《1.3线段的垂直平分线》自主学习达标测试题 2024-2025学年北师大版八年级数学下册

2024-2025学年北师大版八年级数学下册《1.3线段的垂直平分线》 自主学习达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．如图，三个小朋友相约周末出去玩，图中点A、B、C代表三人的家所在的位置，为公平起见，集合地应定在以下什么位置，可以使三个小朋友的家到集合地的距离相等？（　　）    A．在三条高线所在的直线的交点处 B．在三条中线的交点处 C．在三条边的垂直平分线的交点处 D．在三条角平分线的交点处 2．如图，，边上存在一点P，使得．下列描述正确的是（    ）    A．P是的垂直平分线与的交点 B．P是的平分线与AB的交点 C．P是的垂直平分线与的交点 D．P是的中点 3．如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以C为圆心，为半径画弧①； 步骤2：以B为圆心，为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3：连接，交延长线于点H． 下列叙述错误的是（　　） A．垂直平分线段 B．平分 C．是的高 D．A点和D点关于直线对称 4．如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 5．在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，．若，，则的周长为（   ） A． B． C． D．或 6．已知：如图，在中，，平分，垂直平分，为垂足，若，则的长度为（  ） A．4 B．5 C．6 D．8 7．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，D是的中点，垂直平分，交于点E，交于点F．在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（   ） A．9 B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．如图，用尺规作图过直线l上一点P作已知直线l的垂线，图中的点C是 的交点． 10．如图，在中，，垂直平分线交于点，交于点，的周长为，则为 ． 11．如图，在等腰中，平分，点C在的垂直平分线上．若的周长为，则的长为 ． 12．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为 ． 13．如图，已知在中， 的垂直平分线交于于点E，的垂直平分线正好经过点B，与相交于点F，求的度数为 °． 14．如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是 （填序号） 15．如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ． 16．如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，E，以C为圆心，长为半径作弧，与直线交于点F，与交于点G，若，则的长为 ． 三、解答题（满分72分） 17．如图，在中，作边的垂直平分线，与，分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； 18．如图，中，垂直平分，交于点，交于点，垂足为，且连接．求证： 19．如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D． 连接． (1)若的周长为19，的周长为7，求的长； (2)若，，求的度数． 20．如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点D在l上，且，连接． (1)求证； (2)连接，若，求证． 21．如图，在中，，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)求证：． (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 22．如图，，与相交于点，． (1)求证：垂直平分； (2)过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 23．如图，在等腰中，，，在边上取一点，连接，点为线段上一点，以为斜边作等腰．连接、、，交于． (1)如图，若垂直平分， 求证：； 判断与的关系，并说明理由； (2)如图，是线段上一点，若，求证：． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B A D A D B 1．解：根据垂直平分线性质可知，垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，所以集合地应定在三条边的垂直平分线的交点处， 故选：C． 2．解：， ， ∴P是的垂直平分线与的交点． 故选：C． 3．解：如图：连接， ∵以C为圆心，为半径画弧 ∴ ∵以B为圆心，为半径画弧② ∴ ∴点B、C在的垂直平分线上． 故选：A． 4．解：如图，AC的垂直平分线交l于P点，则AP=CP=BP 此时△PAC，△PAB均为等腰三角形， 共一点， 故选A． 5．解：如图，当点在点左侧时， 垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为； 当点在点的右侧时， 垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为； 综上所述，的周长为或， 故选：D． 6．解：平分， ， 垂直平分， ， ， ， 又， ， 解得， 设，则， 在中，，， ，即， 解得，即， ． 故选：A． 7．解：∵以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点， ∴， ∵分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点． ∴垂直平分， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴的周长为， 故选：D． 8．解：∵，D是的中点， ∴， ∵垂直平分， ∴， 如图，当P为与的交点时，取最小值， 此时， ∴的最小值为， 故选：B． 9．解：过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法如下： ①以P为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧交在直线l上点P的两旁为，； ②分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点C； ③过点C、P作直线，则直线为所求作的直线； 故答案为：分别以A、B为圆心，以大于长为半径所画两弧． 10．解：∵的周长为，即，， ∴， ∴， ∵垂直平分线交于点，交于点， ∴，且， ∴， 故答案为：． 11．解：∵平分， ∴， ∴的周长， ∴， ∵点C在的垂直平分线上． ∴， ∴， 故答案为： 12．解：、分别为、的垂直平分线， ，，，， ∵的周长为， ， ，即， ∵的周长为， ， ， ， 故答案为：． 13．解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：36． 14．解：∵平分， ∴ 又∵， ∴ ∴，，即平分；故①③正确， 又∵ ∴垂直平分，故④正确， ∵在上， ∴，故②正确， 故答案为：①②③④． 15．解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， 即． 故答案为：． 16．解：如图，连接， 由题意可知，垂直平分，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．解：边的垂直平分线如图所示． 18．解：∵，且， ∴垂直平分， ∴， 垂直平分， ， ∴． 19．（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为19，的周长为7， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∴． 20．（1）证明：∵是的垂直平分线，点在上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵是的垂直平分线，点在上， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， 由（）知， ∴， 设与的交点为， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 21．（1）证明： ，且， ， 又， ， ， ， ， ； （2）证明：由（1）可知， 且，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）可知， ， 由（）可知垂直平分， ， ， 为等腰三角形． 22．（1）证明：，， ，， 在的垂直平分上，， ， 在的垂直平分上， 垂直平分； （2）①证明：设， ， ， 是的外角， ， 由（1），， ， ， ， ， ， ，即， 则， ， ， 是等边三角形； ②为最小值时，与的数量关系是， 理由： 延长至，使， ， 与关于成轴对称，过作于交于，连接， ， ，此时为最小， 由①知：，即， 即， 在中，， ， 为最小值时，与的数量关系是． 23．（1）证明：如图，过作于点，则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 同理：， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 解： ，，理由如下： 如图，过作于点，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由得：，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作的垂线交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$