专题02 二次根式的乘除重难点题型专训（12大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题02 二次根式的乘除重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 二次根式的乘法 题型二 二次根式的除法 题型三 二次根式的乘除混合运算 题型四 最简二次根式的判断 题型五 化为最简二次根式 题型六 已知最简二次根式求参数 题型七 分母有理化及其应用 题型八 二次根式的大小比较 题型九 用二次根式的乘除法解决实际问题 题型十 二次根式的估值问题 题型十一 二次根式乘除法中的新定义问题 题型十二 二次根式乘除法中的规律计算问题 知识点一、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点二、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【经典例题一 二次根式的乘法】 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）计算的正确结果为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算题 (1)； (2) 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）请阅读材料：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根，记作（即，如，叫做9的算术平方根． (1)计算下列各式的值：______，______，______． (2)观察（）中的结果，之间存在怎样的关系______． (3)由（）猜想：______． (4)根据（）计算： ①； ②． 【经典例题二 二次根式的除法】 【例2】（24-25八年级下·山东烟台·期中）若成立，则的值可以是（    ） A．-4 B．2 C．4 D．5 4．（24-25八年级下·广东汕头·期末）计算：． 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)；(2)；(3)－÷；(4)；(5)÷；(6)－6÷(a＞b)． 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算: (1)÷; (2)-÷; (3)÷． 【经典例题三 二次根式的乘除混合运算】 【例3】（2023八年级下·江苏·专题练习）计算（）的结果是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·湖南湘西·期末）计算： (1)； (2)； 8．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）计算 (1) (2) 9．（24-25八年级·上海·假期作业）计算． (1)； (2)． 【经典例题四 最简二次根式的判断】 【例4】（23-24九年级上·四川乐山·期中）下列各式①，②，③，④，⑤（＞0）中是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（上海市黄浦区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·云南昆明·阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的式子是 ． 12．（24-25八年级·上海·假期作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【经典例题五 化为最简二次根式】 【例5】（23-24八年级上·全国·单元测试）式子化简的结果是（ ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若，则二次根式 化为最简二次根式为 ． 14．（24-25八年级下·全国·单元测试）将（，）化为最简二次根式： ． 15．（24-25八年级·上海·假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)（） (4)（，，）． 【经典例题六 已知最简二次根式求参数】 【例6】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．（24-25八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）若和都是最简二次根式，则m+n＝ ． 17．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）已知：最简二次根式与的被开方数相同，则 ． 18．（24-25八年级下·全国·课后作业）若a是正整数，是最简二次根式，则a的最小值为 . 【经典例题七 分母有理化及其应用】 【例7】（24-25八年级上·山东枣庄·期中）化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 19．（24-25八年级上·天津宝坻·阶段练习）找规律： （1）观察下列式子： ①； ②； ③； ④ 第个式子呢？ （2）观察下列式子：①；②；③ 若（、为正整数），求 ． （3）观察下列式子：； 猜想： ． （4）观察下列式子：①；②；③；④； 通过观察、归纳、比较： 请用字母，写出反映上述规律的表达式 ． （5）观察下列式子： ①； ②． 猜想：① ； ．（为大于1的正整数） ② ． 20．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简． 例如： 解决问题： (1)在括号内填上适当的数： ①：________，②：________，③：________． (2)根据上述思路，化简并求出的值． (3)设的小数部分为b，求证：． 21．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）先观察下列的计算，再完成练习． ； ； ． 请你分析、归纳上面的解题方式，解决如下问题： (1)化简：； (2)计算：． 【经典例题八 二次根式的大小比较】 【例8】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 22．（24-25七年级上·江西抚州·阶段练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方． 因为，， 所以，所以． 请利用“平方法”解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)猜想，之间的大小关系，并说明理由； (3)化简：________． 23．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：______． （2）比较大小：______（用“”“”或“”填空）； 【能力提升】 （3）已知有理数m，n满足，则______； （4）计算：． 24．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）观察下列一组等式，解答后面的问题： ，，，，…… (1)填空 ___________ ； ______________． (2)根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)利用上面的规律，比较与的大小． 【经典例题九 用二次根式的乘除法解决实际问题】 【例9】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则正方形的面积为（    ） A．16 B．9 C．8 D．12 25．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）（1）小区内有一块正方形空地，物业计划利用这块空地修建居民休闲区，具体规划如图所示，其中A，B为活动区域，剩余两个正方形区域为绿化区域，面积分别是 和，请求出A，B两个活动区域的总面积． （2）运用第（1）问的思路，我们继续探索的近似值，请将解题过程补充完整：如图所示，我们知道面积是2的正方形边长是，且，设， 由图形可得： + ． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程， 解得 （保留到0.001），即_______ 26．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）台风是一种自然灾害，如图，气象部门观测距市正北方向的处有一台风中心，其中心最大风力为12级，该台风中心正以的速度沿直线向处移动，且台风中心风力不变，已知每远离台风中心，风力就减弱一级，若所受风力不到4级，则称不受台风影响，问： (1)市是否受到这次台风影响？请说明理由； (2)市若受台风影响，则所受的最大风力是______级；并求出市受到台风影响的时间． 27．（23-24七年级下·广西南宁·期末）阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在有什么样的关系？小南用自己的方法进行了验证：，而， ∴，即 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当，时，请直接写出和之间的关系； (2)运用以上结论，计算：①；②； (3)运用上述规律解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【经典例题十 二次根式的估值问题】 【例10】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 28．（23-24八年级下·重庆·期末）估计的值应该在（       ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 29．（23-24八年级下·重庆巴南·阶段练习）估计的值应在（    ）． A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 30．（24-25八年级下·重庆云阳·阶段练习）估计的运算结果应在哪两个数之间（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【经典例题十一 二次根式乘除法中的新定义问题】 【例11】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）对于正整数a，b定义新运算“◎”，规定，则的运算结果为（    ） A． B． C． D． 31．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）定义两种新运算，规定：，，其中，为实数且． (1)求的值； (2)化简． 32．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 33．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．即：若，则．反之．如果一个数是的平方根，那么这个数的平方等于．即：若，则．例如： 根据平方根的定义可得：∵，∴． 根据平方根的定义可得：∵是的一个平方根，∴． 根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题： (1)求下列各式中的值． ； ． (2)求证：． 证明：∵是的平方根， ∴． ∵（依据） ，（依据） ∴． 填写推理依据， 依据：__________________； 依据：__________________． 计算：． 【经典例题十二 二次根式乘除法中的规律计算问题】 【例12】（23-24八年级下·安徽滁州·期末）观察下列各式：应用运算规律化简的结果为（   ） A．2023 B．2024 C． D． 34．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 35．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段练习）一组二次根式按一定规律排列：，，，3，6，，……，若a，b，c是这组式子中相邻的三个二次根式，则a，b，c之间的关系是 . 36．（2024八年级上·全国·专题练习）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面．我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多．如：等等． (1)①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若为正整数），则的值为______． (2)你能用含正整数的式子来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 1．（23-24八年级下·重庆酉阳·期末）估算的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知，则的值为（    ） A． B． C．12 D．18 3．（2023八年级下·江苏·专题练习）计算（）的结果是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）下列各式的化简正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·山西临汾·阶段练习）观察式子：，；，；，．由此猜想．上述探究过程蕴含的思想方法是（    ） A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论 6．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）计算的值为 ． 7．（24-25八年级下·广东东莞·期中）设的整数部分为，小数部分为，那么 ． 8．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）已知，，则 ． 9．（24-25八年级下·云南玉溪·期末）若，则代数式的值为 ． 10．（2022·广东深圳·二模）估算在日常生活和数学学习中有着广泛的应用，例如估算数，容易发现，即．于是的整数部分是1，小数部分是．现记的整数部分是a，小数部分是b，计算（a﹣b）（b+9）的结果为 ． 11．（24-25九年级上·新疆克孜勒苏·期末）计算： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）计算：． 13．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）像，…．这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：， 再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)若，则______，______． (2)化简：①______，②______ (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 14．（2024·浙江杭州·二模）化简．下面是小滨、小江两位同学的部分运算过程． 小滨：原式 小江：原式 (1)小滨解法的依据是___________（填序号）；小江解法的依据是___________（填序号）． ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法对加法的分配律． (2)已知，先化简题中代数式，再求代数式的值． 15．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）数学学习小组研究如下问题：已知，，求的值．经过研究给出了下面的解题思路： ； 又 请根据数学学习小组的解题思路，解决下面的问题： 若． (1)求的值； (2)求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次根式的乘除重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 二次根式的乘法 题型二 二次根式的除法 题型三 二次根式的乘除混合运算 题型四 最简二次根式的判断 题型五 化为最简二次根式 题型六 已知最简二次根式求参数 题型七 分母有理化及其应用 题型八 二次根式的大小比较 题型九 用二次根式的乘除法解决实际问题 题型十 二次根式的估值问题 题型十一 二次根式乘除法中的新定义问题 题型十二 二次根式乘除法中的规律计算问题 【知识梳理】 知识点一、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点二、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【经典例题一 二次根式的乘法】 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）计算的正确结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，首先利用同底数幂的乘法逆运算，再利用积的乘方的逆运算法则变形为，根据平方差公式可得：原式，再根据乘方的定义进行计算可得结果． 【详解】解： 故选： D． 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算题 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算： （1）利用平方差公式进行计算即可； （2）先化简，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)63 【分析】本题考查二次根式的乘法运算： （1）根据乘法法则进行计算即可； （2）利用乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 3．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）请阅读材料：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根，记作（即，如，叫做9的算术平方根． (1)计算下列各式的值：______，______，______． (2)观察（）中的结果，之间存在怎样的关系______． (3)由（）猜想：______． (4)根据（）计算： ①； ②． 【答案】(1)，，； (2)； (3)； (4)①；②． 【分析】（）根据算术平方根的定义即可求解； （）根据（）的结果即可求解； （）根据（）所得的关系即可求解； （）根据（）所得猜想计算即可； 本题考查了求一个数的算术平方根，二次根式的乘法运算，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：由（）的结果可得，， 故答案为：； （3）解：由（）猜想：， 故答案为：； （4）解：①； ②． 【经典例题二 二次根式的除法】 【例2】（24-25八年级下·山东烟台·期中）若成立，则的值可以是（    ） A．-4 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据被开方数大于等于零，分母不能为零，建立不等式组计算即可． 【详解】因为成立， 所以， 解得， 只有m=2符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式除法运算的基本条件，熟练掌握运算具备的条件是解题的关键． 4．（24-25八年级下·广东汕头·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)；(2)；(3)－÷；(4)；(5)÷；(6)－6÷(a＞b)． 【答案】(1)4；(2)2；(3)－3；(4)；(5)－；(6)－(a＞b)． 【分析】根据二次根式的除法法则即可求出答案． 【详解】(1)=4； (2)=2； (3)－÷=－=－=－=－3； (4)； (5)÷=－÷5=－==－； (6)－6÷=－6×=－(a＞b)． 【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，解题的关键是熟练运用二次根式的除法运算法则，本题属于基础题型． 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算: (1)÷; (2)-÷; (3)÷． 【答案】（1）2；（2）-20；（3）-4ab. 【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （3）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案 【详解】（1）÷==2； （2）−÷)=-3÷=-3×=-20； （3）÷=-=-4ab. 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键． 【经典例题三 二次根式的乘除混合运算】 【例3】（2023八年级下·江苏·专题练习）计算（）的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的混合运算法则，计算化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 7．（24-25八年级下·湖南湘西·期末）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可. （2）运用二次根式的性质，完全平方公式计算即可. 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，二次根式的性质，完全平方公式，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键． 8．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）先去绝对值，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）根据完全平方公式以及乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 9．（24-25八年级·上海·假期作业）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【点睛】本题考查二次根式乘除混合运算，熟练掌握二次根式乘除法法则是解题的关键．注意法则的准确运用以及符号的判定． 【经典例题四 最简二次根式的判断】 【例4】（23-24九年级上·四川乐山·期中）下列各式①，②，③，④，⑤（＞0）中是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．能理解最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是最简根式；②，故不是最简根式；③是最简根式；④，故不是最简根式；⑤，故不是最简根式．所以最简根式有：①、③，共2个． 故选：B． 10．（上海市黄浦区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 可以此来判断哪个选项是正确的． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 11．（24-25八年级下·云南昆明·阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 不是最简二次根式； 故答案为：． 12．（24-25八年级·上海·假期作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 【分析】根据最简二次根式定义：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，先利用二次根式性质化简，再结合最简二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】（1）解：， 不是最简二次根式； （2）解：， 不是最简二次根式； （3）解：， 不是最简二次根式． 【点睛】本题考查二次根式性质及最简二次根式的概念，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键． 【经典例题五 化为最简二次根式】 【例5】（23-24八年级上·全国·单元测试）式子化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件，熟练掌握是解决问题的关键．由得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 13．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若，则二次根式 化为最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、利用二次根式性质化简等知识，先由二次根式有意义的条件判断，再由二次根式性质化简即可得到答案，熟练掌握二次根式有意义的条件、二次根式性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次根式中，， ， ， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·全国·单元测试）将（，）化为最简二次根式： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念与化简，掌握二次根式的性质是解题关键． 15．（24-25八年级·上海·假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)（） (4)（，，）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解； （2）将小数化为分数，根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解； （3）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解； （4）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解： （3）解：． （4）解：． 【点睛】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，掌握二次根式的性质，二次根式分母有理化的计算方法是解题的关键． 【经典例题六 已知最简二次根式求参数】 【例6】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 16．（24-25八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）若和都是最简二次根式，则m+n＝ ． 【答案】﹣6． 【分析】由于二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n的方程组，可求出m、n的值． 【详解】由题意可得： 解得： ∴m+n＝﹣6 故答案：﹣6． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为1． 17．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）已知：最简二次根式与的被开方数相同，则 ． 【答案】12 【分析】由题意列出方程组求解即可得到答案. 【详解】由题意得，解得， ∴7+5=12， 故答案为：12. 【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键. 18．（24-25八年级下·全国·课后作业）若a是正整数，是最简二次根式，则a的最小值为 . 【答案】3 【分析】直接利用最简二次根式的定义进行分析即可得. 【详解】∵a是正整数，是最简二次根式， ∴=， ∵a为1时，=3，a为2时，=2，均不是最简二次根式， a为3时，=，此时是最简二次根式， ∴a最小为3， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题的关键. 【经典例题七 分母有理化及其应用】 【例7】（24-25八年级上·山东枣庄·期中）化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化、运用平方差公式进行计算，根据甲的做法是将分母有理化，乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简，判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：甲的做法是将分母有理化，运用分数的基本性质，分子、分母都乘以不为0的同一个数；乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简；均正确， 故选：C． 19．（24-25八年级上·天津宝坻·阶段练习）找规律： （1）观察下列式子： ①； ②； ③； ④ 第个式子呢？ （2）观察下列式子：①；②；③ 若（、为正整数），求 ． （3）观察下列式子：； 猜想： ． （4）观察下列式子：①；②；③；④； 通过观察、归纳、比较： 请用字母，写出反映上述规律的表达式 ． （5）观察下列式子： ①； ②． 猜想：① ； ．（为大于1的正整数） ② ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律、不等式的规律、二次根式分母有理化、二次根式的加减运算等知识． （1）观察所给等式的规律，写出第n个式子即可； （2）观察所给等式和序号的规律进行解答即可； （3）观察所给式子得到结果的规律，进行解答即可； （4）观察已知不等式体现的规律进行解答即可； （5）①分子与分母分别乘以和进而化简即可；②利用①中所求规律先分母有理化，再计算即可． 【详解】解：（1）①； ②； ③； ④ 第个式子是； 故答案为： （2）①； ②； ③， …… 第n个式子为： ∵（、为正整数）， ∴， ∴； 故答案为： （3）； ； ； ； …… 则， 故答案为： （4）①； ②； ③； ④； 通过观察、归纳、比较：； 请用字母，写出反映上述规律的表达式为． 故答案为：； （5）①； ②． ； ②由①得， ； 故答案为：①；；② 20．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简． 例如： 解决问题： (1)在括号内填上适当的数： ①：________，②：________，③：________． (2)根据上述思路，化简并求出的值． (3)设的小数部分为b，求证：． 【答案】(1)5；； (2)9 (3)证明见解析 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是掌握完全平方公式． （1）根据题意即可作答； （2）根据题意分别将两个式子算出，进而即可求解； （3）根据题意得出值，进而得出b值，代入求出值证明结论． 【详解】（1）解：根据题意可得 ， 故答案为：5；；； （2）解：原式 ． （3）解：， 又， ， ， ， ． 21．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）先观察下列的计算，再完成练习． ； ； ． 请你分析、归纳上面的解题方式，解决如下问题： (1)化简：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，数字类的规律探索： （1）根据分母有理化的方法进行求解即可； （2）根据题意得到规律，再把所求式子裂项求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：； ； ； ， ……， 以此类推，可知， ∴ ． 【经典例题八 二次根式的大小比较】 【例8】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 22．（24-25七年级上·江西抚州·阶段练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方． 因为，， 所以，所以． 请利用“平方法”解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)猜想，之间的大小关系，并说明理由； (3)化简：________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的大小比较和化简二次根式，解题的关键是熟练运用题干中“平方法”，第（3）题注意分情况讨论． （1）根据题干中“平方法”比较实数大小； （2）根据题干中“平方法”比较二次根式的大小； （3）根据题干中“平方法”找出，，再利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方分类讨论得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴； （3）解： ， 当时，即， ， 当时，即， ， 综上，的值为或， 故答案为：或． 23．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：______． （2）比较大小：______（用“”“”或“”填空）； 【能力提升】 （3）已知有理数m，n满足，则______； （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）1；（4） 【分析】本题考查二次根式的应用，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键． （1）直接分母有理化即可； （2）先将两边进行分母有理化后再进行比较大小即可； （3）先将两边进行分母有理化后观察对比即可得出结果； （4）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可． 【详解】解：（1）； （2），， ， ， ； （3） ， ， 是有理数， ，且， ； （4） ， 原式 ． 24．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）观察下列一组等式，解答后面的问题： ，，，，…… (1)填空 ___________ ； ______________． (2)根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算以及分母有理化，结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）分子，分母同乘以有理化因式即可得到答案； （2）利用分母有理化得到，然后合并后利用平方差公式计算； （3）先分子有理化，再比较即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：，； （2）解： ； （3）∵， ， 又 ∴． 【经典例题九 用二次根式的乘除法解决实际问题】 【例9】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则正方形的面积为（    ） A．16 B．9 C．8 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定．由全等三角形的性质得到，进而证明，则垂直平分线，可得，再利用正方形的面积计算公式即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分线， ∴， ∴， 故选：D． 25．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）（1）小区内有一块正方形空地，物业计划利用这块空地修建居民休闲区，具体规划如图所示，其中A，B为活动区域，剩余两个正方形区域为绿化区域，面积分别是 和，请求出A，B两个活动区域的总面积． （2）运用第（1）问的思路，我们继续探索的近似值，请将解题过程补充完整：如图所示，我们知道面积是2的正方形边长是，且，设， 由图形可得： + ． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程， 解得 （保留到0.001），即_______ 【答案】（1），两个活动区域的总面积为；（2），，， 【分析】本题考查算术平方根的应用，解题的关键是理解题意，灵活应用正方形的面积公式，属于基础题． （1）根据正方形的面积公式求出、、、即可解决问题； （2）根据图形中大正方形的面积列方程求解即可． 【详解】解：（1）如图由题意，正方形的面积为， ， 正方形的面积为， ， 区的面积为，区的面积， ，两个活动区域的总面积为； （2）解：由图形面积可得． 因为x值很小，所以更小，略去， 得方程， 解得（保留到0.001）， 即． 故答案为：，，，． 26．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）台风是一种自然灾害，如图，气象部门观测距市正北方向的处有一台风中心，其中心最大风力为12级，该台风中心正以的速度沿直线向处移动，且台风中心风力不变，已知每远离台风中心，风力就减弱一级，若所受风力不到4级，则称不受台风影响，问： (1)市是否受到这次台风影响？请说明理由； (2)市若受台风影响，则所受的最大风力是______级；并求出市受到台风影响的时间． 【答案】(1)A市受到这次台风影响，理由见解析 (2)A市所受的最大风力是7级，市受到台风影响的时间为小时 【分析】（1）过A作于点D，利用含30°角的直角三角形的性质求得的长度，再根据题意计算出受台风影响的半径，即可解答； （2）由的长度可求得台风中心在D处时，A处的风的级别，从而确定受到的最大风力．再在上取使，而于，可得；，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：过A作于点D． ∵在直角中， ， ， 由题意知：受台风影响范围的半径为， ∴A市受到这次台风影响． （2）解：当台风中心位于点D处时，A市所受风力最大， 风力为（级） 故A市所受的最大风力是7级． 如图，由（1）可得：受台风影响范围的半径为， 在上取使，而于， ∴； ∴， ∴（小时）； ∴市受到台风影响的时间为小时． 【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，化为最简二次根式，理解题意，构建图形解题是解本题的关键． 27．（23-24七年级下·广西南宁·期末）阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在有什么样的关系？小南用自己的方法进行了验证：，而， ∴，即 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当，时，请直接写出和之间的关系； (2)运用以上结论，计算：①；②； (3)运用上述规律解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【答案】(1) (2)①20；②77 (3)16 【分析】本题考查了二次根式的乘法，求一个数的算术平方根，熟练掌握二次根式的乘法法则进行计算即可解答． （1）根据阅读材料中的例题，即可解答； （2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答；②利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：当时，； （2）①， ②； （3）由题意得：长方形的面积． 【经典例题十 二次根式的估值问题】 【例10】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的乘法和二次根式的性质，利用二次根式乘法法则得到，再利用二次根式的性质可得到，然后估算出的值即可，正确估算出的值是解题的关键． 【详解】解：由， ∵， ∴， ∴， 故选：． 28．（23-24八年级下·重庆·期末）估计的值应该在（       ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【答案】C 【分析】此题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用二次根式乘除法运算法则计算得到结果，估算即可． 【详解】解： ， ， ， ∴的值应该在9和10之间， 故选：C． 29．（23-24八年级下·重庆巴南·阶段练习）估计的值应在（    ）． A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，不等式的性质．熟练掌握二次根式的乘法，无理数的估算，不等式的性质是解题的关键． 由题意知，，由，可得，然后利用不等式的性质求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 30．（24-25八年级下·重庆云阳·阶段练习）估计的运算结果应在哪两个数之间（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据二次根式的运算，可化简二次根式，根据被开方数越大算术平方根越大，可得． 【详解】解：原式， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出是解题关键． 【经典例题十一 二次根式乘除法中的新定义问题】 【例11】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）对于正整数a，b定义新运算“◎”，规定，则的运算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义计算，二次根式乘法运算，根据题意列出算式，利用二次根式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 31．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）定义两种新运算，规定：，，其中，为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意列出式子，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 所以 解得 即m的值为． 33．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．即：若，则．反之．如果一个数是的平方根，那么这个数的平方等于．即：若，则．例如： 根据平方根的定义可得：∵，∴． 根据平方根的定义可得：∵是的一个平方根，∴． 根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题： (1)求下列各式中的值． ； ． (2)求证：． 证明：∵是的平方根， ∴． ∵（依据） ，（依据） ∴． 填写推理依据， 依据：__________________； 依据：__________________． 计算：． 【答案】(1)或或； (2)积的乘方；平方根的定义；． 【分析】（）把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解； 先化简，把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解； （）根据积的乘方和平方根的定义即可； 根据二次根式乘法法则进行即可计算． 【详解】（1）， ， 或； ， ， 或； （2）积的乘方；平方根的定义； 原式． 【点睛】此题考查了平方根和二次根式的乘法，解题的关键是正确理解平方根的定义和熟练掌握二次根式的乘法运算． 【经典例题十二 二次根式乘除法中的规律计算问题】 【例12】（23-24八年级下·安徽滁州·期末）观察下列各式：应用运算规律化简的结果为（   ） A．2023 B．2024 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式规律问题，二次根式的乘法，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 探究出规律，然后利用规律即可解决问题． 【详解】∵ ∴用含的等式表示为 ∴． 故选C． 34．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查找规律，根据题中特例得到规律，代值求解即可得到答案，观察已知特例特征，准确找到规律是解决问题的关键． 【详解】解：特例1：； 特例2：； 特例3：； …… 以上规律为：， 当时，， 故选：B． 35．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段练习）一组二次根式按一定规律排列：，，，3，6，，……，若a，b，c是这组式子中相邻的三个二次根式，则a，b，c之间的关系是 . 【答案】 【分析】在排列中任意将三个相邻的数定义给a，b，c的值，找出之间的运算关系即可． 【详解】解：∵， ， ……， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了与实数运算相关的规律性，解题的关键是找到三个数之间的关系． 36．（2024八年级上·全国·专题练习）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面．我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多．如：等等． (1)①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若为正整数），则的值为______． (2)你能用含正整数的式子来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 【答案】(1)①；②71 (2)用含正整数的式子表示为，证明见解析 【详解】（1）①有“穿墙”现象的数为：． ②由题意，a=8，b=63， ∴a+b=8+63=71， 故答案为71. （2）第一个等式为，即 第二个等式为，即； 第三个等式为，即， 用含正整数的式子表示为， 验证如下： ． 1．（23-24八年级下·重庆酉阳·期末）估算的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，利用二次根式的性质进行化简，无理数的估算等知识．熟练掌握二次根式的乘法运算，利用二次根式的性质进行化简，无理数的估算是解题的关键． 由题意知，，由，可得，即，然后判断作答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即， 故选：A． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知，则的值为（    ） A． B． C．12 D．18 【答案】B 【详解】由题意得解得，把代入，可得，所以． 3．（2023八年级下·江苏·专题练习）计算（）的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的混合运算法则，计算化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 4．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）下列各式的化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：、，故本选项错误，不符合题意； 、，故本选项错误，不符合题意； 、，本选项正确，符合题意； 、，故本选项错误，不符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查二次根式的乘除，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 5．（23-24八年级上·山西临汾·阶段练习）观察式子：，；，；，．由此猜想．上述探究过程蕴含的思想方法是（    ） A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论 【答案】A 【分析】观察题意，确定出蕴含的数学思想方法即可． 【详解】解：观察式子：，；，；，．上述探究过程蕴含的思想方法是特殊与一般． 故选A． 【点睛】此题考查了二次根式的乘除法，以及数学思想方法，弄清各种数学思想方法适用的范围是解本题的关键． 6．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）计算的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据幂的运算公式：，的逆用，，进行计算，即可求解． 【详解】解：原式 ； 故答案：． 【点睛】本题考查了二次根式运算，平方差公式，积的乘方公式逆用，同底数幂的乘法公式逆用，会利用公式进行计算是解题的关键． 7．（24-25八年级下·广东东莞·期中）设的整数部分为，小数部分为，那么 ． 【答案】6 【分析】首先根据的整数部分可确定a的值，进而确定b的值，然后将a与b的值代入计算即可得到所求代数式的值． 【详解】解：， ， 的整数部分为， 小数部分为， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次根式的运算、无理数的估算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键． 8．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）已知，，则 ． 【答案】 【分析】先将原式进行因式分解，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴当，时， 原式． 故答案为：． 【点睛】此题考查了利用整体思想求代数式的值的能力，关键是能准确进行因式分解和计算． 9．（24-25八年级下·云南玉溪·期末）若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】先计算括号内分式的减法运算，再把除法转化为乘法运算，约分后可得结果，再把代入要求值的代数式，利用二次根式的除法运算可得答案． 【详解】解： 当时， 原式 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的除法运算，掌握“二次根式的除法运算与分式的混合运算”是解本题的关键． 10．（2022·广东深圳·二模）估算在日常生活和数学学习中有着广泛的应用，例如估算数，容易发现，即．于是的整数部分是1，小数部分是．现记的整数部分是a，小数部分是b，计算（a﹣b）（b+9）的结果为 ． 【答案】21 【分析】先根据无理数的估算求出的值，再代入，利用平方差公式进行计算即可得． 【详解】解：， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：21． 【点睛】本题考查了无理数的估算、利用平方差公式计算二次根式的乘法，熟练掌握无理数的估算是解题关键． 11．（24-25九年级上·新疆克孜勒苏·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算以及二次根式的乘除法，涉及了零指数幂，掌握相关运算法则即可求解． （1）利用实数以及二次根式的乘法运算法则即可求解； （2）利用实数以及二次根式的除法运算法则即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 12．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式的乘法和除法运算法则． 根据二次根式的乘法法则和除法法则：，进行计算，即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ． 13．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）像，…．这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：， 再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)若，则______，______． (2)化简：①______，②______ (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1)5，6 (2)①；② (3)46或14 【分析】本题考查完全平方式的应用、二次根式的性质，理解题中运算方法是解答的关键． （1）利用完全平方公式得到，进而可得a、b的值； （2）①②模仿题中运算方法和完全平方式的特点，结合二次根式的性质求解即可； （3）利用完全平方公式得到，然后根据a，m，n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：5，6； （2）解：① ； ② ； （3）解：∵， ∴，即， ∵a，m，n为正整数， ∴或， ∴或， 故a的值为46或14． 14．（2024·浙江杭州·二模）化简．下面是小滨、小江两位同学的部分运算过程． 小滨：原式 小江：原式 (1)小滨解法的依据是___________（填序号）；小江解法的依据是___________（填序号）． ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法对加法的分配律． (2)已知，先化简题中代数式，再求代数式的值． 【答案】(1)②；④ (2)， 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）观察两位同学的解题过程，确定出各自的依据即可； （2）先化简题中的代数式，再将的值代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： 小滨解法的依据是②分式的基本性质，小江解法的依据是④乘法对加法的分配律； 故答案为：②，④； （2）解： ， 当时，原式． 15．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）数学学习小组研究如下问题：已知，，求的值．经过研究给出了下面的解题思路： ； 又 请根据数学学习小组的解题思路，解决下面的问题： 若． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2)14 【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的乘法运算． （1）利用二次根式的乘法运算法则及完全平方公式计算即可； （2）由（1）知，利用二次根式的乘法运算法则及完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：；， ； （2）解：由（1）知， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$