专题03 平行线的性质重难点题型专训（12大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题03平行线的性质重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 两直线平行同位角相等 题型二 两直线平行内错角相等 题型三 两直线平行同旁内角互补 题型四 根据平行线的性质探究角的关系 题型五 根据平行线的性质求角的度数 题型六 平行线的性质在生活中的应用 题型七 根据平行线判定与性质求角度 题型八 根据平行线判定与性质证明 题型九 求平行线间的距离 题型十 利用平行线间距离解决问题 题型十一 判断命题的真假 题型十二 定理、证明的相关概念 知识点：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【经典例题一 两直线平行同位角相等】 【例1】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）一把直尺和一个三角板按如图方式叠合在一起（三角板的直角顶点在直尺的边上），若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质定理，平角的定义，熟练掌握是解题的关键． 直接利用“两直线平行，同位角相等”结合平角即可求解． 【详解】如图，由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 1．（2023·湖北恩施·二模）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（    ） A．30° B．57° C．55° D．33° 【答案】D 【分析】过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，然后根据平行线的性质以及角的和差即可解答． 【详解】解：如图：过A作，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质、角的和差等知识点，正确作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 2．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，，分别平分和，，与互补，则的度数为 【答案】/36度 【分析】本题考查平行线的性质、余角和补角，根据题意作出合适的辅助线，然后根据平行线的性质和角平分线的性质，即可求得的度数． 【详解】解：如图， ∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵，与互补， ∴， 设，则，， ∴， 解得，， 即的度数为， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，垂足为，点在上，，垂足为，． (1)试说明的理由； (2)如果∠，且，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由垂线的性质可得，即得到，进而得到，即可得到； （）利用直角三角形的性质得到，即可得，再根据平行线的性质即可得到的度数； 本题考查了垂线的性质，平行线的性质和判定，直角三角形的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【经典例题二 两直线平行内错角相等】 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于熟练掌握两直线平行内错角相等以及过拐角作平行的技巧． 过点作，根据平行线的性质即可推出，，从而求得的度数． 【详解】解：过点向左作， 直线， ， ，， 又， ， ， 故选：D． 4．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，，平分，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作，过点C作，根据平行线的性质，和角平分线的定义，结合进行转化，得出，即可得出答案． 【详解】解：过点B作，过点C作， ∵， ∴， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握两直线平行内错角相等． 5．（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，，平分，当时，的度数为 ． 【答案】/42度 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线定义等知识，根据角平分线的定义，由平行线的性质得出即可得出答案． 【详解】解：平分，， ， ， ． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知：，点在直线上，点在直线上． (1)如图，，． ①若，求的度数． ②试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图，平分，平分，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识． （1）①根据两直线平行，内错角相等可得的度数；②说明，可证； （2）由平分，得，由平分，得，则，从而证明结论． 【详解】（1）①，， ， ， ， ， ， ； ②，理由如下： ， ， ，，，， ， （2），理由如下： 平分， ， 平分， ， ， 即， ， ， ． 【经典例题三 两直线平行同旁内角互补】 【例3】（2024·内蒙古包头·三模）光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线，表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，是折射光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，先根据补角的定义求出的度数，进而可得出的度数，由平行线的性质即可得出结论．掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 故选：C． 7．（24-25六年级下·山东烟台·期末）光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再根据邻补角的定义即可求解.． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行线性质和邻补角，掌握平行线的性质和邻补角的定义是解题的关键． 8．（24-25七年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，直线，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据得到∠BGF=，∠C+∠CGF=，求出∠CGF=，由此求出∠CGB． 【详解】解：∵， ∴∠BGF=，∠C+∠CGF=, ∵， ∴∠CGF=， ∴∠CGF-∠BGF=, 故答案为． 【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补． 9．（24-25七年级下·云南昆明·阶段练习）已知，点在直线与之间，连接．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，求证∶． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）根据平行线的判定得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）如图1，过点E作，    ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴； （2）如图2，过点E作，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． 【经典例题四 根据平行线的性质探究角的关系】 【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线，则、、之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，则，然后根据平行线的性质和角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，点为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)当点在直线，之间时． 如图，过点作，由平行线传递性可得，所以与，之间的数量关系是_________； 如图，平分，平分，当时，求出的度数； (2)如图，当点在的下方时，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求出的度数． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题． （1）如图1，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论； （2）如图2，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，作，于是得到结论； （3）如图3，过点作，设，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，根据角平分线的定义得到，作，于是得到结论． 【详解】（1）①； 理由如下： ∵，， ∴， ，， ， ； ②如图①，过点作， 同理可得，， ，， ， 平分，平分， ，， ， 过点F作，同理可得，； （2）如图②，过点作， 设， ， 平分， ， ， ∵，， ∴， ， 平分， ， 过点F作，同理可得，． 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）我国古代观星，并对星图进行艺术加工可以追溯到公元前，敦煌星图是世界现存古代星图中星数较多，年代最早的星图，绘制于唐代．元朝数学家郭守敬重新观测了二十八星宿（东南西北各七宿，图1是其中的南方七宿之翼），编制了当时最先进的历法《授时历》． 小明学习了平行线知识，画出了“南方七宿之翼”的上半部分（如图2），；    (1)当，时，根据所学知识，可求得______； (2)当时，如图2，猜想和的数量关系______； (3)小明又发现，当a和b不平行时，则相交于点P，得到，如图3，如果为定值，求的值． （备注：请运用平行线知识解决本题，用“外角定理”或“内角和定理”不得分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）分别过A，B两点作，则，根据平行线的性质可得，再代入计算即可求解； （2）分别过A，B两点作，则，根据平行线的性质可得，再代入计算即可求解； （3）分别过A，B，E作，则，根据平行线的性质可得，结合为定值可得m，n互为相反数，进而完成解答． 【详解】（1）解：如图2：分别过A，B两点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为；    （2）解：如图2，分别过A，B两点作AC∥a，BD∥a， ∵a∥b，∴a∥AC∥BD∥b， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为； （3）解：如图3，分别过A，B，E作，    ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵为定值，即为定值， ∴m，n互为相反数， ∴， 故答案为． 【经典例题五 根据平行线的性质求角的度数】 【例5】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，平行线的传递性，添加平行线是解题的关键．过点C作，根据平行线的性质可求得，从而，再根据平行线的传递性可得，最后根据平行线的性质，即得答案． 【详解】解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A 12．（24-25六年级下·山东济南·期中）（1）如图（1），，，．求的度数； （2）如图（2），，点在射线上运动，，， ①当点P在A、B两点之间时，之间有何数量关系并请说明理由 ②当点P在A、B两点外侧时（点P与点O不重合），请借助备用图画出图示，写出之间的数量关系并说明理由 【答案】（1）； （2）①，理由见解析；②当点P在A上方时，，当P在B点下方时，，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用； （1）过作，构造同旁内角，通过平行线性质，可得． （2）①过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； ②分两种情况：点在的延长线上和点在、两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出结论． 【详解】（1）如图①，过作， ∵， ∴， ，， ，， ，， ； （2）①，理由如下： 如图②，过作交于， ∵， ∴， ，， ， 故答案为：； ②当点在的延长线上时，； 理由：如图③，过作交于， ∵， ∴， 又，， ，， ； 当点在、两点之间时，． 理由：如图④，过作交于， ∵， ∴， 又，， ，， ， 故答案为：或． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）（新考向）如图①，把一块含角的直角三角尺的边放置于长方形直尺的边上． (1)填空：______°，______°； (2)现把三角尺绕点逆时针旋转． ①如图②．当，且点恰好落在边上时，求，的度数（结果用含的式子表示）； ②当时，是否会存在三角尺某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)120；90 (2)①，；②存在，当时，；当时，，；当时， 【分析】本题考查了角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键． （1）根据平行线的性质和邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）①根据邻补角的定义求出，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到； ②结合图形，分、、三条边与直尺垂直讨论求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； 故答案为，； （2）解：①如图2．   ， ， ， ，， ， ； ②当时，， ， ∴；    当时， ，；      当时， ． 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）【操作发现】 （1）如图①，把一块含角的直角三角板的边放置在长方形直尺的边上，请直接写出__________， __________； 【问题解决】 （2）如图②，在（1）的基础上把三角板绕点B逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，求的度数；（用含n的代数式表示） 【延伸探究】 （3）在（2）的基础上，当时，是否存在n的值使三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）120，90；（2），；（3）存在，见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据邻补角的定义求出，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到； （3）结合图形，分、、三条边与直尺垂直讨论求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴，； 故答案为，； （2）如图2． ， ， ， ， ， ， ； （3）当时， ， ， ； 当时， ， ，； 当时， ． 【点睛】本题考查了角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键． 15．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）探究：在平面内，直线，为平面内一点，连接、，根据点的位置探究、和的数量关系： (1)当点在如图①的位置时，写出、和的数量关系，并说明理由． (2)当点分别在图②、图③所示的位置时，请分别写出图形中相应的、和的数量关系：（直接写出答案，不要求说明理由） 图②________________________________________________． 图③________________________________________________． (3)运用上面结论解决问题：如图④，，平分，平分，，求的度数． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线构造平行线是解题的关键． （1）如图，过点E作，由平行线的性质得出，，可得； （2）图②中， 过点E作，由平行线的性质得出，，可得；图③中， 过点E作，由平行线的性质得出，，可得； （3）由（2）中图②的结论可得，在图④中，，结合角平分线的定义，四边形内角和为360度，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． （2）解：图②中， 过点E作，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 图③中， 过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为：；． （3）解：由（2）中图②的结论可得，在图④中，， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴四边形中，． 【经典例题六 平行线的性质在生活中的应用】 【例6】（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，在与原方向的垂直方向上前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，能根据平行线的性质找到两次拐弯后的方向逐项判断即可． 【详解】解：A、两次拐弯后方向与原方向相同，故不符合题意； B、两次拐弯后方向与原方向相反，故不符合题意； C、两次拐弯后，相当于在原方向向左拐，方向与原方向垂直，故符合题意； D、两次拐弯后，相当于在原方向向右拐，方向与原方向的反方向夹角，故不符合题意， 故选：C． 1．（24-25八年级上·重庆璧山·期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿16．（2024七年级上·全国·专题练习）“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【答案】(1) (2)30或110秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质与角的和差关系的运用、一元一次方程的几何应用， （1）根据两角之和为以及两角之比为即可求解； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分为两种情况得到关于t的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵且， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）设灯A转t秒时，两灯的光束互相平行， 或， 所以或． 答：灯A转动30或110秒，两灯的光束互相平行． 17．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 【答案】(1)不会，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定证明，利用平行线的定义判断即可； （2）判断出若与巡洋舰航向相同，则，利用平行公理得到，求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：不会，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这两艘舰艇不会相撞； （2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义． 18．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2． (1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由； (2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底； (3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 【答案】(1)ABCD，理由见解析 (2)70 (3)在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s． 【分析】（1）计算∠ABC+∠BCD的值便可得出结论； （2）先计算出∠AOB，进而得∠AOM+∠BON的值，再根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，得出结果； （3）分四种情况讨论：当0s≤t≤20s时，当20s＜t≤40s时，当40s＜t≤80s时，当80s＜t≤120s时，根据角度大小变化关系锁确ABCD时的t值． 【详解】（1）解： ABCD．理由如下： ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3， ∴∠ABC+∠BCD=360°-2（∠2+∠3）， ∵∠BOC=90°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴AB∥CD； （2）解：∵∠AOC=50°，∠BOC=90°， ∴∠AOM+∠BON=180°-90°-50°=40°， ∵∠AOM=∠BON， ∴∠AOM=∠BON=20°， ∴∠COM=20°+50°=70°，∠CON=20°+90°=110°， ∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为70°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底， 故答案为：70； （3）解：①当0s≤t≤20s时，如下图， 若ABCD，则∠BAC=∠ACD， 即120+3t=140+t， 解得t=10， ∴当t=10s时ABCD； ②当20s＜t≤40s时，如下图， 有∠BAE＜90°＜∠ACD，则AB与CD不平行； ③当40s＜t≤80s时，如下图， 有∠BAC＜∠ACD，AB与CD不平行； ④当80s＜t≤120s时，如下图， 若ABCD，则∠BAC=∠DCF， 即3t-240=t-40， 解得t=100， ∴当t=100s时，ABCD； 综上可知，在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题． 【经典例题七 根据平行线判定与性质求角度】 【例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）乐乐画出了电子屏幕上显示的数字“6”抽象出来的几何示意图，如图．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 19．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，，与交于点P．    (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质得出，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据平行线的性质得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴．    20．（24-25七年级上·吉林长春·期末）【探究】如图①，已知， （1）若，，求的度数； （2）求证：； 【应用】如图②，已知，若，，，则_____________． 【答案】（1）；（2）见解析；【应用】． 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键． （1）如图所示，过点P作，首先得到，求出，然后证明出，即可得到； （2）根据得到，根据得到，进而求解即可； 应用：过点P作，延长到点M，由（2）得，进而得到，同理得到，进而求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点P作， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 应用：如图所示，过点P作，延长到点M， 由（2）得，， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 由（2）得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：138． 21．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键． （1）根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得、，即可求得； （2）过点C作，过点D作，根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得，，，即可求得； （3）由（1）和（2）总结规律即可求解； （4）根据所得规律可直接求解． 【详解】（1）解：过点E作． （已作）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即； （2）如图，过点C作，过点D作， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其； 由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其； 因为B，F两点的同一侧有3个折点， 所以； （4）由（3）可知． 【经典例题八 根据平行线判定与性质证明】 【例8】（24-25七年级下·全国·期中）如图，点在上，点，分别在，的延长线上，平分交于点，且，．在不添加辅助线的条件下，图中与（不含）相等的角有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、平行线的判定与性质的知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先证明，易得，；结合角平分线的性质可得，进而可得；结合，易知，进而可得，易知，即有，故在不添加辅助线的条件下，图中与相等的角有5个，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在不添加辅助线的条件下，图中与相等的角有5个． 故选：B． 22．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为，，试说明：，请将说明过程补充完整，并在括号内填写说理的依据． 理由如下：因为（已知）， 所以（ ）． 同理，得， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以 （ ）． 又（已知）． 所以 （等量代换）． 所以（ ）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又 （已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 即（等量代质）． 所以（ ）． 【答案】垂直定义；，两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据垂直定义可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，最后利用同位角相等，两直线平行可得，即可解答． 【详解】解：因为（已知）， 所以（垂直定义）． 同理，得， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又（已知）． 所以（等量代换）． 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 即（等量代质）． 所以（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：垂直定义；，两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行． 23．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，，点E是直线上的一点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)连结，若，，则是否平分？请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)平分，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定以、角平分线的定义等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据、，求出，再根据得到，最后判断平行即可解答； （2）根据、得到，再根据得到即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下：   ∵， ∴（两直线平行， 同旁内角互补） ∵， ∴．      ∵， ∴，       ∴ （内错角相等，两直线平行）． （2）解：平分，理由如下： ∵， ∴（两直线平行， 同旁内角互补）， ∵， ∴．     ∵， ∴， ∴平分． 24．（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》． (1)李华将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，的度数为___________； (2)如图2，张明将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点B在直线上，顶点C在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，仍然使顶点B在直线上，顶点C在直线上，若，请直接写出与之间的关系式． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）过点A作，根据平行线的性质及角的和差求出，即可判定，根据平行公理推论即可推出； （3）过点A作直线，则，根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 如图2，过点A作， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴； （3）解：，理由如下： 如图3，过点A作直线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题九 求平行线间的距离】 【例9】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）线段a，b，c是三条平行线，已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，则a与c的距离为(   )厘米 A．3 B．7 C．3或7 D．2或7 【答案】C 【分析】本题应分两种情况分析一种是b在a、c之间a与c的距离为：（厘米）；一种是c在a、b之间a与c的距离为：（厘米）． 【详解】应分两种情况： ①如图：   a与c的距离为： （厘米）． ②如图   a与c的距离为： （厘米）． 综上所述，a与c的距离为7厘米或3厘米． 故选：C 【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离．解决本题的关键是熟练掌握会计算平行线间的距离． 1．（24-25七年级下·贵州铜仁·期末）在同一平面内，直线b、c是通过直线a平移而得到的，已知a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离为（       ） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．2cm或3cm 【答案】C 【分析】因为直线c的位置不明确，所以分①直线c在直线a、b外，②直线c在直线a、b之间两种情况讨论求解． 【详解】如图，①直线c在a、b外时， ∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm， ∴a与c的距离为5+2=7cm， ②直线c在直线a、b之间时， ∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm， ∴a与c的距离为5−2=3cm， 综上所述，a与c的距离为3cm或7cm. 故选C. 【点睛】此题考查平行线之间的距离，解题关键在于画出图形. 2．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）在同一平面内，已知，与之间的距离是2厘米，与之间的距离是6厘米，则与距离为 厘米. 【答案】8或4 【分析】分两种情况：（1）平行线从上至下的顺序为；（2）平行线从上至下的顺序为，分别得出与距离即可. 【详解】（1）当平行线从上至下的顺序为时， 与距离=2+6=8厘米； （2）当平行线从上至下的顺序为时， 与距离=6-2=4厘米 所以与距离为8或4厘米. 故填：8或4. 【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离的定义，熟练掌握相关定义是解题关键. 3．（24-25七年级下·北京海淀·开学考试）直线，对平面内不在上，且不在上的任意一点，若到，的距离分别为，，则记． (1)若，则线段与的公共点个数可能为______； (2)若取最小值且，则的取值范围是______． 【答案】(1)0或1 (2) 【分析】（1）分两种情况进行讨论：当点A和B均在直线上方且到的距离相等时；当点A和B在直线，之间时，作出相应图形即可求解； （2）根据题意得出，分两种情况分析：当点P在上方或下方时，当点P在，之间时，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，当点A和B均在直线上方且到的距离相等时， 此时线段与的公共点个数为0；    当点A和B在直线，之间时，如图所示： 此时线段与的公共点个数为1；    故答案为：0或1； （2）当取最小值且时，如图所示： 此时点A恰好在，的中间直线上， ∴，之间的距离为2，即，    当点P在上方或下方时，如图所示：    此时即为，之间的距离为2； 当点P在，之间时，如图所示：    ∵， ∴当点P在，的中间直线上时，， 当点P不在，的中间直线上时，； 综上可得：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查垂线的定义及点到直线的距离，理解题意，作出相应图形求解是解题关键． 【经典例题十 利用平行线间距离解决问题】 【例10】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线与相交于点，点是平面内任意一点，点到直线的距离为，且到直线的距离为，则符合条件的点的个数是（    ）    A． B． C． D．无数个 【答案】C 【分析】由于到直线l1的距离是2的点在与直线l1平行且与l1的距离是2的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是3的点在与直线l2平行且与l2的距离是3的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求． 【详解】解：如图：    ∵到直线l1的距离是2的点在与直线l1平行且与l1的距离是2的两条平行线a1、a2上， 到直线l2的距离是3的点在与直线l2平行且与l2的距离是3的两条平行线a3、a4上， ∴符合条件的点是P1、P2、P3、P4，一共4个． 故选：C． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键． 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，直线，点在上，若，，的面积为16，则的面积为(　　) A．14 B．12 C．10 D．11 【答案】C 【分析】过点作于点，根据三角形面积公式，求出平行线间的距离，可求出三角形的高，再求面积． 【详解】过点作于点， ∵的面积为16，， ∴， 解得， ∵的长是的高， ∴． 故答案为：10． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线间的距离．根据三角形面积求出两平行线间的距离是关键． 2．（24-25七年级下·上海·期中）如图，梯形中，，与相交于点O，，如果，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线间的距离，根据平行线间距离处处相等得到，则，得到，由即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． (1)如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； (2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 【答案】(1)，同底等高的两个三角形的面积相等 (2)与，与 【分析】本题主要考查了三角形的面积、平行线之间的距离等知识点，掌握“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”是解题的关键． （1）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答； （2）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答． 【详解】（1）解：∵直线，, ∴点P和点C到直线n的距离相等． 又∵在和中，， ∴（同底等高的两个三角形的面积相等）． 故答案为：，同底等高的两个三角形的面积相等． （2）解：设直线m和n之间的距离为h ∵, ∴． ∴,即． 故答案为：与，与． 【经典例题十一 判断命题的真假】 【例11】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质、举反例，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．找出满足，但的选项即可得． 【详解】解：A、此项中，且，不能作为反例，则此项不符合题意； B、此项中，且，不能作为反例，则此项不符合题意； C、此项中，但，能作为反例，则此项符合题意； D、此项中，不能作为反例，则此项不符合题意； 故选：C． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．钝角三角形中有两个锐角 B．如果，那么 C．若，则，， D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了命题，逆命题，正确写出逆命题，并正确判断正误是解题的关键． 先写出逆命题，后逐一判断正误即可． 【详解】解：A．选项逆命题为：有两个锐角的三角形是钝角三角形，根据三角形可能为直角三角形和锐角三角形，可得该逆命题是假命题，故A不符合题意； B．选项逆命题为：如果，那么，根据还可能为相反数，可得该逆命题是假命题，故B不符合题意； C．选项逆命题为：，，，那么，根据条件，无法判定，可得该逆命题是假命题，故C不符合题意； D．选项逆命题为：若，则，则该逆命题是真命题，故D符合题意； 故选：D 2．（24-25八年级上·广西百色·期中）给出下列4个命题： ①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行． 其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 【答案】① 【分析】本题主要考查命题与定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据性质定理进行判断即可． 【详解】解：①垂线段最短，是真命题； ②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本小题为假命题； ③互补的角不一定是邻补角，故本小题为假命题； ④同旁内角互补，两直线平行，故本小题为假命题． 故答案为：①． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义； （1）根据题意写出命题，并判断真假即可； （2）选择命题一：先根据垂直得到，即可得到，然后根据角的和差解题即可；选择命题二：延长、交于点，根据垂直可得，然后根据，得到，然后根据等量代换的到，即可得到，证明结论；选择命题三：延长、交于点，可以得到，即可得到，然后推导，即可得到平行． 【详解】（1）命题一：已知， 若，，则；真命题． 命题二：已知， 若，，则；真命题． 命题三：已知， 若，，则；真命题． （2）选择命题一． 证明：，， ， ， ． 又， ， ， ． 选择命题二：延长、交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择命题三：延长、交于点， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【经典例题十二 定理、证明的相关概念】 【例12】（2024·湖南长沙·模拟预测）张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了以代数为背景的推理与论证．利用张红牌换张银牌和张蓝牌，张蓝牌换张银牌和张红牌，分别结合牌的张数表示出每次换取的银牌张数以及对应红或蓝牌的数量进而求出答案． 【详解】解：由题意可得：用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张红牌，还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩（张）红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张蓝牌， 则利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌，到此结束． 故张浩手中最后有银牌：（张）． 故选：D． 1．（2024九年级·全国·竞赛）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 【答案】A 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，逻辑推理的应用，由题意，一个圆片至少要移动一次，两个圆片至少要移动3次，三个圆片至少要移动7次，从而归纳出五个圆片至少要移动的数量． 【详解】解：移动一个圆片，至少移动1次，而， 移动两个圆片，至少要移动3次，而， 移动三个圆片，至少要移动7次，而， ∴移动五个圆片，至少要移动（次）， 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______． （2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______． 【答案】（1）垂线段最短；（2） ， ， ， . 【分析】（1）根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可； （2）根据全等三角形的判断定理SSS，即可得到答案. 【详解】解：（1）∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短， ∴过点A作于点B，这样修所依据的数学公理是垂线段最短． 故答案为垂线段最短． （2）根据题意，当时， 有：（SSS）， 所依据的数学公理是SSS； 故答案为 ， ， ， . 【点睛】本题主要考查了垂线段的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握垂线段最短的性质和SSS证明全等三角形的判定定理. 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【答案】(1)①②；③；理由见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证； （2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②；③． （2）由（1）得：， ∵比的倍少度， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． ∴的度数． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键． 1．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，，点C在上，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，根据平行线的性质得到，由角平分线得到，再由平行线的性质得到即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，由平行得到，再根据余角的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与互余， 故②正确； ∵， ∴， ∵平分交于点E， ∴，， ∵， ∴与不一定相等，即不一定成立， 故③错误； ∵，，， ∴，即平分， 故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故选：C． 3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质．首先过点作，根据两直线平行内错角相等可得：，根据两直线平行同位角相等可得：，，根据角之间的关系可得：，等量代换可得：． 【详解】解：如下图所示，过点作， ，， ， ， 又， ． 故选：D． 4．（24-25七年级下·全国·期末）在学习“相交线与平行线”一章时，邱老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小林同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质可得到，结合条件可求得，再利用平行线的判定可证明，由垂线的性质容易得出答案． 【详解】解： ， ，即， ． ， ， ， ． 故答案为：A． 5．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了几何图中角度的计算、平行线的判定，由即可判断①；由即可判断②；求出即可判断③；求出即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如果，则，故，故③正确； 如果，则，故，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，三角形中，，平分，，，以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（请填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及余角的性质等的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．根据平行线的性质、角平分线的定义、余角的性质等来判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，而与不一定垂直， ∴不一定成立，故③错误； ∵， ∴和互余，和互余，而， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线分别与直线，相交于点G，H，已知，平分交直线于点M，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的判定可得，根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在内部有一点C，外部有一点D，连接，．平分，与交于点E，已知，，则的度数为 ． 【答案】/56度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据等量代换可得，根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨、上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束按每秒的速度顺时针旋转便立即回转，光速灯C的光束自以每秒的速度顺时针旋转便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为 秒时，两束光线平行． 【答案】3或 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程，正确计算相应的旋转角度数是解题的关键； 分旋转小于时和大于两种情况，根据平行线的性质表示出数据，列出一元一次方程，求解即可． 【详解】解设光速灯A旋转时间为t秒，则C旋转的时间为秒， 当旋转小于时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴ ∵按每秒的速度顺时针旋转，以每秒的速度顺时针旋转， ∴，， ∴， 解得：； 当旋转大于回转时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴ ，， 解得：； 综上所述：旋转时间为3秒或秒， 故答案为：3或． 10．（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键． 根据平行线的判定与性质定理逐项分析判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 故结论①正确； 当时， ， ， 又， ， ， 故结论②正确； 当时， ， ， 与不平行， 故结论③错误； 当时， 则， ， 故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义； （1）根据题意写出命题，并判断真假即可； （2）选择命题一：先根据垂直得到，即可得到，然后根据角的和差解题即可；选择命题二：延长、交于点，根据垂直可得，然后根据，得到，然后根据等量代换的到，即可得到，证明结论；选择命题三：延长、交于点，可以得到，即可得到，然后推导，即可得到平行． 【详解】（1）命题一：已知， 若，，则；真命题． 命题二：已知， 若，，则；真命题． 命题三：已知， 若，，则；真命题． （2）选择命题一． 证明：，， ， ， ． 又， ， ， ． 选择命题二：延长、交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择命题三：延长、交于点， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知点在直线上，射线平分，过点作，是射线上一点，连接，满足． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了垂线的定义、角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，结合平角的定义得出，结合即可得证； （2）由角平分线的定义得出，由垂线的定义得出即，结合得出，从而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（江苏省扬州中学文昌教育集团2024-2025学年上学期期末测试七年级数学试卷）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗?为什么? (3)若，，求的大小． 【答案】(1)，见解析 (2)相等，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等， （1）根据同旁内角互补，两直线平行进行推理证明； （2）根据对顶角和已知条件得到，则可证明，由平行线的性质推出，即可求证； （2）根据角之间的关系求得，利用平行线的性质求得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）已证 ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴. 14．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）综合与实践活动课上，老师让同学们以“平行线的等角转化功能”为主题开展数学活动，已知直线，点是和之间任意一点，连结、，完成下面任务． 【任务一】（1）如图1，已知，，过点作，求的度数； 【任务二】（2）如图2，，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）25°；（2）垂直，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补． （1）先得出，根据平行线的性质得出，，进而得出，即可得出答案； （2）过点作，根据平行线的性质得出，进而得出，再推出，得出，证得结论； 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴；  （2）与的位置关系是垂直． 理由：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）［核心素养］点在射线上，，为射线上两个动点，满足，，平分． (1)如图①，当点在点右侧时，求证：； (2)如图②，当点在点左侧时，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若与互余，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平分线的判定及性质，角平分线的有关计算，互余的定义，一元一次方程的应用等； （1）由角平分线的定义及平行线的判定方法得，由平行线的性质得，由等量代换得，由平行线的判定方法即可得证； （2）过点作，交于点．由（1）同理可证，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可得证； （3）设，由角平分线的定义及补角的定义得，由角的和差得，由平行线的性质得，可得，求出，由互余的定义得，即可求解； 掌握平分线的判定及性质，能熟练进行角平分线的有关计算，并利用一元一次方程进行求解是解题的关键． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作，交于点． 由（1）同理可证， ， ， ． ， ； （3）解：平分， 设， 又平分， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 与互余， ， ， ， ， ． 故的度数为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03平行线的性质重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 两直线平行同位角相等 题型二 两直线平行内错角相等 题型三 两直线平行同旁内角互补 题型四 根据平行线的性质探究角的关系 题型五 根据平行线的性质求角的度数 题型六 平行线的性质在生活中的应用 题型七 根据平行线判定与性质求角度 题型八 根据平行线判定与性质证明 题型九 求平行线间的距离 题型十 利用平行线间距离解决问题 题型十一 判断命题的真假 题型十二 定理、证明的相关概念 知识点：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【经典例题一 两直线平行同位角相等】 【例1】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）一把直尺和一个三角板按如图方式叠合在一起（三角板的直角顶点在直尺的边上），若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．（2023·湖北恩施·二模）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（    ） A．30° B．57° C．55° D．33° 2．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，，分别平分和，，与互补，则的度数为 3．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，垂足为，点在上，，垂足为，． (1)试说明的理由； (2)如果∠，且，求的度数． 【经典例题二 两直线平行内错角相等】 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，，平分，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，，平分，当时，的度数为 ． 6．（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知：，点在直线上，点在直线上． (1)如图，，． ①若，求的度数． ②试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图，平分，平分，试探究与的数量关系，并说明理由． 【经典例题三 两直线平行同旁内角互补】 【例3】（2024·内蒙古包头·三模）光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线，表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，是折射光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25六年级下·山东烟台·期末）光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，直线，且，，则 ． 9．（24-25七年级下·云南昆明·阶段练习）已知，点在直线与之间，连接．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，求证∶． 【经典例题四 根据平行线的性质探究角的关系】 【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线，则、、之间的关系是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，点为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)当点在直线，之间时． 如图，过点作，由平行线传递性可得，所以与，之间的数量关系是_________； 如图，平分，平分，当时，求出的度数； (2)如图，当点在的下方时，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求出的度数． 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）我国古代观星，并对星图进行艺术加工可以追溯到公元前，敦煌星图是世界现存古代星图中星数较多，年代最早的星图，绘制于唐代．元朝数学家郭守敬重新观测了二十八星宿（东南西北各七宿，图1是其中的南方七宿之翼），编制了当时最先进的历法《授时历》． 小明学习了平行线知识，画出了“南方七宿之翼”的上半部分（如图2），；    (1)当，时，根据所学知识，可求得______； (2)当时，如图2，猜想和的数量关系______； (3)小明又发现，当a和b不平行时，则相交于点P，得到，如图3，如果为定值，求的值． （备注：请运用平行线知识解决本题，用“外角定理”或“内角和定理”不得分） 【经典例题五 根据平行线的性质求角的度数】 【例5】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25六年级下·山东济南·期中）（1）如图（1），，，．求的度数； （2）如图（2），，点在射线上运动，，， ①当点P在A、B两点之间时，之间有何数量关系并请说明理由 ②当点P在A、B两点外侧时（点P与点O不重合），请借助备用图画出图示，写出之间的数量关系并说明理由 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）（新考向）如图①，把一块含角的直角三角尺的边放置于长方形直尺的边上． (1)填空：______°，______°； (2)现把三角尺绕点逆时针旋转． ①如图②．当，且点恰好落在边上时，求，的度数（结果用含的式子表示）； ②当时，是否会存在三角尺某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由． 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）【操作发现】 （1）如图①，把一块含角的直角三角板的边放置在长方形直尺的边上，请直接写出__________， __________； 【问题解决】 （2）如图②，在（1）的基础上把三角板绕点B逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，求的度数；（用含n的代数式表示） 【延伸探究】 （3）在（2）的基础上，当时，是否存在n的值使三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由． 15．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）探究：在平面内，直线，为平面内一点，连接、，根据点的位置探究、和的数量关系： (1)当点在如图①的位置时，写出、和的数量关系，并说明理由． (2)当点分别在图②、图③所示的位置时，请分别写出图形中相应的、和的数量关系：（直接写出答案，不要求说明理由） 图②________________________________________________． 图③________________________________________________． (3)运用上面结论解决问题：如图④，，平分，平分，，求的度数． 【经典例题六 平行线的性质在生活中的应用】 【例6】（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，在与原方向的垂直方向上前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 1．（24-25八年级上·重庆璧山·期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿16．（2024七年级上·全国·专题练习）“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 17．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 18．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2． (1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由； (2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底； (3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 【经典例题七 根据平行线判定与性质求角度】 【例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）乐乐画出了电子屏幕上显示的数字“6”抽象出来的几何示意图，如图．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，，与交于点P．    (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 20．（24-25七年级上·吉林长春·期末）【探究】如图①，已知， （1）若，，求的度数； （2）求证：； 【应用】如图②，已知，若，，，则_____________． 21．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【经典例题八 根据平行线判定与性质证明】 【例8】（24-25七年级下·全国·期中）如图，点在上，点，分别在，的延长线上，平分交于点，且，．在不添加辅助线的条件下，图中与（不含）相等的角有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 22．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为，，试说明：，请将说明过程补充完整，并在括号内填写说理的依据． 理由如下：因为（已知）， 所以（ ）． 同理，得， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以 （ ）． 又（已知）． 所以 （等量代换）． 所以（ ）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又 （已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 即（等量代质）． 所以（ ）． 23．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，，点E是直线上的一点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)连结，若，，则是否平分？请说明理由． 24．（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》． (1)李华将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，的度数为___________； (2)如图2，张明将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点B在直线上，顶点C在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，仍然使顶点B在直线上，顶点C在直线上，若，请直接写出与之间的关系式． 【经典例题九 求平行线间的距离】 【例9】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）线段a，b，c是三条平行线，已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，则a与c的距离为(   )厘米 A．3 B．7 C．3或7 D．2或7 1．（24-25七年级下·贵州铜仁·期末）在同一平面内，直线b、c是通过直线a平移而得到的，已知a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离为（       ） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．2cm或3cm 2．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）在同一平面内，已知，与之间的距离是2厘米，与之间的距离是6厘米，则与距离为 厘米. 3．（24-25七年级下·北京海淀·开学考试）直线，对平面内不在上，且不在上的任意一点，若到，的距离分别为，，则记． (1)若，则线段与的公共点个数可能为______； (2)若取最小值且，则的取值范围是______． 【经典例题十 利用平行线间距离解决问题】 【例10】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线与相交于点，点是平面内任意一点，点到直线的距离为，且到直线的距离为，则符合条件的点的个数是（    ）    A． B． C． D．无数个 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，直线，点在上，若，，的面积为16，则的面积为(　　) A．14 B．12 C．10 D．11 2．（24-25七年级下·上海·期中）如图，梯形中，，与相交于点O，，如果，那么 ． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． (1)如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； (2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 【经典例题十一 判断命题的真假】 【例11】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．钝角三角形中有两个锐角 B．如果，那么 C．若，则，， D．若，则 2．（24-25八年级上·广西百色·期中）给出下列4个命题： ①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行． 其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【经典例题十二 定理、证明的相关概念】 【例12】（2024·湖南长沙·模拟预测）张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 1．（2024九年级·全国·竞赛）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______． （2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 1．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，，点C在上，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④ 3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·期末）在学习“相交线与平行线”一章时，邱老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小林同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，三角形中，，平分，，，以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（请填写序号） 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线分别与直线，相交于点G，H，已知，平分交直线于点M，则的度数为 ． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在内部有一点C，外部有一点D，连接，．平分，与交于点E，已知，，则的度数为 ． 9．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨、上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束按每秒的速度顺时针旋转便立即回转，光速灯C的光束自以每秒的速度顺时针旋转便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为 秒时，两束光线平行． 10．（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为 ． 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知点在直线上，射线平分，过点作，是射线上一点，连接，满足． (1)求证：； (2)若，求证：． 13．（江苏省扬州中学文昌教育集团2024-2025学年上学期期末测试七年级数学试卷）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗?为什么? (3)若，，求的大小． 14．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）综合与实践活动课上，老师让同学们以“平行线的等角转化功能”为主题开展数学活动，已知直线，点是和之间任意一点，连结、，完成下面任务． 【任务一】（1）如图1，已知，，过点作，求的度数； 【任务二】（2）如图2，，判断与的位置关系，并说明理由． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）［核心素养］点在射线上，，为射线上两个动点，满足，，平分． (1)如图①，当点在点右侧时，求证：； (2)如图②，当点在点左侧时，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若与互余，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$