（篇二）第三单元圆柱的认识和表面积篇其二·进阶性问题【九大考点】-2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元圆柱的认识和表面积篇其二·进阶性问题【九大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元圆柱与圆锥·圆柱的认识和表面积篇 专题内容 本专题以圆柱的切拼问题（表面积的增减变化问题）、旋转构成问题以及不规则或组合圆柱体的表面积计算问题为主，考点综合性强，难度大，既是是本章的重点，也是本章的难点。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解，力求大部分学生掌握。 考点数量 九个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】圆柱的五种切拼问题其一：高的变化引起的表面积变化 4 【考点二】圆柱的五种切拼问题其二：横切引起的表面积变化 7 【典型例题1】切分问题 7 【典型例题2】拼接问题 8 【考点三】圆柱的五种切拼问题其三：竖切引起的表面积变化 11 【考点四】圆柱的五种切拼问题其四：圆柱与长方体的拼切转化引起的表面积变化 12 【考点五】圆柱的五种切拼问题其五：正方体削减成最大圆柱的表面积变化 15 【考点六】圆柱的四种旋转构成法 17 【典型例题1】旋转法其一 18 【典型例题2】旋转法其二 19 【典型例题3】旋转法其三 19 【考点七】不规则圆柱体的表面积 21 【考点八】组合圆柱体的表面积 23 【考点九】空心圆柱体的表面积 26 【第三篇】典型例题篇 【考点一】圆柱的五种切拼问题其一：高的变化引起的表面积变化。 【方法点拨】 圆柱高的变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 注意：该题型具有一定的抽象性，建议尝试画示意图，便于理解。 【典型例题】 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形。如果圆柱的高增加2cm，侧面积就增加12.56。原来这个圆柱的表面积是多少平方厘米？ 【答案】45.7184平方厘米 【分析】观察图形可知，根据圆柱的侧面积＝圆柱的底面周长×高，据此可求出圆柱的底面周长，进而求出圆柱的底面积，因为圆柱的侧面展开图是一个正方形，所以圆柱的高与圆柱的底面周长相等，然后根据圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋两个圆柱的底面积，据此解答即可。 【详解】12.56÷2＝6.28（cm）； 6.28×6.28＋3.14×（6.28÷3.14÷2）2×2 ＝39.4384＋3.14×1×2 ＝39.4384＋6.28 ＝45.7184（平方厘米） 答：原来这个圆柱的表面积是45.7184平方厘米。 【点睛】本题考查圆柱的表面积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习1】 从一根高2m的圆柱形木料上截下一个高6dm的小圆柱后，木料的表面积减少了94.2平方分米。原来木料的表面积是多少平方分米？ 【答案】353.25平方分米 【分析】根据题意，结合图示可知，先求出半径r，再根据圆柱的表面积公式：，即可求出答案。 【详解】2m＝20dm 94.2÷6÷3.14÷2 ＝15.7÷3.14÷2 ＝5÷2 ＝2.5（分米） 3.14×（2.5×2）×20＋2×3.14× ＝3.14×5×20＋2×3.14×6.25 ＝15.7×20＋2×3.14×6.25 ＝314＋2×3.14×6.25 ＝314＋6.28×6.25 ＝314＋39.25 ＝353.25（平方分米） 答：原来木料的表面积是353.25平方分米。 【对应练习2】 一个圆柱的底面周长和高相等，如果高增加4cm，表面积就增加125.6cm2，原来这个圆柱的表面积是多少平方厘米？ 【答案】1142.96cm2 【分析】圆柱的高增加了4cm，底面面积还是原来的，只是增加部分的圆柱增加了侧面积。把增加部分展开，看作长方形。长方形的面积就是125.6cm2，宽为4cm。关键是求出长方形的长，用面积除以宽可得长。这个长就是圆柱的底面周长，接下来再求出直径、半径，原来圆柱的表面积就求出来了。还要注意圆柱的底面周长和高相等。 【详解】125.6÷4＝31.4（cm） 31.4×31.4＋3.14×（31.4÷3.14÷2）2×2 ＝985.96＋3.14×50 ＝985.96＋157 ＝1142.96（cm2） 答：原来这个圆柱的表面积是1142.96平方厘米。 【点睛】这道题较为复杂：①圆柱的底面周长和高相等，计算时要注意数据的选取；②高增加了，就增加了表面积，就要研究增加的部分，从求增加部分的底面周长入手。还要注意计算量很大。 【对应练习3】 一个圆柱高8厘米，截下2厘米长的一段小圆柱后，圆柱的表面积减少了25.12平方厘米，原来圆柱的表面积是多少平方厘米？ 【答案】125.6平方厘米 【分析】圆柱的表面积公式为：S＝2πrh＋2πr2；圆的周长公式为：C＝2πr；圆柱的侧面积公式为：S＝2πrh。用圆柱表面积减少的部分除以截下的长度得到的就是圆柱的底面周长，根据周长公式可以求出底面半径，再根据圆柱的表面积公式求解。 【详解】圆柱的底面半径为： 25.12÷2÷2÷3.14 ＝6.28÷3.14 ＝2（厘米） 原来圆柱的表面积为： 2×3.14×2×8＋2×3.14×2 ＝100.48＋25.12 ＝125.6（平方厘米） 答：原来圆柱的表面积是125.6平方厘米。 【点睛】此题关键是能够根据减少的表面积和减少的高求出底面周长，进而求出半径。 【考点二】圆柱的五种切拼问题其二：横切引起的表面积变化。 【方法点拨】 1. 圆柱的横切，即将圆柱沿着底面或平行于底面切一刀，变成两段圆柱，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面。 2. 数量的变化。 ①每切一刀，便多增加两个面，即增加的面数=刀数×2； ②切成两段需要切一刀，切成三段需要切两刀，即刀数=段数－1。 注意：该题型具有一定的抽象性，建议尝试画示意图，便于理解。 【典型例题1】切分问题。 把一段长1米，侧面积18.84平方米的圆柱体的木料，沿着平行于底面的方向截成两段，这时它的表面积增加了多少平方米？ 解析： 底面圆的周长：18.84÷1＝18.84（米） 底面圆的半径：18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（米） 增加的面积：3.14×32×2 ＝28.26×2 ＝56.52（平方米） 答：这时它的表面积增加了56.52平方米。 【对应练习1】 把一个半径2分米、长1米的圆木平均截成3段，表面积共增加多少平方分米？ 解析： （3.14×22）×（2×2） ＝12.56×4 ＝50.24（平方分米） 答：表面积共增加50.24平方分米。 【对应练习2】 把一根长2.4米，底面直径是0.6米的圆柱形钢材平均截成4段，表面积增加了多少平方米？ 解析： 增加的面： （4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 增加的表面积： 3.14×（0.6÷2）2×6 ＝3.14×0.09×6 ＝0.2826×6 ＝1.6956（平方米） 答：表面积增加了1.6956平方米。 【对应练习3】 一根圆柱形木杆的底面半径是0.2cm，长是2m，如图所示，将它截成5段，这些表面积之和比原木料增加了( )cm2。 【答案】1.0048 【分析】观察图形可知，把木杆截成5段，则表面积比原来增加了8个底面积，然后根据圆的面积公式：S＝πr2，据此进行计算即可。 【详解】3.14×0.22×8 ＝3.14×0.04×8 ＝0.1256×8 ＝1.0048（cm2） 【点睛】本题考查圆的表面积，明确截成5段后表面积增加了8个底面积是解题的关键。 【典型例题2】拼接问题。 一个表面积50平方厘米的圆柱体，底面积是15平方厘米，把2个这样的圆柱体拼成一个大圆柱体，这个大圆柱体的表面积是( )平方厘米。 【答案】70 【分析】把2个同样的圆柱体拼成一个大圆柱体，表面积减少了两个底面积和，将两个圆柱体表面积相加再减去两个底面积和，即可解答。 【详解】（50＋50）－15×2 ＝100－30 ＝70（平方厘米） 这个大圆柱体的表面积是70平方厘米。 【点睛】此题主要考查学生对图形拼接后表面积变化的理解与认识。 【对应练习1】 两个相同圆柱体的木块底面相拼，拼成一个高12厘米的圆柱体，表面积就减少了100.48平方厘米，求原来每个圆柱体的表面积是多少？ 【答案】251.2平方厘米 【分析】本题中，表面积减少的部分就是拼接时相互重合的两个面的面积。所以我们先用100.48÷2÷3.14可得出圆柱体底面半径的平方，再还原成半径；两个圆柱体高12厘米，则一个高为12÷2＝6（厘米）。这样，要求的圆柱体的半径、高都已知了，就可以计算其表面积了。尤其注意的是，表面积用侧面积＋拼接时减少的面积来计算更简便。 【详解】100.48÷2÷3.14 ＝50.24÷3.14 ＝16 16＝42，即半径＝4厘米， 12÷2＝6（厘米），即高＝6厘米， S圆柱＝S侧＋2×S底 ＝2×3.14×4×6＋100.48 ＝150.72＋100.48 ＝251.2（平方厘米） 答：原来每个圆柱体的表面积是251.2平方厘米。 【点睛】本题难点在于底面半径的确定，先要求出一个圆柱底面的面积，再将S＝πr2变形，得出半径，其次，小数混合运算量也不小，要仔细计算，防止出错。 【对应练习2】 （如图）有三个完全相同的圆柱，底面积都是78.5cm2，表面积都是628cm2，把这三个圆柱连接起来成为一个大圆柱，这个大圆柱的表面积是( )dm2。 【答案】15.7 【分析】把这三个圆柱连接起来成为一个大圆柱，则这个大圆柱的表面积比原来三个圆柱的表面积减少了4个底面积，据此进行计算即可。 【详解】628×3－78.5×4 ＝1884－314 ＝1570（cm2） ＝15.7（dm2） 则这个大圆柱的表面积是15.7dm2。 【点睛】本题考查圆柱的表面积，明确表面积的定义是解题的关键。 【对应练习3】 王老师把3个完全一样的圆柱体拼成了一个大的圆柱体。已知拼成后的圆柱体的表面积比一个小圆柱体的表面积多240平方厘米，圆柱体的底面直径是10厘米。拼成后的圆柱体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】517平方厘米 【分析】根据题意，把3个完全一样的圆柱体拼成了一个大的圆柱体，拼成后的圆柱体的表面积比一个小圆柱体的表面积多240平方厘米，表面积多的240平方厘米等于原来两个小圆柱的侧面积和，据此可以求出原来每个小圆柱的侧面积，再根据圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，把数据代入公式解答。 【详解】240÷2×3＋3.14×（10÷2）2×2 ＝120×3＋3.14×25×2 ＝360＋78.5×2 ＝360＋157 ＝517（平方厘米） 答：拼成后大圆柱的表面积是517平方厘米。 【考点三】圆柱的五种切拼问题其三：竖切引起的表面积变化。 【方法点拨】 圆柱的竖切，即将圆柱沿着直径，垂直于底面的方向切一刀，分成两个半圆柱体，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 注意：该题型具有一定的抽象性，建议尝试画示意图，便于理解。 【典型例题】 一个圆柱体，沿它的上下底面直径剖开后，表面积增加了24cm2，且剖开面为正方形。求这个圆柱体的表面积。（π取3） 解析： dh＝24÷2＝12（cm2） r2＝××12＝3（cm2） S＝2πr2＋πdh ＝2×3×3＋3×12 ＝18＋36 ＝54（cm2） 答：求这个圆柱体的表面积是54cm2。 【对应练习1】 一个底面周长50.24厘米，高9厘米的圆柱，沿着高切成两个同样大小的半圆柱体，表面积增加了多少？ 解析： 50.24÷3.14＝16（厘米） 16×9×2＝288（平方厘米） 答：表面积增加了288平方厘米。 【对应练习2】 如图，一根6分米长的圆柱体木棒切成相等的两半后，表面积增加了24平方分米，这根圆柱体木棒的侧面积是多少平方分米？ 解析： 24÷2÷6＝2（分米） 3.14×2×6＝37.68（平方分米） 答：这根圆柱体木棒的侧面积是37.68平方分米。 【对应练习3】 把一个高为5厘米的圆柱从直径处沿高剖成两上半圆柱，这两个半圆柱的表面积比原来增加80平方厘米，求原来圆柱的表面积。 解析： 圆柱的直径是：80÷2÷5＝8（厘米） 圆柱的表面积是：3.14×（8÷2）2×2＋3.14×8×5 ＝3.14×16×2＋3.14×8×5 ＝100.48＋125.6 ＝226.08（平方厘米） 答：原来圆柱的表面是226.08平方厘米。 【考点四】圆柱的五种切拼问题其四：圆柱与长方体的拼切转化引起的表面积变化。 【方法点拨】 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时拼成的长方体会比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 【典型例题】 如果把高为5厘米，底面半径为2厘米的圆柱按下图切开，拼成一个近似的长方体，那么长方体的长是( )厘米，表面积增加了( )平方厘米。 【答案】 6.28 20 【分析】看图，近似长方体的长是圆柱底面周长的一半，近似长方体的宽是圆柱的底面半径，高和圆柱的高相等。表面积增加了两个面，是近似长方体的左面和右面，根据“宽×高×2”求出表面积增加了多少即可。 【详解】2×3.14×2÷2＝6.28（厘米） 2×5×2＝20（平方厘米） 所以，长方体的长是6.28厘米，表面积增加了20平方厘米。 【对应练习1】 如图，一个底面直径为4分米，高为5分米的圆柱，把它的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是( )分米，宽是( )分米，表面积比原来增加了( )平方分米。 【答案】 6.28 2 20 【分析】把一个圆柱切开拼成一个近似长方体，长方体的长等于圆柱的底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高；根据圆的底面周长公式：C＝πd，代入数据再除以2，即可求出长方体的长；用底面直径除以2，即可求出长方体的宽；长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了2个左右面的面积，用宽×高×2即可。 【详解】长：3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（分米） 宽：4÷2＝2（分米） 这个长方体的长是6.28分米，宽是2分米； 2×5×2 ＝10×2 ＝20（平方分米） 表面积比原来增加了20平方分米。 【对应练习2】 如图，把一个圆柱的底面分成若干相等的小扇形，把圆柱切开，拼成一个近似的长方体，表面积增加了( )cm2。 【答案】400 【分析】长方体的上下面面积是圆柱体的上下底面面积，前后面面积是圆柱体的侧面面积，左右面面积是增加的表面积，是以底面半径和圆柱体的高为长、宽的长方形，根据底面周长的一半是31.4cm，求出半径，再用半径乘圆柱的高再乘2计算解答。 【详解】（cm） （cm2） 表面积增加了400cm2。 【对应练习3】 如图，把圆柱体平均分成若干份，再拼成一个近似的长方体。已知长方体的长是12.56厘米，高是4厘米，这个圆柱体的侧面积是( )平方厘米，拼成的长方体表面积比圆柱体多( )平方厘米。 【答案】 100.48 32 【分析】根据题干，拼组后表面积是增加了两个以圆柱的底面半径和高为边长的长方形面的面积，由此利用圆的周长公式C＝2r先求出圆柱的底面半径，再利用长方形的面积公式S＝ab，圆柱的侧面积公式S侧＝2rh计算即可。 【详解】底面半径为：12.56÷3.14＝4（厘米） 3.14×4×2×4＝100.48（厘米） 4×4×2＝32（平方厘米） 所以圆柱的侧面积是100.48平方厘米，长方体的表面积比圆柱多32平方厘米。 【点睛】本题考查圆柱的侧面积，根据拼组特点求出圆柱的底面半径是解决本题的关键。 【考点五】圆柱的五种切拼问题其五：正方体削减成最大圆柱的表面积变化。 【方法点拨】 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 【典型例题】 把一个棱长8厘米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积是多少？ 【答案】301.44平方厘米 【详解】侧面积：8×3.14×8＝25.12×8＝200.96（平方厘米） 底面积：（平方厘米） 表面积：200.96＋50.24×2＝200.96＋100.48＝301.44（平方厘米） 答：这个圆柱的表面积是301.44平方厘米。 【分析】在正方体里削最大的圆柱，那么正方体的棱长就是圆柱的底面直径，也是圆柱的高。已知圆柱的底面直径与高就可以求出圆柱的侧面积、底面积、表面积。 【对应练习1】 如图，把一个边长是6分米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积是多少平方分米？ 【答案】169.56平方分米 【分析】如图所示，削成的最大圆柱的底面直径和高都等于6分米，圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，S圆＝πr2，C圆＝πd，侧面积＝底面周长×高，据此计算。 【详解】 （平方分米） 答：这个圆柱的表面积是169.56平方分米。 【对应练习2】 一个正方体木块的棱长总和为240厘米，把它削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的表面积多少平方分米？ 【答案】18.84平方分米 【分析】由题意可知，把正方体木块削成一个最大的圆柱体，则这个圆柱的底面直径和高相当于正方体的棱长，根据正方体的总棱长公式：L＝12a，据此求出正方体的棱长，再根据圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋πdh，据此进行计算即可。 【详解】240÷12＝20（厘米） 2×3.14×（20÷2）2＋3.14×20×20 ＝2×3.14×102＋3.14×20×20 ＝2×3.14×100＋3.14×20×20 ＝628＋1256 ＝1884（平方厘米） ＝18.84（平方分米） 答：这个圆柱体的表面积18.84平方分米。 【点睛】本题考查正方体的总棱长和圆柱的表面积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习3】 一块棱长4分米的正方体木料，把它加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积是多少平方分米？ 【答案】75.36平方分米 【分析】因为正方体的棱长为4分米，所以最大的圆柱的高是4分米，底面直径也是4分米。然后根据圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，计算出圆柱的表面积。 【详解】3.14×4×4＋3.14××2 ＝12.56×4＋3.14×4×2 ＝50.24＋12.56×2 ＝50.24＋25.12 ＝75.36（平方分米） 答：圆柱的表面积是75.36平方分米。 【点睛】本题考查圆柱的表面积计算，关键是根据正方体的棱长得出圆柱的高和直径。 【考点六】圆柱的四种旋转构成法。 【方法点拨】 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 【典型例题1】旋转法其一。 把长为4，宽为3的长方形绕着它的一条边旋转一周，则所得到的圆柱的表面积是多少？（结果保留π） 解析： 以长为轴，32×2×π+2π×3×4=42π 以宽为轴，42×2×π+2π×4×3=56π 【典型例题2】旋转法其二。 正方形的边长为4厘米，按照下图中所示的方式旋转，那么得到的旋转体的表面积是多少？ 解析： 按如图方式旋转，底面圆的半径是2厘米，圆柱的高是4厘米。 S底=3.14×22=12.56（cm2） S侧=2×3.14×2×4=50.24（cm2） S表=2S底+S侧=12.56×2+50.24=75.36（cm2） 答：表面积是75.36cm2。 【典型例题3】旋转法其三。 请计算下图长方形绕虚线旋转一周后得到的圆柱的表面积。 解析： S底：3.14×52=78.5（平方厘米） 2S底：78.5×2=157（平方厘米） S侧：3.14×5×2×15=471（平方厘米） S表：157+471=628（平方厘米） 答：表面积是628平方厘米。 【对应练习1】 一个长方形的长是5厘米，宽是2厘米。以它的长边为轴，旋转一周，得到的圆柱表面积是多少平方厘米？ 解析： 3.14×2×2＋3.14×2×2×5 ＝25.12＋62.8 ＝87.92（平方厘米） 答：得到的圆柱表面积是87.92平方厘米。 【对应练习2】 下图是一张长方形纸，长，宽。如果以长边所在的直线为轴旋转一周得到一个圆柱，那么圆柱的表面积是多少平方厘米？ 解析： 3.14×102×2＋3.14×10×2×12 ＝3.14×200＋3.14×240 ＝3.14×440 ＝1381.6（平方厘米） 答：圆柱的表面积是1381.6平方厘米。 【对应练习3】 以如图长方形的长为轴旋转一周，得到一个什么立体图形，它的表面积是多少？ 解析： 以一个长和宽分别为8cm和5cm的长方形的长为轴旋转一周得到的图形是一个高为8cm，底面半径为5cm的圆柱。 2×3.14×52+2×3.14×5×8 ＝157+251.2 ＝408.2（cm2） 答：得到一个圆柱体，它的表面积是408.2cm2。 【考点七】不规则圆柱体的表面积。 【方法点拨】 求不规则圆柱体的表面积，注意分析图形是由哪几个面组合而成的，然后分别计算这几个面的面积，最后将所计算的面相加。 【典型例题】 如图，一根长2米，底面周长为12.56分米的圆木，沿着它的两条半径，截去部分，该图形的表面积是多少平方分米？ 解析： 2米=20分米 底面半径：12.56÷3.14÷2=2（分米） 圆柱两个底面积之和：3.14×22×2=25.12（平方分米） 圆柱侧面积：12.56×20=251.2（平方分米） 截去后的表面积：（25.12+251.2）×（1-）=207.24（dm2） 207.24+2×20×2=287.24（平方分米） 答：该图形的表面积是287.24平方分米。 【对应练习1】 如图，是一个圆柱体沿着底面直径切割剩下的部分，求该图形的表面积。（单位：cm） 解析： 原来圆柱的表面积： 3.14×（6÷2）2×2+3.14×6×8 =56.52+150.72 =207.24（平方厘米） 切割一半后的表面积：207.24×=103.62（平方厘米） 103.62+6×8=151.62（平方厘米） 答：该图形的表面积是151.62平方厘米。 【对应练习2】 从下面这根长方体木料中削掉一个最大的半圆柱，求剩余木料的表面积。 解析： 上面表面积：3.14×6×10÷2 ＝18.84×10÷2 ＝188.4÷2 ＝94.2（平方厘米） 前后面的面积：[6×4－3.14×（6÷2）2÷2]×2 ＝[24－3.14×9÷2]×2 ＝[24－28.26÷2]×2 ＝[24－14.13]×2 ＝9.87×2 ＝19.74（平方厘米） 左右面积：10×4×2 ＝40×2 ＝80（平方厘米） 下面：6×10＝60（平方厘米） 94.2＋19.74＋80＋60 ＝113.92＋80＋60 ＝193.92＋60 ＝253.92（平方厘米） 答：剩余木料的表面积是253.92平方厘米。 【对应练习3】 如图是一个圆柱体从中间劈开后得到的图形，这个图形的表面积是多少？ （单位：cm） 解析： 由图可得，圆柱体底面积直径为8cm，高为16cm，原圆柱体的表面积为： （cm2） 故劈开后的图形表面积为： （cm2） 答：这个图形的表面积为cm2。 【考点八】组合圆柱体的表面积。 【方法点拨】 求组合立体图形的表面积，注意分析图形是由些图形组合而成的，组成该图形的表面有哪些，是什么形状，然后分别计算这几个面的面积，最后将所计算的面相加。 【典型例题】 如图，一个物体由三个圆柱组成，它们的半径分别为0.5分米，2分米，5分米，而高都是2分米，则这个物体的表面积是多少平方分米？ 解析： 大圆柱的表面积：3.14×52×2+2×3.14×5×2 =157+62.8 =219.8（平方分米） 中圆柱侧面积：2×3.14×2×2=25.12（平方分米） 小圆柱侧面积：2×3.14×0.5×2=6.28（平方分米） 这个物体的表面积：219.8+25.12+6.28=251.2（平方分米） 答：这个物体的表面积是251.2平方分米。 【对应练习1】 图是爸爸的工具箱，它的下半部分是棱长20厘米的正方体，上半部分是圆柱的一半，请你算出工具箱的表面积。 解析： 3.14×20×20÷2＋3.14×（20÷2）2＋20×20×5 ＝3.14×20×20÷2＋3.14×100＋20×20×5 ＝62.8×20÷2＋314＋400×5 ＝628＋314＋2000 ＝942＋2000 ＝2942（平方厘米） 答：工具箱的表面积是2942平方厘米。 【对应练习3】 如图是一个两层的六寸的生日蛋糕，已知底层直径是20厘米，高度是10厘米；上层直径是15厘米，高是6厘米，现在准备在它外表涂抹奶油（底部不涂），求该蛋糕需要涂抹奶油的面积。 解析： 3.14×15×6 ＝47.1×6 ＝282.6（平方厘米） 3.14×20×10＋3.14×（20÷2）2 ＝62.8×10＋3.14×102 ＝628＋314 ＝942（平方厘米） 282.6＋942＝1224.6（平方厘米） 答：该蛋糕需要涂抹奶油的面积1224.6平方厘米。 【对应练习4】 工人叔叔要为下面是正方体、上面是圆柱的灯柱（如图，底面不刷）刷上油漆。如果每平方米需要油漆0.3kg，那么至少需要准备多少千克的油漆？ 解析： 5dm＝0.5m 8dm＝0.8m （0.5×0.5×5＋3.14×0.5×0.8）×0.3＝0.7518（kg） 答：至少需要准备0.7518kg的油漆。 【考点九】空心圆柱体的表面积。 【方法点拨】 空心圆柱体的表面积，一般是由外圆柱的表面积减掉内圆柱的上下两个底面积，再加上内圆柱的侧面积组合而成的。 【典型例题】 如图，卫生纸的高度是10cm，中间硬纸轴的直径是4 cm，制作100个这样的硬纸轴，至少需要多少平方米的硬纸皮？ 解析： 3.14×4=12.56（厘米），长方形的宽是圆柱的高，本题中是10厘米，长方形的面积就等于圆柱侧面积，列式为：3.14×4×10=125.6（平方厘米），100个这样的硬纸轴用纸125.6×100=12560（平方厘米） 12560平方厘米=1.256平方米 【对应练习1】 如图，做一个圆柱形灯笼，上下底面的中间分别要留出78.5cm2的口，至少需要多少彩纸？ 解析： 3.14×20×20＋2×3.14×（20÷2）2－78.5×2 ＝1256＋6.28×100－157 ＝1256＋628－157 ＝1727（cm2） 答：至少需要1727 cm2彩纸。 【对应练习2】 如图，一个圆柱体零件，高10厘米，底面直径6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。 如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 解析： 3.14×（6÷2）×2＋3.14×6×10＋3.14×4×5 ＝56.52＋188.4＋62.8 ＝307.72（平方厘米） 答：一共要涂307.72平方厘米。 【对应练习3】 从一个长方体木块上挖掉一个底面直径是6厘米的圆柱形木块，求剩余部分的表面积。 解析： 10×8×2＋10×10×2＋8×10×2＋3.14×6×6 ＝160＋200＋160＋113.04 ＝520＋113.04 ＝633.04（平方厘米） 答：剩余部分的表面积是633.04平方厘米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 27 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 27 页 2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元圆柱的认识和表面积篇其二·进阶性问题【九大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元圆柱与圆锥·圆柱的认识和表面积篇 专题内容 本专题以圆柱的切拼问题（表面积的增减变化问题）、旋转 构成问题以及不规则或组合圆柱体的表面积计算问题为主， 考点综合性强，难度大，既是是本章的重点，也是本章的难 点。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解，力求大部分学生掌握。 考点数量 九个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】圆柱的五种切拼问题其一：高的变化引起的表面积变化 .......4 【考点二】圆柱的五种切拼问题其二：横切引起的表面积变化 .............. 7 【典型例题 1】切分问题 ...........................................................................................................7 【典型例题 2】拼接问题 ...........................................................................................................8 【考点三】圆柱的五种切拼问题其三：竖切引起的表面积变化 .............11 【考点四】圆柱的五种切拼问题其四：圆柱与长方体的拼切转化引起的表面积变化 . 12 【考点五】圆柱的五种切拼问题其五：正方体削减成最大圆柱的表面积变化 .............15 【考点六】圆柱的四种旋转构成法 .......................................................... 17 【典型例题 1】旋转法其一 ..................................................................................................... 18 【典型例题 2】旋转法其二 ..................................................................................................... 19 第 3 页 共 27 页 【典型例题 3】旋转法其三 ..................................................................................................... 19 【考点七】不规则圆柱体的表面积 ..................................................................................21 【考点八】组合圆柱体的表面积 ..................................................................................... 23 【考点九】空心圆柱体的表面积 ..................................................................................... 26 第 4 页 共 27 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】圆柱的五种切拼问题其一：高的变化引起的表面积变 化。 【方法点拨】 圆柱高的变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变 化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变 化的表面积÷变化的高度。 注意：该题型具有一定的抽象性，建议尝试画示意图，便于理解。 【典型例题】 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形。如果圆柱的高增加 2cm，侧面积就增加 12.56 2cm 。原来这个圆柱的表面积是多少平方厘米？ 【答案】45.7184平方厘米 【分析】观察图形可知，根据圆柱的侧面积＝圆柱的底面周长×高，据此可求出 圆柱的底面周长，进而求出圆柱的底面积，因为圆柱的侧面展开图是一个正方形， 所以圆柱的高与圆柱的底面周长相等，然后根据圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋ 两个圆柱的底面积，据此解答即可。 【详解】12.56÷2＝6.28（cm）； 6.28×6.28＋3.14×（6.28÷3.14÷2）2×2 ＝39.4384＋3.14×1×2 ＝39.4384＋6.28 ＝45.7184（平方厘米） 答：原来这个圆柱的表面积是 45.7184平方厘米。 【点睛】本题考查圆柱的表面积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习 1】 第 5 页 共 27 页 从一根高 2m的圆柱形木料上截下一个高 6dm的小圆柱后，木料的表面积减少了 94.2平方分米。原来木料的表面积是多少平方分米？ 【答案】353.25平方分米 【分析】根据题意，结合图示可知，先求出半径 r，再根据圆柱的表面积公式： 22 r 2 rhS    ，即可求出答案。 【详解】2m＝20dm 94.2÷6÷3.14÷2 ＝15.7÷3.14÷2 ＝5÷2 ＝2.5（分米） 3.14×（2.5×2）×20＋2×3.14× 22.5 ＝3.14×5×20＋2×3.14×6.25 ＝15.7×20＋2×3.14×6.25 ＝314＋2×3.14×6.25 ＝314＋6.28×6.25 ＝314＋39.25 ＝353.25（平方分米） 答：原来木料的表面积是 353.25平方分米。 【对应练习 2】 一个圆柱的底面周长和高相等，如果高增加 4cm，表面积就增加 125.6cm2，原来 这个圆柱的表面积是多少平方厘米？ 【答案】1142.96cm2 【分析】圆柱的高增加了 4cm，底面面积还是原来的，只是增加部分的圆柱增加 了侧面积。把增加部分展开，看作长方形。长方形的面积就是 125.6cm2，宽为 4cm。关键是求出长方形的长，用面积除以宽可得长。这个长就是圆柱的底面周 长，接下来再求出直径、半径，原来圆柱的表面积就求出来了。还要注意圆柱的 第 6 页 共 27 页 底面周长和高相等。 【详解】125.6÷4＝31.4（cm） 31.4×31.4＋3.14×（31.4÷3.14÷2）2×2 ＝985.96＋3.14×50 ＝985.96＋157 ＝1142.96（cm2） 答：原来这个圆柱的表面积是 1142.96平方厘米。 【点睛】这道题较为复杂：①圆柱的底面周长和高相等，计算时要注意数据的选 取；②高增加了，就增加了表面积，就要研究增加的部分，从求增加部分的底面 周长入手。还要注意计算量很大。 【对应练习 3】 一个圆柱高 8厘米，截下 2厘米长的一段小圆柱后，圆柱的表面积减少了 25.12 平方厘米，原来圆柱的表面积是多少平方厘米？ 【答案】125.6平方厘米 【分析】圆柱的表面积公式为：S＝2πrh＋2πr2；圆的周长公式为：C＝2πr；圆柱 的侧面积公式为：S＝2πrh。用圆柱表面积减少的部分除以截下的长度得到的就 是圆柱的底面周长，根据周长公式可以求出底面半径，再根据圆柱的表面积公式 求解。 【详解】圆柱的底面半径为： 25.12÷2÷2÷3.14 ＝6.28÷3.14 ＝2（厘米） 原来圆柱的表面积为： 2×3.14×2×8＋2×3.14×2 2 ＝100.48＋25.12 ＝125.6（平方厘米） 答：原来圆柱的表面积是 125.6平方厘米。 【点睛】此题关键是能够根据减少的表面积和减少的高求出底面周长，进而求出 半径。 第 7 页 共 27 页 【考点二】圆柱的五种切拼问题其二：横切引起的表面积变化。 【方法点拨】 1. 圆柱的横切，即将圆柱沿着底面或平行于底面切一刀，变成两段圆柱，此时 表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面。 2. 数量的变化。 ①每切一刀，便多增加两个面，即增加的面数=刀数×2； ②切成两段需要切一刀，切成三段需要切两刀，即刀数=段数－1。 注意：该题型具有一定的抽象性，建议尝试画示意图，便于理解。 【典型例题 1】切分问题。 把一段长 1米，侧面积 18.84平方米的圆柱体的木料，沿着平行于底面的方向截 成两段，这时它的表面积增加了多少平方米？ 解析： 底面圆的周长：18.84÷1＝18.84（米） 底面圆的半径：18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（米） 增加的面积：3.14×32×2 ＝28.26×2 ＝56.52（平方米） 答：这时它的表面积增加了 56.52平方米。 【对应练习 1】 把一个半径 2分米、长 1米的圆木平均截成 3段，表面积共增加多少平方分米？ 解析： （3.14×22）×（2×2） ＝12.56×4 ＝50.24（平方分米） 答：表面积共增加 50.24平方分米。 【对应练习 2】 第 8 页 共 27 页 把一根长 2.4米，底面直径是 0.6米的圆柱形钢材平均截成 4段，表面积增加了 多少平方米？ 解析： 增加的面： （4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 增加的表面积： 3.14×（0.6÷2）2×6 ＝3.14×0.09×6 ＝0.2826×6 ＝1.6956（平方米） 答：表面积增加了 1.6956平方米。 【对应练习 3】 一根圆柱形木杆的底面半径是 0.2cm，长是 2m，如图所示，将它截成 5段，这 些表面积之和比原木料增加了( )cm2。 【答案】1.0048 【分析】观察图形可知，把木杆截成 5段，则表面积比原来增加了 8个底面积， 然后根据圆的面积公式：S＝πr2，据此进行计算即可。 【详解】3.14×0.22×8 ＝3.14×0.04×8 ＝0.1256×8 ＝1.0048（cm2） 【点睛】本题考查圆的表面积，明确截成 5段后表面积增加了 8个底面积是解题 的关键。 【典型例题 2】拼接问题。 一个表面积 50平方厘米的圆柱体，底面积是 15平方厘米，把 2个这样的圆柱体 第 9 页 共 27 页 拼成一个大圆柱体，这个大圆柱体的表面积是( )平方厘米。 【答案】70 【分析】把 2个同样的圆柱体拼成一个大圆柱体，表面积减少了两个底面积和， 将两个圆柱体表面积相加再减去两个底面积和，即可解答。 【详解】（50＋50）－15×2 ＝100－30 ＝70（平方厘米） 这个大圆柱体的表面积是 70平方厘米。 【点睛】此题主要考查学生对图形拼接后表面积变化的理解与认识。 【对应练习 1】 两个相同圆柱体的木块底面相拼，拼成一个高 12厘米的圆柱体，表面积就减少 了 100.48平方厘米，求原来每个圆柱体的表面积是多少？ 【答案】251.2平方厘米 【分析】本题中，表面积减少的部分就是拼接时相互重合的两个面的面积。所以 我们先用 100.48÷2÷3.14可得出圆柱体底面半径的平方，再还原成半径；两个圆 柱体高 12厘米，则一个高为 12÷2＝6（厘米）。这样，要求的圆柱体的半径、 高都已知了，就可以计算其表面积了。尤其注意的是，表面积用侧面积＋拼接时 减少的面积来计算更简便。 【详解】100.48÷2÷3.14 ＝50.24÷3.14 ＝16 16＝42，即半径＝4厘米， 12÷2＝6（厘米），即高＝6厘米， S 圆柱＝S 侧＋2×S 底 ＝2×3.14×4×6＋100.48 ＝150.72＋100.48 ＝251.2（平方厘米） 答：原来每个圆柱体的表面积是 251.2平方厘米。 第 10 页 共 27 页 【点睛】本题难点在于底面半径的确定，先要求出一个圆柱底面的面积，再将 S ＝πr2变形，得出半径，其次，小数混合运算量也不小，要仔细计算，防止出错。 【对应练习 2】 （如图）有三个完全相同的圆柱，底面积都是 78.5cm2，表面积都是 628cm2，把 这三个圆柱连接起来成为一个大圆柱，这个大圆柱的表面积是( )dm2。 【答案】15.7 【分析】把这三个圆柱连接起来成为一个大圆柱，则这个大圆柱的表面积比原来 三个圆柱的表面积减少了 4个底面积，据此进行计算即可。 【详解】628×3－78.5×4 ＝1884－314 ＝1570（cm2） ＝15.7（dm2） 则这个大圆柱的表面积是 15.7dm2。 【点睛】本题考查圆柱的表面积，明确表面积的定义是解题的关键。 【对应练习 3】 王老师把 3个完全一样的圆柱体拼成了一个大的圆柱体。已知拼成后的圆柱体的 表面积比一个小圆柱体的表面积多 240平方厘米，圆柱体的底面直径是 10厘米。 拼成后的圆柱体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】517平方厘米 【分析】根据题意，把 3个完全一样的圆柱体拼成了一个大的圆柱体，拼成后的 圆柱体的表面积比一个小圆柱体的表面积多 240平方厘米，表面积多的 240平方 厘米等于原来两个小圆柱的侧面积和，据此可以求出原来每个小圆柱的侧面积， 再根据圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，把数据代入公式解答。 第 11 页 共 27 页 【详解】240÷2×3＋3.14×（10÷2）2×2 ＝120×3＋3.14×25×2 ＝360＋78.5×2 ＝360＋157 ＝517（平方厘米） 答：拼成后大圆柱的表面积是 517平方厘米。 【考点三】圆柱的五种切拼问题其三：竖切引起的表面积变化。 【方法点拨】 圆柱的竖切，即将圆柱沿着直径，垂直于底面的方向切一刀，分成两个半圆柱体， 此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方 形。 注意：该题型具有一定的抽象性，建议尝试画示意图，便于理解。 【典型例题】 一个圆柱体，沿它的上下底面直径剖开后，表面积增加了 24cm2，且剖开面为正 方形。求这个圆柱体的表面积。（π取 3） 解析： dh＝24÷2＝12（cm2） r2＝ 12 × 1 2 ×12＝3（cm 2） S＝2πr2＋πdh ＝2×3×3＋3×12 ＝18＋36 ＝54（cm2） 答：求这个圆柱体的表面积是 54cm2。 【对应练习 1】 一个底面周长 50.24厘米，高 9厘米的圆柱，沿着高切成两个同样大小的半圆柱 体，表面积增加了多少？ 解析： 第 12 页 共 27 页 50.24÷3.14＝16（厘米） 16×9×2＝288（平方厘米） 答：表面积增加了 288平方厘米。 【对应练习 2】 如图，一根 6分米长的圆柱体木棒切成相等的两半后，表面积增加了 24平方分 米，这根圆柱体木棒的侧面积是多少平方分米？ 解析： 24÷2÷6＝2（分米） 3.14×2×6＝37.68（平方分米） 答：这根圆柱体木棒的侧面积是 37.68平方分米。 【对应练习 3】 把一个高为 5厘米的圆柱从直径处沿高剖成两上半圆柱，这两个半圆柱的表面积 比原来增加 80平方厘米，求原来圆柱的表面积。 解析： 圆柱的直径是：80÷2÷5＝8（厘米） 圆柱的表面积是：3.14×（8÷2）2×2＋3.14×8×5 ＝3.14×16×2＋3.14×8×5 ＝100.48＋125.6 ＝226.08（平方厘米） 答：原来圆柱的表面是 226.08平方厘米。 【考点四】圆柱的五种切拼问题其四：圆柱与长方体的拼切转化 引起的表面积变化。 【方法点拨】 将一个底面半径为 r，高为 h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似 的长方体，此时拼成的长方体会比圆柱多 2个面积大小为 hr的长方形。 第 13 页 共 27 页 【典型例题】 如果把高为 5厘米，底面半径为 2厘米的圆柱按下图切开，拼成一个近似的长方 体，那么长方体的长是( )厘米，表面积增加了( )平方厘米。 【答案】 6.28 20 【分析】看图，近似长方体的长是圆柱底面周长的一半，近似长方体的宽是圆柱 的底面半径，高和圆柱的高相等。表面积增加了两个面，是近似长方体的左面和 右面，根据“宽×高×2”求出表面积增加了多少即可。 【详解】2×3.14×2÷2＝6.28（厘米） 2×5×2＝20（平方厘米） 所以，长方体的长是 6.28厘米，表面积增加了 20平方厘米。 【对应练习 1】 如图，一个底面直径为 4分米，高为 5分米的圆柱，把它的底面平均分成若干个 扇形，然后切开拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是( )分米，宽 是( )分米，表面积比原来增加了( )平方分米。 【答案】 6.28 2 20 【分析】把一个圆柱切开拼成一个近似长方体，长方体的长等于圆柱的底面周长 的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高；根据圆的 底面周长公式：C＝πd，代入数据再除以 2，即可求出长方体的长；用底面直径 除以 2，即可求出长方体的宽；长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了 2个 左右面的面积，用宽×高×2即可。 第 14 页 共 27 页 【详解】长：3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（分米） 宽：4÷2＝2（分米） 这个长方体的长是 6.28分米，宽是 2分米； 2×5×2 ＝10×2 ＝20（平方分米） 表面积比原来增加了 20平方分米。 【对应练习 2】 如图，把一个圆柱的底面分成若干相等的小扇形，把圆柱切开，拼成一个近似的 长方体，表面积增加了( )cm2。 【答案】400 【分析】长方体的上下面面积是圆柱体的上下底面面积，前后面面积是圆柱体的 侧面面积，左右面面积是增加的表面积，是以底面半径和圆柱体的高为长、宽的 长方形，根据底面周长的一半是 31.4cm，求出半径，再用半径乘圆柱的高再乘 2 计算解答。 【详解】31.4 3.14 10  （cm） 10 20 2  200 2  400 （cm2） 表面积增加了 400cm2。 【对应练习 3】 如图，把圆柱体平均分成若干份，再拼成一个近似的长方体。已知长方体的长是 12.56厘米，高是 4厘米，这个圆柱体的侧面积是( )平方厘米，拼成的长 方体表面积比圆柱体多( )平方厘米。 第 15 页 共 27 页 【答案】 100.48 32 【分析】根据题干，拼组后表面积是增加了两个以圆柱的底面半径和高为边长的 长方形面的面积，由此利用圆的周长公式 C＝2 r先求出圆柱的底面半径，再利 用长方形的面积公式 S＝ab，圆柱的侧面积公式 S 侧＝2 rh计算即可。 【详解】底面半径为：12.56÷3.14＝4（厘米） 3.14×4×2×4＝100.48（厘米） 4×4×2＝32（平方厘米） 所以圆柱的侧面积是 100.48平方厘米，长方体的表面积比圆柱多 32平方厘米。 【点睛】本题考查圆柱的侧面积，根据拼组特点求出圆柱的底面半径是解决本题 的关键。 【考点五】圆柱的五种切拼问题其五：正方体削减成最大圆柱的 表面积变化。 【方法点拨】 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底 面的直径。 【典型例题】 把一个棱长 8厘米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积是多少？ 【答案】301.44平方厘米 【详解】侧面积：8×3.14×8＝25.12×8＝200.96（平方厘米） 底面积： 28 3.14 50.24 2        （平方厘米） 第 16 页 共 27 页 表面积：200.96＋50.24×2＝200.96＋100.48＝301.44（平方厘米） 答：这个圆柱的表面积是 301.44平方厘米。 【分析】在正方体里削最大的圆柱，那么正方体的棱长就是圆柱的底面直径，也 是圆柱的高。已知圆柱的底面直径与高就可以求出圆柱的侧面积、底面积、表面 积。 【对应练习 1】 如图，把一个边长是 6分米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面 积是多少平方分米？ 【答案】169.56平方分米 【分析】如图所示，削成的最大圆柱的底面直径和高都等于 6分米，圆柱的表面 积＝底面积×2＋侧面积，S 圆＝πr2，C 圆＝πd，侧面积＝底面周长×高，据此计算。 【详解】 23.14 6 2 2 3.14 6 6     （ ） 23.14 3 2 113.04    3.14 9 2 113.04    56.52 113.04  169.56 （平方分米） 答：这个圆柱的表面积是 169.56平方分米。 【对应练习 2】 一个正方体木块的棱长总和为 240厘米，把它削成一个最大的圆柱体，这个圆柱 体的表面积多少平方分米？ 【答案】18.84平方分米 【分析】由题意可知，把正方体木块削成一个最大的圆柱体，则这个圆柱的底面 直径和高相当于正方体的棱长，根据正方体的总棱长公式：L＝12a，据此求出正 方体的棱长，再根据圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋πdh，据此进行计算即可。 【详解】240÷12＝20（厘米） 2×3.14×（20÷2）2＋3.14×20×20 第 17 页 共 27 页 ＝2×3.14×102＋3.14×20×20 ＝2×3.14×100＋3.14×20×20 ＝628＋1256 ＝1884（平方厘米） ＝18.84（平方分米） 答：这个圆柱体的表面积 18.84平方分米。 【点睛】本题考查正方体的总棱长和圆柱的表面积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习 3】 一块棱长 4分米的正方体木料，把它加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积 是多少平方分米？ 【答案】75.36平方分米 【分析】因为正方体的棱长为 4分米，所以最大的圆柱的高是 4分米，底面直径 也是 4分米。然后根据圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，计算出圆柱的表面积。 【详解】3.14×4×4＋3.14× 24 2       ×2 ＝12.56×4＋3.14×4×2 ＝50.24＋12.56×2 ＝50.24＋25.12 ＝75.36（平方分米） 答：圆柱的表面积是 75.36平方分米。 【点睛】本题考查圆柱的表面积计算，关键是根据正方体的棱长得出圆柱的高和 直径。 【考点六】圆柱的四种旋转构成法。 【方法点拨】 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我 们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 第 18 页 共 27 页 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半 径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半 径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 【典型例题 1】旋转法其一。 把长为 4，宽为 3的长方形绕着它的一条边旋转一周，则所得到的圆柱的表面积 是多少？（结果保留π） 解析： 以长为轴，32×2×π+2π×3×4=42π 以宽为轴，42×2×π+2π×4×3=56π 第 19 页 共 27 页 【典型例题 2】旋转法其二。 正方形的边长为 4厘米，按照下图中所示的方式旋转，那么得到的旋转体的表面 积是多少？ 解析： 按如图方式旋转，底面圆的半径是 2厘米，圆柱的高是 4厘米。 S底=3.14×22=12.56（cm2） S侧=2×3.14×2×4=50.24（cm2） S表=2S底+S侧=12.56×2+50.24=75.36（cm2） 答：表面积是 75.36cm2。 【典型例题 3】旋转法其三。 请计算下图长方形绕虚线旋转一周后得到的圆柱的表面积。 解析： S底：3.14×52=78.5（平方厘米） 2S底：78.5×2=157（平方厘米） S侧：3.14×5×2×15=471（平方厘米） S表：157+471=628（平方厘米） 答：表面积是 628平方厘米。 【对应练习 1】 一个长方形的长是 5厘米，宽是 2厘米。以它的长边为轴，旋转一周，得到的圆 第 20 页 共 27 页 柱表面积是多少平方厘米？ 解析： 3.14×2 2 ×2＋3.14×2×2×5 ＝25.12＋62.8 ＝87.92（平方厘米） 答：得到的圆柱表面积是 87.92平方厘米。 【对应练习 2】 下图是一张长方形纸，长12cm，宽10cm。如果以长边所在的直线为轴旋转一周 得到一个圆柱，那么圆柱的表面积是多少平方厘米？ 解析： 3.14×102×2＋3.14×10×2×12 ＝3.14×200＋3.14×240 ＝3.14×440 ＝1381.6（平方厘米） 答：圆柱的表面积是 1381.6平方厘米。 【对应练习 3】 以如图长方形的长为轴旋转一周，得到一个什么立体图形，它的表面积是多少？ 解析： 以一个长和宽分别为 8cm和 5cm的长方形的长为轴旋转一周得到的图形是一个 高为 8cm，底面半径为 5cm的圆柱。 2×3.14×52+2×3.14×5×8 ＝157+251.2 ＝408.2（cm2） 答：得到一个圆柱体，它的表面积是 408.2cm2。 第 21 页 共 27 页 【考点七】不规则圆柱体的表面积。 【方法点拨】 求不规则圆柱体的表面积，注意分析图形是由哪几个面组合而成的，然后分别计 算这几个面的面积，最后将所计算的面相加。 【典型例题】 如图，一根长 2米，底面周长为 12.56分米的圆木，沿着它的两条半径，截去 1 4 部分，该图形的表面积是多少平方分米？ 解析： 2米=20分米 底面半径：12.56÷3.14÷2=2（分米） 圆柱两个底面积之和：3.14×22×2=25.12（平方分米） 圆柱侧面积：12.56×20=251.2（平方分米） 截去 4 1 后的表面积：（25.12+251.2）×（1-1 4 ）=207.24（dm2） 207.24+2×20×2=287.24（平方分米） 答：该图形的表面积是 287.24平方分米。 【对应练习 1】 如图，是一个圆柱体沿着底面直径切割剩下的部分，求该图形的表面积。（单位： cm） 解析： 第 22 页 共 27 页 原来圆柱的表面积： 3.14×（6÷2）2×2+3.14×6×8 =56.52+150.72 =207.24（平方厘米） 切割一半后的表面积：207.24×1 2 =103.62（平方厘米） 103.62+6×8=151.62（平方厘米） 答：该图形的表面积是 151.62平方厘米。 【对应练习 2】 从下面这根长方体木料中削掉一个最大的半圆柱，求剩余木料的表面积。 解析： 上面表面积：3.14×6×10÷2 ＝18.84×10÷2 ＝188.4÷2 ＝94.2（平方厘米） 前后面的面积：[6×4－3.14×（6÷2）2÷2]×2 ＝[24－3.14×9÷2]×2 ＝[24－28.26÷2]×2 ＝[24－14.13]×2 ＝9.87×2 ＝19.74（平方厘米） 左右面积：10×4×2 ＝40×2 ＝80（平方厘米） 下面：6×10＝60（平方厘米） 94.2＋19.74＋80＋60 第 23 页 共 27 页 ＝113.92＋80＋60 ＝193.92＋60 ＝253.92（平方厘米） 答：剩余木料的表面积是 253.92平方厘米。 【对应练习 3】 如图是一个圆柱体从中间劈开后得到的图形，这个图形的表面积是多少？ （单位：cm） 解析： 由图可得，圆柱体底面积直径为 8cm，高为 16cm，原圆柱体的表面积为： 288 16 2 2      （ ） 128 32   160 （cm2） 故劈开后的图形表面积为： 160 16 8 2    80 128  （cm2） 答：这个图形的表面积为80 128  cm2。 【考点八】组合圆柱体的表面积。 【方法点拨】 求组合立体图形的表面积，注意分析图形是由些图形组合而成的，组成该图形的 表面有哪些，是什么形状，然后分别计算这几个面的面积，最后将所计算的面相 加。 【典型例题】 如图，一个物体由三个圆柱组成，它们的半径分别为 0.5分米，2分米，5分米， 第 24 页 共 27 页 而高都是 2分米，则这个物体的表面积是多少平方分米？ 解析： 大圆柱的表面积：3.14×52×2+2×3.14×5×2 =157+62.8 =219.8（平方分米） 中圆柱侧面积：2×3.14×2×2=25.12（平方分米） 小圆柱侧面积：2×3.14×0.5×2=6.28（平方分米） 这个物体的表面积：219.8+25.12+6.28=251.2（平方分米） 答：这个物体的表面积是 251.2平方分米。 【对应练习 1】 图是爸爸的工具箱，它的下半部分是棱长 20厘米的正方体，上半部分是圆柱的 一半，请你算出工具箱的表面积。 解析： 3.14×20×20÷2＋3.14×（20÷2）2＋20×20×5 ＝3.14×20×20÷2＋3.14×100＋20×20×5 ＝62.8×20÷2＋314＋400×5 ＝628＋314＋2000 ＝942＋2000 ＝2942（平方厘米） 第 25 页 共 27 页 答：工具箱的表面积是 2942平方厘米。 【对应练习 3】 如图是一个两层的六寸的生日蛋糕，已知底层直径是 20厘米，高度是 10厘米； 上层直径是 15厘米，高是 6厘米，现在准备在它外表涂抹奶油（底部不涂）， 求该蛋糕需要涂抹奶油的面积。 解析： 3.14×15×6 ＝47.1×6 ＝282.6（平方厘米） 3.14×20×10＋3.14×（20÷2）2 ＝62.8×10＋3.14×102 ＝628＋314 ＝942（平方厘米） 282.6＋942＝1224.6（平方厘米） 答：该蛋糕需要涂抹奶油的面积 1224.6平方厘米。 【对应练习 4】 工人叔叔要为下面是正方体、上面是圆柱的灯柱（如图，底面不刷）刷上油漆。 如果每平方米需要油漆 0.3kg，那么至少需要准备多少千克的油漆？ 解析： 5dm＝0.5m 8dm＝0.8m （0.5×0.5×5＋3.14×0.5×0.8）×0.3＝0.7518（kg） 第 26 页 共 27 页 答：至少需要准备 0.7518kg的油漆。 【考点九】空心圆柱体的表面积。 【方法点拨】 空心圆柱体的表面积，一般是由外圆柱的表面积减掉内圆柱的上下两个底面积， 再加上内圆柱的侧面积组合而成的。 【典型例题】 如图，卫生纸的高度是 10cm，中间硬纸轴的直径是 4 cm，制作 100个这样的硬 纸轴，至少需要多少平方米的硬纸皮？ 解析： 3.14×4=12.56（厘米），长方形的宽是圆柱的高，本题中是 10厘米，长方形的 面积就等于圆柱侧面积，列式为：3.14×4×10=125.6（平方厘米），100个这样的 硬纸轴用纸 125.6×100=12560（平方厘米） 12560平方厘米=1.256平方米 【对应练习 1】 如图，做一个圆柱形灯笼，上下底面的中间分别要留出 78.5cm2的口，至少需要 多少彩纸？ 解析： 3.14×20×20＋2×3.14×（20÷2）2－78.5×2 ＝1256＋6.28×100－157 ＝1256＋628－157 ＝1727（cm2） 答：至少需要 1727 cm2彩纸。 【对应练习 2】 第 27 页 共 27 页 如图，一个圆柱体零件，高 10厘米，底面直径 6厘米，零件的一端有一个圆柱 形的圆孔，圆孔的直径是 4厘米，孔深 5厘米。 如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 解析： 3.14×（6÷2） 2 ×2＋3.14×6×10＋3.14×4×5 ＝56.52＋188.4＋62.8 ＝307.72（平方厘米） 答：一共要涂 307.72平方厘米。 【对应练习 3】 从一个长方体木块上挖掉一个底面直径是 6厘米的圆柱形木块，求剩余部分的表 面积。 解析： 10×8×2＋10×10×2＋8×10×2＋3.14×6×6 ＝160＋200＋160＋113.04 ＝520＋113.04 ＝633.04（平方厘米） 答：剩余部分的表面积是 633.04平方厘米。 第 1 页 共 17 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 17 页 2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元圆柱的认识和表面积篇其二·进阶性问题【九大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元圆柱与圆锥·圆柱的认识和表面积篇 专题内容 本专题以圆柱的切拼问题（表面积的增减变化问题）、旋转 构成问题以及不规则或组合圆柱体的表面积计算问题为主， 考点综合性强，难度大，既是是本章的重点，也是本章的难 点。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解，力求大部分学生掌握。 考点数量 九个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】圆柱的五种切拼问题其一：高的变化引起的表面积变化 .......4 【考点二】圆柱的五种切拼问题其二：横切引起的表面积变化 .............. 5 【典型例题 1】切分问题 ...........................................................................................................5 【典型例题 2】拼接问题 ...........................................................................................................6 【考点三】圆柱的五种切拼问题其三：竖切引起的表面积变化 .............. 7 【考点四】圆柱的五种切拼问题其四：圆柱与长方体的拼切转化引起的表面积变化 ... 8 【考点五】圆柱的五种切拼问题其五：正方体削减成最大圆柱的表面积变化 ...............9 【考点六】圆柱的四种旋转构成法 .......................................................... 11 【典型例题 1】旋转法其一 ..................................................................................................... 12 【典型例题 2】旋转法其二 ..................................................................................................... 12 第 3 页 共 17 页 【典型例题 3】旋转法其三 ..................................................................................................... 12 【考点七】不规则圆柱体的表面积 ..................................................................................13 【考点八】组合圆柱体的表面积 ..................................................................................... 15 【考点九】空心圆柱体的表面积 ..................................................................................... 16 第 4 页 共 17 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】圆柱的五种切拼问题其一：高的变化引起的表面积变 化。 【方法点拨】 圆柱高的变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变 化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变 化的表面积÷变化的高度。 注意：该题型具有一定的抽象性，建议尝试画示意图，便于理解。 【典型例题】 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形。如果圆柱的高增加 2cm，侧面积就增加 12.56 2cm 。原来这个圆柱的表面积是多少平方厘米？ 【对应练习 1】 从一根高 2m的圆柱形木料上截下一个高 6dm的小圆柱后，木料的表面积减少了 94.2平方分米。原来木料的表面积是多少平方分米？ 第 5 页 共 17 页 【对应练习 2】 一个圆柱的底面周长和高相等，如果高增加 4cm，表面积就增加 125.6cm2，原来 这个圆柱的表面积是多少平方厘米？ 【对应练习 3】 一个圆柱高 8厘米，截下 2厘米长的一段小圆柱后，圆柱的表面积减少了 25.12 平方厘米，原来圆柱的表面积是多少平方厘米？ 【考点二】圆柱的五种切拼问题其二：横切引起的表面积变化。 【方法点拨】 1. 圆柱的横切，即将圆柱沿着底面或平行于底面切一刀，变成两段圆柱，此时 表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面。 2. 数量的变化。 ①每切一刀，便多增加两个面，即增加的面数=刀数×2； ②切成两段需要切一刀，切成三段需要切两刀，即刀数=段数－1。 注意：该题型具有一定的抽象性，建议尝试画示意图，便于理解。 【典型例题 1】切分问题。 把一段长 1米，侧面积 18.84平方米的圆柱体的木料，沿着平行于底面的方向截 成两段，这时它的表面积增加了多少平方米？ 第 6 页 共 17 页 【对应练习 1】 把一个半径 2分米、长 1米的圆木平均截成 3段，表面积共增加多少平方分米？ 【对应练习 3】 一根圆柱形木杆的底面半径是 0.2cm，长是 2m，如图所示，将它截成 5段，这 些表面积之和比原木料增加了( )cm2。 【典型例题 2】拼接问题。 一个表面积 50平方厘米的圆柱体，底面积是 15平方厘米，把 2个这样的圆柱体 拼成一个大圆柱体，这个大圆柱体的表面积是( )平方厘米。 【对应练习 1】 两个相同圆柱体的木块底面相拼，拼成一个高 12厘米的圆柱体，表面积就减少 了 100.48平方厘米，求原来每个圆柱体的表面积是多少？ 【对应练习 2】 （如图）有三个完全相同的圆柱，底面积都是 78.5cm2，表面积都是 628cm2，把 这三个圆柱连接起来成为一个大圆柱，这个大圆柱的表面积是( )dm2。 第 7 页 共 17 页 【对应练习 3】 王老师把 3个完全一样的圆柱体拼成了一个大的圆柱体。已知拼成后的圆柱体的 表面积比一个小圆柱体的表面积多 240平方厘米，圆柱体的底面直径是 10厘米。 拼成后的圆柱体的表面积是多少平方厘米？ 【考点三】圆柱的五种切拼问题其三：竖切引起的表面积变化。 【方法点拨】 圆柱的竖切，即将圆柱沿着直径，垂直于底面的方向切一刀，分成两个半圆柱体， 此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方 形。 注意：该题型具有一定的抽象性，建议尝试画示意图，便于理解。 【典型例题】 一个圆柱体，沿它的上下底面直径剖开后，表面积增加了 24cm2，且剖开面为正 方形。求这个圆柱体的表面积。（π取 3） 【对应练习 1】 一个底面周长 50.24厘米，高 9厘米的圆柱，沿着高切成两个同样大小的半圆柱 体，表面积增加了多少？ 第 8 页 共 17 页 【对应练习 2】 如图，一根 6分米长的圆柱体木棒切成相等的两半后，表面积增加了 24平方分 米，这根圆柱体木棒的侧面积是多少平方分米？ 【对应练习 3】 把一个高为 5厘米的圆柱从直径处沿高剖成两上半圆柱，这两个半圆柱的表面积 比原来增加 80平方厘米，求原来圆柱的表面积。 【考点四】圆柱的五种切拼问题其四：圆柱与长方体的拼切转化 引起的表面积变化。 【方法点拨】 将一个底面半径为 r，高为 h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似 的长方体，此时拼成的长方体会比圆柱多 2个面积大小为 hr的长方形。 【典型例题】 如果把高为 5厘米，底面半径为 2厘米的圆柱按下图切开，拼成一个近似的长方 体，那么长方体的长是( )厘米，表面积增加了( )平方厘米。 第 9 页 共 17 页 【对应练习 1】 如图，一个底面直径为 4分米，高为 5分米的圆柱，把它的底面平均分成若干个 扇形，然后切开拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是( )分米，宽 是( )分米，表面积比原来增加了( )平方分米。 【对应练习 2】 如图，把一个圆柱的底面分成若干相等的小扇形，把圆柱切开，拼成一个近似的 长方体，表面积增加了( )cm2。 【对应练习 3】 如图，把圆柱体平均分成若干份，再拼成一个近似的长方体。已知长方体的长是 12.56厘米，高是 4厘米，这个圆柱体的侧面积是( )平方厘米，拼成的 长方体表面积比圆柱体多( )平方厘米。 【考点五】圆柱的五种切拼问题其五：正方体削减成最大圆柱的 表面积变化。 【方法点拨】 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底 面的直径。 【典型例题】 把一个棱长 8厘米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积是多少？ 第 10 页 共 17 页 【对应练习 1】 如图，把一个边长是 6分米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面 积是多少平方分米？ 【对应练习 2】 一个正方体木块的棱长总和为 240厘米，把它削成一个最大的圆柱体，这个圆柱 体的表面积多少平方分米？ 【对应练习 3】 一块棱长 4分米的正方体木料，把它加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积 是多少平方分米？ 第 11 页 共 17 页 【考点六】圆柱的四种旋转构成法。 【方法点拨】 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我 们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半 径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半 第 12 页 共 17 页 径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 【典型例题 1】旋转法其一。 把长为 4，宽为 3的长方形绕着它的一条边旋转一周，则所得到的圆柱的表面积 是多少？（结果保留π） 【典型例题 2】旋转法其二。 正方形的边长为 4厘米，按照下图中所示的方式旋转，那么得到的旋转体的表面 积是多少？ 【典型例题 3】旋转法其三。 请计算下图长方形绕虚线旋转一周后得到的圆柱的表面积。 【对应练习 1】 一个长方形的长是 5厘米，宽是 2厘米。以它的长边为轴，旋转一周，得到的圆 柱表面积是多少平方厘米？ 第 13 页 共 17 页 【对应练习 2】 下图是一张长方形纸，长12cm，宽10cm。如果以长边所在的直线为轴旋转一周 得到一个圆柱，那么圆柱的表面积是多少平方厘米？ 【对应练习 3】 以如图长方形的长为轴旋转一周，得到一个什么立体图形，它的表面积是多少？ 【考点七】不规则圆柱体的表面积。 【方法点拨】 求不规则圆柱体的表面积，注意分析图形是由哪几个面组合而成的，然后分别计 算这几个面的面积，最后将所计算的面相加。 【典型例题】 如图，一根长 2米，底面周长为 12.56分米的圆木，沿着它的两条半径，截去 1 4 部分，该图形的表面积是多少平方分米？ 第 14 页 共 17 页 【对应练习 1】 如图，是一个圆柱体沿着底面直径切割剩下的部分，求该图形的表面积。（单位： cm） 【对应练习 2】 从下面这根长方体木料中削掉一个最大的半圆柱，求剩余木料的表面积。 【对应练习 3】 如图是一个圆柱体从中间劈开后得到的图形，这个图形的表面积是多少？ （单位：cm） 第 15 页 共 17 页 【考点八】组合圆柱体的表面积。 【方法点拨】 求组合立体图形的表面积，注意分析图形是由些图形组合而成的，组成该图形的 表面有哪些，是什么形状，然后分别计算这几个面的面积，最后将所计算的面相 加。 【典型例题】 如图，一个物体由三个圆柱组成，它们的半径分别为 0.5分米，2分米，5分米， 而高都是 2分米，则这个物体的表面积是多少平方分米？ 【对应练习 1】 图是爸爸的工具箱，它的下半部分是棱长 20厘米的正方体，上半部分是圆柱的 一半，请你算出工具箱的表面积。 【对应练习 3】 如图是一个两层的六寸的生日蛋糕，已知底层直径是 20厘米，高度是 10厘米； 上层直径是 15厘米，高是 6厘米，现在准备在它外表涂抹奶油（底部不涂）， 求该蛋糕需要涂抹奶油的面积。 第 16 页 共 17 页 【对应练习 4】 工人叔叔要为下面是正方体、上面是圆柱的灯柱（如图，底面不刷）刷上油漆。 如果每平方米需要油漆 0.3kg，那么至少需要准备多少千克的油漆？ 【考点九】空心圆柱体的表面积。 【方法点拨】 空心圆柱体的表面积，一般是由外圆柱的表面积减掉内圆柱的上下两个底面积， 再加上内圆柱的侧面积组合而成的。 【典型例题】 如图，卫生纸的高度是 10cm，中间硬纸轴的直径是 4 cm，制作 100个这样的硬 纸轴，至少需要多少平方米的硬纸皮？ 【对应练习 1】 如图，做一个圆柱形灯笼，上下底面的中间分别要留出 78.5cm2的口，至少需要 多少彩纸？ 第 17 页 共 17 页 【对应练习 2】 如图，一个圆柱体零件，高 10厘米，底面直径 6厘米，零件的一端有一个圆柱 形的圆孔，圆孔的直径是 4厘米，孔深 5厘米。 如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 【对应练习 3】 从一个长方体木块上挖掉一个底面直径是 6厘米的圆柱形木块，求剩余部分的表 面积。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元圆柱的认识和表面积篇其二·进阶性问题【九大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元圆柱与圆锥·圆柱的认识和表面积篇 专题内容 本专题以圆柱的切拼问题（表面积的增减变化问题）、旋转构成问题以及不规则或组合圆柱体的表面积计算问题为主，考点综合性强，难度大，既是是本章的重点，也是本章的难点。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解，力求大部分学生掌握。 考点数量 九个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】圆柱的五种切拼问题其一：高的变化引起的表面积变化 4 【考点二】圆柱的五种切拼问题其二：横切引起的表面积变化 5 【典型例题1】切分问题 5 【典型例题2】拼接问题 6 【考点三】圆柱的五种切拼问题其三：竖切引起的表面积变化 7 【考点四】圆柱的五种切拼问题其四：圆柱与长方体的拼切转化引起的表面积变化 8 【考点五】圆柱的五种切拼问题其五：正方体削减成最大圆柱的表面积变化 9 【考点六】圆柱的四种旋转构成法 11 【典型例题1】旋转法其一 12 【典型例题2】旋转法其二 12 【典型例题3】旋转法其三 12 【考点七】不规则圆柱体的表面积 13 【考点八】组合圆柱体的表面积 15 【考点九】空心圆柱体的表面积 16 【第三篇】典型例题篇 【考点一】圆柱的五种切拼问题其一：高的变化引起的表面积变化。 【方法点拨】 圆柱高的变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 注意：该题型具有一定的抽象性，建议尝试画示意图，便于理解。 【典型例题】 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形。如果圆柱的高增加2cm，侧面积就增加12.56。原来这个圆柱的表面积是多少平方厘米？ 【对应练习1】 从一根高2m的圆柱形木料上截下一个高6dm的小圆柱后，木料的表面积减少了94.2平方分米。原来木料的表面积是多少平方分米？ 【对应练习2】 一个圆柱的底面周长和高相等，如果高增加4cm，表面积就增加125.6cm2，原来这个圆柱的表面积是多少平方厘米？ 【对应练习3】 一个圆柱高8厘米，截下2厘米长的一段小圆柱后，圆柱的表面积减少了25.12平方厘米，原来圆柱的表面积是多少平方厘米？ 【考点二】圆柱的五种切拼问题其二：横切引起的表面积变化。 【方法点拨】 1. 圆柱的横切，即将圆柱沿着底面或平行于底面切一刀，变成两段圆柱，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面。 2. 数量的变化。 ①每切一刀，便多增加两个面，即增加的面数=刀数×2； ②切成两段需要切一刀，切成三段需要切两刀，即刀数=段数－1。 注意：该题型具有一定的抽象性，建议尝试画示意图，便于理解。 【典型例题1】切分问题。 把一段长1米，侧面积18.84平方米的圆柱体的木料，沿着平行于底面的方向截成两段，这时它的表面积增加了多少平方米？ 【对应练习1】 把一个半径2分米、长1米的圆木平均截成3段，表面积共增加多少平方分米？ 【对应练习3】 一根圆柱形木杆的底面半径是0.2cm，长是2m，如图所示，将它截成5段，这些表面积之和比原木料增加了( )cm2。 【典型例题2】拼接问题。 一个表面积50平方厘米的圆柱体，底面积是15平方厘米，把2个这样的圆柱体拼成一个大圆柱体，这个大圆柱体的表面积是( )平方厘米。 【对应练习1】 两个相同圆柱体的木块底面相拼，拼成一个高12厘米的圆柱体，表面积就减少了100.48平方厘米，求原来每个圆柱体的表面积是多少？ 【对应练习2】 （如图）有三个完全相同的圆柱，底面积都是78.5cm2，表面积都是628cm2，把这三个圆柱连接起来成为一个大圆柱，这个大圆柱的表面积是( )dm2。 【对应练习3】 王老师把3个完全一样的圆柱体拼成了一个大的圆柱体。已知拼成后的圆柱体的表面积比一个小圆柱体的表面积多240平方厘米，圆柱体的底面直径是10厘米。拼成后的圆柱体的表面积是多少平方厘米？ 【考点三】圆柱的五种切拼问题其三：竖切引起的表面积变化。 【方法点拨】 圆柱的竖切，即将圆柱沿着直径，垂直于底面的方向切一刀，分成两个半圆柱体，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 注意：该题型具有一定的抽象性，建议尝试画示意图，便于理解。 【典型例题】 一个圆柱体，沿它的上下底面直径剖开后，表面积增加了24cm2，且剖开面为正方形。求这个圆柱体的表面积。（π取3） 【对应练习1】 一个底面周长50.24厘米，高9厘米的圆柱，沿着高切成两个同样大小的半圆柱体，表面积增加了多少？ 【对应练习2】 如图，一根6分米长的圆柱体木棒切成相等的两半后，表面积增加了24平方分米，这根圆柱体木棒的侧面积是多少平方分米？ 【对应练习3】 把一个高为5厘米的圆柱从直径处沿高剖成两上半圆柱，这两个半圆柱的表面积比原来增加80平方厘米，求原来圆柱的表面积。 【考点四】圆柱的五种切拼问题其四：圆柱与长方体的拼切转化引起的表面积变化。 【方法点拨】 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时拼成的长方体会比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 【典型例题】 如果把高为5厘米，底面半径为2厘米的圆柱按下图切开，拼成一个近似的长方体，那么长方体的长是( )厘米，表面积增加了( )平方厘米。 【对应练习1】 如图，一个底面直径为4分米，高为5分米的圆柱，把它的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是( )分米，宽是( )分米，表面积比原来增加了( )平方分米。 【对应练习2】 如图，把一个圆柱的底面分成若干相等的小扇形，把圆柱切开，拼成一个近似的长方体，表面积增加了( )cm2。 【对应练习3】 如图，把圆柱体平均分成若干份，再拼成一个近似的长方体。已知长方体的长是12.56厘米，高是4厘米，这个圆柱体的侧面积是( )平方厘米，拼成的长方体表面积比圆柱体多( )平方厘米。 【考点五】圆柱的五种切拼问题其五：正方体削减成最大圆柱的表面积变化。 【方法点拨】 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 【典型例题】 把一个棱长8厘米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积是多少？ 【对应练习1】 如图，把一个边长是6分米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积是多少平方分米？ 【对应练习2】 一个正方体木块的棱长总和为240厘米，把它削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的表面积多少平方分米？ 【对应练习3】 一块棱长4分米的正方体木料，把它加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积是多少平方分米？ 【考点六】圆柱的四种旋转构成法。 【方法点拨】 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 【典型例题1】旋转法其一。 把长为4，宽为3的长方形绕着它的一条边旋转一周，则所得到的圆柱的表面积是多少？（结果保留π） 【典型例题2】旋转法其二。 正方形的边长为4厘米，按照下图中所示的方式旋转，那么得到的旋转体的表面积是多少？ 【典型例题3】旋转法其三。 请计算下图长方形绕虚线旋转一周后得到的圆柱的表面积。 【对应练习1】 一个长方形的长是5厘米，宽是2厘米。以它的长边为轴，旋转一周，得到的圆柱表面积是多少平方厘米？ 【对应练习2】 下图是一张长方形纸，长，宽。如果以长边所在的直线为轴旋转一周得到一个圆柱，那么圆柱的表面积是多少平方厘米？ 【对应练习3】 以如图长方形的长为轴旋转一周，得到一个什么立体图形，它的表面积是多少？ 【考点七】不规则圆柱体的表面积。 【方法点拨】 求不规则圆柱体的表面积，注意分析图形是由哪几个面组合而成的，然后分别计算这几个面的面积，最后将所计算的面相加。 【典型例题】 如图，一根长2米，底面周长为12.56分米的圆木，沿着它的两条半径，截去部分，该图形的表面积是多少平方分米？ 【对应练习1】 如图，是一个圆柱体沿着底面直径切割剩下的部分，求该图形的表面积。（单位：cm） 【对应练习2】 从下面这根长方体木料中削掉一个最大的半圆柱，求剩余木料的表面积。 【对应练习3】 如图是一个圆柱体从中间劈开后得到的图形，这个图形的表面积是多少？ （单位：cm） 【考点八】组合圆柱体的表面积。 【方法点拨】 求组合立体图形的表面积，注意分析图形是由些图形组合而成的，组成该图形的表面有哪些，是什么形状，然后分别计算这几个面的面积，最后将所计算的面相加。 【典型例题】 如图，一个物体由三个圆柱组成，它们的半径分别为0.5分米，2分米，5分米，而高都是2分米，则这个物体的表面积是多少平方分米？ 【对应练习1】 图是爸爸的工具箱，它的下半部分是棱长20厘米的正方体，上半部分是圆柱的一半，请你算出工具箱的表面积。 【对应练习3】 如图是一个两层的六寸的生日蛋糕，已知底层直径是20厘米，高度是10厘米；上层直径是15厘米，高是6厘米，现在准备在它外表涂抹奶油（底部不涂），求该蛋糕需要涂抹奶油的面积。 【对应练习4】 工人叔叔要为下面是正方体、上面是圆柱的灯柱（如图，底面不刷）刷上油漆。如果每平方米需要油漆0.3kg，那么至少需要准备多少千克的油漆？ 【考点九】空心圆柱体的表面积。 【方法点拨】 空心圆柱体的表面积，一般是由外圆柱的表面积减掉内圆柱的上下两个底面积，再加上内圆柱的侧面积组合而成的。 【典型例题】 如图，卫生纸的高度是10cm，中间硬纸轴的直径是4 cm，制作100个这样的硬纸轴，至少需要多少平方米的硬纸皮？ 【对应练习1】 如图，做一个圆柱形灯笼，上下底面的中间分别要留出78.5cm2的口，至少需要多少彩纸？ 【对应练习2】 如图，一个圆柱体零件，高10厘米，底面直径6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。 如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 【对应练习3】 从一个长方体木块上挖掉一个底面直径是6厘米的圆柱形木块，求剩余部分的表面积。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$