专题05 二次根式40道压轴题型专训（8大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题05 二次根式40道压轴题型专训（8大题型） 【题型目录】题型一 利用二次根式的性质化简 题型二 复合二次根式的化简 题型三 二次根式的混合运算 题型四 二次根式的化简求值 题型五 分母有理化 题型六 二次根式的应用 题型七 二次根式的规律计算 题型八 二次根式的新定义计算 【经典例题一 利用二次根式的性质化简】 1．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知 ．  求的值． 3．（24-25·江苏南京·二模）在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为，，（）的三角形中，有． (1)推导该结论的一种思路可以用如下的框图表示，请填写其中的空格．    (2)推导该结论的其他思路还有： ①利用，，，再配方，…… ②利用，使用平方差公式，……． ③利用，…… 上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路． 4．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简下列各式： ① ② ③． 5．（24-25·安徽淮南·二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①；②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： __________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 【经典例题二 复合二次根式的化简】 6．（24-25九年级·安徽芜湖·自主招生）当时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 7．（24-25八年级上·四川·阶段练习）完成下列各题， （1）若，那么的值是 ． （2）化简： ． 8．（24-25八年级下·广东广州·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=+，从而可化简=．类比小明的思路，请化简 ． 9．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 10．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【经典例题三 二次根式的混合运算】 11．（24-25九年级上·广东·阶段练习）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 12．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，则a的值为 ． 13．（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）可以用配方法化简二重根式， 例如：， 请化简式子： ． 14．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 15．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）计算： （1） （2） 【经典例题四 二次根式的化简求值】 16．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 17．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：. (2)计算：； (3)若，求的值. 18．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）阅读材料：像，（）…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如： ， ． (1)请用以上方法化简：________；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 19．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ， ，， ， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值； (3)． 20．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）我们已经知道，因此在计算时，数学上常常设法通过恒等变形将分母变为有理式，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． (1)化简：______； (2)若，求的值． 【经典例题五 分母有理化】 21．（24-25八年级下·四川泸州·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______，______． (2)已知：，求的值． (3)计算：． 22．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）阅读下列运算过程： ， ，， ， 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”．通过分母有理化，可把不是最简的二次根式化成最简二次根式．请参考上述方法，解决下列问题： (1)化简： ， ， ； (2)计算：； (3)计算：． 23．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题： (1)的有理化因式是______，______； (2)比较大小：______（填>，<，或中的一种） (3)计算： (4)已知，求的值． 24．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． (1)直接写出结果 ； (2)利用上面的规律，计算：； (3)比较大小：与． 25．（24-25八年级上·广东深圳·期中）阅读材料：像……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知 求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以 所以所以 所以 所以 所以 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ； (2)比较大小: （填>， <， =， ≥或≤中的 一种）; (3)若，求的值． 【经典例题六 二次根式的应用】 26．（24-25八年级上·福建福州·期末）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 27．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）高空抛物是一种非常危险的行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和下落高度h（m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． (1)小东家住某小区21层，每层楼的高度近似为，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为_________s（结果保留根号）； (2)某物体从高空落到地面的时间为，则该物体的起始高度_________m； (3)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位），，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为的玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． 28．（23-24八年级下·福建福州·期中）如果一个三角形三边长分别为a，b，c ，记，那么三角形的面积为…，①古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式…，②这两个公式实质上是同一个公式，所以也称①为海伦—秦九韶公式． (1)设a，b，c为的三边，当，，时，求的面积． (2)请你对公式②进行变形，推导出公式①． 29．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】 （1）既可以从算术平方根的角度理解，也能将其看成是面积为 的正方形的边长； （2）图1、图2是由同一个五边形通过不同的分割法所形成，图1、图2都含有3块全等的直角三角形，已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c． ①图1的面积为 ，②图2的面积为 ． ③由此我们可以得到等式： ； 【类比学习】 探究的近似值（精确到0.001） 凯凯：我们已经知道是介于1.4与1.5之间的一个无理数，设．图3是边长为的正方形，观察图3后写下如下过程：，即，由于x较小，可忽略不计，得：，故 仿照凯凯的方法，探究的近似值（精确到0.001），设计出图形并直接写出结果． （数据参考：） ． 30．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上某种蔬菜10元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产20千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【经典例题七 二次根式的规律计算】 31．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 32．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，计算：； (2)按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算：． 33．（2024·安徽·三模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式：_____________________________； (2)写出第个等式：______________________________（用含的等式表示）； (3)计算：． 34．（23-24八年级下·广东惠州·期中）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式： …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第个等式： ； (2)计算： ； (3)利用这一规律计算：． 35．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）观察下列各式： ①； ②； ③； … (1)第④个式子为：__________________； (2)依题中规律，第n（n为正整数）个式子为：_________________； (3)证明（2）中式子成立； (4)根据上述规律，若，且a，b分别为三个连续自然数中最大数和最小数的平方，直接写出a，b的值． 【经典例题八 二次根式的新定义计算】 36．（23-24七年级下·辽宁·期末）我们知道，任意一个无理数都介于两个连续的整数之间，定义：若无理数t，（其中m、n为两个连续的整数），则称无理数t的“整数区间”为．例如：，则的“整数区间”为；，则的“整数区间”为． (1)无理数的“整数区间”为______，无理数的“整数区间”为______； (2)若实数x、y满足，求的“整数区间”； (3)若一个无理数的“整数区间”为，且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求a的值． 37．（24-25八年级上·广东茂名·开学考试）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是_____； (2)若，求的“麓外区间”． 38．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）规定表示一对数对，给出如下定义：，（）．将与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对为与． (1)数对的一对“对称数对”是________． (2)若数对的一对“对称数”相同，则的值是多少？ (3)若数对的一个“对称数对”是，则的值是多少？若数对一个“对称数对”是，求，的值． 39．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下：，如：．请求当时，的值． 40．（24-25八年级下·北京海淀·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开平方运算是互逆运算．如，那么如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义： 若，则称点为点的“横负纵变点”例：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：______； (3)已知为常数，点且，点是点的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次根式40道压轴题型专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 利用二次根式的性质化简 题型二 复合二次根式的化简 题型三 二次根式的混合运算 题型四 二次根式的化简求值 题型五 分母有理化 题型六 二次根式的应用 题型七 二次根式的规律计算 题型八 二次根式的新定义计算 【经典例题一 利用二次根式的性质化简】 1．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 故选：A． 2．（23-24九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知 ．  求的值． 【答案】 【分析】先得到，由可得的值，进而即可求解； 【详解】解： ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查二次根式的变换求值、完全平方公式，正确进行变换是解题的关键． 3．（24-25·江苏南京·二模）在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为，，（）的三角形中，有． (1)推导该结论的一种思路可以用如下的框图表示，请填写其中的空格．    (2)推导该结论的其他思路还有： ①利用，，，再配方，…… ②利用，使用平方差公式，……． ③利用，…… 上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路． 【答案】(1)①，②，③，④，⑤ (2)见解析 【分析】（1）根据完全平方公式即可得出①；根据二次根式的性质，即可得出②；根据不等式的性质，即可得出③；根据三角形三边之间的关系，即可得出④；根据不等式的性质即可得出⑤； （2）根据题目所给思路，进行推理论证即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 根据三角形三边之间的关系可得：， ∴， ∴，即； （2）解：①∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则； ②∵， ∴， 则， ， ∵， ∴，则， ∴将左边除以，右边除以得：， 即； ③∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴，即； 【点睛】本题主要考查了二次根式，三角三边之间的关系，完全平方公式，平方差公式等，解题的关键是熟练掌握相关内容，并灵活运用在代数推理中． 4．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简下列各式： ① ② ③． 【答案】(1)， (2)12或28 (3)①，②，③ 【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b； （2）利用（1）中结论得到，利用a、m、n均为正整数得到，或，，然后利用计算对应a的值； （3）设，两边平方得到，然后利用（1）中的结论化简得到，最后把写成完全平方形式可得到t的值． 【详解】（1）设（其中a、b、m、n均为整数）， 则有，； 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∵a、m、n均为正整数， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 即a的值为12或28； （3）① ② ③设， 则 ， ∴． 【点睛】本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 5．（24-25·安徽淮南·二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①；②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： __________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075 【分析】(1)观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和； (2)所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可； (3)利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解． 【详解】解：（1）10； （2）； （3）①原式 ； ②原式 ． 【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键 【经典例题二 复合二次根式的化简】 6．（24-25九年级·安徽芜湖·自主招生）当时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：原式= 将代入得， 原式 . 故选：A. 【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型． 7．（24-25八年级上·四川·阶段练习）完成下列各题， （1）若，那么的值是 ． （2）化简： ． 【答案】 【分析】（1）先对二次根式进行适当的变形，然后由得，进而代值求解即可； （2）利用完全平方公式结合二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：（1）原式， ， ， ∵， ∴， 原式， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质及完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质及完全平方公式是解题的关键． 8．（24-25八年级下·广东广州·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=+，从而可化简=．类比小明的思路，请化简 ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式，，然后通过计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． 9．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：，，； （2）， ． 10．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题三 二次根式的混合运算】 11．（24-25九年级上·广东·阶段练习）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由的值进行化简到=，再求得，把式子两边平方，整理得到，再把两边平方，再整理得到，原式可变形为，利用整体代入即可求得答案． 【详解】解∵ = = ∴ ∴ 整理得 ∴ ∵ ∴ 整理得 ∴ ∴ ∴ = = = = = 故选：C 【点睛】本题考查了二次根式的化简，乘法公式，提公因式法因式分解等知识，关键在于熟练掌握相关运算法则和整体代入的方法． 12．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简计算，分母有理化，还涉及因式分解，难度较大，正确计算化简是解题的关键． 先分母有理化化简，然后对分子提取公因式，再分母有理化即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）可以用配方法化简二重根式， 例如：， 请化简式子： ． 【答案】2 【分析】先把，分别化为与，再化简，结合分母有理化，最后计算加减运算即可． 【详解】解： ； 故答案为：2 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的混合运算，分母有理化，掌握二次根式的化简的方法与技巧是解本题的关键． 14．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再进行乘法运算，然后合并同类二次根式即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式即可； （4）先计算括号内，再进行除法运算即可； （5）先计算括号内，再进行除法运算即可； （6）根据乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 15．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别化简二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案； （2）先将变形为，然后利用平方差公式计算求解． 【详解】（1） （2） 故答案为（1）；（2）． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，积的乘方，平方差公式，合并同类二次根式，掌握以上知识是解题的关键． 【经典例题四 二次根式的化简求值】 16．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先根据平方差公式、单项式乘以多项式的运算法则把原式化简，再把的值代入计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 17．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：. (2)计算：； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分子、分母都乘以，化简得结果； （2）分别化简每个项，再运算二次根式的加减法，即可作答． （3）表示数的分子、分母都乘以，化简后代入代数式里，计算得结果． 本题考查了二次根式的运算，掌握分母有理化和二次根式的运算法则是解决本题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． ． 原式 ． 18．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）阅读材料：像，（）…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如： ， ． (1)请用以上方法化简：________；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、代数式求值，理解题中求解方法并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例题中求解过程解答即可； （2）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可； （3）先求得a值，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴ ． 19．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ， ，， ， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值； (3)． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题考查分母有理化，掌握分母有理化和题干给定的解题方法，是解题的关键： （1）进行分母有理化即可； （2）先进行分母有理化，再仿照题干的方法，求值即可； （3）先进行分母有理化，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）原式 ． 20．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）我们已经知道，因此在计算时，数学上常常设法通过恒等变形将分母变为有理式，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． (1)化简：______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查分母有理数，代数式求值，掌握分母有理化的方法，是解题的关键： （1）根据分母有理化的方法，进行计算即可； （2）先进行分母有理化，再代值计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）∵， ∴ ． 【经典例题五 分母有理化】 21．（24-25八年级下·四川泸州·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______，______． (2)已知：，求的值． (3)计算：． 【答案】(1) (2)16 (3)24-25 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，解题关键是熟练掌握如何把二次根式分母有理化． （1）各个算式分别把分子和分母乘以分母的有理化因式，把分母中的根号去掉进行化简即可； （2）先根据已知条件，把x，y化简，再利用完全平方公式把所求代数式分解因式，然后直接把化简后的x，y代入进行计算即可； （3）把括号内的每个分式进行分母有理化，然后进行简便计算，最后再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ； （3）解： ． 22．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）阅读下列运算过程： ， ，， ， 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”．通过分母有理化，可把不是最简的二次根式化成最简二次根式．请参考上述方法，解决下列问题： (1)化简： ， ， ； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)， ，   (2)3 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）分别分母有理化计算即可； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：， ， ； 故答案为：，，； （2）解：∵==， ==， ==，   ……， ==， 原式 ； （3）解：原式= = = = = =． 23．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题： (1)的有理化因式是______，______； (2)比较大小：______（填>，<，或中的一种） (3)计算： (4)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)1 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，平方差公式； （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将括号内里的分母有理化，然后合并，再乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【详解】（1）解：的有理化因式是 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ 故答案为：． （3）解： ； （4）∵ 又∵ ∴ 24．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． (1)直接写出结果 ； (2)利用上面的规律，计算：； (3)比较大小：与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式、分母有理化、二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则和运算顺序，注意平方差公式的应用． （1）根据①中的计算方法，可以求得所求式子的值； （2）根据（1） 中的结果，可以将所求式子展开，然后计算即可； （3）根据（1）中的结果，可以将与变形，从而可以求得 与的大小关系． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ； （3）解：， ， ∵， ∴， 即． 25．（24-25八年级上·广东深圳·期中）阅读材料：像……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知 求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以 所以所以 所以 所以 所以 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ； (2)比较大小: （填>， <， =， ≥或≤中的 一种）; (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)< (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化， 对于（1），根据有理化因式确定即可； 对于（2），先求出两个数的倒数，再比较即可； 对于（3），先把a分母有理化，再整体代入. 【详解】（1）因为， 所以的有理化因式为. 故答案为：； （2）因为， 显然， 又因为和都是正数， 所以． 故答案为：． （3）因为， 所以， 所以， 则， 即. 所以，原式． 【经典例题六 二次根式的应用】 26．（24-25八年级上·福建福州·期末）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能截出 【分析】本题考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根的运算是解题的关键， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板和宽进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵木板C为正方形，且面积为， ∴木板C的边长为：， 故答案为：． （2）解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和， ∴正方形木板A，B，C的边长分别为：， ∴长方形木板的长为，宽为 由图可得： ∴ ． （3）解：不能截出； 理由：∵，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为， 由（2）得长方形的边长分别为：、， ，但 不能截出． 27．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）高空抛物是一种非常危险的行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和下落高度h（m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． (1)小东家住某小区21层，每层楼的高度近似为，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为_________s（结果保留根号）； (2)某物体从高空落到地面的时间为，则该物体的起始高度_________m； (3)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位），，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为的玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)45； (3)能伤害到楼下无防护的行人，理由见解析． 【分析】本题考查二次根式的应用． （1）先根据已知条件求出h的值，再代入公式即可得时间； （2）将代入公式即可得高度h； （3）先根据公式求出，再代入动能计算公式求出这个玩具产生的动能，即可判断． 【详解】（1）解：小明家住21层，每层楼的高度近似为， ， ， 故答案为：； （2）解：当时，， ， 故答案为：45； （3）解：能伤害到楼下无防护的行人，理由如下： 当时，，解得， ， ∴质量为的玩具经落地所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 28．（23-24八年级下·福建福州·期中）如果一个三角形三边长分别为a，b，c ，记，那么三角形的面积为…，①古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式…，②这两个公式实质上是同一个公式，所以也称①为海伦—秦九韶公式． (1)设a，b，c为的三边，当，，时，求的面积． (2)请你对公式②进行变形，推导出公式①． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算和利用平方差公式对整式变型， （1）根据给定的算法求得p，在分别求得，和，代入计算即可； （2）结合已知求得，和，利用平方差公式对秦九韶公式进行变型，进行化简即可得到海伦公式． 【详解】（1）解：当，，时，， ∴，，， ∴＝． （2）解：∵ ∴，， ∴＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 29．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】 （1）既可以从算术平方根的角度理解，也能将其看成是面积为 的正方形的边长； （2）图1、图2是由同一个五边形通过不同的分割法所形成，图1、图2都含有3块全等的直角三角形，已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c． ①图1的面积为 ，②图2的面积为 ． ③由此我们可以得到等式： ； 【类比学习】 探究的近似值（精确到0.001） 凯凯：我们已经知道是介于1.4与1.5之间的一个无理数，设．图3是边长为的正方形，观察图3后写下如下过程：，即，由于x较小，可忽略不计，得：，故 仿照凯凯的方法，探究的近似值（精确到0.001），设计出图形并直接写出结果． （数据参考：） ． 【答案】已有认识：（1）2；（2）①，②，③；类比学习： 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，二次根式的应用及整式与几何图形面积的实际应用． 已有认识： （1）根据正方形面积公式，利用算术平方根的定义即可解答； （2）①根据图形用三个直角三角形的面积加上两个正方形的面积即可表示出面积；②用三个直角三角形的面积加上正方形的面积即可表示出面积；③根据两个图形的面积相等，建立等式，根据等式的性质即可解答 类比学习：根据材料设，仿照材料即可解答． 【详解】解：（1）， 也能将其看成是面积为2的正方形的边长； （2）①图1的面积为， ②图2的面积为． ③由此我们可以得到等式：，即； 类比学习： 设， 即， 由于x较小，可忽略不计，得：， ， ，即． 30．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上某种蔬菜10元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产20千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)7200元 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． （1）利用长方形的周长公式即可求解； （2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解． 【详解】（1）解：长方形的周长． 答：长方形的周长是； （2）蔬菜地的面积． （元）． 答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为7200元． 【经典例题七 二次根式的规律计算】 31．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：等式④：； （2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； （3）解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 32．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，计算：； (2)按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用与实数运算相关的规律题，利用二次根式的性质化简．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，，求解作答即可； （2）由题意知，，然后求解作答即可； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴； （2）解：由题意知，， ∴用n（n为正整数）表示的等式为； （3）解：由题意知，， ∴． 33．（2024·安徽·三模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式：_____________________________； (2)写出第个等式：______________________________（用含的等式表示）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算和规律探索． （1）仿照前面的等式即可解答； （2）仿照前面的等式即可解答； （3）利用（2）中的规律变形，再裂项计算即可． 【详解】（1）观察规律，可得：， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）原式 34．（23-24八年级下·广东惠州·期中）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式： …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第个等式： ； (2)计算： ； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究： （1）根据已有等式，写出第4个等式即可； （2）根据二次根式的性质结合已知，进行求解即可； （3）根据二次根式的性质，结合相关规律，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，第个等式为：； 故答案为：； （2）； 故答案为： （3）由题意，可知第个式子为：， ∴ ． 35．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）观察下列各式： ①； ②； ③； … (1)第④个式子为：__________________； (2)依题中规律，第n（n为正整数）个式子为：_________________； (3)证明（2）中式子成立； (4)根据上述规律，若，且a，b分别为三个连续自然数中最大数和最小数的平方，直接写出a，b的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)， 【分析】本题主要考查了数字规律探索，二次根式的性质，解题的关键是根据题目中给出的式子，得出规律． （1）根据给出的式子得出规律写出第④个式子即可； （2）根据题目中已知式子规律得出第n（n为正整数）个式子即可； （3）根据二次根式混合运算法则进行证明即可； （4）根据（2）中得出的规律进行解答即可． 【详解】（1）解：∵①； ②； ③； ∴第④个式子为：． （2）解：解：∵①； ②； ③； ∴第n个式子为：． （3）解：∵ ， ∴． （4）解：∵，a，b分别为三个连续自然数中最大数和最小数的平方， ∴根据（2）中规律可知：， ∴， ． 【经典例题八 二次根式的新定义计算】 36．（23-24七年级下·辽宁·期末）我们知道，任意一个无理数都介于两个连续的整数之间，定义：若无理数t，（其中m、n为两个连续的整数），则称无理数t的“整数区间”为．例如：，则的“整数区间”为；，则的“整数区间”为． (1)无理数的“整数区间”为______，无理数的“整数区间”为______； (2)若实数x、y满足，求的“整数区间”； (3)若一个无理数的“整数区间”为，且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)17 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的性质，二元一次方程的解： （1）夹逼法求出无理数的范围即可； （2）根据被开方数为非负数，求出的值，再利用夹逼法求解即可； （3）根据题意，得到，且m，都是正整数，结合，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“整数区间”为； ∵， ∴， ∴的“整数区间”为； （2）由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的“整数区间”为； （3）∵一个无理数的“整数区间”为， ∴， 又∵是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解， ∴m，都是正整数， 则， 当时，，，，符合， 将，代入中，得， ∴； 当时，不满足． ∴a的值为17． 37．（24-25八年级上·广东茂名·开学考试）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是_____； (2)若，求的“麓外区间”． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可． 【详解】（1）∵， ∴， 即：无理数的“麓外区间”是； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的“麓外区间”为． 38．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）规定表示一对数对，给出如下定义：，（）．将与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对为与． (1)数对的一对“对称数对”是________． (2)若数对的一对“对称数”相同，则的值是多少？ (3)若数对的一个“对称数对”是，则的值是多少？若数对一个“对称数对”是，求，的值． 【答案】(1) (2) (3)；或 【分析】（1）根据“对称数对”的定义代入计算即可； （2）先将数对的一对“对称数对”表示出来，根据“数对的一对“对称数对”相同”，可得的值； （3）先将数对的一对“对称数对”表示出来，根据“数对的一个“对称数对”是”，即可得出的值；先将数对的一对“对称数对”表示出来，根据数对一个“对称数对”是，即可得出的值； 【详解】（1）解：由题意得，， ∴数对的一对“对称数对”是与； （2）解：由题意得， ∴数对的一对“对称数对”为与， ∵数对的一对“对称数对”相同， ∴ ∴； （3）解：∵数对的一对“对称数对”是与 而数对的一个“对称数对”是， ∴， ； 由题意得， ∴数对的一对“对称数对”为与， 数对一个“对称数对”是 或 或 【点睛】本题考查了实数的运算，“对称数对”的定义．理解题意是解题的关键． 39．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下：，如：．请求当时，的值． 【答案】 【分析】根据所给的新定义得到，再计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，化简二次根式，正确理解题意是解题的关键． 40．（24-25八年级下·北京海淀·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开平方运算是互逆运算．如，那么如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义： 若，则称点为点的“横负纵变点”例：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：______； (3)已知为常数，点且，点是点的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题． （2）模仿例题解决问题即可． （3） 首先化简双重二次根式，再根据待定系数法，“横负纵变点”解决问题即可． 【详解】（1）， 点的“横负纵变点”为， ， 点的“横负纵变点”为． 故答案为：； （2） ； （3）， ， ， ． ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义问题，双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$