第三单元圆柱与圆锥·思维素养篇·第二部分圆锥【从课内到奥数】-2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

第 1 页 共 20 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 20 页 目 录 【课内精选一】圆锥的认识 .................................................................................................... 3 【课内精选二】圆锥的切面积 ................................................................................................ 4 【课内精选三】圆锥的体积（一） ........................................................................................ 6 【课内精选四】圆锥的体积（二） ........................................................................................ 8 【奥数拓展一】圆柱与圆锥的关系（一） .......................................................................... 12 【奥数拓展二】圆柱与圆锥的关系（二） .......................................................................... 13 【奥数拓展三】圆锥的旋转问题 .......................................................................................... 14 【奥数拓展四】圆柱与圆锥综合（一） .............................................................................. 15 【奥数拓展五】圆柱与圆锥综合（二） .............................................................................. 16 【奥数拓展六】圆柱与圆锥综合（三） .............................................................................. 16 【奥数拓展七】等积变形问题（一） .................................................................................. 18 【奥数拓展八】等积变形问题（二） .................................................................................. 19 第 3 页 共 20 页 2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元圆柱与圆锥·思维素养篇·第二部分圆锥 【从课内到奥数】 【课内精选一】圆锥的认识。 一个圆锥有( )条高，它的侧面展开图是( )形。 【答案】 1/一 扇 【详解】 圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高，一个圆 锥只有 1条高； 圆锥的侧面：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥 底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长。 【专项训练】 1．在下图中，标出圆柱和圆锥各部分名称。 【答案】圆柱：底面 侧面 高 底面 圆锥：顶点 侧面 高 底面 【详解】圆柱和圆锥的特点，主要是从其形状、组成、面等方面来观察和研究的．圆 第 4 页 共 20 页 柱的上下两个面是两个完全相同的圆，叫做底面．有一个面是曲面，叫做侧面， 圆柱两底面之间的距离叫做圆柱的高。圆锥有一个顶点和两个面（一个底面是圆， 一个曲面是侧面），从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高。 2．量得一个圆锥从顶点到底面圆周的距离是 13cm，从顶点到底面圆心的距离是 12cm，底面的直径是 10cm，这个圆锥的高是( )cm。 【答案】12 【分析】圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高，据此分析。 【详解】因为从顶点到底面圆心的距离是 12cm，所以这个圆锥的高是 12cm。 3．如图，将直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个 圆锥，圆锥的底面直径是( )cm，高是( )cm。 【答案】 4 4 【分析】看图可知，圆锥的底面半径是 2cm，根据半径与直径的关系确定直径； 圆锥的高是 4cm，据此填空。 【详解】 2 2 4  （cm） 将直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，圆锥 的底面直径是 4cm，高是 4cm。 【课内精选二】圆锥的切面积。 一个圆锥的底面直径是 6厘米，高是 9厘米，沿高将它切成两个完全相等的部分， 表面积增加了( )。 【答案】54平方厘米/54cm2 【分析】沿高把圆锥切成两个完全相等的部分，切面是一个等腰三角形，三角形 的底等于圆锥的底面直径，三角形的高等于圆锥的高，切开之后表面积比原来增 加两个切面的面积，利用“三角形的面积＝底×高÷2”求出增加的表面积，据此解 答。 第 5 页 共 20 页 【详解】6×9÷2×2 ＝54÷2×2 ＝54（平方厘米） 所以，表面积增加了 54平方厘米。 【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，明确切面是一个等腰三角形，并掌握三 角形的面积计算公式是解答题目的关键。 【专项训练】 1．一个圆锥，底面半径是 4厘米，高是 12厘米，从圆锥的顶点沿着高将它切成 相同的两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了( )平方厘米。 【答案】96 【分析】根据题意，把一个圆锥从它的顶点沿高切成两半后，表面积比原来圆锥 的表面积增加了 2个切面的面积，切面是一个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的 高为高的三角形； 根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个切面的面积，再乘 2，即是增加的表面 积。 【详解】圆锥的底面直径：4×2＝8（厘米） 表面积增加了：8×12÷2×2＝96（平方厘米） 表面积比原来圆锥的表面积增加了 96平方厘米。 2．一个圆锥，底面半径是 4厘米，高是 12厘米，从圆锥的顶点沿高将它切成相 同的两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了( )平方厘米。 【答案】96 【分析】从圆锥的顶点沿着高把它切成两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加 了 2个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形的面积，由此求出圆锥 的底面直径即可解决问题。 【详解】切割后表面积增加了：4×2×12÷2×2 ＝96÷2×2 ＝96（平方厘米） 【点睛】抓住圆锥的切割特点，得出增加部分的面积是 2个以底面直径为底，以 圆锥的高为高的三角形的面积是解决此类问题的关键。 第 6 页 共 20 页 3．一个圆锥的底面直径是 24厘米，高 12厘米。将这个圆锥沿着高切成大小相 同的两半，表面积增加( )平方厘米。 【答案】288 【分析】一个圆锥的底面直径是 24厘米，高 12厘米。将这个圆锥沿着高切成大 小相同的两半，表面积增加的是底为 24厘米，高为 12厘米的两个三角形的面积， 据此解答即可。 【详解】24×12÷2×2 ＝144×2 ＝288（平方厘米） 【点睛】本题考查圆锥的表面积、三角形的面积，解答本题的关键是理解增加的 表面积是两个三角形的面积。 【课内精选三】圆锥的体积（一）。 一堆小麦堆成圆锥形，量得底面周长是 25.12米，高是 1.5米。如果每立方米小 麦重 760千克，那么这堆小麦大约重多少吨？（保留一位小数） 【答案】19.1吨 【分析】圆锥的底面周长＝2πr，则半径＝底面周长÷π÷2，圆锥的体积＝底面积× 高÷3＝πr2h÷3，先求出圆锥的底面半径，再求出圆锥的体积，用圆锥的体积乘 760 千克求出这堆小麦有多少千克，再转换成吨即可，“四舍五入”保留到一位小数。 【详解】25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 3.14×42×1.5÷3 ＝3.14×16×1.5÷3 ＝50.24×1.5÷3 ＝75.36÷3 ＝25.12（立方米） 25.12×760＝19091.2（千克）≈19.1（吨） 答：这堆小麦大约重 19.1吨。 【专项训练】 第 7 页 共 20 页 1．一堆圆锥形黄沙，底面周长是 18.84米，高 1.5米，每立方米的黄沙重 2吨， 这堆沙重多少吨？ 【答案】28.26吨 【分析】根据底面周长计算出圆锥形沙堆的半径， π 2r C   ，然后根据圆锥的 体积公式 2 1 3 V r h ，求出沙的体积，再乘每立方米黄沙的质量，即可算出这堆沙 的质量。 【详解】18.84 3.14 2  6 2  3 （米） 21 3.14 3 1.5 3    1 3.14 9 1.5 3     14.13 （立方米） 14.13 2 28.26  （吨） 答：这堆沙重 28.26吨。 2．蚁狮能够挖出圆锥形的洞穴作陷阱，躲在洞六里取食落入陷阱的昆虫。一只 蚁狮挖出 47.1立方厘米的沙子，这个陷阱的直径是 6厘米，陷阱有多深？ 【答案】5厘米 【分析】求陷阱的深度，就是求这个圆锥形的洞穴的高度，根据圆锥的体积公式： 体积＝底面积×高× 13，高＝体积÷（底面积× 1 3），代入数据，即可解答。 【详解】47.1÷[3.14×（6÷2）2× 13 ] ＝47.1÷[3.14×32× 13 ] ＝47.1÷[3.14×9× 13 ] ＝47.1÷[28.26× 13 ] ＝47.1÷9.42 ＝5（厘米） 答：陷阱深 5厘米。 3．李大妈包的粽子近似于圆锥形，底面直径是 8厘米，高是 6厘米。如果每立 第 8 页 共 20 页 方分米糯米重 1.8千克，那么包 100个这样的粽子一共需要多少千克糯米？（粽 叶厚度忽略不计） 【答案】18.0864千克 【分析】先根据圆锥体积＝ 21 3 r h ，算出每个粽子的体积，再计算出 100个粽子 的体积，最后用总体积乘 1.8，把总体积算换成糯米的重量。据此解答即可。 【详解】8厘米＝0.8分米，6厘米＝0.6分米 ( ) 21 3.14 0.8 2 0.6 100 1.8 3 创 复 创 1 3.14 0.16 0.6 100 1.8 3 = 创 创 0.10048 100 1.8= 创 10.048 1.8= ´ 18.0864= （千克） 答：包 100个这样的粽子一共需要 18.0864千克糯米。 【课内精选四】圆锥的体积（二）。 在一个底面半径是 10厘米的圆柱形杯子中装有水。水里浸没一个底面半径是 5 厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从杯中取出后，杯里水面下降 5毫米。铅锤高多少？ 【答案】6厘米 【分析】水面下降的体积就是铅锥的体积，圆柱形杯子的底面半径×水面下降的 高度＝铅锥体积，根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，即可求出铅锥的高，注意统 一单位。 【详解】5毫米＝0.5厘米 3.14×102×0.5 ＝3.14×100×0.5 ＝157（立方厘米） 157×3÷（3.14×52） 第 9 页 共 20 页 ＝471÷（3.14×25） ＝471÷78.5 ＝6（厘米） 答：铅锥高 6厘米。 【专项训练】 1．在一个底面半径是 4厘米，高是 15厘米的圆柱形玻璃杯内装入 10厘米高的 水，然后放一个底面直径是 8厘米的圆锥形铅锤（完全浸没），水面高度上升到 12厘米，这个铅锤的高是多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】根据题意，把一个圆锥形铅锤完全浸没在装有水的圆柱形玻璃杯内，水 面高度由 10厘米上升到 12厘米，那么水面上升部分的体积等于这个圆锥形铅锤 的体积； 水面上升部分是一个底面半径为 4厘米、高为（12－10）厘米的圆柱，根据圆柱 的体积公式 V＝πr2h，求出水面上升部分的体积，也就是铅锤的体积； 已知圆锥形铅锤的底面直径是 8厘米，根据圆的面积公式 S＝πr2，求出圆锥形铅 锤的底面积； 由圆锥的体积公式 V＝ 13 Sh，可知圆锥的高 h＝3V÷S，据此求出圆锥形铅锤的高。 【详解】圆锥形铅锤的体积： 3.14×42×（12－10） ＝3.14×16×2 ＝100.48（立方厘米） 圆锥形铅锤的底面积： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 圆锥形铅锤的高： 100.48×3÷50.24 ＝301.44÷50.24 第 10 页 共 20 页 ＝6（厘米） 答：这个铅锤的高是 6厘米。 2．一个底面半径为 6厘米的圆柱形容器中装了部分水，水中完全浸没着一个底 面半径 3厘米的圆锥形铅锤，当把铅锤从水中拿出后，水面下降了 5毫米，这个 圆锥形铅锤的高是多少？ 【答案】6厘米 【分析】根据题意得：圆锥形铅锤的体积等于圆柱水面下降的体积，圆柱体积＝ 2hr ，可得出圆锥形铅锤的体积，再根据圆锥体积＝ 2 1 h 3 r ，可得出圆锥形铅锤 的高。 【详解】圆锥形铅锤体积为： 23.14 6 0.5 56.52   （立方厘米） 则圆锥形铅锤的高为： 2156.52 3.14 3 3   （ ） 56.52 9.42  6 （厘米） 答：这个圆锥形铅锤的高是 6厘米。 3．从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要 的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将 底面半径为 10厘米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然 后完全没入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里粹火，水面上升了1.5厘米。 请你计算这个圆锥的高是多少厘米。（损耗忽略不计） 【答案】45厘米 【分析】圆锥的体积就是上升部分水的体积，这部分水可看作底面积是 31.4平 方分米（换算为 3140平方厘米），高是 1.5厘米的长方体，用底面积乘高即可 算出体积。又因为圆锥的底面大小与圆柱铁块底面大小相同，即底面半径相同， 所以可求出底面积，最后用体积乘 3再除以底面积即可求出圆锥的高。据此解答。 【详解】31.4平方分米＝3140平方厘米 3140×1.5×3÷（3.14×102） ＝3140×1.5×3÷（3.14×100） ＝3140×1.5×3÷314 第 11 页 共 20 页 ＝14130÷314 ＝45（厘米） 答：这个圆锥的高是 45厘米。 第 12 页 共 20 页 【奥数拓展一】圆柱与圆锥的关系（一）。 一个圆锥的体积是 8立方厘米，比与它等底等高的圆柱体积少多少立方厘米? 解析： 既然这个圆柱与圆锥等底等高，那么,圆柱的体积应该是圆锥的 3倍。 所以 8×3－8=16(立方厘米) 答：圆锥体积比与它等底等高的圆柱体积少 16立方厘米。 【专项训练】 1. 一个圆锥形容器的高是 18厘米，容器内装满液体，如果将这些液体倒入底面 直径相同的圆柱形容器内，液体的高度是多少厘米? 解析： 圆柱与圆锥的底面积相等，液体的体积没有发生变化，因此，圆锥形容器内液体 的高应该是圆柱形容器内液体高的 3倍，18÷3=6(厘米) 答：液体的高度是 6厘米。 2. 一个圆柱体铁块厚 10厘米，如果把它锻造成底面直径相同的圆锥体，这个圆 锥体的高是多少厘米? 解析： 10×3=30(厘米) 答：这个圆锥体的高是 30厘米。 3. 一个圆柱与一个圆锥的底面积相等，圆锥的高是圆柱的 2 1 ，这个圆柱的体积 是圆锥体积的多少倍? 解析： 设圆柱与圆锥的底面积都为 1(平方单位)，圆锥的高为 1(长度单位)，圆柱的高为 2(长度单位)。 (1×2)÷(1×1÷3)=6 答：这个圆柱的体积是圆锥体积的 6倍。 第 13 页 共 20 页 【奥数拓展二】圆柱与圆锥的关系（二）。 一个圆锥形的稻谷堆，它的底面周长是 31.4米、高 1.2米，若把这些稻谷装到一 个底面半径是 2米的圆柱体粮囤里，可以堆多高? 解析： 我们先计算圆锥体稻谷堆的体积，然后除以圆柱体粮囤的底面积，便可以得到稻 谷堆的高度，所以 3.14×(31.4÷3.14÷2)²×1.2× 3 1 ÷(3.14×2²) =3.14×25×0.4÷(3.14×2²) =2.5(米) 答：可以堆 2.5米高。 【专项训练】 1. 一个立体图形由一个圆柱和一个圆锥组成，如图所示，它们的底面直径都是 6 厘米，高都是 12厘米，这个立体图形的体积是多少立方厘米? 解析： 3.14×(6÷2)²×12÷3×(1+3)=452.16(立方厘米) 答：这个立体图形的体积是 452.16立方厘米。 2. 一个圆柱体底面积是 5平方分米，把它削成一个最大的圆锥，削去部分的体 积是 6立方分米，求这个圆柱体的高。 解析： 6÷2×3÷5=1.8(分米) 答：这个圆柱体的高为 1.8分米。 3. 有两个盛满水的底面半径为 10厘米、高为 30厘米的圆锥，将它们盛的水全 部倒入一个底面半径为 20厘米的圆柱内，求水深。 解析： 第 14 页 共 20 页 3 1 ×3.14×10²×30×2=6280(立方厘米) 6280÷(3.14×20²)=5(厘米) 答：水深为 5厘米。 【奥数拓展三】圆锥的旋转问题。 如图所示，一个两直角边的长度分别为 2厘米和 6厘米的直角三角形，分别以这 两条直角边为轴旋转一周，得到两个圆锥.这两个圆锥的体积是否相等?如果不等， 那么大圆锥体积是小圆锥的几倍? 解析： 以 2厘米为轴旋转一周：3.14×6²×2× 3 1 =75.36(立方厘米) 以 6厘米为轴旋转一周：3.14×2²×6× 3 1 =25.12(立方厘米) 可以发现，它们的体积不相等，75.36÷25.12=3，所以，大圆锥体积是小圆锥体 积的 3倍。 【专项训练】 1. 一个直角三角形的两条直角边分别长 3分米和 4 分米，以这两条直角边为轴 旋转一周，得到两个圆锥.这两个圆锥的体积是否相等?如果不等，那么大圆锥体 积是小圆锥的几倍? 解析： 3 4 倍。 2. 将一张长 6厘米、宽 4厘米的长方形纸分别以长和宽为轴旋转一周，得到两 个圆柱体，以哪条边为轴旋转得到的圆柱体体积大?大圆柱体体积是小圆柱体的 多少倍? 解析： 6²π×4=144π(立方厘米) 4²π×6=96π(立方厘米) 144π÷96π=1.5 答：以 4 厘米的边为轴旋转得到的圆柱体体积大，大圆柱体体积是小圆柱体的 第 15 页 共 20 页 1.5倍。 3. 如图所示，有一个直角三角形 ABC，直角边 AB和 BC 分别长 4厘米和 3厘 米，现在以斜边 AC所在的直线为轴，绕 AC旋转一周，求所形成的立体图形的 体积。(π取 3.14) 解析：30.144立方厘米。 【奥数拓展四】圆柱与圆锥综合（一）。 用一个长 2.826米、宽 1.57米的席子，围成一个简易的圆柱形粮囤，那么这个粮 囤最多能盛粮多少立方米? 解析： 当圆柱的高是 1.57米，底面周长是 2.826米，它的容积是 3.14×(2.826÷3.14÷2)²×1.57≈0.998(立方米) 当圆柱的高是 2.826米，底面周长是 1.57米，它的容积是 3.14×(1.57÷3.14÷2)²×2.826≈0.555(立方米) 【专项训练】 1. 把一张长 9分米、宽 6分米的长方形纸卷成一个圆柱体，并且将这个圆柱体 直立在桌面上，它的最小容积是多少立方分米?(π取 3) 解析： 3×(6÷3÷2)²×9=27(立方分米) 所以，它的最小容积是 27立方分米。 2. 张大爷去年用长 2 米、宽 1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，今 年改用长 3米、宽 2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，那么今年粮囤 的容积是去年粮囤容积的多少倍? 解析： 2 9 倍。 3. 刘师傅把一个长 8厘米、宽 6厘米、高 12厘米的长方体木料加工成一个体积 第 16 页 共 20 页 最大的圆柱体木模，这个木模的体积是多少? 解析： 有三种方案： (1)把长 8厘米、宽 6厘米的面作为底面：V=(6÷2)²×π×12=108π=339.12(立方厘 米) (2)把宽 6厘米、高 12厘米的面作为底面：V=(6÷2)²×π×8=72π=226.08(立方厘米) (3)把长 8厘米、高 12厘米的面作为底面：V=(8÷2)²×π×6=96π=301.44(立方厘米) 答：这个木模的体积是 339.12立方厘米。 【奥数拓展五】圆柱与圆锥综合（二）。 正方体的体积是 360立方厘米，把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多 少立方厘米? 解析：94.2立方厘米。 【专项训练】 1. 一个圆锥的底面半径和高都等于一个正方体的棱长，若这个正方体的体积是 24立方厘米，则这个圆锥的体积是多少? 解析：25.12立方厘米。 2. 两个正方体的体积之差是 1200立方厘米，如果以每个正方体的一面为底，加 工成最大的圆锥，加工成的两个圆锥的体积之差是多少立方厘米? 解析：314立方厘米。 3. 甲、乙两个容器分别为圆锥形和圆柱形，它们的底面半径的比是 3:4，高的比 是 4:5，现在每次用甲容器装满水倒入乙容器中，这样进行若干次后，乙容器水 满了，甲容器中还剩余 120毫升水，甲、乙两个容器的容积分别是多少毫升? 解析：360毫升，2400毫升。 【奥数拓展六】圆柱与圆锥综合（三）。 如图所示，圆锥形容器的容积是 16升，容器中已经装有一些水，水面高度正好 是圆锥高度的一半，求容器中装有水多少升. 第 17 页 共 20 页 解析：2升。 【专项训练】 1. 如图所示，圆锥形容器中装有 5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，整 个容器还能装多少升水? 解析：35升。 2. 如图所示，圆锥形容器内装的水正好是它的容积的 27 8 ，水面高度是容器高度 的几分之几? 解析： 3 2 3. 如图所示，甲、乙两容器的高都是 9厘米，底面半径都是 3厘米，两个容器 中都装入了一定量的水，但放置的方向相反，比较甲、乙两容器，哪一只容器盛 的水多?多的是少的水量的几倍? 第 18 页 共 20 页 解析： 8 19 倍。 【奥数拓展七】等积变形问题（一）。 把一块长 6.28厘米，宽 3厘米，高 4.5厘米的长方体铝锭，和一块底面直径为 6 厘米，高为 24厘米的圆柱形铝块，熔铸成一个底面半径为 9厘米的圆锥形铝块， 这个圆锥形铝块的高是多少厘米? 解析： 将长方体的铝锭和圆柱形的铝块熔铸成圆锥形的铝块，虽然前后形状改变了，但 铝的总体积却没有改变，我们只要求出长方体体积与圆柱体积的和，也就是圆锥 的体积，便能求出圆锥的高。 因此，解：设圆锥体的高为 x厘米。 6.28×3×4.5+(6÷2)²×π×24=9²×π×x× 3 1 27π+216π=27π×x x =9 答：这个圆锥体的高是 9厘米。 【专项训练】 1. 如图所示，把一块长 15.7分米、宽 5分米、高 1分米的长方体铁块，熔铸成 一个底面半径为 x分米、高 4分米的圆柱体铁饼，求 x。 解析： 15.7×5×1÷(4×3.14)=6.25=2.5² 所以，x为 2.5。 2. 把一个长 12厘米、宽 8厘米、高 5厘米的长方体铁块和一个棱长为 6厘米的 第 19 页 共 20 页 正方体铁块熔铸成一个圆锥体的铁块，如果圆锥的高是 29厘米，它的底面积是 多少?(π取 3) 解析： 12×8×5+6×6×6=696(立方厘米) 696×3÷29=72(平方厘米) 答：它的底面积是 72平方厘米。 3. 把一个长、宽、高分别是 9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为 5厘米的正方体铁块，熔铸成一个底面直径为 10厘米的圆锥体铁块，求这个圆 锥的高。 解析：12厘米。 【奥数拓展八】等积变形问题（二）。 活动课上，小强用纸做了一个圆锥形漏斗，如图所示，你知道他一共用了多少平 方厘米的纸吗? 解析： 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线(母线是指从顶点 到底面圆周上任意一点的连线),弧线是圆锥底面的周长。 课堂上，我们只学习了求圆锥的体积，并没有学习圆锥的表面积该怎么求，其实， 圆锥的表面积=底面积+侧面积，侧面积=圆周率×底面半径×母线。 3.14×25×15=1177.5(平方厘米) 答：他一共用了 1177.5平方厘米的纸。 【专项训练】 1. 如图所示，从纸上剪下一个半径是 8厘米的扇形做成圆锥，圆锥的底面直径 是 12厘米，求圆锥的表面积。 第 20 页 共 20 页 解析： 圆锥的底面半径：12÷2=6(厘米) 底面积：π×6²=113.04(平方厘米) 侧面积：π×6×8=150.72(平方厘米) 表面积：113.04+150.72=263.76(平方厘米) 2. 小林用铁皮做了一个圆锥体模型，它的底面直径为 10厘米，母线为 7.5厘米， 做这个圆锥体模型需多少平方厘米的铁皮? 解析： 3.14×(10÷2)×7.5+3.14×(10÷2)²=196.25(平方厘米) 答：做这个圆锥体模型需 196.25平方厘米的铁皮。 3. 如图所示，从纸上剪下一个半径是 10厘米的扇形做一个圆锥，圆锥的底面直 径是 16厘米，求圆锥的表面积和体积。 解析： 圆锥的底面半径是 16÷2=8(厘米)，圆锥的底面积是π×8²=64π(平方厘米)，圆锥的 侧面积是π×8×10=80π(平方厘米)，所以圆锥的表面积是 64π+80π=144π=452.16(平 方厘米 )，由勾股定理， 10²－ 8²=6²，即圆锥的高为 6 厘米，体积是 64π×6×3=401.92(立方厘米)。 第 1 页 共 13 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 13 页 目 录 【课内精选一】圆锥的认识 .................................................................................................... 3 【课内精选二】圆锥的切面积 ................................................................................................ 3 【课内精选三】圆锥的体积（一） ........................................................................................ 4 【课内精选四】圆锥的体积（二） ........................................................................................ 5 【奥数拓展一】圆柱与圆锥的关系（一） ............................................................................ 6 【奥数拓展二】圆柱与圆锥的关系（二） ............................................................................ 6 【奥数拓展三】圆锥的旋转问题 ............................................................................................ 7 【奥数拓展四】圆柱与圆锥综合（一） ................................................................................ 8 【奥数拓展五】圆柱与圆锥综合（二） ................................................................................ 9 【奥数拓展六】圆柱与圆锥综合（三） .............................................................................. 10 【奥数拓展七】等积变形问题（一） .................................................................................. 11 【奥数拓展八】等积变形问题（二） .................................................................................. 12 第 3 页 共 13 页 2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元圆柱与圆锥·思维素养篇·第二部分圆锥 【从课内到奥数】 【课内精选一】圆锥的认识。 一个圆锥有( )条高，它的侧面展开图是( )形。 【专项训练】 1．在下图中，标出圆柱和圆锥各部分名称。 2．量得一个圆锥从顶点到底面圆周的距离是 13cm，从顶点到底面圆心的距离是 12cm，底面的直径是 10cm，这个圆锥的高是( )cm。 3．如图，将直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个 圆锥，圆锥的底面直径是( )cm，高是( )cm。 【课内精选二】圆锥的切面积。 一个圆锥的底面直径是 6厘米，高是 9厘米，沿高将它切成两个完全相等的部分， 表面积增加了( )。 第 4 页 共 13 页 【专项训练】 1．一个圆锥，底面半径是 4厘米，高是 12厘米，从圆锥的顶点沿着高将它切成 相同的两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了( )平方厘米。 2．一个圆锥，底面半径是 4厘米，高是 12厘米，从圆锥的顶点沿高将它切成相 同的两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了( )平方厘米。 3．一个圆锥的底面直径是 24厘米，高 12厘米。将这个圆锥沿着高切成大小相 同的两半，表面积增加( )平方厘米。 【课内精选三】圆锥的体积（一）。 一堆小麦堆成圆锥形，量得底面周长是 25.12米，高是 1.5米。如果每立方米小 麦重 760千克，那么这堆小麦大约重多少吨？（保留一位小数） 【专项训练】 1．一堆圆锥形黄沙，底面周长是 18.84米，高 1.5米，每立方米的黄沙重 2吨， 这堆沙重多少吨？ 2．蚁狮能够挖出圆锥形的洞穴作陷阱，躲在洞六里取食落入陷阱的昆虫。一只 蚁狮挖出 47.1立方厘米的沙子，这个陷阱的直径是 6厘米，陷阱有多深？ 3．李大妈包的粽子近似于圆锥形，底面直径是 8厘米，高是 6厘米。如果每立 方分米糯米重 1.8千克，那么包 100个这样的粽子一共需要多少千克糯米？（粽 叶厚度忽略不计） 第 5 页 共 13 页 【课内精选四】圆锥的体积（二）。 在一个底面半径是 10厘米的圆柱形杯子中装有水。水里浸没一个底面半径是 5 厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从杯中取出后，杯里水面下降 5毫米。铅锤高多少？ 【专项训练】 1．在一个底面半径是 4厘米，高是 15厘米的圆柱形玻璃杯内装入 10厘米高的 水，然后放一个底面直径是 8厘米的圆锥形铅锤（完全浸没），水面高度上升到 12厘米，这个铅锤的高是多少厘米？ 2．一个底面半径为 6厘米的圆柱形容器中装了部分水，水中完全浸没着一个底 面半径 3厘米的圆锥形铅锤，当把铅锤从水中拿出后，水面下降了 5毫米，这个 圆锥形铅锤的高是多少？ 3．从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要 的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将 底面半径为 10厘米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然 后完全没入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里粹火，水面上升了1.5厘米。 请你计算这个圆锥的高是多少厘米。（损耗忽略不计） 第 6 页 共 13 页 【奥数拓展一】圆柱与圆锥的关系（一）。 一个圆锥的体积是 8立方厘米，比与它等底等高的圆柱体积少多少立方厘米? 【专项训练】 1. 一个圆锥形容器的高是 18厘米，容器内装满液体，如果将这些液体倒入底面 直径相同的圆柱形容器内，液体的高度是多少厘米? 2. 一个圆柱体铁块厚 10厘米，如果把它锻造成底面直径相同的圆锥体，这个圆 锥体的高是多少厘米? 3. 一个圆柱与一个圆锥的底面积相等，圆锥的高是圆柱的 2 1 ，这个圆柱的体积 是圆锥体积的多少倍? 【奥数拓展二】圆柱与圆锥的关系（二）。 一个圆锥形的稻谷堆，它的底面周长是 31.4米、高 1.2米，若把这些稻谷装到一 个底面半径是 2米的圆柱体粮囤里，可以堆多高? 第 7 页 共 13 页 【专项训练】 1. 一个立体图形由一个圆柱和一个圆锥组成，如图所示，它们的底面直径都是 6 厘米，高都是 12厘米，这个立体图形的体积是多少立方厘米? 2. 一个圆柱体底面积是 5平方分米，把它削成一个最大的圆锥，削去部分的体 积是 6立方分米，求这个圆柱体的高。 3. 有两个盛满水的底面半径为 10厘米、高为 30厘米的圆锥，将它们盛的水全 部倒入一个底面半径为 20厘米的圆柱内，求水深。 【奥数拓展三】圆锥的旋转问题。 如图所示，一个两直角边的长度分别为 2厘米和 6厘米的直角三角形，分别以这 两条直角边为轴旋转一周，得到两个圆锥.这两个圆锥的体积是否相等?如果不等， 那么大圆锥体积是小圆锥的几倍? 第 8 页 共 13 页 【专项训练】 1. 一个直角三角形的两条直角边分别长 3分米和 4 分米，以这两条直角边为轴 旋转一周，得到两个圆锥.这两个圆锥的体积是否相等?如果不等，那么大圆锥体 积是小圆锥的几倍? 2. 将一张长 6厘米、宽 4厘米的长方形纸分别以长和宽为轴旋转一周，得到两 个圆柱体，以哪条边为轴旋转得到的圆柱体体积大?大圆柱体体积是小圆柱体的 多少倍? 3. 如图所示，有一个直角三角形 ABC，直角边 AB和 BC 分别长 4厘米和 3厘 米，现在以斜边 AC所在的直线为轴，绕 AC旋转一周，求所形成的立体图形的 体积。(π取 3.14) 【奥数拓展四】圆柱与圆锥综合（一）。 用一个长 2.826米、宽 1.57米的席子，围成一个简易的圆柱形粮囤，那么这个粮 囤最多能盛粮多少立方米? 第 9 页 共 13 页 【专项训练】 1. 把一张长 9分米、宽 6分米的长方形纸卷成一个圆柱体，并且将这个圆柱体 直立在桌面上，它的最小容积是多少立方分米?(π取 3) 2. 张大爷去年用长 2 米、宽 1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，今 年改用长 3米、宽 2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，那么今年粮囤 的容积是去年粮囤容积的多少倍? 3. 刘师傅把一个长 8厘米、宽 6厘米、高 12厘米的长方体木料加工成一个体积 最大的圆柱体木模，这个木模的体积是多少? 【奥数拓展五】圆柱与圆锥综合（二）。 正方体的体积是 360立方厘米，把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多 少立方厘米? 【专项训练】 1. 一个圆锥的底面半径和高都等于一个正方体的棱长，若这个正方体的体积是 24立方厘米，则这个圆锥的体积是多少? 第 10 页 共 13 页 2. 两个正方体的体积之差是 1200立方厘米，如果以每个正方体的一面为底，加 工成最大的圆锥，加工成的两个圆锥的体积之差是多少立方厘米? 3. 甲、乙两个容器分别为圆锥形和圆柱形，它们的底面半径的比是 3:4，高的比 是 4:5，现在每次用甲容器装满水倒入乙容器中，这样进行若干次后，乙容器水 满了，甲容器中还剩余 120毫升水，甲、乙两个容器的容积分别是多少毫升? 【奥数拓展六】圆柱与圆锥综合（三）。 如图所示，圆锥形容器的容积是 16升，容器中已经装有一些水，水面高度正好 是圆锥高度的一半，求容器中装有水多少升. 【专项训练】 1. 如图所示，圆锥形容器中装有 5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，整 个容器还能装多少升水? 第 11 页 共 13 页 2. 如图所示，圆锥形容器内装的水正好是它的容积的 27 8 ，水面高度是容器高度 的几分之几? 3. 如图所示，甲、乙两容器的高都是 9厘米，底面半径都是 3厘米，两个容器 中都装入了一定量的水，但放置的方向相反，比较甲、乙两容器，哪一只容器盛 的水多?多的是少的水量的几倍? 【奥数拓展七】等积变形问题（一）。 把一块长 6.28厘米，宽 3厘米，高 4.5厘米的长方体铝锭，和一块底面直径为 6 厘米，高为 24厘米的圆柱形铝块，熔铸成一个底面半径为 9厘米的圆锥形铝块， 这个圆锥形铝块的高是多少厘米? 【专项训练】 1. 如图所示，把一块长 15.7分米、宽 5分米、高 1分米的长方体铁块，熔铸成 一个底面半径为 x分米、高 4分米的圆柱体铁饼，求 x。 第 12 页 共 13 页 2. 把一个长 12厘米、宽 8厘米、高 5厘米的长方体铁块和一个棱长为 6厘米的 正方体铁块熔铸成一个圆锥体的铁块，如果圆锥的高是 29厘米，它的底面积是 多少?(π取 3) 3. 把一个长、宽、高分别是 9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为 5厘米的正方体铁块，熔铸成一个底面直径为 10厘米的圆锥体铁块，求这个圆 锥的高。 【奥数拓展八】等积变形问题（二）。 活动课上，小强用纸做了一个圆锥形漏斗，如图所示，你知道他一共用了多少平 方厘米的纸吗? 【专项训练】 1. 如图所示，从纸上剪下一个半径是 8厘米的扇形做成圆锥，圆锥的底面直径 是 12厘米，求圆锥的表面积。 第 13 页 共 13 页 2. 小林用铁皮做了一个圆锥体模型，它的底面直径为 10厘米，母线为 7.5厘米， 做这个圆锥体模型需多少平方厘米的铁皮? 3. 如图所示，从纸上剪下一个半径是 10厘米的扇形做一个圆锥，圆锥的底面直 径是 16厘米，求圆锥的表面积和体积。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 目 录 【课内精选一】圆锥的认识 3 【课内精选二】圆锥的切面积 3 【课内精选三】圆锥的体积（一） 4 【课内精选四】圆锥的体积（二） 5 【奥数拓展一】圆柱与圆锥的关系（一） 6 【奥数拓展二】圆柱与圆锥的关系（二） 6 【奥数拓展三】圆锥的旋转问题 7 【奥数拓展四】圆柱与圆锥综合（一） 8 【奥数拓展五】圆柱与圆锥综合（二） 9 【奥数拓展六】圆柱与圆锥综合（三） 10 【奥数拓展七】等积变形问题（一） 11 【奥数拓展八】等积变形问题（二） 12 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元圆柱与圆锥·思维素养篇·第二部分圆锥 【从课内到奥数】 【课内精选一】圆锥的认识。 一个圆锥有( )条高，它的侧面展开图是( )形。 【专项训练】 1．在下图中，标出圆柱和圆锥各部分名称。    2．量得一个圆锥从顶点到底面圆周的距离是13cm，从顶点到底面圆心的距离是12cm，底面的直径是10cm，这个圆锥的高是( )cm。 3．如图，将直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，圆锥的底面直径是( )cm，高是( )cm。 【课内精选二】圆锥的切面积。 一个圆锥的底面直径是6厘米，高是9厘米，沿高将它切成两个完全相等的部分，表面积增加了( )。 【专项训练】 1．一个圆锥，底面半径是4厘米，高是12厘米，从圆锥的顶点沿着高将它切成相同的两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了( )平方厘米。 2．一个圆锥，底面半径是4厘米，高是12厘米，从圆锥的顶点沿高将它切成相同的两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了( )平方厘米。 3．一个圆锥的底面直径是24厘米，高12厘米。将这个圆锥沿着高切成大小相同的两半，表面积增加( )平方厘米。 【课内精选三】圆锥的体积（一）。 一堆小麦堆成圆锥形，量得底面周长是25.12米，高是1.5米。如果每立方米小麦重760千克，那么这堆小麦大约重多少吨？（保留一位小数） 【专项训练】 1．一堆圆锥形黄沙，底面周长是18.84米，高1.5米，每立方米的黄沙重2吨，这堆沙重多少吨？ 2．蚁狮能够挖出圆锥形的洞穴作陷阱，躲在洞六里取食落入陷阱的昆虫。一只蚁狮挖出47.1立方厘米的沙子，这个陷阱的直径是6厘米，陷阱有多深？ 3．李大妈包的粽子近似于圆锥形，底面直径是8厘米，高是6厘米。如果每立方分米糯米重1.8千克，那么包100个这样的粽子一共需要多少千克糯米？（粽叶厚度忽略不计） 【课内精选四】圆锥的体积（二）。 在一个底面半径是10厘米的圆柱形杯子中装有水。水里浸没一个底面半径是5厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从杯中取出后，杯里水面下降5毫米。铅锤高多少？ 【专项训练】 1．在一个底面半径是4厘米，高是15厘米的圆柱形玻璃杯内装入10厘米高的水，然后放一个底面直径是8厘米的圆锥形铅锤（完全浸没），水面高度上升到12厘米，这个铅锤的高是多少厘米？ 2．一个底面半径为6厘米的圆柱形容器中装了部分水，水中完全浸没着一个底面半径3厘米的圆锥形铅锤，当把铅锤从水中拿出后，水面下降了5毫米，这个圆锥形铅锤的高是多少？ 3．从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里粹火，水面上升了1.5厘米。请你计算这个圆锥的高是多少厘米。（损耗忽略不计） 【奥数拓展一】圆柱与圆锥的关系（一）。 一个圆锥的体积是8立方厘米，比与它等底等高的圆柱体积少多少立方厘米? 【专项训练】 1. 一个圆锥形容器的高是18厘米，容器内装满液体，如果将这些液体倒入底面直径相同的圆柱形容器内，液体的高度是多少厘米? 2. 一个圆柱体铁块厚10厘米，如果把它锻造成底面直径相同的圆锥体，这个圆锥体的高是多少厘米? 3. 一个圆柱与一个圆锥的底面积相等，圆锥的高是圆柱的，这个圆柱的体积是圆锥体积的多少倍? 【奥数拓展二】圆柱与圆锥的关系（二）。 一个圆锥形的稻谷堆，它的底面周长是31.4米、高1.2米，若把这些稻谷装到一个底面半径是2米的圆柱体粮囤里，可以堆多高? 【专项训练】 1. 一个立体图形由一个圆柱和一个圆锥组成，如图所示，它们的底面直径都是6厘米，高都是12厘米，这个立体图形的体积是多少立方厘米? 2. 一个圆柱体底面积是5平方分米，把它削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是6立方分米，求这个圆柱体的高。 3. 有两个盛满水的底面半径为10厘米、高为30厘米的圆锥，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱内，求水深。 【奥数拓展三】圆锥的旋转问题。 如图所示，一个两直角边的长度分别为2厘米和6厘米的直角三角形，分别以这两条直角边为轴旋转一周，得到两个圆锥.这两个圆锥的体积是否相等?如果不等，那么大圆锥体积是小圆锥的几倍? 【专项训练】 1. 一个直角三角形的两条直角边分别长3分米和4分米，以这两条直角边为轴旋转一周，得到两个圆锥.这两个圆锥的体积是否相等?如果不等，那么大圆锥体积是小圆锥的几倍? 2. 将一张长6厘米、宽4厘米的长方形纸分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱体，以哪条边为轴旋转得到的圆柱体体积大?大圆柱体体积是小圆柱体的多少倍? 3. 如图所示，有一个直角三角形ABC，直角边AB和BC分别长4厘米和3厘米，现在以斜边AC所在的直线为轴，绕AC旋转一周，求所形成的立体图形的体积。(π取3.14) 【奥数拓展四】圆柱与圆锥综合（一）。 用一个长2.826米、宽1.57米的席子，围成一个简易的圆柱形粮囤，那么这个粮囤最多能盛粮多少立方米? 【专项训练】 1. 把一张长9分米、宽6分米的长方形纸卷成一个圆柱体，并且将这个圆柱体直立在桌面上，它的最小容积是多少立方分米?(π取3) 2. 张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，今年改用长3米、宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，那么今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍? 3. 刘师傅把一个长8厘米、宽6厘米、高12厘米的长方体木料加工成一个体积最大的圆柱体木模，这个木模的体积是多少? 【奥数拓展五】圆柱与圆锥综合（二）。 正方体的体积是360立方厘米，把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米? 【专项训练】 1. 一个圆锥的底面半径和高都等于一个正方体的棱长，若这个正方体的体积是24立方厘米，则这个圆锥的体积是多少? 2. 两个正方体的体积之差是1200立方厘米，如果以每个正方体的一面为底，加工成最大的圆锥，加工成的两个圆锥的体积之差是多少立方厘米? 3. 甲、乙两个容器分别为圆锥形和圆柱形，它们的底面半径的比是3:4，高的比是4:5，现在每次用甲容器装满水倒入乙容器中，这样进行若干次后，乙容器水满了，甲容器中还剩余120毫升水，甲、乙两个容器的容积分别是多少毫升? 【奥数拓展六】圆柱与圆锥综合（三）。 如图所示，圆锥形容器的容积是16升，容器中已经装有一些水，水面高度正好是圆锥高度的一半，求容器中装有水多少升. 【专项训练】 1. 如图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，整个容器还能装多少升水? 2. 如图所示，圆锥形容器内装的水正好是它的容积的，水面高度是容器高度的几分之几? 3. 如图所示，甲、乙两容器的高都是9厘米，底面半径都是3厘米，两个容器中都装入了一定量的水，但放置的方向相反，比较甲、乙两容器，哪一只容器盛的水多?多的是少的水量的几倍? 【奥数拓展七】等积变形问题（一）。 把一块长6.28厘米，宽3厘米，高4.5厘米的长方体铝锭，和一块底面直径为6厘米，高为24厘米的圆柱形铝块，熔铸成一个底面半径为9厘米的圆锥形铝块，这个圆锥形铝块的高是多少厘米? 【专项训练】 1. 如图所示，把一块长15.7分米、宽5分米、高1分米的长方体铁块，熔铸成一个底面半径为x分米、高4分米的圆柱体铁饼，求x。 2. 把一个长12厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体铁块和一个棱长为6厘米的正方体铁块熔铸成一个圆锥体的铁块，如果圆锥的高是29厘米，它的底面积是多少?(π取3) 3. 把一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为5厘米的正方体铁块，熔铸成一个底面直径为10厘米的圆锥体铁块，求这个圆锥的高。 【奥数拓展八】等积变形问题（二）。 活动课上，小强用纸做了一个圆锥形漏斗，如图所示，你知道他一共用了多少平方厘米的纸吗? 【专项训练】 1. 如图所示，从纸上剪下一个半径是8厘米的扇形做成圆锥，圆锥的底面直径是12厘米，求圆锥的表面积。 2. 小林用铁皮做了一个圆锥体模型，它的底面直径为10厘米，母线为7.5厘米，做这个圆锥体模型需多少平方厘米的铁皮? 3. 如图所示，从纸上剪下一个半径是10厘米的扇形做一个圆锥，圆锥的底面直径是16厘米，求圆锥的表面积和体积。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 目 录 【课内精选一】圆锥的认识 3 【课内精选二】圆锥的切面积 4 【课内精选三】圆锥的体积（一） 6 【课内精选四】圆锥的体积（二） 8 【奥数拓展一】圆柱与圆锥的关系（一） 12 【奥数拓展二】圆柱与圆锥的关系（二） 13 【奥数拓展三】圆锥的旋转问题 14 【奥数拓展四】圆柱与圆锥综合（一） 15 【奥数拓展五】圆柱与圆锥综合（二） 16 【奥数拓展六】圆柱与圆锥综合（三） 16 【奥数拓展七】等积变形问题（一） 18 【奥数拓展八】等积变形问题（二） 19 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元圆柱与圆锥·思维素养篇·第二部分圆锥 【从课内到奥数】 【课内精选一】圆锥的认识。 一个圆锥有( )条高，它的侧面展开图是( )形。 【答案】 1/一 扇 【详解】   圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高，一个圆锥只有1条高； 圆锥的侧面：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长。 【专项训练】 1．在下图中，标出圆柱和圆锥各部分名称。    【答案】圆柱：底面   侧面   高   底面 圆锥：顶点   侧面   高   底面 【详解】圆柱和圆锥的特点，主要是从其形状、组成、面等方面来观察和研究的．圆柱的上下两个面是两个完全相同的圆，叫做底面．有一个面是曲面，叫做侧面，圆柱两底面之间的距离叫做圆柱的高。圆锥有一个顶点和两个面（一个底面是圆，一个曲面是侧面），从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高。 2．量得一个圆锥从顶点到底面圆周的距离是13cm，从顶点到底面圆心的距离是12cm，底面的直径是10cm，这个圆锥的高是( )cm。 【答案】12 【分析】圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高，据此分析。 【详解】因为从顶点到底面圆心的距离是12cm，所以这个圆锥的高是12cm。 3．如图，将直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，圆锥的底面直径是( )cm，高是( )cm。 【答案】 4 4 【分析】看图可知，圆锥的底面半径是2cm，根据半径与直径的关系确定直径；圆锥的高是4cm，据此填空。 【详解】（cm） 将直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，圆锥的底面直径是4cm，高是4cm。 【课内精选二】圆锥的切面积。 一个圆锥的底面直径是6厘米，高是9厘米，沿高将它切成两个完全相等的部分，表面积增加了( )。 【答案】54平方厘米/54cm2 【分析】沿高把圆锥切成两个完全相等的部分，切面是一个等腰三角形，三角形的底等于圆锥的底面直径，三角形的高等于圆锥的高，切开之后表面积比原来增加两个切面的面积，利用“三角形的面积＝底×高÷2”求出增加的表面积，据此解答。 【详解】6×9÷2×2 ＝54÷2×2 ＝54（平方厘米） 所以，表面积增加了54平方厘米。 【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，明确切面是一个等腰三角形，并掌握三角形的面积计算公式是解答题目的关键。 【专项训练】 1．一个圆锥，底面半径是4厘米，高是12厘米，从圆锥的顶点沿着高将它切成相同的两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了( )平方厘米。 【答案】96 【分析】根据题意，把一个圆锥从它的顶点沿高切成两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了2个切面的面积，切面是一个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形； 根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个切面的面积，再乘2，即是增加的表面积。 【详解】圆锥的底面直径：4×2＝8（厘米） 表面积增加了：8×12÷2×2＝96（平方厘米） 表面积比原来圆锥的表面积增加了96平方厘米。 2．一个圆锥，底面半径是4厘米，高是12厘米，从圆锥的顶点沿高将它切成相同的两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了( )平方厘米。 【答案】96 【分析】从圆锥的顶点沿着高把它切成两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了2个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形的面积，由此求出圆锥的底面直径即可解决问题。 【详解】切割后表面积增加了：4×2×12÷2×2 ＝96÷2×2 ＝96（平方厘米） 【点睛】抓住圆锥的切割特点，得出增加部分的面积是2个以底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形的面积是解决此类问题的关键。 3．一个圆锥的底面直径是24厘米，高12厘米。将这个圆锥沿着高切成大小相同的两半，表面积增加( )平方厘米。 【答案】288 【分析】一个圆锥的底面直径是24厘米，高12厘米。将这个圆锥沿着高切成大小相同的两半，表面积增加的是底为24厘米，高为12厘米的两个三角形的面积，据此解答即可。 【详解】24×12÷2×2 ＝144×2 ＝288（平方厘米） 【点睛】本题考查圆锥的表面积、三角形的面积，解答本题的关键是理解增加的表面积是两个三角形的面积。 【课内精选三】圆锥的体积（一）。 一堆小麦堆成圆锥形，量得底面周长是25.12米，高是1.5米。如果每立方米小麦重760千克，那么这堆小麦大约重多少吨？（保留一位小数） 【答案】19.1吨 【分析】圆锥的底面周长＝2πr，则半径＝底面周长÷π÷2，圆锥的体积＝底面积×高÷3＝πr2h÷3，先求出圆锥的底面半径，再求出圆锥的体积，用圆锥的体积乘760千克求出这堆小麦有多少千克，再转换成吨即可，“四舍五入”保留到一位小数。 【详解】25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 3.14×42×1.5÷3 ＝3.14×16×1.5÷3 ＝50.24×1.5÷3 ＝75.36÷3 ＝25.12（立方米） 25.12×760＝19091.2（千克）≈19.1（吨） 答：这堆小麦大约重19.1吨。 【专项训练】 1．一堆圆锥形黄沙，底面周长是18.84米，高1.5米，每立方米的黄沙重2吨，这堆沙重多少吨？ 【答案】28.26吨 【分析】根据底面周长计算出圆锥形沙堆的半径，，然后根据圆锥的体积公式，求出沙的体积，再乘每立方米黄沙的质量，即可算出这堆沙的质量。 【详解】 （米） （立方米） （吨） 答：这堆沙重28.26吨。 2．蚁狮能够挖出圆锥形的洞穴作陷阱，躲在洞六里取食落入陷阱的昆虫。一只蚁狮挖出47.1立方厘米的沙子，这个陷阱的直径是6厘米，陷阱有多深？ 【答案】5厘米 【分析】求陷阱的深度，就是求这个圆锥形的洞穴的高度，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，高＝体积÷（底面积×），代入数据，即可解答。 【详解】47.1÷[3.14×（6÷2）2×] ＝47.1÷[3.14×32×] ＝47.1÷[3.14×9×] ＝47.1÷[28.26×] ＝47.1÷9.42 ＝5（厘米） 答：陷阱深5厘米。 3．李大妈包的粽子近似于圆锥形，底面直径是8厘米，高是6厘米。如果每立方分米糯米重1.8千克，那么包100个这样的粽子一共需要多少千克糯米？（粽叶厚度忽略不计） 【答案】18.0864千克 【分析】先根据圆锥体积＝，算出每个粽子的体积，再计算出100个粽子的体积，最后用总体积乘1.8，把总体积算换成糯米的重量。据此解答即可。 【详解】8厘米＝0.8分米，6厘米＝0.6分米 （千克） 答：包100个这样的粽子一共需要18.0864千克糯米。 【课内精选四】圆锥的体积（二）。 在一个底面半径是10厘米的圆柱形杯子中装有水。水里浸没一个底面半径是5厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从杯中取出后，杯里水面下降5毫米。铅锤高多少？ 【答案】6厘米 【分析】水面下降的体积就是铅锥的体积，圆柱形杯子的底面半径×水面下降的高度＝铅锥体积，根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，即可求出铅锥的高，注意统一单位。 【详解】5毫米＝0.5厘米 3.14×102×0.5 ＝3.14×100×0.5 ＝157（立方厘米） 157×3÷（3.14×52） ＝471÷（3.14×25） ＝471÷78.5 ＝6（厘米） 答：铅锥高6厘米。 【专项训练】 1．在一个底面半径是4厘米，高是15厘米的圆柱形玻璃杯内装入10厘米高的水，然后放一个底面直径是8厘米的圆锥形铅锤（完全浸没），水面高度上升到12厘米，这个铅锤的高是多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】根据题意，把一个圆锥形铅锤完全浸没在装有水的圆柱形玻璃杯内，水面高度由10厘米上升到12厘米，那么水面上升部分的体积等于这个圆锥形铅锤的体积； 水面上升部分是一个底面半径为4厘米、高为（12－10）厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水面上升部分的体积，也就是铅锤的体积； 已知圆锥形铅锤的底面直径是8厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥形铅锤的底面积； 由圆锥的体积公式V＝Sh，可知圆锥的高h＝3V÷S，据此求出圆锥形铅锤的高。 【详解】圆锥形铅锤的体积： 3.14×42×（12－10） ＝3.14×16×2 ＝100.48（立方厘米） 圆锥形铅锤的底面积： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 圆锥形铅锤的高： 100.48×3÷50.24 ＝301.44÷50.24 ＝6（厘米） 答：这个铅锤的高是6厘米。 2．一个底面半径为6厘米的圆柱形容器中装了部分水，水中完全浸没着一个底面半径3厘米的圆锥形铅锤，当把铅锤从水中拿出后，水面下降了5毫米，这个圆锥形铅锤的高是多少？ 【答案】6厘米 【分析】根据题意得：圆锥形铅锤的体积等于圆柱水面下降的体积，圆柱体积＝，可得出圆锥形铅锤的体积，再根据圆锥体积＝，可得出圆锥形铅锤的高。 【详解】圆锥形铅锤体积为：（立方厘米） 则圆锥形铅锤的高为： （厘米） 答：这个圆锥形铅锤的高是6厘米。 3．从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里粹火，水面上升了1.5厘米。请你计算这个圆锥的高是多少厘米。（损耗忽略不计） 【答案】45厘米 【分析】圆锥的体积就是上升部分水的体积，这部分水可看作底面积是31.4平方分米（换算为3140平方厘米），高是1.5厘米的长方体，用底面积乘高即可算出体积。又因为圆锥的底面大小与圆柱铁块底面大小相同，即底面半径相同，所以可求出底面积，最后用体积乘3再除以底面积即可求出圆锥的高。据此解答。 【详解】31.4平方分米＝3140平方厘米 3140×1.5×3÷（3.14×102） ＝3140×1.5×3÷（3.14×100） ＝3140×1.5×3÷314 ＝14130÷314 ＝45（厘米） 答：这个圆锥的高是45厘米。 【奥数拓展一】圆柱与圆锥的关系（一）。 一个圆锥的体积是8立方厘米，比与它等底等高的圆柱体积少多少立方厘米? 解析： 既然这个圆柱与圆锥等底等高，那么,圆柱的体积应该是圆锥的3倍。 所以8×3－8=16(立方厘米) 答：圆锥体积比与它等底等高的圆柱体积少16立方厘米。 【专项训练】 1. 一个圆锥形容器的高是18厘米，容器内装满液体，如果将这些液体倒入底面直径相同的圆柱形容器内，液体的高度是多少厘米? 解析： 圆柱与圆锥的底面积相等，液体的体积没有发生变化，因此，圆锥形容器内液体的高应该是圆柱形容器内液体高的3倍，18÷3=6(厘米) 答：液体的高度是6厘米。 2. 一个圆柱体铁块厚10厘米，如果把它锻造成底面直径相同的圆锥体，这个圆锥体的高是多少厘米? 解析： 10×3=30(厘米) 答：这个圆锥体的高是30厘米。 3. 一个圆柱与一个圆锥的底面积相等，圆锥的高是圆柱的，这个圆柱的体积是圆锥体积的多少倍? 解析： 设圆柱与圆锥的底面积都为1(平方单位)，圆锥的高为1(长度单位)，圆柱的高为2(长度单位)。 (1×2)÷(1×1÷3)=6 答：这个圆柱的体积是圆锥体积的6倍。 【奥数拓展二】圆柱与圆锥的关系（二）。 一个圆锥形的稻谷堆，它的底面周长是31.4米、高1.2米，若把这些稻谷装到一个底面半径是2米的圆柱体粮囤里，可以堆多高? 解析： 我们先计算圆锥体稻谷堆的体积，然后除以圆柱体粮囤的底面积，便可以得到稻谷堆的高度，所以 3.14×(31.4÷3.14÷2)²×1.2×÷(3.14×2²) =3.14×25×0.4÷(3.14×2²) =2.5(米) 答：可以堆2.5米高。 【专项训练】 1. 一个立体图形由一个圆柱和一个圆锥组成，如图所示，它们的底面直径都是6厘米，高都是12厘米，这个立体图形的体积是多少立方厘米? 解析： 3.14×(6÷2)²×12÷3×(1+3)=452.16(立方厘米) 答：这个立体图形的体积是452.16立方厘米。 2. 一个圆柱体底面积是5平方分米，把它削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是6立方分米，求这个圆柱体的高。 解析： 6÷2×3÷5=1.8(分米) 答：这个圆柱体的高为1.8分米。 3. 有两个盛满水的底面半径为10厘米、高为30厘米的圆锥，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱内，求水深。 解析： ×3.14×10²×30×2=6280(立方厘米) 6280÷(3.14×20²)=5(厘米) 答：水深为5厘米。 【奥数拓展三】圆锥的旋转问题。 如图所示，一个两直角边的长度分别为2厘米和6厘米的直角三角形，分别以这两条直角边为轴旋转一周，得到两个圆锥.这两个圆锥的体积是否相等?如果不等，那么大圆锥体积是小圆锥的几倍? 解析： 以2厘米为轴旋转一周：3.14×6²×2×=75.36(立方厘米) 以6厘米为轴旋转一周：3.14×2²×6×=25.12(立方厘米) 可以发现，它们的体积不相等，75.36÷25.12=3，所以，大圆锥体积是小圆锥体积的3倍。 【专项训练】 1. 一个直角三角形的两条直角边分别长3分米和4分米，以这两条直角边为轴旋转一周，得到两个圆锥.这两个圆锥的体积是否相等?如果不等，那么大圆锥体积是小圆锥的几倍? 解析：倍。 2. 将一张长6厘米、宽4厘米的长方形纸分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱体，以哪条边为轴旋转得到的圆柱体体积大?大圆柱体体积是小圆柱体的多少倍? 解析： 6²π×4=144π(立方厘米) 4²π×6=96π(立方厘米) 144π÷96π=1.5 答：以4厘米的边为轴旋转得到的圆柱体体积大，大圆柱体体积是小圆柱体的1.5倍。 3. 如图所示，有一个直角三角形ABC，直角边AB和BC分别长4厘米和3厘米，现在以斜边AC所在的直线为轴，绕AC旋转一周，求所形成的立体图形的体积。(π取3.14) 解析：30.144立方厘米。 【奥数拓展四】圆柱与圆锥综合（一）。 用一个长2.826米、宽1.57米的席子，围成一个简易的圆柱形粮囤，那么这个粮囤最多能盛粮多少立方米? 解析： 当圆柱的高是1.57米，底面周长是2.826米，它的容积是 3.14×(2.826÷3.14÷2)²×1.57≈0.998(立方米) 当圆柱的高是2.826米，底面周长是1.57米，它的容积是 3.14×(1.57÷3.14÷2)²×2.826≈0.555(立方米) 【专项训练】 1. 把一张长9分米、宽6分米的长方形纸卷成一个圆柱体，并且将这个圆柱体直立在桌面上，它的最小容积是多少立方分米?(π取3) 解析： 3×(6÷3÷2)²×9=27(立方分米) 所以，它的最小容积是27立方分米。 2. 张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，今年改用长3米、宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，那么今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍? 解析：倍。 3. 刘师傅把一个长8厘米、宽6厘米、高12厘米的长方体木料加工成一个体积最大的圆柱体木模，这个木模的体积是多少? 解析： 有三种方案： (1)把长8厘米、宽6厘米的面作为底面：V=(6÷2)²×π×12=108π=339.12(立方厘 米) (2)把宽6厘米、高12厘米的面作为底面：V=(6÷2)²×π×8=72π=226.08(立方厘米) (3)把长8厘米、高12厘米的面作为底面：V=(8÷2)²×π×6=96π=301.44(立方厘米)答：这个木模的体积是339.12立方厘米。 【奥数拓展五】圆柱与圆锥综合（二）。 正方体的体积是360立方厘米，把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米? 解析：94.2立方厘米。 【专项训练】 1. 一个圆锥的底面半径和高都等于一个正方体的棱长，若这个正方体的体积是24立方厘米，则这个圆锥的体积是多少? 解析：25.12立方厘米。 2. 两个正方体的体积之差是1200立方厘米，如果以每个正方体的一面为底，加工成最大的圆锥，加工成的两个圆锥的体积之差是多少立方厘米? 解析：314立方厘米。 3. 甲、乙两个容器分别为圆锥形和圆柱形，它们的底面半径的比是3:4，高的比是4:5，现在每次用甲容器装满水倒入乙容器中，这样进行若干次后，乙容器水满了，甲容器中还剩余120毫升水，甲、乙两个容器的容积分别是多少毫升? 解析：360毫升，2400毫升。 【奥数拓展六】圆柱与圆锥综合（三）。 如图所示，圆锥形容器的容积是16升，容器中已经装有一些水，水面高度正好是圆锥高度的一半，求容器中装有水多少升. 解析：2升。 【专项训练】 1. 如图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，整个容器还能装多少升水? 解析：35升。 2. 如图所示，圆锥形容器内装的水正好是它的容积的，水面高度是容器高度的几分之几? 解析： 3. 如图所示，甲、乙两容器的高都是9厘米，底面半径都是3厘米，两个容器中都装入了一定量的水，但放置的方向相反，比较甲、乙两容器，哪一只容器盛的水多?多的是少的水量的几倍? 解析：倍。 【奥数拓展七】等积变形问题（一）。 把一块长6.28厘米，宽3厘米，高4.5厘米的长方体铝锭，和一块底面直径为6厘米，高为24厘米的圆柱形铝块，熔铸成一个底面半径为9厘米的圆锥形铝块，这个圆锥形铝块的高是多少厘米? 解析： 将长方体的铝锭和圆柱形的铝块熔铸成圆锥形的铝块，虽然前后形状改变了，但铝的总体积却没有改变，我们只要求出长方体体积与圆柱体积的和，也就是圆锥的体积，便能求出圆锥的高。 因此，解：设圆锥体的高为x厘米。 6.28×3×4.5+(6÷2)²×π×24=9²×π×x× 27π+216π=27π×x x =9 答：这个圆锥体的高是9厘米。 【专项训练】 1. 如图所示，把一块长15.7分米、宽5分米、高1分米的长方体铁块，熔铸成一个底面半径为x分米、高4分米的圆柱体铁饼，求x。 解析： 15.7×5×1÷(4×3.14)=6.25=2.5² 所以，x为2.5。 2. 把一个长12厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体铁块和一个棱长为6厘米的正方体铁块熔铸成一个圆锥体的铁块，如果圆锥的高是29厘米，它的底面积是多少?(π取3) 解析： 12×8×5+6×6×6=696(立方厘米) 696×3÷29=72(平方厘米) 答：它的底面积是72平方厘米。 3. 把一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为5厘米的正方体铁块，熔铸成一个底面直径为10厘米的圆锥体铁块，求这个圆锥的高。 解析：12厘米。 【奥数拓展八】等积变形问题（二）。 活动课上，小强用纸做了一个圆锥形漏斗，如图所示，你知道他一共用了多少平方厘米的纸吗? 解析： 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线(母线是指从顶点到底面圆周上任意一点的连线),弧线是圆锥底面的周长。 课堂上，我们只学习了求圆锥的体积，并没有学习圆锥的表面积该怎么求，其实，圆锥的表面积=底面积+侧面积，侧面积=圆周率×底面半径×母线。 3.14×25×15=1177.5(平方厘米) 答：他一共用了1177.5平方厘米的纸。 【专项训练】 1. 如图所示，从纸上剪下一个半径是8厘米的扇形做成圆锥，圆锥的底面直径是12厘米，求圆锥的表面积。 解析： 圆锥的底面半径：12÷2=6(厘米) 底面积：π×6²=113.04(平方厘米) 侧面积：π×6×8=150.72(平方厘米) 表面积：113.04+150.72=263.76(平方厘米) 2. 小林用铁皮做了一个圆锥体模型，它的底面直径为10厘米，母线为7.5厘米，做这个圆锥体模型需多少平方厘米的铁皮? 解析： 3.14×(10÷2)×7.5+3.14×(10÷2)²=196.25(平方厘米) 答：做这个圆锥体模型需196.25平方厘米的铁皮。 3. 如图所示，从纸上剪下一个半径是10厘米的扇形做一个圆锥，圆锥的底面直径是16厘米，求圆锥的表面积和体积。 解析： 圆锥的底面半径是16÷2=8(厘米)，圆锥的底面积是π×8²=64π(平方厘米)，圆锥的侧面积是π×8×10=80π(平方厘米)，所以圆锥的表面积是64π+80π=144π=452.16(平方厘米)，由勾股定理，10²－8²=6²，即圆锥的高为6厘米，体积是64π×6×3=401.92(立方厘米)。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$