专题03 二次根式的加减重难点题型专训（12大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题03 二次根式的加减重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减运算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 分母有理化 题型五 已知字母的值，化简求值 题型六 已知条件式，化简求值 题型七 比较二次根式的大小 题型八 二次根式的实际应用 题型九 二次根式的新定义问题 题型十 二次根式的阅读理解类问题 题型十一 二次根式加减法中的规律计算 题型十二 二次根式计算综合问题 【知识梳理】 知识点1： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点2： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点3：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【经典例题一 同类二次根式】 【例1】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）若与可以合并成一项，则m可以是（   ） A．50 B．15 C．0.5 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义，把每个选项代入化简，检验化简后被开方数是否相同． 【详解】解：A、把50代入化简得：，故A选项不符合题意； B、把15代入化简得：，故B选项不符合题意； C、把0.5代入化简得：，故C选项不符合题意； D、把代入化简得：，故D选项符合题意； 故选：D． 1．（23-24八年级下·山东威海·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式、平方根，根据同类二次根式的定义得出、的值，从而得出的值，再求平方根即可得出答案． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则这两个二次根式的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的知识，一元一次方程，注意掌握同类二次根式化为最简二次根式后被开方数相同且根指数均为2． 根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于的方程，解出的值，再求和即可． 【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：． 故这两个二次根式的和为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）阅读下面的解题过程： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 解：因为与能合并， 所以为正整数）． 所以， 所以． 又为正整数，所以为偶数， 所以为奇数． 所以当时，； 当时，； 当时，． 所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案） 请根据上面的信息，回答问题： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 【答案】1，21，61（答案不唯一） 【分析】根据同类二次根式的定义，与能合并，所以它们是同类二次根式，然后模仿例题的过程解答即可． 【详解】解：与能合并， 为正整数）， ， ， 又为正整数， 为偶数， 为奇数， 当时，； 当时，； 当时，． 所以满足条件的的值可以为1、21、61．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）． 【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 【经典例题二 二次根式的加减运算】 【例2】（24-25八年级上·山西运城·期中）下列各式计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．根据二次根式的计算法则及二次根式的性质逐一计算即可得答案． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意； B．，故该选项计算错误，不符合题意； C．，故该选项计算正确，符合题意； D．，故该选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级上·上海长宁·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 把二次根式化简成最简二次根式后，再合并即可． 【详解】解： ． 5．（24-25八年级上·江西九江·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算及二次根式的加减运算． （1）根据化简绝对值，算术平方根以及立方根的定义进行计算即可求解； （1）先化简二次根式，再计算加减即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 6．（24-25八年级上·全国·期中）已知实数，实数， (1)若，且A和B互为相反数，求此时b的值； (2)若，，求的值； (3)若，且A和B互为倒数，求此时a的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了算术平方根和实数的性质，解题关键是熟练掌握如何把二次根式化成最简二次根式． （1）把代入化简，求出A，最后根据A和B互为相反数，列出关于b的方程求解即可； （2）把，代入，，求出A，B，最后根据绝对值的性质进行解答即可； （3）先求出B，再根据A和B互为倒数，列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵A和B互为相反数， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵A和B互为倒数， ∴， ， ． 【经典例题三 二次根式的混合运算】 【例3】（23-24八年级上·四川眉山·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 7．（辽宁省锦州市2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差公式进行计算，再进行除法运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．（24-25九年级上·河南南阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式性质，二次根式的减法运算，以及二次根式的混合运算，解题的关键在于掌握相关运算法则． （1）利用二次根式性质化简各项，再利用二次根式的减法运算法则计算，即可解题； （2）利用二次根式性质化简各项，再根据先乘除，后加减，有括号的先算括号的运算顺序计算，即可解题． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．（24-25八年级上·山西晋中·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法则是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可解答； （2）根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可解答； （3）将二次根式的除法转化为乘法，根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则运算，，然后化简后合并即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ． 【经典例题四 分母有理化】 【例4】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】将的值代入代数式中，然后再分母有理化即可． 【详解】解：原式； 故选：． 【点睛】此题考查的是二次根式的分母有理化． 10．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）用[x]表示不超过x的最大整数．例如：[3.14]＝3，[﹣3.78]＝﹣4，把x﹣[x]作为x的小数部分．已知m，m的小数部分是a，﹣m的小数部分是b，则的值为（    ） A．0 B．1 C．﹣1 D．（1） 【答案】C 【分析】利用分母有理化化简m，﹣m的值，求出a，b的值，代入代数式求值即可． 【详解】解：m＝2， ∵1＜3＜4， ∴12， ∴3＜24， ∴a＝231， ∵m＝2， ∴﹣m＝﹣2， ∵1＜3＜4， ∴12， ∴﹣21， ∴﹣4＜﹣23， ∴b＝﹣2（﹣4）＝﹣24＝2， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的估算，分母有理化，新定义，掌握分母有理化以及理解负数的小数部分是解题的关键． 11．（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）将分母有理化可得 ； （2）关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】（1）本题考查二次根式的化简，将式子上下同乘，结合平方差公式进行计算，即可解题。 （2）本题考查解一元一次方程，利用（1）中化简方法将化简，再根据解一元一次方程方法和步骤，即可解题。 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题：已知，求的值． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)化简： ； ； (2)比较大小：与，需说明理由； (3)若，求的值． 【答案】(1)；+ (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义进行化简即可． （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题． （3）根据题干所给示例进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：；； （2）解：∵，， 显然， 又∵和都是正数， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题五 已知字母的值，化简求值】 【例5】（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把代入计算解题即可． 【详解】解： ， 故选D． 【点睛】本题考查已知未知数的值，求代数式的值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知，，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求出的值，利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：，， ，． ∴． 14．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）先分解因式，再代入求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查分解因式，二次根式的化简求值，先提公因式进行因式分解，再代值计算即可． 【详解】解：， 当，时， 原式 ． 15．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）先阅读下列材料： 材料一：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如： ， ． 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简：________；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式、代数式求值，熟练掌握分母有理化并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例题中求解过程解答即可； （2）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可； （3）先化简a，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解： 原式 （3）解：∵， ∴， ∴ ． 【经典例题六 已知条件式，化简求值】 【例6】（24-25八年级·江苏·假期作业）代数式的最小值是（    ） A．0 B．3 C． D．不存在 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义，求出x取值范围，再根据，，都随x的增大而增大，则在x取值范围内x取最小值时代入计算，即可求解． 【详解】解：若代数式++有意义， 则， 解得：x≥2， ∵由，，都随x的增大而增大， ∴当x＝2时，代数式的值最小， 即++＝1+0+2＝3． 故选：B． 【点睛】此题考查了函数的最值问题，考查了二次根式的意义．此题难度适中，解题的关键是根据题意求得x的取值范围． 16．（2024·湖南怀化·一模）已知实数满足，求的值． 【答案】2022 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先根据二次根式有意义的条件得到，据此化简二次根式得到，则． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（24-25八年级下·全国·单元测试）综合与实践： 根据平方差方式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题： 第1式：；第2式：； 第3式：；第4式：； …… (1)请写出第n个式子； (2)若，求n的值； (3)请说明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析． 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，根据题意找出规律是解此题的关键； （1）根据题意找出规律，得出第n个式子即可； （2）根据（1）中的规律求出n的值即可； （3）根据（1）中的规律计算出不等式左边式子的结果，再利用二次根式估算出其值即可 【详解】（1）第1式：； 第2式：； 第3式：； 第4式：； 由此类推，第n个式子为： （2） ， 解得：． （3）不等式的左边 ，           ， ，         ， ， 不等式成立． 18．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)14 【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，把与的值代入计算即可求出值； （2）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，再变形，最后把与的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）∵，， ∴原式 ； （2）∵，， ∴， ∴原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，分式的加减法，以及分母有理化，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 【经典例题七 比较二次根式的大小】 【例7】（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 19．（24-25九年级下·湖南衡阳·自主招生）满足不等式的整数m的个数是 ． 【答案】7 【分析】先将前后二次根式化为最简二次根式，再进行估值，根据估值确定m的个数． 【详解】解：∵，， ∴ ，， ∵<m<， ∴3.312<m<10.472， ∵3.3121与10.472之间的整数有4、5、6、7、8、9、10，共7个， ∴整数m的个数是7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了二次根式的化简以及二次根式的估值，解题的关键是熟练化简二次根式． 20．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：______（填“>”，“<”或“=”）． (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)11 【分析】本题考查的是分母有理化，分子有理化，理解题意，熟悉阅读部分的运算要求与运算法则，再解决问题即可． （1）根据分母有理化是要求把原式化简， 再比较即可得到答案； （2）根据分子有理化是要求把原式变形为， 再计算出结果， 再比较大小即可； （3）依次把每一项分母有理化，再合并即可； （4）把进行分母有理化化简，再将其代入即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：， ， 由， ， ． （3）解： ； （4）解：， ∴． 21．（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据所得规律计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：，； （2）解： ； （3）． 理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 【经典例题八 二次根式的实际应用】 【例8】（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形和正方形，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求阴影部分的面积，二次根式的混合运算．正确的识图，确定长方形的长和宽，是解题的关键． 分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得解． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别为1和2， ∴它们的边长分别为：和， 由图可知，长方形的长为两个正方形的边长之和，即为，宽为大正方形的边长，即为， ∴阴影部分的面积为； 故选：B． 22．（24-25八年级上·江西南昌·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现(不考虑阻力的影响)． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)已知从高空坠落的物体所带能量(单位：J)物体质量高度，一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？ (3)在（2）的结果中，你能得到什么启示？(注：杀伤无防护人体只需要的能量) 【答案】(1) (2) (3)严禁高空抛物 【分析】本题考查了代数式的求值，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）把代入计算即可； （2）代入求得h，进而计算即可； （3）由于，故会对人体造成伤害，则应该禁止高空抛物 【详解】（1）解：把代入得：， 答：物体从的高空落到地面的时间为； （2）解：代入得：， 解得：， 则从高空坠落的物体所带能量为， 答：这串钥匙在下落过程中所带能量有； （3）解：∵， ∴对人构成伤害， 故严禁高空抛物． 23．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【激活经验】 小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：； 特例2：； 特例3： ______（填写一个符合上述运算特征的式子）． 【发现规律】 ______（，且n为整数） 【应用规律】 （1）______； （2）如果的小数部分是，那么整数部分为______． 【答案】激活经验：；发现规律：；应用规律：（1）；（2）5 【分析】激活经验：由二次根式的运算规律即可得出答案； 发现规律：由二次根式的运算规律即可得出一般性的规律； 应用规律：（1）根据规律计算出结果即可； （2）先根据规律得出原式为，再根据结果的小数部分求出的值，再求出结果的整数部分即可． 【详解】解：激活经验：由二次根式的运算规律可得： ； 发现规律：由二次根式的运算规律可得， ， 证明：左边 右边； 应用规律： （1） ； （2） ， ∵结果的小数部分，即， ∴ 解得：， 经检验，是该分式方程的解， ∴结果的整数部分为． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，数字的变化类，掌握二次根式的混合运算的方法以及所列举代数式所呈现的规律是正确解答的关键． 24．（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简） (2)求原长方形木料的面积； (3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意，正确进行计算是解题的关键． （1）由正方形的面积可得边长分别为和，再对二次根式进行化简即可； （2）先计算出原矩形木料的长为，再根据矩形的面积公式进行计算即可； （3）剩余矩形木料的长为，宽为，再和2进行大小比较即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：小正方形木板的边长为， 大正方形木板的边长为， 故答案为：，； （2）原长方形木料的长为，宽为， ， ∴原长方形木料的面积为； （3）不能，理由如下： 根据题意，得剩余矩形木料的长为，宽为， ∵， ∴这块正方形木板的边长不能为． 【经典例题九 二次根式的新定义问题】 【例9】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． 根据已知条件中的新定义，列出算式，进行二次根式的加减法即可； 【详解】解：∵， ∴ 故选：A 25．（23-24八年级下·浙江金华·期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． (1)化简； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据阅读材料中的方法，分母有理化求解即可得到答案； （2）将恒等变形，再由（1）中得到的，代入代数式，利用二次根式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解：； ； （2）解：由（1）知，， ． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及分母有理化、平方差公式、代数式化简求值、二次根式混合运算等知识，读懂题意，掌握分母有理化方法，熟练运用二次根式混合运算法则求解是解决问题的关键． 26．（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，，； 再根据平方根的定义可得： ，，； 请回答下列问题： (1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；（n为正整数）=______． ② ______；当时，化简______． (2)应用：求；的值． (3)拓广：求的值． 【答案】(1)①；（n为正整数）；②； (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简，根据题意正确分母有理化以及化简二次根式是解答本题的关键． （1）①根据题干提供的方法进行分母有理化即可；②分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可； （2）每项进行分母有理化然后进行求解即可； （3）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简分母有理化，最后合并即可． 【详解】（1）解：①； ； 故答案为：；（n为正整数）； ②； ； 故答案为：；； （2） ； （3） ， ． 27．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化． 解：原式． 运用以上方法解决问题： (1)将分母有理化； (2)比较大小：（在横线上填“>”、“<”或“=”） ________； _________（，且n为整数）； (3)化简：． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，解题的关键是能正确进行分母有理化． （1）根据平方差公式先分子和分母都乘以，即可求出答案； （2）先分母有理化，求出后进行判断即可； （3）先分母有理化，最后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，，， ， ∵，， ∴， 故答案为：，； （3）解： ． 【经典例题十 二次根式的阅读理解类问题】 【例10】（24-25八年级下·重庆江津·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请根据上述方法分析下列结论： ①； ②若，，则； ③，且，则 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①根据题干中给出的信息进行分母有理化，即可判断； ②先化简a、b，然后代入求值即可； ③先化简a、b，然后将a、b代入，求出即可． 【详解】解：①，故①正确； ②， ， ∴ ，故②正确； ③ ， ， ∵， ∴， ∴， 即， ， ∴， ∴，故③正确； 综上分析可知，正确的个数是3个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 28．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料： 我们可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简， 可以先设， 再两边平方得， 所以， 又因为， 所以， 根据以上方法，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式运算及实数大小比较，先平方得，求出，比较大小得，即可求解；能熟练进行无理数运算及大小比较是解题的关键． 【详解】解：设， 两边平方得 ， 所以， 又因为， 所以． 29．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）思考探究：【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． 【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 结合上述材料，解决问题： (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（写出一个即可） (2)利用分母有理化化简：； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方差公式，分母有理化，无理数的大小比较，利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加法运算等知识．熟练掌握平方差公式，分母有理化，无理数的大小比较，利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加法运算是解题的关键． （1）根据，，即可求解； （2）先进行分母有理化，再计算，即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴的有理化因式是，的有理化因式是， 故答案为：，； （2）解： ． 30．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)______． (2)（n为正整数）=______． (3)化简：______． (4)化简下列式子的值：． 【答案】(1) (2) (3)9 (4) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算： （1）利用分母有理化进行计算即可； （2）利用分母有理数，进行计算即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可； （4）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） ； （4） ． 【经典例题十一 二次根式加减法中的规律计算】 【例11】（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对表示第行，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（   ） 第1行 第2行 第3行 第4行 …… …… A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字类的规律探索，用有序数对表示位置，二次根式．理解题意找出规律是解题关键．根据表格可知规律为每行数的个数与行数相同，被开方数为正整数按顺序排列，由此可求出第八行第1个数，从而即可求出第八行第5个数． 【详解】解：由表格可知每行数的个数与行数相同，被开方数为正整数按顺序排列， ∴第八行第1个数为， ∴第八行第5个数为， ∴表示的实数是． 故选B． 31．（24-25八年级下·广西南宁·期末）观察下列各式：，……，，……请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先进行分母有理化，然后进行二次根式的加减法得出结果． 【详解】解：∵ ， ， …… ， ∴原式= = ， 故选择A． 【点睛】本题考查找规律——式子的变换，解决问题的关键是找到原式分母有理化后的变化规律． 32．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）观察下列各式： ， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简及数字变化的规律，能用含n的等式表示出第n个式子是解题的关键． 观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 33．（24-25八年级上·全国·期末）在学习二次根式的过程中，小红发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由，可得与互为倒数，即，．类似地，，，，，根据小红发现的规律，解决下列问题： (1) ， ；（为正整数） (2)若，则 ； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键． （1）根据上述规律，进行解答，即可； （2）根据题意，则，可得，，再根据平方差公式，即可求出； （3）根据上述规律，则，，，……，进行解答，即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解：∵，，，……， ∴ ． 【经典例题十二 二次根式计算综合问题】 【例12】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算∶_____． (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)5 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，二次根式的加减混合，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先化简a，求出，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ∴， ∴． 34．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先化简，再代入代数式计算即可； （）利用倒数的关系，先分别化简、，比较结果的大小，进而可比较与的大小； （）由题意可得每项可表示为，利用该规律拆项后计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简及化简求值，二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴原式 ， ， ； （2）解：∵， ， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ∴原式 ， ． 35．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再进行乘法运算，然后合并同类二次根式即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式即可； （4）先计算括号内，再进行除法运算即可； （5）先计算括号内，再进行除法运算即可； （6）根据乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 36．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；当时，，，则也可以按公式（当且仅当时取等号）来计算； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出篱笆长，利用题中结论解决问题即可 （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 1．（24-25九年级上·重庆·期末）估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题考查二次根式混合运算、无理数估算及不等式性质，先由二次根式混合运算法则计算得到，再由无理数估算得到，最后由不等式性质即可得到答案，熟练掌握二次根式混合运算、无理数估算方法是解决问题的关键． 【详解】解： ， ，且， ，即的值应在4和5之间， 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）已知，，则值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算，先根据，可得，，再根据二次根式的性质可得，，再利用二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 3．（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知则代数式的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了分母有理化，代数式求值，二次根式的混合运算，先化简是解题的关键． 先化简，再将化简后的结果代入，利用二次根式的混合运算法则求解． 【详解】解：， ∴， 故答案为：0． 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，b为的小数部分，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先求出的小数部分，再求出和的值，把变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：2． 5．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）分母有理化： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化，根据分母有理化的方法，分子，分母同乘有理化因式，逐一进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：． 6．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）对于两个实数，（其中），定义一种新运算：，如：，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数运算，结合已知条件列出正确的算式是解题关键． 根据题意列式后利用二次根式运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小： （1） 8； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用分子有理化，即可比较大小． 【详解】解：（1）， ， ∴，∴，故答案为：； （2）， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（福建省漳州市2024—2025学年八年级上学期期末教学质量检测数学北师大版A卷）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2)0 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式及立方根，再计算； （2）先根据平方差公式和零指数幂进行计算，然后再算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)18 (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算． （1）利用二次根式的乘除法法则计算即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行展开计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 10．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除加减运算，再合并即可．掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先利用完全平方公式化简，在通过积的乘方和二次根式的加减运算即可求解； （2）把分子分母中的二次根式化简为最简二次根式，即可求解； （3）先把二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算即可求解； （4）先把二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除加减运算即可求解； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 11．（24-25八年级上·四川成都·期末）设，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将a、b的值代入，分母有理化即可得出答案； （2）把变形为，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）解：当，时， ． 12．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中有这样相辅相成的例子：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则； ． 则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化，平方差公式以及分式的运算，先将代入得到原式，再根据分母有理化的方法将分式进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读材料，解决问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个实数的最大整数，这个实数的小数部分是这个实数与它的整数部分差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数部分为0.4，的整数部分为1，小数部分为，的整数部分为，小数部分为．由此我们得到：如果，其中是整数，且，那么，．请解答： (1)的整数部分为______，小数部分为______； (2)如果，其中是整数，且，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的加减法、相反数，解题的关键是确定无理数的整数部分． （1）估算出，即可确定整数部分为，根据定义，即可求出小数部分为； （2）估算出，即可得出，即可确定和的值，再代入计算即可； （3）估算出，即可得出，即可确定和的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， 即的整数部分为， 则小数部分为； 故答案为：，． （2）解：， ， ， ，， ． （3）解：， ， ． ，其中是整数，且， ，， ， 的相反数为． 14．（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 【答案】(1)26 (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （2）先利用分母有理化化简，从而求出，，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴． 15．（24-25九年级上·湖南株洲·自主招生）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，……发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 材料二：根式化简 例1：； 例2： (1)猜想并证明：___________________（n为正整数）． (2)计算：； (3)已知，比较x和y的大小，并说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据例2，可以写出相应的猜想； （2）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （3）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【详解】（1）猜想： 证明： ， ， ， 故答案为：； （2） ； （3） ， ， ， 故． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次根式的加减重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减运算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 分母有理化 题型五 已知字母的值，化简求值 题型六 已知条件式，化简求值 题型七 比较二次根式的大小 题型八 二次根式的实际应用 题型九 二次根式的新定义问题 题型十 二次根式的阅读理解类问题 题型十一 二次根式加减法中的规律计算 题型十二 二次根式计算综合问题 【知识梳理】 知识点1： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点2： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点3：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【经典例题一 同类二次根式】 【例1】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）若与可以合并成一项，则m可以是（   ） A．50 B．15 C．0.5 D． 1．（23-24八年级下·山东威海·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则这两个二次根式的和为 ． 3．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）阅读下面的解题过程： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 解：因为与能合并， 所以为正整数）． 所以， 所以． 又为正整数，所以为偶数， 所以为奇数． 所以当时，； 当时，； 当时，． 所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案） 请根据上面的信息，回答问题： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 【经典例题二 二次根式的加减运算】 【例2】（24-25八年级上·山西运城·期中）下列各式计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海长宁·期末）计算：． 5．（24-25八年级上·江西九江·期中）计算： (1)； (2)； 6．（24-25八年级上·全国·期中）已知实数，实数， (1)若，且A和B互为相反数，求此时b的值； (2)若，，求的值； (3)若，且A和B互为倒数，求此时a的值． 【经典例题三 二次根式的混合运算】 【例3】（23-24八年级上·四川眉山·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 7．（辽宁省锦州市2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷）计算： (1)； (2)． 8．（24-25九年级上·河南南阳·期中）计算： (1)； (2)． 9．（24-25八年级上·山西晋中·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【经典例题四 分母有理化】 【例4】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C．3 D． 10．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）用[x]表示不超过x的最大整数．例如：[3.14]＝3，[﹣3.78]＝﹣4，把x﹣[x]作为x的小数部分．已知m，m的小数部分是a，﹣m的小数部分是b，则的值为（    ） A．0 B．1 C．﹣1 D．（1） 11．（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）将分母有理化可得 ； （2）关于x的方程的解是 ． 12．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题：已知，求的值． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)化简： ； ； (2)比较大小：与，需说明理由； (3)若，求的值． 【经典例题五 已知字母的值，化简求值】 【例5】（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知，，求的值． 14．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）先分解因式，再代入求值：，其中，． 15．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）先阅读下列材料： 材料一：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如： ， ． 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简：________；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【经典例题六 已知条件式，化简求值】 【例6】（24-25八年级·江苏·假期作业）代数式的最小值是（    ） A．0 B．3 C． D．不存在 16．（2024·湖南怀化·一模）已知实数满足，求的值． 17．（24-25八年级下·全国·单元测试）综合与实践： 根据平方差方式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题： 第1式：；第2式：； 第3式：；第4式：； …… (1)请写出第n个式子； (2)若，求n的值； (3)请说明：． 18．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【经典例题七 比较二次根式的大小】 【例7】（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25九年级下·湖南衡阳·自主招生）满足不等式的整数m的个数是 ． 20．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：______（填“>”，“<”或“=”）． (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：； (4)若，求的值． 21．（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【经典例题八 二次根式的实际应用】 【例8】（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形和正方形，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·江西南昌·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现(不考虑阻力的影响)． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)已知从高空坠落的物体所带能量(单位：J)物体质量高度，一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？ (3)在（2）的结果中，你能得到什么启示？(注：杀伤无防护人体只需要的能量) 23．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【激活经验】 小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：； 特例2：； 特例3： ______（填写一个符合上述运算特征的式子）． 【发现规律】 ______（，且n为整数） 【应用规律】 （1）______； （2）如果的小数部分是，那么整数部分为______． 24．（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简） (2)求原长方形木料的面积； (3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 【经典例题九 二次根式的新定义问题】 【例9】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24八年级下·浙江金华·期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． (1)化简； (2)求的值． 26．（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，，； 再根据平方根的定义可得： ，，； 请回答下列问题： (1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；（n为正整数）=______． ② ______；当时，化简______． (2)应用：求；的值． (3)拓广：求的值． 27．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化． 解：原式． 运用以上方法解决问题： (1)将分母有理化； (2)比较大小：（在横线上填“>”、“<”或“=”） ________； _________（，且n为整数）； (3)化简：． 【经典例题十 二次根式的阅读理解类问题】 【例10】（24-25八年级下·重庆江津·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请根据上述方法分析下列结论： ①； ②若，，则； ③，且，则 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 28．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料： 我们可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简， 可以先设， 再两边平方得， 所以， 又因为， 所以， 根据以上方法，化简：． 29．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）思考探究：【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． 【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 结合上述材料，解决问题： (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（写出一个即可） (2)利用分母有理化化简：； 30．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)______． (2)（n为正整数）=______． (3)化简：______． (4)化简下列式子的值：． 【经典例题十一 二次根式加减法中的规律计算】 【例11】（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对表示第行，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（   ） 第1行 第2行 第3行 第4行 …… …… A． B． C． D． 31．（24-25八年级下·广西南宁·期末）观察下列各式：，……，，……请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：的值是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）观察下列各式： ， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 33．（24-25八年级上·全国·期末）在学习二次根式的过程中，小红发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由，可得与互为倒数，即，．类似地，，，，，根据小红发现的规律，解决下列问题： (1) ， ；（为正整数） (2)若，则 ； (3)计算：． 【经典例题十二 二次根式计算综合问题】 【例12】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算∶_____． (2)计算：； (3)若，求的值． 34．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 35．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 36．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 1．（24-25九年级上·重庆·期末）估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 2．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）已知，，则值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知则代数式的值为 ． 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，b为的小数部分，则的值为 ． 5．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）分母有理化： （1） ； （2） ； （3） ． 6．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）对于两个实数，（其中），定义一种新运算：，如：，那么 ． 7．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小： （1） 8； （2） ． 8．（福建省漳州市2024—2025学年八年级上学期期末教学质量检测数学北师大版A卷）计算： (1)； (2)． 9．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）计算： (1)； (2)． 10．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 11．（24-25八年级上·四川成都·期末）设，，求下列各式的值： (1)； (2)． 12．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中有这样相辅相成的例子：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则； ． 则＝ ． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读材料，解决问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个实数的最大整数，这个实数的小数部分是这个实数与它的整数部分差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数部分为0.4，的整数部分为1，小数部分为，的整数部分为，小数部分为．由此我们得到：如果，其中是整数，且，那么，．请解答： (1)的整数部分为______，小数部分为______； (2)如果，其中是整数，且，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 14．（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 15．（24-25九年级上·湖南株洲·自主招生）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，……发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 材料二：根式化简 例1：； 例2： (1)猜想并证明：___________________（n为正整数）． (2)计算：； (3)已知，比较x和y的大小，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$