专题01 二次根式及其性质重难点题型专训（11大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题01 二次根式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 二次根式的基本概念 题型二 求二次根式的值 题型三 根据二次根式有意义的条件求参 题型四 利用二次根式被开方数的非负性求值 题型五 根据二次根式是整数求字母的值 题型六 利用二次根式的性质化简 题型七 已知字母的范围化简二次根式 题型八 数轴与二次根式的化简问题 题型九 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型十 复合二次根式的化简 题型十一 二次根式的简单应用 【知识梳理】 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【经典例题一 二次根式的基本概念】 【例1】（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 1．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）已知下列各式：，，，，，，，其中二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式①； ②； ③； ④；其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【经典例题二 求二次根式的值】 【例2】（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级·浙江杭州·期末）已知，那么的值是（    ） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 5．（[首发]浙江省嵊州市谷来镇中学、石璜镇中学2016-2017学年八年级下学期期中联考数学试题）当＝－2时，则二次根式的值为 ． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【经典例题三 根据二次根式有意义的条件求参】 【例3】（24-25八年级上·广东河源·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·山东滨州·开学考试）代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 8．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若有意义，则的取值范围是 ． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）等式成立的条件是 ． 【经典例题四 利用二次根式被开方数的非负性求值】 【例4】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）已知实数a满足，那么的值是（    ） A．2023 B． C．2024 D． 10．（24-25八年级上·江西·阶段练习）如果，则的平方根是 ． 11．（23-24八年级下·山东东营·期末）已知，则的值为 ． 12．（23-24八年级上·四川乐山·阶段练习）已知m，n满足，求的值． 【经典例题五 根据二次根式是整数求字母的值】 【例5】（2024八年级·全国·竞赛）已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 13．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）已知是正整数，则实数a的最大整数值为（   ） A．1 B．7 C．8 D．9 14．（23-24八年级下·云南怒江·阶段练习）已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 15．（24-25八年级下·山西·期末）已知是正整数，是整数，则的最小值为 ． 【经典例题六 利用二次根式的性质化简】 【例6】（24-25八年级上·陕西西安·期中）若二次根式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）要把中根号外的因式移入根号内，下面式子正确的是 （     ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，为实数，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）已知一个三角形的三边长分别为1，1，x，化简： ． 【经典例题七 已知字母的范围化简二次根式】 【例7】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）当时，化简（   ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级下·山东威海·期末）已知， 则化简二次根式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级·江苏南京·自主招生）已知，则 ． 21．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）已知，，，．求P、Q的值． 【经典例题八 数轴与二次根式的化简问题】 【例8】（24-25八年级上·北京石景山·期末）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．n B． C． D． 22．（23-24八年级下·山东临沂·期中）已知在数轴上的位置如图，化简：（    ）    A． B． C． D． 23．（23-24八年级下·辽宁营口·期末）在数轴上的位置如图所示，那么化简：的结果是 ．    24．（24-25七年级下·重庆江津·期中）（1）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值． （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【经典例题九 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 【例9】（2023春·八年级课时练习）一次函数的图象如图所示，化简_______． 1、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 2、（2023春·山东烟台·八年级统考期中）已知m是的小数部分，则式子___________． 3、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知ab＜0，化简______ 【经典例题十 复合二次根式的化简】 【例10】（24-25八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 3．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【经典例题十一 二次根式的简单应用】 【例11】（23-24八年级下·重庆江津·期末）通过学习二次根式和乘法公式后，可以发现： 当，时，∵，∴， 当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： ①当时，的最小值为2；②当时，的最小值为5； ③如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（2024八年级下·全国·专题练习）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：且； ②存在实数，使得； ③存在无理数，使得是一个整数； 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京昌平·期中）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在实数，使得； ③存在实数，使得是一个整数； 上述说法中正确的是 ． 3．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方． 推理证明： 解：设、是连续的正整数， ，， 对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方． (1)【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．请你推理证明； (2)【深入思考】若（，为两个连续奇数，，），求证：一定是偶数． 1．（24-25八年级上·北京石景山·期末）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（24-25八年级上·北京昌平·期中）成立的条件是（   ） A． B． C． D．且 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若，都是实数，且，则的值是（   ） A．4 B．1 C． D． 6．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如果实数满足．那么的值是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·江西抚州·期末）若，求的值是 ． 8．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）实数在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简： ． 9．（2022八年级上·四川成都·专题练习）已知，则的值为 ． 10．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，则的值为 11．（24-25八年级上·全国·期末）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：． 12．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知实数满足等式． (1)的取值范围是 ； (2)小明求出的值为，他的答案正确吗？为什么？ 13．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知：实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 14．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）（1）已知方程①， ② 请判断这两个方程是否有解?并说明理由； （2）已知，求的值． 15．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题． ； ； ； ． 探究：对于任意非负有理数， ． ； ； ； ． 探究：对于任意负有理数， ． 综上，对于任意有理数， ． (2)应用（）所得结论解决问题：有理数、在数轴上的位置如图所示，化简：．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 二次根式的基本概念 题型二 求二次根式的值 题型三 根据二次根式有意义的条件求参 题型四 利用二次根式被开方数的非负性求值 题型五 根据二次根式是整数求字母的值 题型六 利用二次根式的性质化简 题型七 已知字母的范围化简二次根式 题型八 数轴与二次根式的化简问题 题型九 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型十 复合二次根式的化简 题型十一 二次根式的简单应用 【知识梳理】 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【经典例题一 二次根式的基本概念】 【例1】（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键； 形如的式子叫做二次根式．据此判断给出的式子有多少个二次根式． 【详解】解：形如的式子叫做二次根式． 在，，，，中， 不含根号，被开方数小于，不符合要求，不是二次根式，其余个是二次根式， 所以，二次根式有个． 故选：C 1．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键； 形如的式子叫做二次根式．据此判断给出的式子有多少个二次根式． 【详解】解：形如的式子叫做二次根式． 在，，，，中， 不含根号，被开方数小于，不符合要求，不是二次根式，其余个是二次根式， 所以，二次根式有个． 故选：C 2．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）已知下列各式：，，，，，，，其中二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键．一般形如（）的代数式叫做二次根式．根据二次根式的定义，即得答案． 【详解】二次根式是，， ，共有3个． 故选C． 3．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式①； ②； ③； ④；其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，明确二次根式的被开方数是非负数是解题的关键； 首先观察所给式的根式，根据二次根式的定义可知根指数必须是2； 再根据被开方数必须为非负数，由此即可对题中各式进行判断，进而得出结果． 【详解】解：①当时，不符合二次根式定义， ②当时，不符合二次根式定义， ③， ，一定是二次根式， ④当时，不符合二次根式定义， 故一定是二次根式的有1个， 故选：D． 【经典例题二 求二次根式的值】 【例2】（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25九年级·浙江杭州·期末）已知，那么的值是（    ） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 【答案】C 【分析】先根据平方差公式，可得=1，进而即可求解． 【详解】∵ = = =1， ∴=． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次根式的值，熟练掌握平方差公式，是解题的关键． 5．（[首发]浙江省嵊州市谷来镇中学、石璜镇中学2016-2017学年八年级下学期期中联考数学试题）当＝－2时，则二次根式的值为 ． 【答案】1 【详解】试题分析：把x=-2代入可得=. 故答案为1 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 【经典例题三 根据二次根式有意义的条件求参】 【例3】（24-25八年级上·广东河源·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，由题意得且，据此即可求解，掌握二次根式和分式有意义的条件是 解题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴且， 解得， 故选：． 7．（23-24八年级下·山东滨州·开学考试）代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，分式有意义的条件解答即可． 本题考查了二次根式有意义条件，分式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：二次根式有意义， 故， 解得， 分式有意义， 故即， 故且， 故选D． 8．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，结合题意可得出，则可得出，然后解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上：若有意义，则的取值范围是且， 故答案为：且． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）等式成立的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，以及解一元一次不等式，掌握“二次根式有意义的条件是二次根式的被开方数为非负实数，分式有意义的条件是分式的分母不为零”是解题的关键．由二次根式有意义的条件、分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：， 且， 解得：， 故答案为：． 【经典例题四 利用二次根式被开方数的非负性求值】 【例4】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）已知实数a满足，那么的值是（    ） A．2023 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据被开方数大于等于0列式求出的取值范围，再去掉绝对值号，然后两边平方整理即可得解． 【详解】解：∵， ， ， 则， ， ， ， 故选：B． 10．（24-25八年级上·江西·阶段练习）如果，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，平方根的定义；由二次根式的性质得，求出的值，代入求出的值，由平方根的定义即可求解；理解二次根式的性质，会求一个数的平方根是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， ， 解得：， ， 的平方根是； 故答案：． 11．（23-24八年级下·山东东营·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂等知识，根据二次根式有意义的条件求出，即可得到，代入即可求出答案． 【详解】由可知， ， 解得， 当时，， ∴， 故答案为： 12．（23-24八年级上·四川乐山·阶段练习）已知m，n满足，求的值． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质以及二次根式的性质进行化简后即可求出m与n的值，然后代入原式即可求出答案． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， 原式化简为：，即， ，， ，， ， ． 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型． 【经典例题五 根据二次根式是整数求字母的值】 【例5】（2024八年级·全国·竞赛）已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 【答案】C 【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解什么情况下为正整数． 【详解】解：∵， ∴是一个平方数， ∴正整数最小是， 故选：． 13．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）已知是正整数，则实数a的最大整数值为（   ） A．1 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】因为是整数，且，则2（9−a）是完全平方数，据此分析解答． 【详解】∵是正整数，且， ∴是完全平方数， ∴，即：， ∴实数a的最大整数值为7， 故选B． 【点睛】本题主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式． 14．（23-24八年级下·云南怒江·阶段练习）已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如（）的式子叫做二次根式，还考查了二次根式的性质：．由已知可得且为完全平方数求解． 【详解】解：由已知得， 又∵为整数 为完全平方数， 或或或 自然数x的所有取值为：． 15．（24-25八年级下·山西·期末）已知是正整数，是整数，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】先分解质因式，再根据二次根式的性质判断即可． 【详解】解：∵98=72×2， 又∵n是正整数，是整数， ∴符合n的最小值是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和定义，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． 【经典例题六 利用二次根式的性质化简】 【例6】（24-25八年级上·陕西西安·期中）若二次根式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、绝对值，解题的关键是掌握． 根据二次根式的性质得到，则有，根据绝对值的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：， 而， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）要把中根号外的因式移入根号内，下面式子正确的是 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据非负数才能移入根号内或根号外，变成非负数后，变形化简即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握根式的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故 ， 故选：D． 17．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，为实数，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查利用二次根式的性质化简．根据已知条件分情况讨论，当，或，时，直接利用二次根式的性质化简，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴分情况讨论， 当，时， ∴； 当，时， ∴， 综上，的值为． 故选：D． 18．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）已知一个三角形的三边长分别为1，1，x，化简： ． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系定理，得，结合，去掉绝对值即可． 本题考查了三角形三边关系定理，二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为1，1，x， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【经典例题七 已知字母的范围化简二次根式】 【例7】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）当时，化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，能够根据二次根式的被开方数中因式的特点正确化简二次根式是本题的关键． 先利用的取值范围判断的正负性，根据二次根式的性质进行化简，最后根据绝对值的性质去绝对值，然后进行计算即可． 【详解】解：． ． ． 故选：B． 19．（23-24八年级下·山东威海·期末）已知， 则化简二次根式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，结合题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴x与y异号， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 20．（24-25九年级·江苏南京·自主招生）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据已知易得，从而可得，然后利用二次根式的性质以及分式的运算法则进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， 故答案为：． 21．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）已知，，，．求P、Q的值． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的性质、分式的求值等知识，由题意可得，，根据完全平方公式变形后代入即可求出P的值，把化简后，再进行整体代入即可求出Q的值． 【详解】解：∵，， ∴，， 【经典例题八 数轴与二次根式的化简问题】 【例8】（24-25八年级上·北京石景山·期末）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．n B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴可知：，则，化简所求代数式即可． 本题考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，由数轴得到是关键． 【详解】解：由数轴可知：， ， 故选：B 22．（23-24八年级下·山东临沂·期中）已知在数轴上的位置如图，化简：（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴化简二次根式，先根据数轴可得，且，进而得到，，再根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，且， ∴，， ∴原式 ， ， ， 故选：． 23．（23-24八年级下·辽宁营口·期末）在数轴上的位置如图所示，那么化简：的结果是 ．    【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简二次根式，由数轴得出，推出，再由二次根式的性质化简即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得：， ∴， ∴ ， 故答案为：． 24．（24-25七年级下·重庆江津·期中）（1）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值． （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，实数的运算等知识，解题的关键是： （1）利用夹逼法得出，利用数轴上a、b的位置可得出，，则 ，，然后利用绝对值的意义、二次根式的性质等化简即可； （2）先估算出与的大小，从而得到a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解∶（1）∵， ∴，即， 由数轴知：，， ∴，，， ∴原式 ； （2）∵， ∴，即， ∴的整数部分为2，小数部分为， ∵， ∴，即， ∴的整数部分为， ∴． 【经典例题九 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 【例9】（2023春·八年级课时练习）一次函数的图象如图所示，化简_______． 【答案】 【分析】先根据一次函数经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴，可得，，再由图可知，当时，一次函数的值大于0，即有当时，有，据此化简即可． 【详解】∵一次函数经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴， ∴，， 由图可知，当时，一次函数的值大于0， ∴将代入中有， 即： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，二次根式的化简以及绝对值的化简等知识，根据一次函数的图象与性质得出，，是解答本题的关键． 1、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 【答案】1≤x≤4 【分析】根据可以得到，然后根据x的取值范围去绝对值即可求解. 【详解】解：由题意可知： ∴ ∴， ∴当时 原式不合题意； ∴当时， 原式不合题意； ∴当时， 原式符合题意； ∴x的取值范围为：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 2、（2023春·山东烟台·八年级统考期中）已知m是的小数部分，则式子___________． 【答案】 【分析】首先确定，再将其代入并化简计算即可． 【详解】解：∵m是的小数部分， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算以及二次根式的性质，解题的关键是求出． 3、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知ab＜0，化简______ 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，利用，得，，再根据二次根式的性质得原式，然后去绝对值即可． 【详解】解：， 而，， ，， 原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握． 【经典例题十 复合二次根式的化简】 【例10】（24-25八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可． 【详解】∵被开方数，分母. ∴，∴. ∴原式． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 3．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． （2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； ， ； （2）解： ． 【经典例题十一 二次根式的简单应用】 【例11】（23-24八年级下·重庆江津·期末）通过学习二次根式和乘法公式后，可以发现： 当，时，∵，∴， 当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： ①当时，的最小值为2；②当时，的最小值为5； ③如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，分别根据，依次将①②中的等式进行变形，即可进行判断，对于③，先设设花圃的宽为，篱笆的总长为，得到y关于x的表达式，再进行变形，即可得到答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵； ∴； 故②正确； 设花圃的宽为，篱笆的总长为， 则， 故③正确； 故选：D． 1．（2024八年级下·全国·专题练习）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：且； ②存在实数，使得； ③存在无理数，使得是一个整数； 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新概念，二次根式的性质，解分式方程等，对于①，根据二次根式和分式的性质判断即可；对于②，将，代入，再求出分式方程的解，判断即可；对于③，将，代入再整理，讨论得出答案．理解新定义是解题的关键，并注意分类讨论． 【详解】解：根据题意可知且， 解得：， 故结论①不正确； ∵，，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴不存在实数，使得， 故结论②错误； ∵，， ∴． ∵是一个整数， ∴， 解得：或， ∵为无理数， 故结论③不正确． ∴正确的个数为． 故选：A． 2．（24-25八年级上·北京昌平·期中）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在实数，使得； ③存在实数，使得是一个整数； 上述说法中正确的是 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查定义新概念，二次根式的性质，二次根式和分式有意义的条件，分式的加法运算等，对于①，根据二次根式和分式的性质判断即可；对于②，将，代入，再求出分式方程的解，判断即可；对于③，将，代入再整理，讨论得出答案．理解新定义是解题的关键． 【详解】解：①根据题意可知且， 解得：，故结论①正确； ②∵，，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴不存在实数，使得，故结论②错误； ③∵，， ∴． ∵是一个整数， ∴， 解得：或，故结论③正确． 故答案为：①③． 3．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方． 推理证明： 解：设、是连续的正整数， ，， 对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方． (1)【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．请你推理证明； (2)【深入思考】若（，为两个连续奇数，，），求证：一定是偶数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简，理解题意，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）设、是连续的正整数，根据题意列式计算即可证明； （2）由m， n为两个连续奇数， ，可得，，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：设、是连续的正整数， ， ； （2）∵m， n为两个连续奇数，， ∴， ∴， ∴ ， ∴p一定是偶数． 1．（24-25八年级上·北京石景山·期末）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，由数轴可知：，则，化简所求代数式即可．由数轴得到是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简．根据题意确定的取值范围是解题的关键． 利用二次根式的性质进行化简，即可求解； 【详解】解：， ， ； 故答案为：B 3．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键； 形如的式子叫做二次根式．据此判断给出的式子有多少个二次根式． 【详解】解：形如的式子叫做二次根式． 在，，，，中， 不含根号，被开方数小于，不符合要求，不是二次根式，其余个是二次根式， 所以，二次根式有个． 故选：C 4．（24-25八年级上·北京昌平·期中）成立的条件是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查二次根式及分式有意义的条件，以及解一元一次不等式组，根据分式有意义分母不为0及二次根式的被开方数为非负数建立不等式组求解，即可解题． 【详解】解：成立的条件是， 解得， 故选：C． 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若，都是实数，且，则的值是（   ） A．4 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，得到，进行求出的值，再进行乘方运算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 6．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如果实数满足．那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值，实数的运算，由二次根式中的被开方数是非负数，得到，即可得．解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，绝对值的意义． 【详解】解：∵实数满足， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．（24-25八年级上·江西抚州·期末）若，求的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；根据二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组，在求出y，代入中即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 则， ∴， 故答案为：2． 8．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）实数在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据、、在数轴上的位置，判断出、、的正负情况，继而得出，，，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴，，， 则 ， 故答案为：． 9．（2022八年级上·四川成都·专题练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，则的值为 【答案】2020 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由，得，两边平方可得；再对变形后整体代入即可解答． 【详解】解：由，得， 两边平方可得：，即， ∴． 故答案为2020． 11．（24-25八年级上·全国·期末）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、绝对值的性质、立方根，由数轴可知：，从而得出，，，再根据绝对值的性质、立方根和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，， ∴ ． 12．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知实数满足等式． (1)的取值范围是 ； (2)小明求出的值为，他的答案正确吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小明的答案不正确，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解； （2）根据绝对值的非负性和二次根式的性质将化简即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：； （2）小明的答案不正确，理由如下： ， ， ， ， ， 小明的答案不正确． 13．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知：实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值，二次根式的性质，先由数轴判断出，的取值范围，再根据绝对值和二次根式的性质化简后进行运算即可得到结果，由数轴判断出，的取值范围是解题的关键． 首先根据数轴得出，，且，然后去根号和绝对值，再进行合并即可得到答案． 【详解】解：由数轴上点的位置关系，得，， ，，， ， ， 14．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）（1）已知方程①， ② 请判断这两个方程是否有解?并说明理由； （2）已知，求的值． 【答案】（1）方程无解，方程有解，理由见解析；（2）2，理由见详解； 【分析】（1）本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质得到x的取值范围，结合根式最值求解即可得到答案； （2）本题考查平方差公式，设，乘以求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 由 ，， 解得：得， ∵， ∴的最小值为， ∵， ∴方程①无解； 由，，得， 当时，     的最小值为， ∵， ∴方程②有解； （2）解：的值是2，理由如下， 设， ∵， ∴， 即：， 解得：， ∴的值是2． 15．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题． ； ； ； ． 探究：对于任意非负有理数， ． ； ； ； ． 探究：对于任意负有理数， ． 综上，对于任意有理数， ． (2)应用（）所得结论解决问题：有理数、在数轴上的位置如图所示，化简：．    【答案】(1)；；；；；；；；；； (2)． 【分析】（）分别计算各式的值，并归纳出探究结果； 分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出， ； （）先利用（）式的探究结果化简二次根式，再根据字母、在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简，合并后即可得出结果； 此题主要考查了算术平方根的计算以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键． 【详解】（1），，，，， 故答案为：；；；；； ，，，， 探究：对于任意负有理数，； 综上，对于任意有理数，， 故答案为：；；；；；； （2）观察数轴可知： ，，， 原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$