第一章 二次根式 重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

第一章 二次根式 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：本章全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）若有意义，则的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D． 3．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D．b 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 5．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）若，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）将一个等腰三角形纸板沿垂线段进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（   ） A． B． C． D．7 7．（24-25八年级上·全国·期中）已知实数满足，则的值为（      ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知一列数据为，，，，，，，…，若第10个数据用字母a表示，则下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知，， ，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·广东深圳·期中）观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是 ． 12．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）当时，代数式的值是 ． 13．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知，则的值为 ． 14．（2020·青海·中考真题）对于任意不相等的两个数，定义一种运算※如下：，如．那么 ． 15．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知正整数a，b，c满足：，则的值等于 ． 16．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，等腰的直角边长为，，分别为边，上两个动点，且，则的最小值 ． 三、解答题（8小题，共66分） 17．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 18．（24-25八年级下·全国·期末）设，求下列各式的值： (1)； (2)． 19．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 20．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知中，，，． (1)分别化简，的值； (2)并在的方格纸上画出，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为）； (3)求最长边上的高． 21．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为宽为现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为宽为 (1)求大长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)张大伯种植的蔬菜每平方米产量为15千克，求张大伯种植蔬菜的总产量． 22．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出 ； (2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律： ； (3)利用上面的解法，请化简：． 23．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 24．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 二次根式 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：本章全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的加法，乘法与除法运算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键．根据二次根式的加法，乘法与除法运算的运算法则，化简二次根式的方法逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）若有意义，则的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，列式进行计算即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，． 故选：C． 3．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D．b 【答案】C 【分析】此题考查了利用数轴比较数的大小，化简算术平方根，化简绝对值，正确利用数轴比较数的大小是解题的关键．由数轴知，，得到，化简即可． 【详解】解：由数轴知，， ∴， ∴ ， 故选：C． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质，以及代数式求值，根据二次根式性质得到，进而求出值，再代入中求解，即可解题． 【详解】解：由题知， ，， 有，， 即， 当时，有， 解得， 则， 故选：A． 5．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，由题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）将一个等腰三角形纸板沿垂线段进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（   ） A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理．利用等腰三角形的性质可以得到，设为，再运用勾股定理得，代入解方程即可解题． 【详解】解：如图，设为，为，为，图2中的余角为， ∵为等腰三角形，， ，， ， ， 结合两图，可得， 设为， 根据勾股定理得， ， 解得：， ， 故选：B． 7．（24-25八年级上·全国·期中）已知实数满足，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，根据算术平方根的定义得到，则，进而得到，即可求得． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知一列数据为，，，，，，，…，若第10个数据用字母a表示，则下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质等知识点．由题干中数据总结规律求得，再根据有理化因式计算即可． 【详解】解：第1个数据为， 第2个数据为， 第3个数据为， 第4个数据为， 则第10个数据为， ∴为， ∴与的积为有理数的是， 故选：D． 9．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知，， ，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，掌握实数的运算法总则是解题的关键． 根据已知条件得出，，，再进行比较，即可得出答案． 【详解】解：∵， ， ， ∵， ∴． 故选：A 10．（23-24八年级上·广东深圳·期中）观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 由此可知：， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了数字类规律探究、二次根式化简中的简便运算．熟练掌握题目中给定的计算方法是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且/且 【分析】本题主要考查了函数的自变量的取值范围及分式有意义的条件，根据分式的分母不为零和二次根式被开方数为非负数，即可确定自变量的取值范围，即可求解． 【详解】解：函数中，且， 解得：且， 故答案为：且． 12．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）当时，代数式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质是正确化简的前提．先判断，的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 13．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知，则的值为 ． 【答案】32 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的变形，先将，b分母有理化，再对代数式进行变形后代入求解即可．解题的关键是对原代数式进行适当的变形，以简化运算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：32． 14．（2020·青海·中考真题）对于任意不相等的两个数，定义一种运算※如下：，如．那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，根据新定义结合二次根式的混合运算计算即可得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知正整数a，b，c满足：，则的值等于 ． 【答案】10或14 【分析】本题考查二次根式的混合运算，把平方后，根据正整数a，b，c求解即可． 【详解】∵， ∴， 整理得， ∵正整数a，b，c， ∴， ∴或或或， ∴或， 故答案为：10或14． 16．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，等腰的直角边长为，，分别为边，上两个动点，且，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理及等腰直角三角形的性质，化为最简二次根式，解题的关键在于构造三角形全等把问题转为两点之间线段最短进行求解即可．过点A作，且，连接，如图所示，证明，得到，则，当为最小时，即为最小，则当点C、D、H三点共线时即为最小，连接，交于点M，证明 ，得到，，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解： 过点A作，且，连接，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当为最小时，即为最小， ∴当点C、D、H三点共线时即为最小， 连接，交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴的最小值为； 故答案为： ． 三、解答题（8小题，共66分） 17．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． （1）先计算乘法，再计算加减； （2）先计算立方根和平方根，再计算除法，最后计算加减． 【详解】（1） ； （2） 18．（24-25八年级下·全国·期末）设，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将的值代入，分母有理化即可得出答案； （2）先计算出，把变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 19．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2)， 【分析】本题主要考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简以及化去绝对值的方法是解题的关键． （1）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值即可判断小亮解法错误； （2）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解答过程是错误的，正确解答如下： ， ． ． 小亮的解答过程是错误的． （2）解：， ， ∴ ． 原式． 20．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知中，，，． (1)分别化简，的值； (2)并在的方格纸上画出，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为）； (3)求最长边上的高． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简运算，网格中表示线段长为二次根式的方法，培养学生动手操作能力． （1）根据二次根式的化简方法进行化简； （2）根据勾股定理计算边长的方法，在网格中画出、、即可； （3）由图中可以看出边上的高为面积为1的边长为的边上的高，利用三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：，； （2）如图所示， （3）依题意，的面积为， ∵， 边上的高为． 即最长边上的高为． 21．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为宽为现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为宽为 (1)求大长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)张大伯种植的蔬菜每平方米产量为15千克，求张大伯种植蔬菜的总产量． 【答案】(1) (2)585千克 【分析】本题考查二次根式的应用，理解题意，正确列式是解答的关键． （1）根据长方形的周长公式，结合二次根式的性质化简求解即可； （2）先由大长方形的面积减去养鸡场的面积得到种植蔬菜的面积，进而乘以每平方米的产量即可求解． 【详解】（1）解：由题意，大长方形空地的周长为 ， 答：大长方形空地的周长为； （2）解：由题意，种植蔬菜的面积为 ， ∴（千克）， ∴张大伯种植蔬菜的总产量为585千克． 22．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出 ； (2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律： ； (3)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，将分子和分母同时乘以，进行分母有理化，再进行化简可求出答案； （2）根据题意，将分子和分母同时乘以，进行分母有理化，然后合并化简即可得到答案； （3）根据，把所求式子的每一项进行化简，然后再相加可求出答案. 本题考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：反复运用得 ． 23．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：由题意可得，， 整理得，， ， ∴ ∴， ∴． 24．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据题目中的例子可以写出答案； （2）根据例2，可以写出相应的猜想； （3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （4）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【详解】（1） （2） ， ， ， 故答案为：； （3） ； （4） ， ， ， 故． 学科网（北京）股份有限公司 $$