第16章　二次根式（课件）2024-2025学年人教版数学八年级下册

第十六章　二次根式 第6课　二次根式的加减法 化简： (1) ＝ 　2 　； (2) ＝ 　2 　； (3) ＝ 　3 　 ； (4) ＝ 　3 　. 2 　 2 　 3 　 3 　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 同类二次根式 　　化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫作同类二次根式.如 ＝2 ，故 与 是同类二次根式. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (2024·湛江赤坎区期末)下列二次根式中，与 是同类二次根式的是(　C　) A. B. C. D. C 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (2024·阳江江城区期末)如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么a的值是 ⁠. 2　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 二次根式的加减法 　　二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. (教材P13)计算： (＋ )－(－ ). 解：原式＝ ＋ － ＋ ＝2 . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 计算： (1)3 ＋ ＝ 　4 　； (2)3 －2 ＝ 　 　； (3) ＋3 －2 ＝ 　2 　； (4) ＋3 －5 ＝ 　－ 　. 4 　 　 2 　 － 　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (教材P13)计算： (1) － ； 解：原式＝2 － ＝ . (2) － . 解：原式＝2 －4 ＝－2 . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 计算： (1) － ； 解：原式＝3 －4 ＝－ . (2)2 ＋ . 解：原式＝2×2 ＋3 ＝4 ＋3 ＝7 . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (教材P13)计算： － ＋ . 解：原式＝2 － ＋ ＝ . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 计算： 2 － － . 解：原式＝2×3 －4 － ＝ . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 　　二次根式的加减运算口诀：“一化，二找，三合并”. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 基础过关 1. 下列根式中能与 合并的是(　D　) A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是(　D　) A. 3＋ ＝3 B. ＋ ＝ C. ＝±2 D. ＋ ＝3 D D 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 3. 计算 ＋3 的结果是 　2 　. 4. 若最简二次根式 和 可以合并，则x的值为 ⁠. 2 　 7　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 5. 计算： (1) ＋1－(3 －2)； 解：原式＝ ＋1－3 ＋2 ＝－2 ＋3. (2) ＋ . 解：原式＝2 ＋5 ＝7 . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 6. 已知长方形的长为 ，宽为 ，求这个长方形的周长. 解：根据题意，长方形的周长为 ×2＋ ×2＝6 . 答：这个长方形的周长为6 . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 能力过关 7. 若 ＋ ＝ ，则y的值为(　C　) A. 8 B. 15 C. 3 D. 2 8. 若 ＋ ＝b (b为整数)，则a的值可以是(　D　) A. B. 27 C. 24 D. 20 C D 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 思维过关 9. 一个三角形的三边长分别为5 ， ， . (1)求它的周长(要求结果化简)； 解：这个三角形的周长为 5 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (2)请你给出一个适当的x的值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长. 解：当x＝20时，这个三角形的周长为整数， ＝ ＝ ×10＝25. ∴当x＝20时，这个三角形的周长是25(答案不唯一). 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 10. 信息一：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部写出来，比如：π、 等常用的“…”或“≈”的表示方法都不够百分百准确； 信息二：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5－2得来的； 信息三：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如2＜ ＜3，是因为 ＜ ＜ . 根据上述信息，回答下列问题： 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (1) 的整数部分是 ，小数部分是 　 －3　；　 (2)若2＋ 的小数部分为a，3－ 的小数部分为b，则a＋b的值为 ⁠. 3　 －3　 1　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 $$ 第十六章　二次根式 第4课　二次根式的除法(1) 1. ＝ 　 　， ＝ 　 　. 2. ＝ 　 　， ＝ 　 　. 　 　 　 　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 二次根式的除法法则 　　 ＝ (a≥0，b＞0). 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (教材P8)计算： (1) ；　　　　　　 解：原式＝ ＝2. (2) ÷ ； 解：原式＝ ＝3 . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (3) ； 解：原式＝ × ＝ . (4) . 解：原式＝ ＝ . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 计算： (1) ；　　　　　 解：原式＝ ＝3. (2) ÷ ； 解：原式＝ ＝4. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (3) ； 解：原式＝ × ＝6. (4) ÷ . 解：原式＝ ＝2a. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 二次根式的化简 　　 ＝ (a≥0，b＞0). (教材P8)化简： (1) ；　　　　 解：原式＝ . (2) ； 解：原式＝ . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (3) ； 解：原式＝ . (4) (a＞0，b≥0). 解：原式＝ . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 化简： (1) ；　　　　　 解：原式＝ . (2) ； 解：原式＝ . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (3) ； 解：原式＝ . (4) (a＞0). 解：原式＝ . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 基础过关 1. 计算 ÷ 的结果是(　C　) A.6 B.8 C. 2 D.4 C 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 2. 化简 的结果为(　D　) A. B. C. D. D 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 3. 下列各式的计算结果为2 的是(　C　) A. ÷ B. × C. ÷ D. × 4. (2024·中山期末)计算 ÷□＝ ，则□中的数是(　C　) A.4 B. C. 2 D. C C 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 能力过关 5. 计算：(1) ； 解：原式＝ ＝4. (2) ÷ . 解：原式＝ ＝ . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 6. 计算：(1) ÷ ；　 解：原式＝ ＝ . (2) . 解：原式＝ ＝ ＝ ＝3. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 思维过关 7. (注重阅读理解)下面是小明和小刚分别计算 × ， 的做法. 小明的做法： 解： × ＝ ＝ ＝6， ＝ ＝ ＝3. 小刚的做法： 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 解： × ＝ × ＝ ×3 ＝6， ＝ ＝3. 请问两人的做法是否都正确？选一种你认为合适的方法，计算下面的题目： (1)3 × ；　　　 解：两人的做法都正确. (1)原式＝3 × × ＝9 . (2) . (2)原式＝ ＝ ＝ . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 $$ 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 第十六章　二次根式 第1课　二次根式的概念 32＝ ⁠ (－3)2＝ ⁠ 9的平方是 ⁠ 9的算术平方根是 ⁠ 52＝ ⁠ (－5)2＝ ⁠ 25的平方是 ⁠ 25的算术平方根是 ⁠ 02＝ ⁠ 0的平方根是 ⁠ 0的算术平方根是 ⁠ x2＝a(a≥0) a的平方根记作± a的算术平方根记作 总结：非负数有平方根，负数没有平方根.若 有意义，则a≥0. 9 9　 ±3　 3　 25 25　 ±5　 5　 0　 0　 0 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 二次根式的概念 　　一般地，我们把形如 (a 0)的式子叫作二次根式.如 ， ， (x≥－2). 下列各式是二次根式的是(　A　) A. B. C. 32 D. ≥　 A 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 下列各式一定是二次根式的是(　C　) A. B. C. D. C 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 有意义⇔a ⁠0 (教材P2)如果二次根式 有意义，那么实数a的取值范围是(　B　) A. a＞3 B. a≥3 C. a＜3 D. a≤3 ≥　 B 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (2024·江门期末)若二次根式 有意义，则x的值不可以是(　D　) A. 1 B. 0 C. D. －1 D 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (教材P3)当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； 解：由3－x≥0，得x≤3. (2) ； 解：由2x＋2≥0，得x≥－1. (3) . 解：由 ≥0，得x≥－4. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ＋ ； 解：由 得－1≤x≤2. (2) ； 解：由 得x≥－1且x≠2. (3) . 解：由x－2＞0，得x＞2. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 基础过关 1. 下列式子不是二次根式的是(　B　) A. B. C. D. B 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 2. 在式子 ， ， ， 中，二次根式有(　B　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 3. 要使二次根式 有意义，则x的取值范围是(　D　) A. x＞2 B. x＜2 C. x≤2 D. x≥2 4. 要使 有意义，则x必须满足(　C　) A. x≥－3 B. x≤－3 C. x＞－3 D. x＜－3 D C 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 能力过关 5. 若 是二次根式，则n的值可以是(　A　) A. －1 B. 2 C. 3 D. 5 6. 如果代数式 ＋ 有意义，那么直角坐标系中点A(a，b)的位置在(　A　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 A A 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 7. (2023·广州荔湾区期末)当x＝ 时，二次根式 有最小值. 8. (2024·江门蓬江区期末)已知n是一个正整数， 是整数，则n的最小值是(　B　) A. 3 B. 5 C. 15 D. 45 3　 B 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 思维过关 9. (2024·惠州惠城区月考)已知b＝ ＋ ＋20，求 的值. 解：∵ 与 有意义， ∴a－5≥0，5－a≥0. ∴a＝5.∴b＝20. ∴ ＝ ＝ ＝5. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 可由二次根式有意义的条件得出a的取值范围，进而求出a，b的值. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 10. 已知 ＋ ＝x，求x的值. 解：根据题意，得x－4≥0. 解得x≥4. ∴ ＝x－3. ∴ ＋x－3＝x，即 ＝3. ∴x－4＝9.解得x＝13. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 $$ 第十六章　二次根式 第3课　二次根式的乘法 1. × ＝ ， ＝ ⁠. 2. × ＝ ， ＝ ⁠. 6　 6　 20　 20　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 二次根式的乘法法则 　　 · ＝ 　 　(a≥0，b≥0). (教材P6)计算： (1) × ； 解：原式＝ . 　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (3) × ； 解：原式＝ ＝ 解：原式＝ ＝ . (2) × ； 解：原式＝ ＝1. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 解：原式＝ ＝ ＝2. (4) × . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 计算： (1) × ； 解：原式＝ ＝6. (2) × ； 解：原式＝ ＝ . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (3) ×2 ； 解：原式＝2× ＝2 . (4) ·(－ ). 解：原式＝－ ＝－3. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 积的算术平方根 　　 ＝ · (a≥0，b≥0)，即积的算术平方根等于各因式的算术平方根的 ⁠. (教材P7)计算： (1) ；　　　　　 解：原式＝ × ＝3×4 ＝12. 积　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (2) ； 解：原式＝ ＝ × ＝3 . (3) × ； 解：原式＝ ＝ ＝ × × ＝18. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (4)5 ×4 . 解：原式＝5×4× ＝20× ＝20×2 ＝40 . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (1) ；　　　　 解：原式＝ × ＝5×6 ＝30. (2) ； 解：原式＝ × ＝10 . 计算： 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (3)3 ×5 ； 解：原式＝3×5× ＝15× ＝15×16 ＝240.　　 (4)3 ×2 . 解：原式＝3×2× ＝6× ＝6×4 ＝24 . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (教材P7)填空： (1) ＝ 　5 　； (2) · ＝ 　4x 　. 填空： (1) ＝ 　2xy2 　(x≥0)； (2) · ＝ 　2a 　. 5 　 4x 　 2xy2 　 2a 　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 基础过关 1. (2024·南通)计算 × 的结果是(　B　) A. 9 B. 3 C. 3 D. B 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 2. 下列运算正确的是(　D　) A. × ＝ B. 8 × ＝1 C. × ＝12 D. × ＝4 D 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 3. 化简： (1) ＝ 　10 　； (2) ＝ ⁠； (3) × ＝ 　2 　. 10 　 12　 2 　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 4. 计算： (1)(2023·茂名信宜市期中) × ； 解：原式＝ ＝ ＝ . (2)2 ×(－3 )× . 解：原式＝－2×3× × ＝－3 . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 能力过关 5. 下列二次根式中，与 的积是无理数的是(　D　) A. B. C. D. D 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 6. (2024·阳江江城区期中)若 × 是整数，则整数x的值是(　C　) A. 1或3 B. 3或6 C. 3或12 D. 6或12 C 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 思维过关 7. (1)填空： × ＝ ， ＝ ； × ＝ ， ＝ ⁠. 12　 12　 30　 30　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 ① × ； ② × . 解：① × ＝ ＝ ＝12. ② × ＝ ＝ ＝4. (2)请按以上规律计算： 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (3)已知a＝ ，b＝ ，用含a，b的式子表示 . 解：∵a＝ ，b＝ ， ∴ab＝ × ＝ . ∵ ＝ ＝ × ， ∴ ＝ ab. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 8. 已知m为正整数，若 是整数，则根据 ＝ ＝3 可知m的最小值为3×7＝21.设n为正整数，若 是整数，求n的最小值. 解：∵ ＝ ＝5 ， ∴n的最小值为5×2＝10. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 $$ 第十六章　二次根式 第7课　二次根式的混合运算 二次根式的混合运算 (教材P14)计算： (1)(2 ＋ )× ； 解：原式＝2 × ＋ × ＝6 ＋ ＝7 . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (2)(4 ＋6 )÷2 . 解：原式＝4 ÷2 ＋6 ÷2 ＝2＋3 . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 计算： (1)(＋2 )× ； 解：原式＝ × ＋2 × ＝ ＋6 . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (2)(－ )÷ . 解：原式＝(4 －3 )÷ ＝ ÷ ＝1. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (教材P14)计算： (1)(＋ )(－ )； 解：原式＝()2－()2 ＝3. (2)(＋ )2. 解：原式＝()2＋2 × ＋()2 ＝3＋2 ＋2 ＝5＋2 . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 计算： (1)(2＋ )(－1)；　　 解：原式＝2 －2＋2－ ＝ . (2)(－3 )2. 解：原式＝3－6 ＋18 ＝21－6 . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 已知x＝2＋ ，y＝2－ ，求x2y－xy2的值. 解：∵x＝2＋ ，y＝2－ ， ∴x－y＝2 ，xy＝(2＋ )(2－ )＝1. ∴x2y－xy2＝xy(x－y) ＝1×2 ＝2 . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 当a＝ ＋1时，计算代数式a2－2a＋2的值. 解：a2－2a＋2＝a2－2a＋1＋1＝(a－1)2＋1. 当a＝ ＋1时， 原式＝(＋1－1)2＋1 ＝2 025＋1 ＝2 026. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 基础过关 1. (2024·湛江霞山区期末)下列运算正确的是(　D　) A. ＋ ＝ B. ＝5－3 C. (－1)2＝3－1 D. × ＝ D 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 2. 计算(－ )× 的结果是(　B　) A. B. 1 C. D. 3 B 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 3. 计算： (1)(2 －3 )÷ ； 解：原式＝2× －3× ＝8－9 ＝－1. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (2)(1＋ )2－ × . 解：原式＝1＋2 ＋2－ ＝3＋2 －2 ＝2 ＋1. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 4. 计算： －6 ＋(＋2)(－2). 解： 原式＝4 －3 ＋3－4 ＝ －1. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 能力过关 5. 若a＝ ＋1，b＝ －1，则 ＝(　D　) A. 2 B. C. D. 3 6. 若x＝ －4，则代数式x2＋8x－16的值为(　A　) A. －25 B. －11 C. 7 D. 25 D A 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 思维过关 7. 【运算能力】观察下列各式的计算过程，寻找规律并解答问题： ＝ ＝ －1； ＝ ＝ － ； ＝ ＝ － ；… (1) ＝ 　 － 　；(2) ＝ 　 － 　； － 　 － 　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (3)计算：(＋ ＋…＋ )×(＋1). 解：原式＝ …＋ ×(＋1) ＝(－1＋ － ＋…＋ － )×(＋1) ＝(－1)×(＋1) ＝2 025－1 ＝2 024. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 $$ 第十六章　二次根式 第2课　二次根式的性质 ()2＝ (a≥0). (教材P3)计算： (1)()2＝ ⁠； (2)()2＝ ⁠； (3)()2＝ ⁠； (4) (2 )2＝ ⁠. a　 4　 0.3　 7　 12　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 计算： (1)()2＝ ⁠； (2)()2＝ 　 　； (3)(－5 )2＝ ⁠； (4)(－ )2＝ ⁠. 5　 　 50　 0.5　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 ＝ (a≥0)； ＝ (a＜0). (教材P4)计算： (1) ＝ ⁠； (2) ＝ ⁠； (3) ＝ 　 　； (4) ＝ 　 　. a　 －a　 3　 2　 　 　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 计算： (1) ＝ ⁠； (2) ＝ 　 　； (3) ＝ ⁠； (4) ＝ 　2－ 　. 0.3　 　 π　 2－ 　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 二次根式的双重非负性 　　 ≥0，a≥0. 若 ＋ ＝0，求x＋y的值. 解：∵ ＋ ＝0， ≥0， ≥0， ∴x－1＝0，y＋2＝0.∴x＝1，y＝－2. ∴x＋y＝1＋(－2)＝－1. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 若几个非负数的和为0，则这几个非负数皆为0. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 若(a＋2)2＋ ＝0，求(a＋b)2 025的值. 解：∵(a＋2)2＋ ＝0，(a＋2)2≥0， ≥0， ∴a＋2＝0，b－3＝0.∴a＝－2，b＝3. ∴(a＋b)2 025＝(－2＋3)2 025＝1. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 基础过关 1. (2024·广州一模)－ ＝(　A　) A. －2 024 B. 2 024 C. － D. A 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 2. 下列计算正确的是(　A　) A. ＝2 B. ＝－2 C. ＝±2 D. ＝±2 A 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 3. 计算： (1)(2 )2＝ ；(2)－()2＝ ⁠； (3)(－3 )2＝ ；(4)(－ )2＝ 　 　. 8　 －4　 27　 　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 4. 化简： (1) ＝ ⁠； (2) ＝ ⁠； (3) ＝ 　 －1　. 5　 7　 －1　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 能力过关 5. (2024·江门期末)【实践与探究】 (1)计算： ＝ ， ＝ ⁠， ＝ ， ＝ ， ＝ 　 　. 3　 0.5　 0　 6　 　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 【归纳与应用】 (2)观察(1)中的等式，发现其中的规律，并猜想 与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来. (3)利用你总结的规律，计算： ①若x＜2，则 ＝ ⁠； ② ＝ ⁠. 解： ＝a(a≥0)； ＝－a(a＜0). 2－x　 π－3.14　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 6. ＝ 是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题： (1)如图，数轴上点A表示的数为a，化简a＋ ＝ ⁠. 2　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (2)已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简－ ＋ . 解：由数轴，得a＜b＜0＜c， ∴c－a＞0，b－c＜0. ∴－ ＋ ＝－(c－a)＋c－b＝－c＋a＋c－b＝a－b.　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 思维过关 7. (2024·汕头潮南区一模)2，5，m是某三角形三边的长，则 ＋ 等于(　D　) A. 2m－10 B. 10－2m C. 10 D. 4 D 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 8. (分类讨论思想)已知 ＝3， ＝5，且 ＝a＋b，那么a＋b的值是(　A　) A. 2或8 B. 2或－8 C. －2或8 D. －2或－8 A 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 $$ 第十六章　二次根式 第8课　第十六章复习 二次根式的定义及有意义的条件 1. 下列各式中，是二次根式的是(　C　) A. B. 5 C. D. C 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 2. (2023·广州天河区期末)二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　B　) A. x≤－3 B. x≥－3 C. x＞－3 D. x＜－3 B 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 二次根式的性质与化简 3. (2023·阳江江城区期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是(　B　) A. B. C. D. B 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 4. (2024·乐山)已知1＜x＜2，化简 ＋ 的结果为(　B　) A. －1 B. 1 C. 2x－3 D. 3－2x 5. 下列二次根式中，能与 合并的是(　A　) A. B. C. D. B A 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 6. 计算： (1) × ＝ ⁠； (2) ÷ ＝ ⁠. 7. 若a＋ ＝ ，则表示实数a的点会落在数轴的(　B　) A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上 2　 3　 B 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 8. (2024·汕头澄海区期末)计算(－1)(＋1)2的结果是(　A　) A. ＋1 B. 3(－1) C. 1 D. －1 A 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 二次根式的运算 9. 计算： (1) － ＋ ； 解：原式＝3 －4 ＋ ＝0. (2) × ×(3 ＋ )； 解：原式＝ ×(＋ ) ＝3＋ . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (3)(－2 )× －6 . 解：原式＝ －2 －3 ＝3 －6 －3 ＝－6 . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 10. (注重过程性学习)数学课上，老师布置一道计算题： － ÷(＋ )，小明的解答过程如下： 请判断他的解答是否正确？若是错误的，请你写出正确的解答过程. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 解：小明的解答是错误的.正确解答如下： 原式＝6－6 ÷(＋2 ) ＝6－6 ÷3 ＝6－2 ＝4. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 11. (2024·梅州大埔县期末)已知x＋y＝2 ＋ ，xy＝1－ ，则x2y＋xy2的值为 ⁠. 12. 若3－ 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式(2＋ a)·b的值是 ⁠. －5 　 2　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 13. 【推理能力】同学们，在《二次根式》一章中有一个有趣的现象： ＝ ＝ ＝2 ，根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有这一性质的数还有许多，如 ＝3 ， ＝4 等. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (1)猜想： ＝ 　6 　； (2)请再写出一个具有“穿墙”性质的数 ⁠ ⁠； (3)请用只含有一个正整数n 的等式表示上述规律： ⁠. 6 　 (答案不唯一，符合 规律即可)　 ＝n 　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 14. (数学文化)秦九韶(1208年－1268年)，字道古，南宋著名数学家.与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学.他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦－秦九韶公式”. 海伦公式：S＝ ，其中p＝ (a＋b＋c)； 秦九韶公式：S＝ . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (1)一个三角形的三边长分别为3，5，6，用海伦公式求这个三角形的面积为 ⁠； (2)一个三角形的三边长分别为 ， ， ，用秦九韶公式求这个三角形的面积为 ⁠. 2 　 　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 15. (2023·广州天河区期中)阅读材料：像(＋ )(－ )＝3， · ＝a(a≥0)，(＋1)·(－1)＝b－1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如 与 ， ＋1与 －1，2 ＋3 与2 －3 等都是互为有理化因式.在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号. 例如： ＝ ＝ ； ＝ ＝3＋2 . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 解答下列问题： (1)3－ 与 　3＋ 　互为有理化因式，将 分母有理化得 ⁠； (2)计算： － ； 解： － ＝2＋ －2 ＝2－ . 3＋ 　 　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (3)已知有理数a，b满足 ＋ ＝－1＋2 ，求a，b的值. 解：∵ ＋ ＝－1＋2 ， ∴(－1)a＋ b＝－1＋2 . ∴－a＋ ＝－1＋2 . ∴－a＝－1，a＋ ＝2.解得a＝1，b＝2. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 $$ 第十六章　二次根式 微专题1　二次根式的双重非负性 二次根式具有双重非负性： (1) 中的被开方数a是非负数，即a≥0； (2) 本身是非负数，即 ≥0. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 非负数性质的应用 1. 已知x，y满足 ＋ ＝0，则代数式(x＋y)2 025的值为(　A　) A. 1 B. －1 C. 0 D. ±1 A 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 2. 若实数a，b，c满足 ＋ ＝－ . (1)求a，b，c； 解：由题意，得 ≥0， ≥0， ≥0， 且 ＋ ＋ ＝0， 所以a－ ＝0，b－2＝0，3－c＝0. 所以a＝ ，b＝2，c＝3. (2)若满足上式的a，b是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为 ⁠. 2 ＋2或 ＋4　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 提示：若几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0(常见的非负数类型有 ，a2， ). 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 利用二次根式的非负性求最值 3. 当x＝ 　－ 　时， ＋6有最小值，最小值为 ⁠. 4. 当x＝ 时，5－ 有最大值，最大值为 ⁠. － 　 6　 2　 5　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 隐含未知数的取值范围 5. 已知y＝ ＋ ＋8，求3x＋2y的平方根. 解：由题意，得x－3≥0，3－x≥0， ∴x＝3.∴y＝8.∴3x＋2y＝3×3＋2×8＝25. ∴3x＋2y的平方根是±5. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 6. 已知x，y为实数，y＝ ，求xy的平方根. 解：由题意，得x2－4≥0，4－x2≥0，且x－2≠0， ∴x＝－2，y＝－ . ∴xy＝ .∴xy的平方根是± . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 7. 已知实数a满足 ＋ ＝a，求a－2 0232的值. 解：由题意，得a－2 024≥0，∴a≥2 024. ∴ ＋ ＝a可化为a－2 023＋ ＝a. ∴ ＝2 023. 两边同时平方，得a－2 024＝2 0232. ∴a－2 0232＝2 024. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 8. 已知a，b满足 ＝a＋3， ＝a－b＋1，求ab的值. 解：∵ ＝a＋3， ∴若a≥2，则a－2＝a＋3，不成立，故a＜2. ∴2－a＝a＋3.∴a＝－ . ∵ ＝a－b＋1， ∴a－b＋1＝1或a－b＋1＝0.∴b＝－ 或b＝ . ∴ab＝± . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 $$ 第十六章　二次根式 微专题2　与二次根式有关的 阅读理解 1. 观察下列等式，然后解答下面的问题. (＋1)(－1)＝1， (＋ )(－ )＝1， (＋ )(－ )＝1，… (1)观察以上规律，请写出第n个等式： ⁠ __________________________________________(n为正整数)； (＋ )(－ )＝1　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (2)利用上面的规律，计算： ＋ ＋ ＋…＋ ； 解：原式＝ －1＋ － ＋…＋ － ＝ －1 ＝9. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (3)请利用上面的规律，比较 － 与 － 的大小. 解： － ＝ ， － ＝ . ∵ ＞ ， ∴ － ＞ － . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 2. 已知a＝ ，求2a2－8a＋1的值.小明是这样分析与解答的： ∵a＝ ＝ ＝2－ ， ∴a－2＝－ .∴(a－2)2＝3，即a2－4a＋4＝3. ∴a2－4a＝－1.∴2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若a＝ ，则4a2－8a＋1＝ ⁠； 5　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (2)若m＝ ，求m2－2m－2 025的值. 解：∵m＝ ＝ ＋1， ∴m－1＝ . ∴(m－1)2＝2 025，即m2－2m＋1＝2 025. ∴m2－2m＝2 024. ∴m2－2m－2 025＝2 024－2 025＝－1. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 3. 【运算能力】(2024·江门江海区期末)阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2 ＝(1＋ )2.善于思考的小明进行了以下探索，若设a＋b· ＝(m＋n· )2＝m2＋2n2＋2 mn(其中a，b，m，n均为整数)，则有a＝m2＋2n2，b＝2mn，这样小明就找到一种把式子a＋b· 化为平方式的方法.请你依照小明的方法探索并解决下列问题： 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (1)若a＋b· ＝(m＋n· )2，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝ ，b＝ ⁠； m2＋5n2　 2mn　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (2)若a＋4 ＝(m＋n· )2，当a，m，n均为正整数时，求a的值； 解：∵a＋4 ＝(m＋n· )2＝m2＋3n2＋2mn ， ∴a＝m2＋3n2，2mn＝4.∴mn＝2. ∵m，n均为正整数， ∴m＝1，n＝2或m＝2，n＝1. 当m＝1，n＝2时，a＝12＋3×22＝13； 当m＝2，n＝1时，a＝22＋3×12＝7. 综上可知，a的值为13或7. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (3)化简 ，请直接写出结果. 解： ＝3＋ . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 $$ 第十六章　二次根式 第5课　二次根式的除法(2) 计算： (1) ＝ 　 　；　　　 (2) ＝ ；　　　 (3) ＝ 　4x 　(x≥0). 　 2　 4x 　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 最简二次根式 最简二次根式满足的条件： (1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 下列二次根式是最简二次根式的是(　C　) A. B. C. D. C 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 A. B. C. D. (2024·广州荔湾区期末)下列各式中，属于最简二次根式的是(　A　) A 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (教材P9)化简： (1) ； 解：原式＝ ＝ . (2) ； 解：原式＝ ＝ ＝ . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (3) ； 解：原式＝ ＝ ＝ . (4) . 解：原式＝ . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 化简： (1) ； 解：原式＝ ＝ ＝ . (2) ； 解：原式＝ ＝ . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 (3) ； 解：原式＝ ＝ ＝ . (4)3 ÷ . 解：原式＝6 ＝ . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 二次根式的乘除混合运算 (教材P11)计算： × ÷ . 解：原式＝6 ÷ ＝6. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 计算： × ÷ . 解：原式＝4 ÷ ＝12. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 基础过关 1. 化简： (1) ＝ 　3 　； (2) ＝ 　 　； (3) ＝ 　 　； (4) ＝ 　 　. 3 　 　 　 　 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 2. 计算： (1) ÷ ； 解：原式＝ ＝ . (2)3 ÷2 . 解：原式＝3 × ＝3 . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 3. 化简： (1) ； 解：原式＝ ＝ . (2) . 解：原式＝ ＝ ＝ . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 4. 计算： (1)－ ÷ ； 解：原式＝－ ＝－ ＝－ . (2) ÷ × . 解：原式＝ ＝1. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 能力过关 5. 计算： (1) ÷3 ×2 ÷3 ； 解：原式＝ ＝ . (2)4 ÷(－ )× . 解：原式＝－2 × × ＝－ . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 6. 三角形的面积为5 cm2，一条边长为2 cm，求这条边上的高. 解：∵三角形的面积为5 cm2，一条边长为2 cm， ∴高为5 ×2÷2 ＝ ＝ (cm). 答：这条边上的高为 cm. 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 思维过关 7. 【运算能力】作商比较法的理论依据：当a＞0，b＞0时，若 ＞1，则a＞b；若 ＝1，则a＝b；若 ＜1，则a＜b.请用作商法比较 与 的大小. 解：∵ ＞0， ＞0， ÷ ＝ × ＝ × ＝ ＞1， ∴ ＞ . 2025春同步经典学案-数学（R版） 八年级下册 课堂本 返回首页 $$