7.1.2 两条直线垂直-【勤径学升】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练测（人教版2024）黑龙江专版

参考答案及解析 学升·同步练测·七年级数学·下册 参考答案及解析 弟七章相交线与平行线 所以∠A0D=∠B0C=60° 7.1相交线 故答案为60. 7.1.1两条直线相交 5.36[解析]根据题意，设∠E0C为2x°，则∠E0D为3°，则 【蒸础税固练】 2x+3x=180,解得x=36, 所以∠E0C=2x°=72 1.D 2.∠2和∠445° 因为DA平分∠E0OC, [解析]由题图可知，∠1的邻补角为∠2和∠4.因为∠1和 所以∠A0C=分∠B0C=子×72：=36，所以∠B00= ∠2互为邻补角，所以∠1+∠2=180°.又因为∠1：∠2=1 ∠A0C=369 450 3,所以∠1=180°×1 6.110°[解析]设∠2=x,则∠1=2x-30°. 3.(1)80°(2)2a 因为∠1+∠2=180°， 所以2x-30°+x=180°，解得x=70°， [解析】(1)固为∠COE=90°，∠C0F=40°，所以∠OF= 所以∠2=70°.∠1=110° 90°-40°=50°.因为0F平分∠A0E,所以∠AOE=2∠E0F= 7.2n(n-1) 100°，所以∠B0E=180°-100°=80°，故答案为80°. 8.解：(1)因为0E平分∠C0B, (2)因为∠COE=90°，∠C0F=.所以∠EOF=90°-.周为 0F平分∠A0E,所以∠A0E=2∠E0F=180°-2a,所以 所以∠C05=宁∠c0B ∠B0E=180°-(180"-2a)=2a.故答案为2m 因为∠AOD=∠COB, 4.A5.C6.A 所以∠AOD=2∠COE 7,C【解析]每两条直线相交有2对对项角，三条直线两两相 (2)因为∠A0C=50. 交，共有3姐相交线，故对顶角共有6对 所以∠B0C=180°-50°=130°， 8.38 9.解：(1)∠AOC的对顶角是∠BOD,∠AOE的对顶角是∠BOF, 所以∠0C=子2mC=65, ∠EOC的对顶角是∠DOF. 所以∠D0E=180°-∠E0C=180°-65°=115° (2)因为∠AC的对顶角是∠B0D.∠A0C=50°， 因为OF平分∠D0E. 所以∠B0D=50. 因为∠BOC是∠B0D的邻补角， 所以LB0F=子∠0E=57.5 所以∠B0C=180°-50°=130°. (3)设∠AOC=∠B0D=. 【能力提升练】 则∠D0F=a+15°， 所以∠E0F=∠DOF=a+15°. 1,C[解析]因为∠1与∠3是对顶角，所以∠1=∠3，所以当 所以∠BOB=∠E0F+∠B0F=a+30°， ∠1增大2时，∠3增大2，因为∠1与∠2是邻补角，∠1与 所以∠C0B=2∠E0B=2a+60°. ∠4是年补角，所以∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°，所以当 而∠C0B+∠BOD=180°， ∠1增大2°时，∠2减小2°，∠4减小2°，故A,B,D错溪 即2a+60°+x=180°， C正确 2.C[解析]因为∠AOC与∠BD是对项角，所以∠AOC= 解得=40°， 即∠A0C=40° ∠B0D=60°.因为∠A0C-2∠A0E=20°，所以∠A0E=20 由题意可知，∠AOD=180°-∠BOD▣120°，所以∠D0E= 7.1.2两条直线垂直 ∠A0D-∠AOE=100°，图为射线OF平分∠DOE,所以 课时1垂线 【基细现面练】 ∠D0F=号∠D0E=50,所以LA0F=LA0D-LD0F= 1.B2.B 120°-50°=70° 3.A[解析]①∠A0D=90°，可以得出AB⊥CD:②因为∠AOC+ 3.78 ∠B0C=180°，∠A0C=∠B0C,所以∠A0C=∠BOC=90°， 4.60[解析]因为0E平分∠AOC,OC平分∠E0B, 可以得出AB⊥CD:③∠AOC=∠BOD,不能得到AB⊥CD.故 所以∠AOE=∠COE.∠COE=∠B0C. 能说明AB⊥CD的有①②， 所以∠A0OE=∠COE=∠BOC. 4.A[解析]两条直线相交构成四个角，①有一个角是直角，能 因为∠AOE+∠COE+∠BOC=180°. 判定这两条直线互相垂直：②有一对对顶角互补，银据对顶角 所以∠BOC=60°， 相等，可得这一对对顶角都是90°，能判定这两条直线互相叠 ·1 同步练测·七年级数学·下册 直：③有三个角相等，则每个角都等于90°，能判定这两条直6.解：∠D0E=∠C0F=34° 线互相垂直：④有一组年补角相等，则这两个角都为90°，能 因为OM平分LBOF, 判定这两条直线互相鱼克所以能判定这两条直线互相垂直 的有①②X3④，共有4个，故选A. 所以∠PON=文∠BMR 5.90°垂直的定义LE0B-∠EOD LD0B 又因为∠C0B=90°，∠C0F=34°， 对顶角相等 所以∠B0F=90°-34°=56°. 6.解：因为0E平分∠BOD.∠D0E=36, 所以∠PoN=子∠B0F=28 所以∠D0E=∠E0B=36° 又因为∠AOC=∠BOD, 因为∠BOM=∠FOM=280, 所以∠A0C=2×36°=72 所以∠EOM=∠DOE+∠DOB+∠BOM=34°+90°+28 因为0E⊥OF. =152. 所以∠EOF=90°， 7.解：(1)0E⊥0F,理由如下： 所以∠B0F=90°-36°=54 因为0E,0F分别平分∠AOC,∠B0C, 所以∠A0F=180°-∠B0F=180°-54°=126 1 所以LG0E=LA0E=7LA0C, 7.D8.A 【能力捉升练】 LCOF-LBOF-2ZROC. 1.D[解析]因为DE⊥EF,所以∠DEF=∠CEF=90°，所以 ∠DEB+∠BEF=90,因为∠AEC=∠DEB.所以∠AEC+ 所以LB0F=∠C0E+LC0F=之（∠A0C+∠B0C). ∠BEF=90°，故A选项、B选项正确：由题图可得∠AD和 又因为∠AOC与∠BOC为邻补角. ∠CEB互为对项角，所以∠AED=∠CEB,故C选项正确： 所以∠AOC+∠BC=180°， ∠BED+∠AEF无法确定，故D选项不一定正确. 2.B 所以∠B0F=子×180°=90，所以0E10F 3.C[解析]固为OA⊥OC,所以∠AOC=90°.如答图①.因为 (2)因为∠A0G=∠B0D ∠A0∠B0C=1:4,所以∠B0C=号∠40C=2:中答图2 所t以L40E=寸L40C=子LB0D 图为∠A0B:∠BOC=1:4,所以∠B0C:∠AOC=4:3,所以 又因为0G上AB于点O, ∠BOC= 所以∠AOG=∠B0G=90°， 3 -∠A0C=120°，综上所违，∠B0C的度数为72 或120 所以∠B0G=∠A0E+LA0G=号∠B0D+90, 因为∠B0C+∠B0D=180, 所以∠B0C=180°-∠B0D 因为0F平分∠B0C, 所以∠B0F=宁∠B0C=子10-∠B0D 3题答图① 3题答图② 4.150°[解析]设∠A0C=x°，刚∠B0C=4x,所以∠A0B= 因为∠E0G=∠B0F+62°， 3x.因为A0⊥B0,所以3x=90.所以x=30,所以∠B0D= 所以号∠B0D+0°=？(180-LB0D)+62 3609-90°-90°-30°=1509. 5.35或145°[解析]第一种情况，如答图①.因为0M⊥0C, 解得∠B0D=62°， 所以∠D0G=∠B0G-∠B0D=90°-62°=28° 0B⊥0D,所以∠I+∠BOC=90°，∠2+∠B0C=90°，所以 8.解：(1)∠AOD∠BOD,∠C0E ∠1=∠2=35： (2)设∠AOE的度数为x.则∠B0E的度数为(180°-x), 第二种情况，如答图②，∠C0D=∠2.因为0A⊥0C,0B1 0D.所以∠1+∠B0C=90°，∠1+∠A00=90°，所以∠B0C 因为∠AOF的垂角比∠BOE大40°， 所以90°+x-(180°-x)=40°， =∠A0D=90°-∠1=55°，所以∠2=∠C0D=∠1+∠B0C+ ∠A0D=35°+55°+550=145°.综上所迷，∠2的度数为35 解得x=65°，则∠A0E的度数是65 或145. 课时2垂线段 【基钮矾图练】 1.C[解析]因为AB⊥AC,且垂足为A,所以点B到AC的垂线 段是线段AB,所以A正确：因为AC⊥AB,且垂足为A,所以点 C到AB的垂线段是线段AC,所以B正确：因为AD与AB不垂 直，所以点D到AB的垂线段不是线段AD,所以C错误：因为 BD⊥AD,且垂足为D,所以点B到AD的垂线段是线段BD,所 5题答图① 5题答图2 以D正确 2.B 2 参考答案及解析 3.3<AC<5[解析]周为AC⊥BC于点C,AB=5,所以AC< 易借疑难集训 AB=5.又因为AD⊥CD于点D,AD=3,所以AC>AD=3,所 1.B 以3<AC<5.故答案为3<AC<5. ,凰易错分析 4.解：(1)因为两点之间，线段最短，所以连接AD,BC交于点H, 对顶角相等，反之相等的两个角不一定是对顶角： 则点H为蓄水池的位置，如答图，它到四个村庄的距离之和 邻补角互补，反之互补的两个角不一定是邻补角： 最小 2.B (2)过点H作G⊥EF,垂足为G,如答图，沿HG开渠最短.依 ,易错分析… 据是“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段 最短 对垂线的性质中“在同一平面内”理解错误 因为如果过直线上一点，作已知直线的线时，在 不同平面内可以作出无数条该直线的垂线，所以垂线的 性质中“在同一平面内”是一个前提，在实践中体会性质 G 表述的谨性. 3.D 4题答图 ,属易错分析 5.A6,B7A8D9号10 5 过直线外一点向该直线作垂线段时出错 7.1.3两条直线被第三条直线所截 过直线外一点向该直线作垂线段时，有时给出的图 形上的“直线”是一条线段或一条射线，可能需要向线段 【基础玩围练】 的延长线或射线的反向延长线上作垂线段： 1.D2.∠ACD.∠CDB3.B 4.∠DEF或LDEC[解析]∠1与∠DEF可以看成直线AB与 4.B 直线EF被直线DE所俄形成的内错角：∠I与∠DEC可以看 易错分析… 成直线AB与直线AC被直线DE所戴形成的内错角，故答案 在本题中常见的错误有两个：一是漏掉一个同位角 为∠DEF或∠DEC ∠DME,误认为∠1的同位角只有∠2：二是把∠3当作 5.C6.A7.C 41的同位角.通过分离出“三线"可以知道∠1和∠2是 8.AB AC DE内错3 直线和AB被直线EF所截形成的同位角：∠1和 9.解：∠1与LD是直线BA和直线CD被直线AD所截得到的内 ,∠DME是直线CD和AB被直线EF所截形成的同位角. 错角：L1与LB是直线AD和直线BC被直线AB所截得到的5.∠1和∠3∠2和∠4∠2和∠BED 同位角：∠3与L4是直线AB和直线CD被直线AC所截得到 ,属易错分析 的内错角：∠B与∠BCD是直线AB和直线CD被直线BC所 在复杂的图形中识别同位角，内错角，同旁内角时， 截得到的同旁内角：∠2与∠4是直线AD和直线CD被直线 一般从截线入人手，找到“三线八角”的基本图形，进而确 AC所截得到的同旁内角. 定西个角的位置关系： 【能力提升练】 6.解：同位角：∠1与∠2，∠4与∠6： 1.A2.C3.B 内错角：∠1与∠3，∠4与∠5： 4.B[解析]由题图可知∠2和∠1是邻补角，∠3和∠2是邻 同旁内角：∠3与∠4，∠1与∠5 补角，故选项A,C不符合题嘉：∠2与∠10和∠7都是问位 7.解：不正确，第二步出错 角，选项D不符合题意：∠2与∠8和∠9都是同旁内角，选项 同旁内角是∠B与∠C,∠B与∠BAG,∠B与∠BAE,∠C与 B符合题意，故选B. ∠BAC,∠C与∠CAD. 5.3[解析]∠1的同旁内角有LEFD,∠ECD和∠ECB,共3个 7.2平行线 6.(1)∠2(2)∠4(3)ED(4)AF同位 7.2.1平行线的概念 7.解：(1)因为∠C0M=120°，所以∠D0F=120 【基础现置练] 因为OG平分∠D0F,所以∠F0G=60 1.B2.C (2)与∠FG互为同位角的角是∠BMF, 3.三【解析]若四条直线相互平行，则没有交点；若四条直线 (3)因为∠C0M=120°，所以∠C0F=60. 中有三条直线相互平行，别此时恰好有三个交，点：若四条直线 因为∠BB=子LCOP,所以∠BNB=30, 中有两条直线相互平行，另两条不平行，则此时有三个交点或 五个交点：若四条直线中有两条直线相互平行，另两条也平 所以∠AM0=30° 行，但它们之间相互不平行，剥此时有四个交点：若四条直线 8.解：(1)∠1步内角∠13色∠3.（答案不唯一） 中没有平行线，刚此时的交点是一个或四个或六个，综上可 (2)能，路径如下： 如，平面内四条直线共有三个交点，划这四条直线中最多有三 ∠1内脑角，∠4同角∠7可房尚角，∠2.（答案不唯-一） 条平行线.故答案是三 ·3第七章相交线与平行线 7.1.2两条直线垂直 课时1垂线 基础巩固练)， [答案I] 如调点（①垂直的定义 6(江苏盐城期末)如图，直线AB,CD相交于点O, ①（广西贺州期*）如图，AB⊥AC,已知∠1=33°， 0E平分∠B0D,∠D0E=36°，且OE⊥OF,垂足 则∠2的度数是 ( 为O.求∠AOC和∠AOF的度数， A.33° B.57 C.67° D.1679 6题图 D 1题图 3题图 2下列时刻中，时针与分针互相垂直的是( A.2时20分 B.3时整 C.12时10分 D.5时40分 3(河北衡水期中)如图，直线AB,CD相交于点O, 给出下列条件：①∠AOD=90°：②∠AOC= ∠BOC:③∠AOC=∠BOD.其中能说明AB⊥CD 的有 ( A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ ④（费州华节期末）两条直线相交构成四个角，给 出下列条件：①有一个角是直角：②有一对对顶 缅跟点②垂线的画法 角互补：③有三个角相等：④有一组邻补角相 下列各图中，过直线1外一点P画I的垂线CD, 等.其中能判定这两条直线互相垂直的有 三角尺操作正确的是 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 5如图，直线AB,CD相交于点O,OE1CD于点O, ∠EOB=115°，求∠AOC的度数.请补全下面的 解题过程（括号中填写推理的依据）。 解：因为OE1CD于点O(已知)， 所以∠EOD= ( 如限点③垂线的性质 因为∠E0B=115(已知)， 8下列说法正确的有 所以∠DOB= =115°-90°=250. ①一条直线的垂线有且只有一条：②过直线上 因为直线AB,CD相交于点O(已知). 一点有且只有一条直线与已知直线垂直：③在 所以∠AOC= =25°( 同一平面内，过直线外一点有无数条直线与已 知直线垂直；④在同一平面内，可以过任意一点 画已知直线的垂线， 5题图 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 见此图标服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 3 同步练测·七年级数学，下册 《能力提升练 [答案2] ①如图，直线AB,CD相交于点E,已知射线EF1⑦如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分∠A0OC, CD,下列说法不一定正确的是 OF平分∠B0C,OG⊥AB于点O. A.∠DEF=∠CEF=90 (1)判断OE和OF的位置关系，并说明理由； B.∠AEC+∠BEF=90° (2)若∠EOG=∠B0F+62°，求∠DOG的度数 C.∠AED=∠CEB D.∠BED+∠AEF=180 7题图 1题图 2题图 4题图 2如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,OF平 分∠BOE,若∠COF=23°，则∠AOE的度数为 ( A.40 B.460 C.49° D.52° 3已知OA⊥0C,∠AOB:∠B0C=1:4,则∠BOC 的度数为 8[被心素养]如果两个角的差的绝对值等于90， A.54° B.54°或120 就称这两个角互为垂角，例如：∠1=120°，∠2= C.72°或120° D.54或72 30°，1∠1-∠21=90°，则∠1和∠2互为垂角 ④（河北石家庄期米）如图，A0⊥B0,C0⊥D0, (本题中所有角都是指大于0°且小于180 的角) ∠AOC:∠BOC=1:4,则∠BOD= ⑤（上海浦东新区期中）∠1和∠2有公共顶点，且 (1)如图，0为直线AB上一点，0C⊥AB于点0， OE⊥OD于点O,∠AOE的垂角是 ∠1的两边分别垂直于∠2的两边，若∠1=35°， 则∠2= ,∠BOE的垂角是 (2)在(1)的条件下，若∠AOE的垂角比∠BOE 6如图，直线AB与CD交于点0，∠C0B=90°，直 大40°，求∠AOE的度数. 线EF经过点O,OM平分∠B0F,∠COF=34°， 求∠DOE,∠FOM,∠EOM的度数. 8题图 6题图 见此图标跟抖音/縱信扫码领取配套资源稳步是升成绩 第七章相交线与平行线 课时2垂线段 《基础玥固练 [答案2] 细阅点①垂线段的定义 如跟点③点到直线的距离 ①如图，下列说法不正确的是 ⑤（上海浦东新区期末）下列图形中，线段PQ的长 表示点P到直线N的距离是 () M D A.M八 1题图 A.点B到AC的垂线段是线段AB B.点C到AB的垂线段是线段AC C.M D.MN C.点D到AB的垂线段是线段AD D.点B到AD的垂线段是线段BD 6(湖北武汉期中)如图，AB⊥AC,AD上BC,能够 细阅息②垂线段的性质 表示点C到直线AD的距离的是 2(山西吕梁期中)如图，为了解决村民饮水困难 A.线段AC的长 的问题，需要在河边建立取水点，下面四个点中 B.线段CD的长 哪个最适合作为取水点？ () C.线段AB的长 D A.点A B.点B C.点C D.点D D.线段AD的长 6题图 村州 ⑦新情境以下奥运会比赛项目中，按点到直线的 距离来评定成绩的是 () BC方河岸 A.跳远 B.链球 C.铅球 D.铁饼 2题图 3题图 8如图，笔直小路DE的一侧栽种有两棵小树BM, 3如图，AC⊥BC于点C,AD⊥CD于点D,AB=5, CN,若AB=3m,AC=5m,则点A到DE的距离 AD=3,则AC的取值范围是 可能为 () 4如图，平原上有A,BC,D四个村庄，为解决当地 A.5 m 缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池。 B.4 m (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池的位 C.3 m 置，使它到四个村庄的距离之和最小： D.2 m 8题图 (2)计划把河水引入蓄水池中，怎样开渠最短？ 9如图，已知AC⊥BC,CD⊥AB,AC=3,BC=4,AB 并说明依据。 =5,则点C到直线AB的距离等于 .D 日日日日用 4题图 9题图 10题图 10如图，在三角形ABC中，AC=5,BC=6,BC边上 高AD=4,若点P在边AC上（不含端点）移动， 则BP最短时的值为 见此图标服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩