专题02 二次根式的乘除重难点题型专训（12大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题02 二次根式的乘除重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 二次根式的乘法 题型二 二次根式的除法 题型三 二次根式的乘除混合运算 题型四 最简二次根式的判断 题型五 化为最简二次根式 题型六 已知最简二次根式求参数 题型七 分母有理化及其应用 题型八 二次根式的大小比较 题型九 用二次根式的乘除法解决实际问题 题型十 二次根式的估值问题 题型十一 二次根式乘除法中的新定义问题 题型十二 二次根式乘除法中的规律计算问题 【知识梳理】 知识点一、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点二、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【经典例题一 二次根式的乘法】 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）计算的正确结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，首先利用同底数幂的乘法逆运算，再利用积的乘方的逆运算法则变形为，根据平方差公式可得：原式，再根据乘方的定义进行计算可得结果． 【详解】解： 故选： D． 1．（23-24八年级上·山西晋中·期中）已知，均为有理数，若，则的算术平方根是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由，可得，由，均为有理数，可得，，然后求的算术平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，均为有理数， ∴，， ∴的算术平方根为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，完全平方公式，算术平方根．解题的关键在于确定的值． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知，，则式子的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．先通分算加法，再算乘法，最后代入求出即可． 【详解】 当时，原式． 故答案为：12． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)12 (2)6 000 (3)10 (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． （1）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （2）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （3）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （4）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【经典例题二 二次根式的除法】 【例2】（24-25八年级下·山东烟台·期中）若成立，则的值可以是（    ） A．-4 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据被开方数大于等于零，分母不能为零，建立不等式组计算即可． 【详解】因为成立， 所以， 解得， 只有m=2符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式除法运算的基本条件，熟练掌握运算具备的条件是解题的关键． 4．（24-25八年级下·北京·期末）计算的结果正确的是(　　　) A． B．3 C．6 D． 【答案】A 【分析】分别根据二次根式的除法和乘法法则以及二次根式的平方计算每一项，再合并即可． 【详解】解：原式=． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握二次根式的乘除法则是解题的关键． 5．（24-25八年级上·上海青浦·期中）计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法和性质，先判断a，b的正负性，再运用二次根式的除法法则和性质运算即可． 【详解】解：依题意得：，， ∴， ∴原式， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)（，）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可； （2）根据二次根式的除法计算法则求解即可； （3）根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键． 【经典例题三 二次根式的乘除混合运算】 【例3】（2023八年级下·江苏·专题练习）计算（）的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的混合运算法则，计算化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 7．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案． 【详解】解： 原式 8．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案； （2）直接根据二次根式乘法计算法则求解即可； （3）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案； （4）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 9．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)，． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算： （1）先把带分数化为假分数，再根据二次根式乘除法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【经典例题四 最简二次根式的判断】 【例4】（23-24九年级上·四川乐山·期中）下列各式①，②，③，④，⑤（＞0）中是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．能理解最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是最简根式；②，故不是最简根式；③是最简根式；④，故不是最简根式；⑤，故不是最简根式．所以最简根式有：①、③，共2个． 故选：B． 10．（23-24九年级上·四川乐山·期中）下列各式①，②，③，④，⑤（＞0）中是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．能理解最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是最简根式；②，故不是最简根式；③是最简根式；④，故不是最简根式；⑤，故不是最简根式．所以最简根式有：①、③，共2个． 故选：B． 11．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）在二次根式，，，，，中，最简二次根式个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：不能再化简，是最简二次根式； ，不是最简二次根式， ，不是最简二次根式， 不能再化简，是最简二次根式； ，不是最简二次根式， 即最简二次根式有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质、最简二次根式的概念是解题的关键． 12．（24-25八年级下·河北保定·期中）在二次根式，，，中，最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴最简二次根式有：、，共2个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次要满足被开方数的因数（因式）是整数（整式）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母是解题的关键． 【经典例题五 化为最简二次根式】 【例5】（23-24八年级上·全国·单元测试）式子化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件，熟练掌握是解决问题的关键．由得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 13．（23-24八年级·全国·课堂例题）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了化为最简二次根式，熟练掌握化为最简二次根式的方法是解题的关键 （1）被开方数是小数，要把小数化成分数，然后利用商的算术平方根的性质进行化简； （2）被开方数是带分数，要把带分数化为假分数，然后利用商的算术平方根的性质进行化简； （3）分母是二次根式，要根据分式的基本性质将分母中的根号化去； 【详解】（1） （2） （3） 14．（24-25八年级·上海·假期作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 【分析】根据最简二次根式定义：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，先利用二次根式性质化简，再结合最简二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】（1）解：， 不是最简二次根式； （2）解：， 不是最简二次根式； （3）解：， 不是最简二次根式． 【点睛】本题考查二次根式性质及最简二次根式的概念，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键． 15．（24-25八年级·全国·假期作业）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)2（a，b，c均大于0）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）直接计算得到答案； （2）直接计算得到答案； （3）直接计算得到答案； （4）直接计算得到答案； （5）直接计算得到答案． 【详解】（1） 故的最简二次根式为：； （2） 故的最简二次根式为：； （3） 故的最简二次根式为：； （4） 故的最简二次根式为：； （5）∵a，b，c均大于0 ∴． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的相关知识． 【经典例题六 已知最简二次根式求参数】 【例6】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 16．（24-25八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为 ． 【答案】2 【分析】能合并则说明两者为同类二次根式，再根据同类二次根式的被开方数相同列方程即可． 【详解】解：由题意得：，解得：． 所以， ∴． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握被开方数相同的最简二次根式称是同类二次根式成为解答本题的关键． 17．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）化简后与最简二次根式的被开方数相等，则 . 【答案】5 【分析】本题先将化简为最简二次根式，继而利用题干信息“被开方数相同”列方程求解． 【详解】，其中被开方数为6；的被开方数为 ， 故有：，则． 故答案为：5． 【点睛】本题考查最简二次根式的化简以及对二次根式概念的理解，需注意化简原则为被开方数不含分母,也不含能开的尽方的因数或因式． 18．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【答案】4，±2． 【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴a=1，2b﹣5=1， 解得：a=1，b=3， ∴==4， ∴的平方根为±2． 【点睛】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键． 【经典例题七 分母有理化及其应用】 【例7】（24-25八年级上·山东枣庄·期中）化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化、运用平方差公式进行计算，根据甲的做法是将分母有理化，乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简，判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：甲的做法是将分母有理化，运用分数的基本性质，分子、分母都乘以不为0的同一个数；乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简；均正确， 故选：C． 19．（24-25九年级下·四川攀枝花·阶段练习）先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值、最简二次根式，熟练掌握分式的运算法则，二次根式的化简是解题的关键．根据分式的运算法则化简分式，再代入的值求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 当时，原式． 20．（24-25八年级上·全国·期末）已知，， (1)求及的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)7 【分析】本题考查了分母有理化、二次根式的化简求值的知识，掌握分母有理化、二次根式的运算法则是关键． （1）先求出再代入求值即可； （2）先计算，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：， 将代入得： 21．（24-25八年级上·广东佛山·期中）阅读下列解题过程 ； 请解答下列问题： (1)观察上面解题过程，计算 (2)请直接写出的结果．（） (3)利用上面的解法，请化简： 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题关键． （1）根据平方差公式，进行分母有理化即可； （2）根据平方差公式，进行分母有理化即可； （3）根据平方差公式，分母有理化，根据实数的运算，可得答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， 故答案为：； （3）解：原式 ． 【经典例题八 二次根式的大小比较】 【例8】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 22．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）比较大小 ；-2 -3． 【答案】 <， > 【分析】根据根式的性质把根号外的因式移到根号内，根据绝对值的大小判断即可． 【详解】解：∵-11， ∴； ∵2=，3=， ∵， ∴-2-3， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了根式的性质，实数的大小比较等知识点的理解和应用，关键是知道如何比较两负数和根式的大小． 23．（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据所得规律计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：，； （2）解： ； （3）． 理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 24．（24-25八年级上·山东青岛·期末）观察下列一组等式，然后解答问题： ， ， ， …… (1)观察以上规律，请写出第个等式：___________（为正整数）； (2)利用上面的规律，计算：； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干，观察规律，即可得到第个等式； （2）先将各项分母有理化，在进行有理数计算即可得到答案； （3）根据平方差公式，可化成分子相同的数，根据相同的分子，分母越大的数越小进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：通过观察可知，， 故答案为：； （2）解：原式 ， ； （3）解：，， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式混合运算和大小比较，主要运用分母有理化和分子有理化，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． 【经典例题九 用二次根式的乘除法解决实际问题】 【例9】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则正方形的面积为（    ） A．16 B．9 C．8 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定．由全等三角形的性质得到，进而证明，则垂直平分线，可得，再利用正方形的面积计算公式即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分线， ∴， ∴， 故选：D． 25．（23-24八年级下·全国·假期作业）随着我国科技不断进步，航天事业逐渐进入高速发展时代．2018年1月9日11点24分，我国在太原卫星发射中心用长征二号丁运载火箭以一箭双星的方式，成功将高景一号03、04星送入预定轨道，与同轨道的高景一号01、02星组网运行．这标志着我国首个0.5米高分辨率商业遥感卫星星座首期正式建成，实现新年开门红．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“长征二号”运载火箭中要将某一长方形部件变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，则圆的半径应是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，设圆的半径应是，根据圆的面积公式和长方形面积公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设圆的半径应是， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：圆的半径应是． 26．（2022·河北·模拟预测）知识背景：当a＞0且x＞0时，因为（-）2≥0，所以x-2+≥0，从而x+≥2（当=，即x=时取等号）．设函数y=x+（x＞0，a＞0），由上述结论可知：当x=时，该函数有最小值2． 应用举例：已知函数y1=x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则当x=时，y1+y2=x+有最小值为2． 解决问题： (1)已知函数y1=x-1（x＞1）与函数y2=（x-1）2+9（x＞1），当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ (2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？ 【答案】(1)当时，有最小值，最小值为6 (2)当x取700时，该设备平均每天的租赁使用成本最低，最低是201.4元 【分析】（1）先求出，然后仿照题意求解即可； （2）该设备平均每天的租赁使用成本为W，，由此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， 当时取等号， 解得， 经检验x=4是原方程的解 ∴当时，有最小值，最小值为6； （2）解：该设备平均每天的租赁使用成本为W， 由题意得 ， ∴当时，W有最小值， ∴，解得（负值舍去）， 经检验是原方程的解， ∴， ∴当x取700时，该设备平均每天的租赁使用成本最低，最低是201.4元． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的计算，解分式方程，正确理解题意是解题的关键． 27．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： 例如：当时，求的最小值． 解：，又 ，，当时取等号．的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 　　；当时，的最大值为 　　． (2)当时，求的最小值． (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】(1)6， (2) (3)60米 【分析】本题考查了配方法的应用，二次根式的应用，理解题中例题解法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据例题中的公式计算即可； （2）先化简，再运用公式计算即可； （3）由题意得篱笆的长为米，再根据例题中的公式计算即可． 【详解】（1）解：， ， 又， ，当且仅当时取等号． 的最小值为6； ， ， ， 又， ，当且仅当时取等号． ， 的最大值为． 故答案为：6；； （2）解：， ， ， 又， ，当且仅当时取等号， 的最小值为， 的最小值为， 即的最小值为； （3）解：根据题意可得，垂直于墙的一边长为米，则篱笆的长为米， ， ， 又， ，当且仅当时取等号， 的最小值为60， 即需要用的篱笆最少是60米． 【经典例题十 二次根式的估值问题】 【例10】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的乘法和二次根式的性质，利用二次根式乘法法则得到，再利用二次根式的性质可得到，然后估算出的值即可，正确估算出的值是解题的关键． 【详解】解：由， ∵， ∴， ∴， 故选：． 28．（24-25八年级上·重庆·期中）估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，由二次根式的乘法可得，再利用夹逼法估算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， 故选：． 29．（23-24九年级下·重庆·开学考试）估计的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而估算无理数的大小即可． 此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的值应在5和6之间， 故选：B． 30．（2023·重庆·中考真题）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】A 【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得． 【详解】解：， ， ，即， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键． 【经典例题十一 二次根式乘除法中的新定义问题】 【例11】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）对于正整数a，b定义新运算“◎”，规定，则的运算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义计算，二次根式乘法运算，根据题意列出算式，利用二次根式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 31．（24-25·河南洛阳·一模）定义新运算：a⊗b=，则×（2⊗3）的值为 ． 【答案】3． 【分析】先根据题目给出的例子得出实数混合运算的式子，再进行计算即可． 【详解】∵a⊗b=， ∴×（2⊗3） =3． 故答案为3． 【点睛】本题考查的是实数的混合运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键． 32．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，求方程的解． 【答案】或 【分析】根据题目所给的新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ， ， ， 或． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据平方根的定义解方程，二次根数化简，解题的关键是正确理解题目所给新运算的运算顺序和运算法则． 33．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．即：若，则．反之．如果一个数是的平方根，那么这个数的平方等于．即：若，则．例如： 根据平方根的定义可得：∵，∴． 根据平方根的定义可得：∵是的一个平方根，∴． 根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题： (1)求下列各式中的值． ； ． (2)求证：． 证明：∵是的平方根， ∴． ∵（依据） ，（依据） ∴． 填写推理依据， 依据：__________________； 依据：__________________． 计算：． 【答案】(1)或或； (2)积的乘方；平方根的定义；． 【分析】（）把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解； 先化简，把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解； （）根据积的乘方和平方根的定义即可； 根据二次根式乘法法则进行即可计算． 【详解】（1）， ， 或； ， ， 或； （2）积的乘方；平方根的定义； 原式． 【点睛】此题考查了平方根和二次根式的乘法，解题的关键是正确理解平方根的定义和熟练掌握二次根式的乘法运算． 【经典例题十二 二次根式乘除法中的规律计算问题】 【例12】（23-24八年级下·安徽滁州·期末）观察下列各式：应用运算规律化简的结果为（   ） A．2023 B．2024 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式规律问题，二次根式的乘法，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 探究出规律，然后利用规律即可解决问题． 【详解】∵ ∴用含的等式表示为 ∴． 故选C． 1．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查找规律，根据题中特例得到规律，代值求解即可得到答案，观察已知特例特征，准确找到规律是解决问题的关键． 【详解】解：特例1：； 特例2：； 特例3：； …… 以上规律为：， 当时，， 故选：B． 2．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段练习）一组二次根式按一定规律排列：，，，3，6，，……，若a，b，c是这组式子中相邻的三个二次根式，则a，b，c之间的关系是 . 【答案】 【分析】在排列中任意将三个相邻的数定义给a，b，c的值，找出之间的运算关系即可． 【详解】解：∵， ， ……， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了与实数运算相关的规律性，解题的关键是找到三个数之间的关系． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面．我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多．如：等等． (1)①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若为正整数），则的值为______． (2)你能用含正整数的式子来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 【答案】(1)①；②71 (2)用含正整数的式子表示为，证明见解析 【详解】（1）①有“穿墙”现象的数为：． ②由题意，a=8，b=63， ∴a+b=8+63=71， 故答案为71. （2）第一个等式为，即 第二个等式为，即； 第三个等式为，即， 用含正整数的式子表示为， 验证如下： ． 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故A选项符合题意； B、，被开方数含有能开得尽的因式，不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故C选项不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故D选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级上·重庆·期末）已知，则整数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法运算，利用二次根式的乘法运算可得，进而利用夹逼法可得，据此即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 即 ∵， ∴整数， 故选：． 3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式．解题的关键是掌握二次根式的性质并能够正确利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知,则的值为（    ） A． B． C．12 D．18 【答案】B 【详解】由题意得解得,把代入,可得,所以 5．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知x、y是实数，且满足，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 【答案】C 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而代入求出答案． 【详解】解：根据题意，得：，且，即， 解得，， 则， 所以，． 故选：C 【点睛】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 6．（24-25八年级上·福建三明·期末）计算结果是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题关键．先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得． 【详解】解： ， 故答案为：5． 7．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）计算： ． 【答案】100 【分析】此题考查了积的乘方逆运算和二次根式的运算，解题的关键是理解积的乘方逆运算，熟练掌握二次根式的化简与平方差公式的应用．先用积的乘方逆运算进行变形，再根据二次根式的乘法结合平方差公式进行求解即可． 【详解】 . 故答案为：100． 8．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）当时，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式乘法公式得到，再根据二次根式的性质化简即可得到结论． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘法及利用二次根式性质化简代数式，熟练掌握相关性质及公式是解决问题的关键． 9．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）利用下面表格中的规律计算：已知，，，则 ．（用含的代数式表示） 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 【答案】 【分析】根据已知条件将a+b化为，利用二次根式的乘法法则的逆运算以及求一个数的算术平方根，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴ = = =0.1k+10k =10.1k， 故答案为：． 【点睛】此题考查多项式的求值计算，二次根式的乘法法则的逆运算，求一个数的算术平方根，将a+b化为是解题的关键． 10．（2021八年级上·全国·专题练习）有如下判断： （1）  （2）=1    （3） （4）（5）（6）成立的条件是同号．其中正确的有 个． 【答案】2 【分析】根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则进行判定即可求解. 【详解】解：（1）,因此（1）正确； （2），因此（2）错误； （3），因此（3）正确； （4），因此（4）错误； （5），因此（5）错误； （6）成立的条件是因此（6）错误； 只有（1），（3）正确． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质和二次根式的运算法则，解决本题的关键是要熟练掌握二次根式的性质和运算法则. 11．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，实数的运算，化简绝对值： （1）根据二次根式的乘除法计算法则把原式变形为，据此计算求解即可； （2）先计算立方根和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算题 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算： （1）利用平方差公式进行计算即可； （2）先化简，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 13．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的乘法： （1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 14．（23-24八年级下·全国·假期作业）随着我国科技不断进步，航天事业逐渐进入高速发展时代．2018年1月9日11点24分，我国在太原卫星发射中心用长征二号丁运载火箭以一箭双星的方式，成功将高景一号03、04星送入预定轨道，与同轨道的高景一号01、02星组网运行．这标志着我国首个0.5米高分辨率商业遥感卫星星座首期正式建成，实现新年开门红．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“长征二号”运载火箭中要将某一长方形部件变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，则圆的半径应是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，设圆的半径应是，根据圆的面积公式和长方形面积公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设圆的半径应是， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：圆的半径应是． 15．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若（a，b为正整数），则的值为______； (2)你能只用一个正整数n（）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 【答案】(1)①（答案不唯一）；② (2)，见解析 【分析】本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关键． （1）①根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可； ②通过发现规律确定a，b的值，从而代入求值； （2）根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可． 【详解】（1）解：①根据已知等式的规律可写出：，…（答案不唯一，符合规律即可）． ②∵（a，b为正整数）， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：第一个等式为，即； 第二个等式为，即； 第三个等式为，即． ∴用含正整数的式子表示为：， 验证如下： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次根式的乘除重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 二次根式的乘法 题型二 二次根式的除法 题型三 二次根式的乘除混合运算 题型四 最简二次根式的判断 题型五 化为最简二次根式 题型六 已知最简二次根式求参数 题型七 分母有理化及其应用 题型八 二次根式的大小比较 题型九 用二次根式的乘除法解决实际问题 题型十 二次根式的估值问题 题型十一 二次根式乘除法中的新定义问题 题型十二 二次根式乘除法中的规律计算问题 【知识梳理】 知识点一、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点二、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【经典例题一 二次根式的乘法】 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）计算的正确结果为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·山西晋中·期中）已知，均为有理数，若，则的算术平方根是（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知，，则式子的值是 ． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题二 二次根式的除法】 【例2】（24-25八年级下·山东烟台·期中）若成立，则的值可以是（    ） A．-4 B．2 C．4 D．5 4．（24-25八年级下·北京·期末）计算的结果正确的是(　　　) A． B．3 C．6 D． 5．（24-25八年级上·上海青浦·期中）计算：= ． 6．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)（，）． 【经典例题三 二次根式的乘除混合运算】 【例3】（2023八年级下·江苏·专题练习）计算（）的结果是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）计算： 8．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)，． 【经典例题四 最简二次根式的判断】 【例4】（23-24九年级上·四川乐山·期中）下列各式①，②，③，④，⑤（＞0）中是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（23-24九年级上·四川乐山·期中）下列各式①，②，③，④，⑤（＞0）中是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）在二次根式，，，，，中，最简二次根式个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（24-25八年级下·河北保定·期中）在二次根式，，，中，最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【经典例题五 化为最简二次根式】 【例5】（23-24八年级上·全国·单元测试）式子化简的结果是（ ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级·全国·课堂例题）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； 14．（24-25八年级·上海·假期作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 15．（24-25八年级·全国·假期作业）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)2（a，b，c均大于0）． 【经典例题六 已知最简二次根式求参数】 【例6】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．（24-25八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为 ． 17．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）化简后与最简二次根式的被开方数相等，则 . 18．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【经典例题七 分母有理化及其应用】 【例7】（24-25八年级上·山东枣庄·期中）化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 19．（24-25九年级下·四川攀枝花·阶段练习）先化简，再求值：，其中 20．（24-25八年级上·全国·期末）已知，， (1)求及的值； (2)求的值． 21．（24-25八年级上·广东佛山·期中）阅读下列解题过程 ； 请解答下列问题： (1)观察上面解题过程，计算 (2)请直接写出的结果．（） (3)利用上面的解法，请化简： 【经典例题八 二次根式的大小比较】 【例8】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 22．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）比较大小 ；-2 -3． 23．（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 24．（24-25八年级上·山东青岛·期末）观察下列一组等式，然后解答问题： ， ， ， …… (1)观察以上规律，请写出第个等式：___________（为正整数）； (2)利用上面的规律，计算：； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【经典例题九 用二次根式的乘除法解决实际问题】 【例9】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则正方形的面积为（    ） A．16 B．9 C．8 D．12 25．（23-24八年级下·全国·假期作业）随着我国科技不断进步，航天事业逐渐进入高速发展时代．2018年1月9日11点24分，我国在太原卫星发射中心用长征二号丁运载火箭以一箭双星的方式，成功将高景一号03、04星送入预定轨道，与同轨道的高景一号01、02星组网运行．这标志着我国首个0.5米高分辨率商业遥感卫星星座首期正式建成，实现新年开门红．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“长征二号”运载火箭中要将某一长方形部件变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，则圆的半径应是多少？ 26．（2022·河北·模拟预测）知识背景：当a＞0且x＞0时，因为（-）2≥0，所以x-2+≥0，从而x+≥2（当=，即x=时取等号）．设函数y=x+（x＞0，a＞0），由上述结论可知：当x=时，该函数有最小值2． 应用举例：已知函数y1=x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则当x=时，y1+y2=x+有最小值为2． 解决问题： (1)已知函数y1=x-1（x＞1）与函数y2=（x-1）2+9（x＞1），当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ (2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？ 27．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： 例如：当时，求的最小值． 解：，又 ，，当时取等号．的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 　　；当时，的最大值为 　　． (2)当时，求的最小值． (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【经典例题十 二次根式的估值问题】 【例10】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 28．（24-25八年级上·重庆·期中）估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 29．（23-24九年级下·重庆·开学考试）估计的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 30．（2023·重庆·中考真题）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【经典例题十一 二次根式乘除法中的新定义问题】 【例11】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）对于正整数a，b定义新运算“◎”，规定，则的运算结果为（    ） A． B． C． D． 31．（24-25·河南洛阳·一模）定义新运算：a⊗b=，则×（2⊗3）的值为 ． 32．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，求方程的解． 33．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．即：若，则．反之．如果一个数是的平方根，那么这个数的平方等于．即：若，则．例如： 根据平方根的定义可得：∵，∴． 根据平方根的定义可得：∵是的一个平方根，∴． 根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题： (1)求下列各式中的值． ； ． (2)求证：． 证明：∵是的平方根， ∴． ∵（依据） ，（依据） ∴． 填写推理依据， 依据：__________________； 依据：__________________． 计算：． 【经典例题十二 二次根式乘除法中的规律计算问题】 【例12】（23-24八年级下·安徽滁州·期末）观察下列各式：应用运算规律化简的结果为（   ） A．2023 B．2024 C． D． 1．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段练习）一组二次根式按一定规律排列：，，，3，6，，……，若a，b，c是这组式子中相邻的三个二次根式，则a，b，c之间的关系是 . 3．（2024八年级上·全国·专题练习）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面．我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多．如：等等． (1)①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若为正整数），则的值为______． (2)你能用含正整数的式子来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆·期末）已知，则整数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知,则的值为（    ） A． B． C．12 D．18 5．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知x、y是实数，且满足，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 6．（24-25八年级上·福建三明·期末）计算结果是 ． 7．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）计算： ． 8．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）当时，化简的结果是 ． 9．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）利用下面表格中的规律计算：已知，，，则 ．（用含的代数式表示） 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 10．（2021八年级上·全国·专题练习）有如下判断： （1）  （2）=1    （3） （4）（5）（6）成立的条件是同号．其中正确的有 个． 11．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 12．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算题 (1)； (2) 13．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶ (1)； (2)； (3)． 14．（23-24八年级下·全国·假期作业）随着我国科技不断进步，航天事业逐渐进入高速发展时代．2018年1月9日11点24分，我国在太原卫星发射中心用长征二号丁运载火箭以一箭双星的方式，成功将高景一号03、04星送入预定轨道，与同轨道的高景一号01、02星组网运行．这标志着我国首个0.5米高分辨率商业遥感卫星星座首期正式建成，实现新年开门红．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“长征二号”运载火箭中要将某一长方形部件变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，则圆的半径应是多少？ 15．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若（a，b为正整数），则的值为______； (2)你能只用一个正整数n（）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 学科网（北京）股份有限公司 $$