精品解析：山东省菏泽市2024-2025学年高二上学期期末教学质量检测数学试题

保密★启用前 2024—2025学年高二上学期教学质量检测 数学试题 2025.01 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知，，且，则x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解. 【详解】因为， 所以， 解得. 故选：B 2. 已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方向向量写出直线斜率，再由点斜式写出直线方程. 【详解】由l一个方向向量为，则其斜率为， 所以直线l的方程为，则. 故选：C 3. 在公差不为0的等差数列中，若，则k的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式化简得到，即可得的值. 【详解】因为，所以， 所以，即，故. 故选：C. 4. 预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法不正确的为（ ） A. 若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势 B. 若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势 C. 若在某一时期内，则这期间人口数呈摆动变化 D. 若在某一时期内，则这期间人口数不变 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数增长的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，时，，所以这期间人口数呈下降趋势， A选项正确. BC选项，时，，所以这期间人口数呈上升趋势， B选项正确，C选项错误. D选项，时，，，所以这期间人口数不变， D选项正确. 故选：C 5. 设曲线，的离心率分别为，若，则a＝（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由曲线方程求出离心率，结合求参数即可. 【详解】由题设，，又， 所以且，则. 故选：A 6. 已知数列满足：，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段数列的特点，将代入，求出的项判断奇偶后继续代入即可求出. 【详解】数列满足：，， 则，所以， 则，所以， 则，所以， ，所以. 故选：D. 7. 如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角A-BC-D的大小为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点M，连接，则，得， 取基底，由进行求解． 【详解】如图所示： 取的中点M，连接， 则， 得为二面角的平面角，即， 取基底， 则， 因为， 所以 ． 故选：A. 8. 已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】先求得弦的中点的轨迹方程，则的几何意义为两点到直线的距离之和，即点到直线距离的2倍，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题设知，直线与轴的交点为，设弦的中点为， 连接，则，即，所以， 即， 所以点的轨迹方程为， 即的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设直线为，则到的最小距离为， 过分别作直线的垂线，垂足分别为， 则四边形是直角梯形，且是的中点， 则是直角梯形中位线，所以，即 ， 即， 所以的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若数列为等差数列，为前n项和，，，，下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 和均为的最大值 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】运用等差数列单调性及下标和性质可解. 【详解】，则，，则， 因此，且，故A正确，B错误； 而且均为的最大值，故C正确； ，故，故D错误. 故选：AC 10. 已知动点M与两个定点的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C，下列说法中正确的有（ ） A. 曲线C的方程为 B. 若过点A的直线l与曲线C相切，则l的斜率为 C. 曲线C与圆的公共弦长为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设点，由列式，化简整理可得曲线的方程，即可判断A；利用过已知点求圆的切线方程的方法求解即可判断D；求出两圆的公共弦所在直线的方程，再按求弦长的方法求解即可判断C；即为，当三点共线时取得最小值，求解可判断D. 【详解】对于A，设点，则，所以， 即，所以.故A正确； 对于B，若直线的斜率不存在，则直线的方程为：，此时圆心到直线的距离等于，直线与圆不相切； 若直线的斜率存在，设直线的方程为：，即 则圆心到直线的距离，即，解得.故B正确； 对于C，将与相减得，公共弦所在直线的方程为：， 圆心到直线的距离等于，所以公共弦长为.故C不正确； 对于D，，当三点共线时，等号成立， .故D成立. 故选：ABD. 11. 已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（ ） A. 直线MN与所成角的大小为 B. C. PN与平面ABC所成最大角的正切值为2 D. 点N到平面AMP距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线线、线面、点面距离，结合参数范围求最值判断A、C、D；坐标法求的值判断B. 【详解】由题设，构建如下图示空间直角坐标系，则， 所以，，，， 则，显然直线MN与所成角不为，A错； 又，故，B对； 由面的一个法向量为，则， 所以时，PN与平面ABC所成最大角的正弦值为，则正切值为，C对； 由，，若为面AMP一个法向量， 则，令，则， 又，则点N到平面AMP距离为， 令，则，故，D对. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的渐近线方程________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程． 【详解】∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y=± ∴双曲线的渐近线方程为y=± 故答案为y=± 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想 13. 在三棱锥中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用坐标运算求出平面的一个法向量的坐标，在利用公式求出直线与平面所成角的正弦，进而求出直线与平面所成角的余弦值. 【详解】设平面的一个法向量为, 又，， 则，令，则， 所以, 设直线与平面所成的角为，又， 则， 所以， 即直线与平面所成角的余弦值为. 故答案为：. 14. 若项数有限的数列满足，且，，则称数列为“n阶上进数列”． ①若等比数列是“2024阶上进数列”，则数列通项公式为__________； ②若等差数列是“2025阶上进数列”，则__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据数列新定义，结合等差、等比的通项公式求出对应的基本量，即可得答案. 【详解】由等比数列是“2024阶上进数列”，即数列共有2024项，若公比为， 所以，又，则，且， 所以，则，即，故， 所以，故； 若等差数列是“2025阶上进数列”， 即数列共有2025项，若公差为， 所以，即， 所以，故， 则， 所以， 即. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间四点，，，． （1）求以AB， AC为邻边的平行四边形面积； （2）若A、B、C、D四点共面，求λ的值． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的夹角公式求出的余弦，再得出的正弦，利用面积公式得解； （2）根据共面向量基本定理的坐标运算求解. 【小问1详解】 ，， 又，， ∴四边形的面积为. ∴以，为邻边的平行四边形的面积为12. 【小问2详解】 由题意，得, ∵A、B、C、D四点共面 ∴存在唯一一对实数使得 ∴，解得： ∴的值为. 16. 如图，已知圆O：与抛物线交于，AB为圆O的直径，抛物线的弦，且直线CD与圆O相切． （1）求直线CD的方程； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先列方程组得出抛物线方程，在根据点到直线距离求出参数即可； （2）直线和抛物线联立方程组再应用弦长公式求出结合面积公式计算. 【小问1详解】 ∵圆与抛物线交于点 ∴，解得： ∴抛物线方程为： ∵，∴ ∴直线的斜率， 设直线的方程为： ∵直线与圆相切 ∴，解得：（舍）或 ∴直线的方程为： 【小问2详解】 由得： 设， ， ∵，∴点到直线距离为点到直线的距离， 则距离 ∴的面积 17. 已知数列是等差数列，公差，Sn为前n项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为Tn，且，求Tn． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得首项和公差，从而求得. （2）利用裂项求和法来求得. 【小问1详解】 ∵， ∴，，，∴，， 若，则，与已知矛盾； 若，则，，，即，，符合题意. ∴. 【小问2详解】 由（1）知，，， ∴， ∴ . 18. 如图，在长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，M， N， P分别为棱DD1， DA， DC上异于D点的动点． （1）若P是CD的中点，求证：平面； （2）定义：异面直线的距离指的是公垂线（与两条异面直线都垂直相交的直线）的两个垂足之间的线段长度．求异面直线与的距离； （3）若直线与平面交于点H，且，求平面与平面的夹角余弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角系，由为直线与平面所成角可得，利用线面垂直的判定定理证明； （2）由，，先求出公垂线所在向量，再求距离； （3）由点在直线B1D上，则，∴，根据，可得M， N， P的坐标，再利用空间向量法求夹角. 【小问1详解】 连接，因平面BB1C1C， 所以为直线与平面所成角， 所以，又，所以， 在长方体中，以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，. 当P是CD的中点时，，，，， ∴，， ，，又，平面， 平面； 【小问2详解】 ，，， 设，由，， ∴，∴，令，取， ∴异面直线BC1与B1D的距离为：； 【小问3详解】 设，，， 由点在直线B1D上，则，∴， ∴，，， 又∵，∴， ∴， （*） ∴，， 设平面的法向量为， 由，得，令得：， 设平面的法向量为 ， ，， 由，得，令得：， 设平面与平面的夹角为， ， ∵M， N， P分别为棱上异于D点的动点， 由（*）得：， 当时，， 当时，令，则， ∴， ∴平面与平面所成夹角余弦值的取值范围为. 19. 极点与极线是射影几何学研究中的重要理论，对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应椭圆C的极线为.已知，为椭圆C的左右焦点，点M为C上动点，若，则M对应椭圆C的极线经过点． （1）求椭圆C的方程； （2）若动点M对应椭圆C的极线交于A， B两点，求证：以AB为直径的圆恒过，； （3）若为曲线上的动点，且点P对应椭圆C的极线交椭圆C于Q， R两点，判断四边形OQPR的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）是，，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上及极线经过点得，进而求出椭圆方程； （2）设直线，联立可得，，利用向量法坐标化，利用韦达定理代入坐标关系化简求证可得. （3）设在曲线上，再联立方程组得出韦达定理，为的中点即可以转化得出，即可计算求解. 【小问1详解】 由点为椭圆上的动点，则将点坐标值代入椭圆方程得， 又由极点极线定义可知，点对应椭圆的极线 极线过点，所以， 联立方程解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知动点对应椭圆的极线， 联立方程，解得或， 不妨令，， 由椭圆的方程易知，，所以，， 又因为点在椭圆上，则，， 所以，同理可知， 所以，所以以为直径的圆恒过，； 【小问3详解】 由题意知曲线的方程为，又在曲线上， 点对应椭圆的极线， 联立，，即， ，不妨令，， ，， 设为的中点所以，， 所以点同时为的中点，即四边形为平行四边形. 即. ， 点到直线的距离， 所以， . 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是点同时为的中点，即四边形为平行四边形，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 保密★启用前 2024—2025学年高二上学期教学质量检测 数学试题 2025.01 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知，，且，则x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在公差不为0的等差数列中，若，则k的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法不正确的为（ ） A. 若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势 B. 若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势 C. 若在某一时期内，则这期间人口数呈摆动变化 D. 若在某一时期内，则这期间人口数不变 5. 设曲线，的离心率分别为，若，则a＝（ ） A B. C. D. 2 6. 已知数列满足：，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角A-BC-D的大小为，则为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 23 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若数列为等差数列，为前n项和，，，，下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 和均为的最大值 D. 10. 已知动点M与两个定点的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C，下列说法中正确的有（ ） A. 曲线C的方程为 B. 若过点A的直线l与曲线C相切，则l的斜率为 C. 曲线C与圆公共弦长为 D. 若，则的最小值为 11. 已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（ ） A. 直线MN与所成角的大小为 B. C. PN与平面ABC所成最大角的正切值为2 D. 点N到平面AMP距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的渐近线方程________． 13. 在三棱锥中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为__________． 14. 若项数有限的数列满足，且，，则称数列为“n阶上进数列”． ①若等比数列是“2024阶上进数列”，则数列通项公式为__________； ②若等差数列是“2025阶上进数列”，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知空间四点，，，． （1）求以AB， AC为邻边平行四边形面积； （2）若A、B、C、D四点共面，求λ的值． 16. 如图，已知圆O：与抛物线交于，AB为圆O的直径，抛物线的弦，且直线CD与圆O相切． （1）求直线CD的方程； （2）求的面积． 17. 已知数列是等差数列，公差，Sn为前n项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为Tn，且，求Tn． 18. 如图，在长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，M， N， P分别为棱DD1， DA， DC上异于D点的动点． （1）若P是CD中点，求证：平面； （2）定义：异面直线的距离指的是公垂线（与两条异面直线都垂直相交的直线）的两个垂足之间的线段长度．求异面直线与的距离； （3）若直线与平面交于点H，且，求平面与平面的夹角余弦值的取值范围． 19. 极点与极线是射影几何学研究中的重要理论，对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应椭圆C的极线为.已知，为椭圆C的左右焦点，点M为C上动点，若，则M对应椭圆C的极线经过点． （1）求椭圆C的方程； （2）若动点M对应椭圆C的极线交于A， B两点，求证：以AB为直径的圆恒过，； （3）若为曲线上的动点，且点P对应椭圆C的极线交椭圆C于Q， R两点，判断四边形OQPR的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$