理化因式； （2）先求出，，得到，再代入求解即可； （3）选①，将原子化成和，两式相加，进一步计算即可求解； 选②，先将分子分母分别用结合律重新整理后，再有理化，接受运用乘法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ； （3）解：选①， ∵， ∴， 同理， 两式得， ∴； 选②，∵ ． 15．（24-25八年级上·北京顺义·期末）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】(1)①； ② (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； 本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：由，  ， 又∵， ∴．         ∴， （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次根式的加减重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减运算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 分母有理化 题型五 已知字母的值，化简求值 题型六 已知条件式，化简求值 题型七 比较二次根式的大小 题型八 二次根式的实际应用 题型九 二次根式的新定义问题 题型十 二次根式的阅读理解类问题 题型十一 二次根式加减法中的规律计算 题型十二 二次根式计算综合问题 【知识梳理】 知识点1： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点2： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点3：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【经典例题一 同类二次根式】 【例1】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）若与可以合并成一项，则m可以是（   ） A．50 B．15 C．0.5 D． 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）在，，，，，中不是的同类二次根式的有 ． 3．（24-25七年级上·北京海淀·期末）已知最简二次根式和是同类二次根式，求的平方根． 【经典例题二 二次根式的加减运算】 【例2】（24-25八年级上·山西运城·期中）下列各式计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期中）计算：． 5．（24-25八年级上·全国·期中）计算 6．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）已知，，． (1)______，______； (2)求的值． 【经典例题三 二次根式的混合运算】 【例3】（23-24八年级上·四川眉山·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）计算：． 8．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）计算： (1)； (2)． 9．（24-25八年级上·四川达州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则______； (2)化简：______； (3)计算：． 【经典例题四 分母有理化】 【例4】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C．3 D． 10．（24-25八年级上·四川成都·期中）若，则 ． 11．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）分母有理化应用： (1)填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； (2)化简：； (3)利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 12．（24-25八年级下·四川泸州·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______，______． (2)已知：，求的值． (3)计算：． 【经典例题五 已知字母的值，化简求值】 【例5】（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若，则的值是 14．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）已知，，求的值． 15．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：. (2)计算：； (3)若，求的值. 【经典例题六 已知条件式，化简求值】 【例6】（24-25八年级·江苏·假期作业）代数式的最小值是（    ） A．0 B．3 C． D．不存在 16．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如果，，那么 ． 17．（24-25八年级下·山东临沂·阶段练习）已知，求 ． 18．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）已知：，求的值． 【经典例题七 比较二次根式的大小】 【例7】（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 20．（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________； (2)化简：； (3)比较，的大小，说明理由． 21．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出定理：对于任意两个正数，，若，则．随后讲解了一道例题： 参考下面例题的解法，解答下列问题： 试比较和的大小． 解：，， ∵， ∴ (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． 【经典例题八 二次根式的实际应用】 【例8】（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形和正方形，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简） (2)求原长方形木料的面积； (3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 23．（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．    (1)求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 24．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】 （1）既可以从算术平方根的角度理解，也能将其看成是面积为 的正方形的边长； （2）图1、图2是由同一个五边形通过不同的分割法所形成，图1、图2都含有3块全等的直角三角形，已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c． ①图1的面积为 ，②图2的面积为 ． ③由此我们可以得到等式： ； 【类比学习】 探究的近似值（精确到0.001） 凯凯：我们已经知道是介于1.4与1.5之间的一个无理数，设．图3是边长为的正方形，观察图3后写下如下过程：，即，由于x较小，可忽略不计，得：，故 仿照凯凯的方法，探究的近似值（精确到0.001），设计出图形并直接写出结果． （数据参考：） ． 【经典例题九 二次根式的新定义问题】 【例9】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级下·山东临沂·期末）对于任意正数m，n，定义运算※如下：，计算的结果为 ． 26．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则 ． 27．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）在学习二次根式时，小明同学发现了两个非常有趣的式子，分别把它们定义为“L运算”和“X运算”．其中，．为了使二次根式有意义，我们规定a为实数，且满足． (1)求证：； (2)若实数x满足，求x的值； (3)已知实数x，y满足，t为任意实数，求代数式的最小值． 【经典例题十 二次根式的阅读理解类问题】 【例10】（24-25八年级下·重庆江津·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请根据上述方法分析下列结论： ①； ②若，，则； ③，且，则 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 28．（24-25九年级上·吉林长春·期末）阅读材料，回答下列问题． 【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______，的有理化因式是______；（写出一个即可） 【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：； 【材料三】与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．例如：． （3）用分子有理化直接比较和的大小． 29．（2024八年级上·湖南·专题练习）材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式． 请解决下列问题： (1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为，即，，， ∴___________． 根据海伦公式可得：___________． (2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 30．（2025八年级下·全国·专题练习）阅读下面的材料，解决下面的问题． 古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则三角形的面积． 我国南宋著名的数学家秦九韶提出了利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则三角形的面积． (1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______； (2)若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积． 【经典例题十一 二次根式加减法中的规律计算】 【例11】（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对表示第行，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（   ） 第1行 第2行 第3行 第4行 …… …… A． B． C． D． 31．（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）阅读下面计算过程： (1)通过观察你能得出什么规律？ _________（用含有自然数的等式表示出来） (2)利用（）中你发现的规律，完成下列计算： ． 32．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）阅读下面计算过程． ； ； ． 请解快下列问题 (1)根据上面的规律，请直接写出______； (2)利用上面的解法，请化简： ． (3)你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程． 33．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）阅读下面计算过程： ； ； . 解答下列问题． (1)仿照上面的解题过程化简： (2)请直接写出的化简结果： ． (3)利用上面的规律，请化简 ． (4)利用（2）中的结论比较与的大小，并说明理由． 【经典例题十二 二次根式计算综合问题】 【例12】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算∶_____． (2)计算：； (3)若，求的值． 1．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 3．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 1．（24-25八年级上·重庆云阳·阶段练习）估计的值应在（   ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 2．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对表示第行，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（   ） 第1行 第2行 第3行 第4行 …… …… A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列二次根式的运算：①；②；③；④；⑤；⑥；其中运算正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2024·河北·模拟预测）老师在复习二次根式的运算时，给出了一道题：计算．甲、乙分别给出了不同的解法： 甲： ． 乙： ． 对于甲、乙的计算过程及结果，下列判断正确的是（     ） A．甲和乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲和乙都错 6．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，则代数式的值为 ． 7．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）分母有理化： ． 8．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知，，则的值为 ． 9．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）如果，则 ． 10．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）观察下列二次根式的化简：，，，从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值． ． 11．（24-25八年级上·江西吉安·期末）计算： (1) (2) 12．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）观察下列运算过程： ； 请运用上面的运算方法计算： (1)已知，，求的值； (2)求的值． 13．（24-25八年级上·河南郑州·期中）观察下列算式： …………………………………………① ………………………………② ………………………………③ … (1)由上述三个算式，可得________； (2)请直接用含（正整数）的代数式表示上述规律； (3)请借助探究中获得的经验判断是否正确，并说明理由． 14．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：；． 解答下列问题： (1)根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式 ； (2)若，求的值； (3)请在以下问题①和②任选一个题作答： ①设实数，满足，求的值． ②化简：． 15．（24-25八年级上·北京顺义·期末）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 学科网（北京）股份有限公司 $$