2025年江苏省苏州市九年级数学中考模拟试卷（二）

2025年苏州市中考数学模拟试卷（二） 一、选择题（8小题，共24分） 1．下列各数中，最小的数是（　　） A．﹣3 B．0 C．﹣2 D．﹣π 2．下列计算结果为a6的是（　　） A．a2+a4 B．a2•a3 C． ( a2)3 D．a6÷a 3．如图所示的几何体是由4个大小相同的小正方体搭成的，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 4．一副三角板按如图方式摆放，其中∠B＝∠C＝45°，∠E＝60°，∠F＝30°．点A在边EF上，点D在边BC上，且EF∥BC，AB、DE相交于点O，则∠BOE的度数为（　　） A．75° B．90° C．105° D．120° 5．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今五人共车，两车空；三人共车，八人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐5人，则空余两辆车；若每辆车乘坐3人，则有8人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知五个数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是a，方差是b，则3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2这五个数据的平均数和方差分别是（　　） A．3a﹣2，3b﹣2 B．3a，3b﹣2 C．3a，3b D．3a﹣2，9b 7．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两个实数根x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3 8．等边△ABC边长为4，D是BC中点，E在AD上运动，连接BE，在BE下方作等边△BEF，则△BDF周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（8小题，共24分） 9．代数式有意义，则x满足的条件是 　 　． 10．因式分解：2x2﹣8= ． 11．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在白色区域的概率是 　 　． 第11题 第13题 第14题 12．已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是　 　． 13．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P＝76°，则∠ACB＝　 　°． 14．如图，AE，DF是正八边形ABCDEFGH的两条对角线，则　 　． 15．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，0）两点，且2＜m＜3，下列结论： ①c＞1； ②当x时，y随x的增大而减小； ③关于x的不等式ax2+bx＜（c﹣1）x的解集为x＞0或x＜﹣1； ④2a+c． 其中正确的结论是 　 　.（填写序号） 16．如图，在矩形ABCD中，．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为 　 　． 三、解答题（11小题，共82分） 17．计算： 18．解不等式组：． 19．先化简然后从﹣3＜x≤1中选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 20．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是 ． （1）求盒子中黑球的个数； （2）求任意摸出一个球是黑球的概率； （3）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为 ，若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由． 21．“云南之美，一步一景，一城一故事”，2024年的“五一”假期，云南省各景区迎来了客流高峰．某校七年级数学兴趣小组就“最想去的云南旅游景点”，随机调查了本校部分学生，提供五个具体选（要求每位同学选且只能选一个最想去的景点）：A．大理；B丽江；C．泸沽湖；D洱海；E．玉龙雪山．下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了 　 　名学生，扇形统计图中角α＝　 　度； （2）请将本题中的条形统计图补充完整； （3）若该校共有2000名学生，请根据上述调查结果估计该校选择最想去“A大理”的学生共有多少名？ 22．如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数． 23．如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向． （1）求B，C两处的距离； （2）该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5） 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y的图象交于M（，4），N（n，1）两点． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）求△OMN的面积； （3）若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时，求点P的坐标． 25．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC． （1）求证：OD∥BC； （2）延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P．若，PE＝1，求⊙O半径的长． 26．如图①，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，以v1的速度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；同时，一动点Q从点D出发，以v2的速度沿DC向终点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E为CD的中点，连接PE，PQ，记△EPQ的面积为S，点P运动的时间为t，其函数图象为折线MN﹣NF和曲线FG（图②），已知，ON＝3，NH＝1，点G的坐标为（6，0）． （1）点P与点Q的速度之比的值为 　 　；AB：AD的值为 　 　； （2）如果OM＝2． ①求线段NF所在直线的函数表达式； ②是否存在某个时刻t，使得S？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由． 27．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方． （1）求抛物线的表达式． （2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE＝2ED，求点P的坐标． （3）如图2，连接AC、PC、AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F．记△ACG、△PCG、△PGF的面积分别为S1，S2，S3.当取得最大值时，求sin∠BCP的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案与试题解析 1 ．下列各数中，最小的数是( ) A . ﹣3 B ．0 C . ﹣2 D . ﹣π 【分析】根据有理数比较大小的法则进行比较即可. 【解答】解：﹣π <﹣3<﹣2 < 0 所以最小的数是﹣π . 故选：D . 2 ．下列计算结果为 a6 的是 ( ) A ．a2+a4 B ．a2•a3 C ． ( a2)3 D ．a6 ÷a 【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法 则，进行计算逐一判断即可解答. 【解答】解：A 、a2+a4 ＝a2+a4，故 A 不符合题意； B 、a2•a3 ＝a5，故 B 不符合题意； C、( a2)3 ＝a6，故 C 符合题意； D 、a6 ÷a ＝a5，故 D 不符合题意； 故选：C. 3 ．如图所示的几何体是由 4 个大小相同的小正方体搭成的，它的左视图是( ) 1 学科网（北京）股份有限公司 A . B . C . D . 【分析】找到几何体从左面看所得到的图形即可. 【解答】解：从左面可看，底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形. 故选：C. 4 ．一副三角板按如图方式摆放，其中∠B=∠C＝45°,∠E ＝60°,∠F＝30 ° . 点 A 在 边 EF 上，点 D 在边 BC 上，且 EF∥BC，AB、DE 相交于点 O，则∠BOE 的度数为( ) A ．75 ° B ．90 ° C ．105 ° D ．120 ° 【分析】由平行线的性质可得∠BDE ＝60°, 再利用外角的性质即可求得∠BOE 的度数. 【解答】解： ∵EF∥BC，∠E ＝60°, ∴∠BDE=∠E＝45°, ∵∠BOE 是△BOD 的外角，∠B ＝45°, ∴∠BOE=∠B+∠BDO ＝105 ° . 故选：C. 5．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今五人共车，两车空；三人共车，八人步．问 人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐 5 人，则空余两辆车；若 每辆车乘坐 3 人，则有 8 人步行．问人与车各多少？设有 x 人，y 辆车，则所列方程组正 确的是( ) A ． B． C ． D . 【分析】设有 x 人，y 辆车，根据“若每辆车乘坐 5 人，则空余两辆车；若每辆车乘坐 3 人，则有 8 人步行”列出二元一次方程组即可. 【解答】解：设有 x 人，y 辆车， 由题意得： . 故选：A . 6 ．已知五个数据x1，x2，x3，x4，x5 的平均数是 a，方差是 b，则 3x1﹣2，3x2﹣2 ，3x3﹣2， 3x4﹣2，3x5﹣2 这五个数据的平均数和方差分别是( ) A ．3a﹣2 ，3b﹣2 B ．3a ，3b﹣2 C ．3a ，3b D ．3a﹣2，9b 【分析】利用平均数、方差的定义和性质直接求解. 【解答】解：∵数据 x 1，x2，x3，x4，x5 的平均数是 a，方差是 b， ∴数据 3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2 的平均数为：3 ×a﹣2 ＝3a﹣2，方差为： 32 ×b ＝9b . 故选：D . 7 ．已知关于x 的方程x2﹣（2m﹣ 1）x+m2 ＝0 的两个实数根 x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3， 则 m 的值为( ) A . ﹣3 B ．1 C . ﹣3 或 1 D . ﹣ 1 或 3 【分析】由方程有两个实数根得，根据根与系数的关系得， ,然后代入（x1+1）（x2+1）＝3 计算即可. 【解答】解： ∵x1，x2 是方程x2﹣（2m﹣ 1）x+m2 ＝0 的两实数根， ∴Δ=b2﹣4ac ＝[﹣（2m﹣ 1）]2﹣4m2 ＝1﹣4m≥0， 2 学科网（北京）股份有限公司 ∴ , ∴ , ∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1 ＝3， ∴m2+2m﹣ 1+1 ＝3， 解得：m ＝1（舍）或 m =﹣ 3； 故选：A . 8 ．等边△ABC 边长为 4，D 是 BC 中点，E 在 AD 上运动，连接 BE，在 BE 下方作等边△ BEF，则△BDF 周长的最小值为( ) A ．2+21F B ． C ． D . 【分析】连接 CF，由条件可以得出∠ABE=∠CBF，再根据等边三角形的性质就可以证 明△BAE≌△BCF，从而可以得出∠BCF=∠BAD ＝30°,作点D 关于 CF 的对称点 G， 连接 CG，DG，则 FD＝FG，依据当 B ，F，G 在同一直线上时，DF+BF 的最小值等于 线段 BG 长，可得△BDF 的周长最小. 【解答】解：如图，连接 CF， ∵△ABC、△BEF 都是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，BE ＝EF＝BF，∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠EBF=∠BEF=∠BFE = 60°, ∴∠ABC﹣∠EBD=∠EBF﹣∠EBD， ∴∠ABE=∠CBF， ∴△BAE≌△BCF（SAS）， ∴∠BCF=∠BAD ＝30°, 如图，作点D 关于 CF 的对称点G，连接 CG，DG，则 FD＝FG，∠GCF=∠BCF＝30°, ∴当 B ，F，G 在同一直线上时，DF+BF 的最小值等于线段 BG 长，且BG⊥CG 时，△ BDF 的周长最小， ∴sin∠BCG ＝sin60 ° , ∴BGBC4 ＝2 . ∴△BDF 周长：DF+BF+BD＝BG+BD ＝22 . 故选：A . 9 ．代数式有意义，则 x 满足的条件是 x≥4 且 x≠5 . 【分析】 根据二次根式有意义时被开方数为非负 数，分式有意义时分母不为零可求解 x 的取值范 围. 【解答】解：由题意得， 3 学科网（北京）股份有限公司 解得：x≥4 且x≠5 . 故答案为：x≥4 且 x≠5 . 10 ．因式分解：2x2﹣8= 2（x+2）（x﹣2） . 【分析】提取公因式 2，然后用平方差公式计算即可. 【解答】解： ( 2 )2x ﹣8 =2（x2﹣4） =2（x+2）（x﹣2）. 11．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在白色区域的概率 是 . 【分析】用白色区域的圆心角的度数除以圆周角的度数可得到指针落在白色区域的概率. 【解答】解：指针落在白色区域的概率是 . 故答案为： . 12 ．已知关于 x 的分式方程的解是非负数，则 k 的取值范围是 k≤2 且 k ≠﹣ 1 . 【分析】将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结 合分式方程有意义进行求解即可. 【解答】解：关于 x 的分式方程化为整式方程得， k+2（x﹣ 1）=﹣ x， 解得， 由于分式方程的解为非负数，即， 所以 k≤2， 当 x ＝1 时，k=﹣ 1， 因此 k 的取值范围为 k≤2且 k≠﹣ 1， 4 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：k≤2 且k≠ -1 . 13．如图，PA，PB 分别与。O 相切于 A，B 两点，C 是优弧 AB 上的一个动点，若上P ＝76。， 则上ACB ＝ 52 。. 【分析】连接 OA ，OB，由切线的性质推出上PAO＝上PBO ＝90。，又上P ＝76。，即可 求出上AOB ＝360 。 -90 。 -90 。 -76。＝104。由圆周角定理得到上ACB上AOB = ( 。 )52 . 【解答】解：连接 OA ，OB， √PA ，PB 分别与。O 相切于 A，B 两点， :OA丄PA ，OB丄PB， :上PAO＝上PBO ＝90。， √ 上P ＝76。， :上AOB ＝360 。 -90 。 -90 。 -76。＝104 ° :上ACB上AOB ＝52 。. 故答案为：52 . 14 ．如图，AE，DF 是正八边形 ABCDEFGH 的两条对角线，则 . 【分析】设正八边形 ABCDEFGH 中心为 O，连接 OF、OD，设 OD ＝OF＝a，表示出 DF 和 AE，再计算即可解答. 【解答】解：设正八边形 ABCDEFGH中心为 O，连接 OF、OD ，如图， 5 学科网（北京）股份有限公司 ∵多边形为正八边形， ∴中心角∠DOF＝360 °90°, 设 OD ＝OF＝a， ∴AE ＝2a，DFa， ∴AE：DF＝2a：a . 故答案为： . 15 ．抛物线y ＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a＜0）经过(﹣ 1，1），（m ，0）两点，且 2＜m ＜3，下列结论： ①c＞1； ②当 x 时，y 随 x 的增大而减小； ③关于 x 的不等式 ax2+bx＜（c﹣ 1）x 的解集为x＞0 或 x<﹣ 1； ④2a+c . 其中正确的结论是 ③④ .（填写序号） 【分析】根据题中所给条件：抛物线y ＝ax2+bx+c（a，b ，c 是常数，a＜0）经过(﹣ 1， 1），（m ，0）两点，且 2＜m＜3，可得 a﹣b+c ＝1 ，4a+2b+c＞0 ，9a+3b+c＜0，这 3 个式 子整理后消去 a 和 b 可得 c 的取值范围；判断二次函数的对称轴可能的值，得到②是否 正确；把所给不等式进行整理，得到只含 a 和 x 的不等式，进而可得不等式的解集，也 就判断出③是否正确；根据 a﹣b+c ＝1 ，4a+2b+c＞0，整理可得④是否正确. 【解答】解：∵抛物线y ＝ax2+bx+c 经过(﹣ 1 ，1）， ∴a﹣b+c ＝1 . ∴b ＝a+c﹣ 1 . ∵抛物线y ＝ax2+bx+c（a＜0）经过(﹣ 1 ，1），（m ，0）两点，且 2＜m＜3， ∴ . 整理不等式组得： . 6 学科网（北京）股份有限公司 ( . )∴ ①+②得：﹣2c<﹣ 1 . ( . )∴c 故①错误； ∵抛物线y ＝ax2+bx+c（a＜0）经过(﹣ 1 ，1）， ∴n<﹣ 1 . 取 n =﹣ 1.5. ∵2＜m＜3， ∴0.5＜m+n＜1.5 . ∴0.25 0.75 . ∴抛物线的对称轴x 可能的取值范围是：0.25＜x＜0.75 . ∴对称轴可能为直线x ＝0.6 . ∴当x＜0.6 时，y 随x 的增大而增大，x＞0.6 时，y 随 x 的增大而减小. 故②错误. ∵ax2+bx＜（c﹣ 1）x， ∴ax2+bx﹣（c﹣ 1）x＜0 . ∴ax2+（b﹣c+1）x＜0 . ∵b ＝a+c﹣ 1， ∴不等式可整理为：ax2+ax＜0 . 若 ax2+ax ＝0 . ax（x+1）＝0 . 解得：x1 ＝0，x2 =﹣ 1 . y ＝ax2+ax 的图象如图所示： 7 学科网（北京）股份有限公司 ∴ax2+ax＜0 的解集为：x＞0 或x<﹣ 1 . ∴关于 x 的不等式 ax2+bx＜（c﹣ 1）x 的解集为x＞0 或 x<﹣ 1； 故③正确； ∵b ＝a+c﹣ 1 ．当 x ＝2 时，函数值大于 0， ∴4a+2b+c＞0 . ∴4a+2（a+c﹣ 1）+c＞0 . ∴6a+3c＞2 . ( . )∴2a+c 故④正确. 故答案为：③④. 8 学科网（北京）股份有限公司 16 ．如图，在矩形 ABCD 中， . 动点 M 从点A 出发，沿边 AD 向点 D 匀速运动，动 点 N 从点 B 出发，沿边 BC 向点 C 匀速运动，连接 MN．动点M，N 同时出发，点 M 运 动的速度为 v1，点 N 运动的速度为 v2，且 v1＜v2 ．当点 N 到达点 C 时，M，N 两点同时 停止运动．在运动过程中，将四边形 MABN 沿 MN 翻折，得到四边形 MA ′B ′N．若在 ( . )某一时刻，点 B 的对应点 B′恰好与 CD 的中点重合，则的值为 【分析】如图，设 AD 交 A ′B′于点 Q ．设 BN＝NB′＝x ．利用勾股定理求出 x（用 k 表示），再利用相似三角形的性质求出AM（用 k 表示），可得结论. 【解答】解：如图，设 AD 交 A I BI于点 Q ．设 BN＝NB I＝x . 9 学科网（北京）股份有限公司 “ , :可以假设AB ＝2k，CB ＝3k， “四边形 ABCD 是矩形， :AD＝BC＝3k，CD＝AB ＝2k，上C＝上D ＝90。， 在 Rt△CNBI中， CN2+CB I 2＝NB I 2， :（3k -x）2+k2＝x2， :xk， :NB I k，CN＝3k-kk， 由翻折的性质可知上A I B I N＝上B ＝90。， :上DB I Q+ 上CB I N＝90。，上CB I N+上CNBI＝90。， :上DB I Q＝上CNBI， “上D＝上C＝90。， :△DB I Q∞△CNBI， :DQ：DB I： QB I＝CB I： CN：NB I＝3：4：5， “DB I＝k， :DQk， “上DQBI＝上MQA I，上D＝上A I， :△DQBI∞△A I QM， :A I Q：A I M：QM＝DQ：DB I： QB I＝3：4 ：5， 设 AM＝MAI＝y， 则 MQ-y， “DQ+QM+AM＝3k， ∴ky+y ＝3k， ∴y ＝k， ∴ , 解法二：连接 BB′，过点 M 作MH⊥BC 于点 H. 设 AB ＝CD ＝6m ，CB ＝9m，设 BN＝NB′＝n，则 n2＝（3m）2+（9m﹣n）2， ∴n ＝5m ，CN＝4m， 由△BB ′C∽△MNH，可得 NH＝2m， ∴AM＝BH＝3m， ∴ , 故答案为： . 17 ． - 2 18 ．解不等式组： . 【分析】分别解两个不等式得到x≥﹣ 1 和 x＜2，然后利用大小小大中间找确定不等式组 的解集. 10 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解： , 解不等式①得 x≥﹣ 1， 解不等式②得 x＜2， 所以不等式组的解集为﹣ 1≤x＜2 . 19 ．先化简然后从﹣3＜x≤1 中选取一个合适的整数作为 x 的值 代入求值. 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的 x 的 值代入计算即可. 11 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：原式 ( ) • , ∵（x+1）（x﹣ 1）≠0 且x（x﹣ 1）≠0， ∴x≠±1 且 x≠0， ∴取 x =﹣ 2， 则原式 . 20 ．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球 3 个，白球 5 个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是 . （1）求盒子中黑球的个数； （2）求任意摸出一个球是黑球的概率； （3）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为 ，若能， 请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由. 【分析】（1）直接利用概率公式计算得出盒子中黑球的个数； （2）直接利用概率公式的意义分析得出答案； （3）利用概率公式计算得出符合题意的方法. 【解答】解：（1）∵红球 3 个，白球 5 个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率 是，∴515， 故盒子中黑球的个数为：15﹣3﹣5 ＝7； ( ; ) （2）任意摸出一个球是黑球的概率为： （3）能； ∵任意摸出一个球是红球的概率为， ∴可以将盒子中的白球拿出 3 个（方法不唯一）. 21．“云南之美，一步一景，一城一故事”，2024 年的“五一”假期，云南省各景区迎来了 客流高峰．某校七年级数学兴趣小组就“最想去的云南旅游景点”，随机调查了本校部分 学生，提供五个具体选（要求每位同学选且只能选一个最想去的景点）：A ．大理；B 丽 江；C．泸沽湖；D 洱海；E ．玉龙雪山．下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的 不完整的统计图. 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了 200 名学生，扇形统计图中角 α = 54 度； （2）请将本题中的条形统计图补充完整； （3）若该校共有 2000 名学生，请根据上述调查结果估计该校选择最想去“A 大理”的 学生共有多少名？ 【分析】（1）由想去 B 丽江的人数和所占比例即可得出总人数，求出想去 C 泸沽湖的人 数，再由 360°乘以想去 C 泸沽湖的人数所占的比例即可得出答案； （2）根据（1）中计算的想去 C 泸沽湖的人数补全统计图即可； （3）由样本估计总体的计算方法计算即可得出答案. 【解答】解：（1）由题意得： 此次调查一共随机抽取了 50÷25% ＝200 名学生， 想去 C 泸沽湖的人数为：200﹣30﹣50﹣70﹣20 ＝30（名）， 故答案为：200 ，54； （2）如图，将本题中的条形统计图补充完整如下： 12 学科网（北京）股份有限公司 （3）估计该校选择最想去“A 大理”的学生共有2000x影=300（名）. 22 ．如图，点 C 在线段AD 上，AB＝AD ，∠B=∠D ，BC＝DE. （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAC＝60°,求∠ACE 的度数. 【分析】（1）由 BC＝DE，∠B=∠D，AB＝AD，根据“SAS”证明△ABC≌△ADE； （2）由全等三角形的性质得 AC＝AE，∠BAC=∠DAE ＝60°,则∠AEC=∠ACE，由 ∠AEC+∠ACE ＝2∠ACE ＝120°,求得∠ACE ＝60 ° . 【解答】（1）证明：在△ABC 和△ADE 中， , ∴△ABC≌△ADE（SAS）. （2）解：由（1）得△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE，∠BAC=∠DAE ＝60°, ∴∠AEC=∠ACE， ∵∠AEC+∠ACE ＝2∠ACE ＝180°﹣∠DAE＝120°, ∴∠ACE ＝60°, ∴∠ACE 的度数是 60 ° . 23 ．如图，某海域有两灯塔 A，B，其中灯塔 B 在灯塔 A 的南偏东 30°方向，且 A，B 相距 海里．一渔船在 C 处捕鱼，测得 C 处在灯塔 A 的北偏东 30°方向、灯塔 B 的正北 方向. （1）求 B ，C 两处的距离； （2）该渔船从 C 处沿北偏东 65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于 D 处，并发出 求救信号．此时，在灯塔 B 处的渔政船测得D 处在北偏东27°方向，便立即以 18 海里/ 小时的速度沿 BD 方向航行至 D 处救援，求渔政船的航行时间. （注：点 A ，B ，C，D 在同一水平面内；参考数据：tan65°≈2.1 ，tan27°≈0.5） 13 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1） 由题意得，∠ACB=∠ABC ＝30°,根据等腰三角形 到现在得到 AB = AC海里，过A 作 AH⊥BC 于 H，解直角三角形即可得到结论； （2）过 D 作 DG⊥BC 于 G，解直角三角形得到 DG ＝10.5（海里），求得 CG ＝5 海里， 根据勾股定理得到 BD（海里），于是得到渔政船的航行时间为 18（小时）. 【解答】解：（1）由题意得， ∠ACB=∠ABC＝30°, ∴AB＝AC海里， 过 A 作 AH⊥BC 于 H， ∴∠AHC=∠AHB ＝90°, CH＝BH， ∴CH＝BHAB8（海里）， ∴BC＝16 海里， 答：B ，C 两处的距离为 16 海里； （2）过 D 作 DG⊥BC 于 G， 在 Rt△BDG 中，BG2DG， 在 Rt△CDG 中，CG， ∵BC＝BG﹣CG， ∴2DG16 ， ∴DG ＝10.5（海里）， 14 学科网（北京）股份有限公司 ∴CG ＝5 海里， ∴BG＝BC+CG ＝21（海里）， ∴BD （海里）， ∴渔政船的航行时间为18（小时）. ( , )24 ．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象 l 与反比例函数y的图象交于 M ( 4），N（n ，1）两点. （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）求△OMN的面积； （3）若点 P 是y 轴上一动点，连接 PM，PN．当 PM+PN 的值最小时，求点 P 的坐标. 15 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）依据题意，由 M ( , 4）在反比例函数y上，可得 k 的值，进而求出反 比例函数，再将 N 代入求出 N 的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）依据题意，设直线 l 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，由直线 l 为y =﹣ 2x+5，可得 A ( , 0），B（0 ，5），故 OA ，OB ＝5，再由 S△OMN＝S△AOB﹣S△AON﹣S△BOMAO ×BOAO•yN-BO×xM，进而计算可以得解； （3）依据题意，作点 M 关于y 轴的对称点 M'，连接 M'N 交y 轴于点P，则 PM+PN 的 16 学科网（北京）股份有限公司 最小值等于M'N 的长，结合 M ( , 4）与 M'关于y 轴对称，故M'为( , 4），又 N（2， 1），可得直线 M ′N 为y=-6/5x+17/5，再令 x ＝0，则 y=17/5，进而可以得解. 【解答】解：（1）由题意，∵M ( , 4）在反比例函数y上， ∴k4 ＝2 . ∴反比例函数表达式为y . 又 N（n ，1）在反比例函数y上， ∴n ＝2 . ∴N（2 ，1）. 设一次函数表达式为y ＝ax+b， ( . )∴ ∴a =﹣ 2 ，b ＝5 . ∴一次函数的表达式为y =﹣ 2x+5 . （2）由题意，如图，设直线 l 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B， 又直线 l 为y =﹣ 2x+5， ∴A ( , 0），B（0 ，5）. ∴OA=5/2 ，OB ＝5. ∴S△OMN＝S△AOB﹣S△AON﹣S△BOMAO×BO-1/2AO•yN-1/2BO×xM ( 5 1 5 ) . （3）由题意，如图，作点M 关于y 轴的对称点M'，连接 M'N 交y 轴于点 P，则 PM+PN 的最小值等于 M'N 的长. 17 学科网（北京）股份有限公司 ∵M ( , 4）与 M'关于y 轴对称， ∴M'为( , 4）. 又 N（2 ，1）， ∴直线 M ′N 为y=-x . 令 x ＝0，则 y， ∴P（0 ，）. 25 ．如图，AB 是。O 的直径，点 C，D 在。O 上，OD 平分∠AOC. （1）求证：OD∥BC； （2）延长DO 交。O 于点 E，连接 CE 交 OB 于点 F，过点 B 作。O 的切线交DE 的延长 线于点 P ．若 ，PE ＝2，求。O 半径的长. 【分析】（1）连接AC 交 OD 于 H，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BCA ＝90°,根 据角平分线的定义得到∠AOD=∠COD，根据弧与圆心角的关系可得，根据垂 径定理可得 OD⊥AC，根据平行线的判定定理可得 OD∥BC； （2）易证得△OEF∽△BCF，根据相似三角形的性质得到，设 OE ＝5x， BC＝6x，根据三角形的中位线定理可求得0H=BC=3X，根据切线的性质得到∠OBP =90°,然后可证得△POB∽△AOH，根据相似三角形的性质可得到关于 x 的一元二次 方程，解之，即可求出。O 半径的长. 【解答】（1）证明：如图，连接 AC 交 OD 于 H， ∵AB 是。O 的直径， ∴∠BCA ＝90°, ∵OD 平分∠AOC， ∴∠COD=∠AOD， ∴ , ∴OD⊥AC， ∴∠OHD ＝90°, ∴∠BCA=∠OHA， ∴OD∥BC； （2）解：∵OE∥BC， 18 学科网（北京）股份有限公司 ∴△OEF∽△BCF， 19 学科网（北京）股份有限公司 ∴ , 设 OE ＝5x，BC＝6x ， ∵OA ＝OB ，OH//BC， ∴AH＝CH， ∵PB 是。O 的切线， ∴∠OBP ＝90°, ∴∠PBO=∠AOH， 又∵∠POB=∠AOH， ∴△POB∽△AOH， ∴ 解得： ， ∴ OE = ∴。O 半径的长为 . 26 ．如图①,动点 P 从矩形 ABCD 的顶点 A 出发，以 v1 的速度沿折线 A﹣B﹣C 向终点 C 运动；同时，一动点 Q 从点 D 出发，以 v2 的速度沿 DC 向终点 C 运动，当一个点到达 终点时，另一个点也停止运动．点 E 为 CD 的中点，连接 PE，PQ，记△EPQ 的面积为 S， 点 P 运动的时间为 t，其函数图象为折线 MN﹣NF 和曲线 FG（图②),已知，ON＝3 ， NH＝1，点 G 的坐标为（6 ，0）. （1）点 P 与点 Q 的速度之比的值为 ；AB：AD 的值为 2 ； （2）如果 OM＝2 . ①求线段 NF 所在直线的函数表达式； ②是否存在某个时刻 t，使得 S？若存在，求出 t 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）由函数图象可知 t ＝3 时，Q 与 E 重合，t ＝4 时，P 与 B 重合，t＝6 时，P 与 C 重合，则 Q 的速度 v2 ，P 的速度 v1，从而得出答案； （2）①当 t ＝0 时，P 与 A 重合，Q 与 D 重合，此时 S△ADE ＝2，可得 AD＝BC＝DE ＝2， AB ＝CD ＝2AD ＝4，从而得出点 P 与 Q 的速度，即可得出点 F 的坐标，利用待定系数法 可得答案； ②利用待定系数法求出直线 MN 的函数解析式，当 S时，可得 t 的值，根据图象可得 答案. 【解答】解：（1）∵ON＝3 ，NH＝1 ，G（6 ，0）， ∴N（3 ，0），H（4 ，0）， 由图象可知：t ＝3 时，Q 与 E 重合，t ＝4 时，P 与 B 重合，t ＝6 时，P 与 C 重合， ∴Q 的速度 v2 ，P 的速度 v1， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD，AD＝BC， ∵E 为 CD 的中点， ∴DE=CD=8， ∴ , ∵P 从 A 到 B 用了4 秒，从 B 到 C 用了2 秒， ∴AB ＝4v1，BC＝2v1， ∴AB ＝2BC， ∴AB：AD 的值为 2， 故答案为：； （2）①∵OM＝2， ∴M（0 ，2）， 由题知，t ＝0 时，P 与A 重合，Q 与D 重合， 20 学科网（北京）股份有限公司 ∴S , ∵AB：AD ＝2， ∴AD＝DE=8， ∴ , ∴AD＝BC＝DE＝2，AB ＝CD ＝2AD ＝4， ∴v2， 当 t ＝4 时，DQ ＝v2t， ∴QE＝DQ﹣DE=3/2，此时 P 与 B 重合， 21 学科网（北京）股份有限公司 ∴S , ∴F（4 ，）， 设直线 NF 的解析式为 S＝kx+b（k≠0）， 将 N（3 ，0）与 F（4， , ( , )∴ )代入得： ∴线段 NF 所在直线的函数表达式为 S； ②存在，分情况讨论如下： 当 Q 在DE 上，P 在 AB 上时， ∵直线 MN 经过点M（0 ，2），N（3 ，0）， 同理求得直线 MN 的解析式为 S=-2/3x+2， 当 s时 ∴x ＝2， ∵s 随 x 的增大而减小， ∴当 0≤x≤2 时，S， 当 Q 在 CE 上，P 在 AB 上时， 直线 NF 的解析式为 S=2x/3-2， 22 学科网（北京）股份有限公司 由 F（4， )知：当 x ＝4 时，S， 当 Q 在 CE 上，P 在 BC 上时， S , ∵DQ ＝v , ∴EQ＝DQ﹣DE=， v ∴AB+BP ＝v1t ＝t， ∵AB+BC＝4+2 ＝6， ∴CP ＝6﹣t， ∴S=（4＜x≤6）， ( , )当 S时， ∴t ＝4 或 5， 由图象知：当 4＜x≤5 时，S， 综上，S时，x 的取值范围为 0≤x≤2 或 4≤x≤5 . 27 ．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2+bx+3（a≠0）经过 A (﹣ 1，0），B（3，0）两点， 与y 轴交于点 C，点 P 是抛物线上一动点，且在直线BC 的上方. （1）求抛物线的表达式. （2）如图 1，过点 P 作 PD⊥x 轴，交直线 BC 于点 E，若 PE ＝2ED，求点 P 的坐标. （3）如图 2，连接 AC、PC、AP，AP 与 BC 交于点 G，过点 P 作 PF∥AC 交 BC 于点 F．记 △ACG、△PCG、△PGF 的面积分别为 S1，S2，S3.当取得最大值时，求 sin∠BCP 的值. 【分析】（1）将点 A (﹣ 1 ，0），B（3 ，0）代入解析式中，求出 a 和 b 的值，得到抛物 线解析式为y =﹣ x2+2x+3； （2）设 P（m，﹣m2+2m+3），则 PD =﹣ m2+2m+3，DE =﹣ m+3，PE＝PD﹣DE =﹣ m2+2m+3 ﹣(﹣ m+3）=﹣ m2+3m，根据 PE ＝2ED，得出﹣m2+3m ＝2 (﹣m+3），解得 m1 ＝2，m2 =3（不合题意舍去），得出 m ＝2，得到 P（2 ，3）； （ 3 ）设 P （ n ，﹣ n2+2n+3 ）， 则 Q （ n ，﹣ n+3 ）， PQ =﹣ n2+3n ，先求出 , 得出最大值，再证明△CPQ ∽ △ACB，得出∠BCP=∠CAB，得到 . 【解答】解：（1） ∵抛物线y ＝ax2+bx+3（a≠0）与 x 轴交于点A (﹣ 1 ，0），B（3 ，0）， 23 学科网（北京）股份有限公司 ∴ , 解得： , ∴抛物线解析式为y =﹣ x2+2x+3； （2）∵当 x ＝0 时，y =﹣ x2+2x+3 ＝3， ∴C（0 ，3）， 设直线 BC 的解析式为y ＝kx+n， ∴ , 解得： , ∴直线 BC 的解析式为y =﹣ x+3， 设 P（m，﹣m2+2m+3），则 PD =﹣ m2+2m+3， ∵PD⊥x 轴于点 D， ∴E（m，﹣m+3），D（m ，0）， ∴DE =﹣ m+3， ∴PE＝PD﹣DE =﹣ m2+2m+3 ﹣(﹣ m+3）=﹣ m2+3m， ∵PE ＝2ED， ∴﹣m2+3m ＝2 (﹣m+3）， 解得 m1 ＝2 ，m2 ＝3（此时 B，D 重合，不合题意舍去）， ∴m ＝2， ∴P（2 ，3）； （3）∵PF∥AC， ∴△ACG∽△PFG， 24 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∴ ∴ , , , , 作 AN∥BC 交y 轴于 N，作 PQ∥y 轴交 BC 于 Q， ∵直线 BC 的解析式为y =﹣ x+3，AN∥BC， ∴直线 AN 的解析式为y =﹣ x+b′， 将 A (﹣ 1 ，0）代入y =﹣ x+b′，得：0 =﹣(﹣ 1）+b′， 解得：b ′=﹣ 1， ∴直线 AN 的解析式为y =﹣ x﹣ 1， 当 x ＝0 时，yN=﹣ 1， ∴N（0，﹣ 1）， ∴ON＝1 ，CN＝ON+CO ＝4， ∵AN∥BC，PQ∥y， ∴∠PQF=∠NCB=∠ANC，∠PFC=∠ACF， ∵∠PFC=∠FPQ+ ∠PQF，∠ACF=∠NCB+∠ACN， ∴∠FPQ=∠ACN， ∴△CAN∽△PFQ， ∴ , 设 P（n，﹣n2+2n+3），则 Q（n，﹣n+3）， ∴PQ =﹣ n2+3n， ∴ , ∴当n=3/2时，有最大值， 此时， 25 学科网（北京）股份有限公司 ( : ), , 丫ON＝OA ＝1 ，OB ＝OC＝3， :上OBC＝上ANC＝45。， 丫上ANC＝上PQF， :上OBC＝上PQF， 丫，AB ＝4， :， :， :△CPQ∞△ACB， :上BCP＝上CAB， ， : . $$