精品解析：云南省昆明市寻甸回族彝族自治县第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2024~2025学年高二年级上学期期末考试 数学试题卷 考试用时：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.本卷为试题卷.考生解题作答必须在答题卷（答题卡）上.答案书写在答题卷（答题卡）相应位置（不能改动答题卡上的标题题号），在试题卷､草稿纸上作答无效. 2.考试结束后，请将试题卷和答题卷（答题卡）一并交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角是 A. B. C. D. 3. 已知等比数列满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，是棱的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 等差数列中的前项和分别为，则（ ） A. B. C. D. 7. 如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是(　　) A. P在圆外 B. P在圆上 C. P在圆内 D. P与圆的位置关系不确定 8. 已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法错误的是（ ） A. 若为线段中点，则 B. 若，则 C. 存在直线，使得 D. 面积的最小值为2 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，三个答案的部分选对每个得2分，两个答案的部分选对的每个得3分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则下列正确的有（ ） A. 若，则曲线的离心率为 B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 C. 若，则为双曲线，其渐近线方程为 D. 若，则是圆，其半径为 10. 已知数列的前项和（ ） A. 数列的前10项和为 B. C. 数列的前10项和为160 D. 11. 如图，正方体中正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角是 B. 平面 C. 平面截正四面体所得截面面积为 D. 正四面体的高为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线与间的距离为：__________. 13. 求经过点以及圆与交点的圆的方程________. 14. 在平面四边形中，，将沿翻折至，其中为动点.当时，三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球的体积为：______. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明，证明过程演算步骤. 15. 已知数列是首项为1，公差大于0等差数列，且满足成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设.求数列的前20项和 16. 已知圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知直线经过点，直线与圆相交所得的弦长为8，求直线的方程． 17. 在四棱锥中，底面. （1）求证： （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：数列为等比数列. （2）求数列的通项公式； （3）若，求满足条件的最大整数. 19. 已知椭圆过点，且离心率为.直线经过点 （1）求椭圆的方程； （2）当直线与椭圆相切时，求两切点所在的直线方程 （3）若直线与交于不同两点，动直线与直线分别交于点和为线段的中点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年高二年级上学期期末考试 数学试题卷 考试用时：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.本卷为试题卷.考生解题作答必须在答题卷（答题卡）上.答案书写在答题卷（答题卡）相应位置（不能改动答题卡上的标题题号），在试题卷､草稿纸上作答无效. 2.考试结束后，请将试题卷和答题卷（答题卡）一并交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 2. 直线的倾斜角是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化直线一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于直线的斜率求得倾斜角. 【详解】由，得， 设直线的倾斜角为，则， ，故选D. 【点睛】本题主要考查直线的斜截式方程的应用以及直线斜率与直线倾斜角的关系，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题. 3. 已知等比数列满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由条件结合等比数列通项公式求，由此可求结论, 【详解】数列为等比数列，设数列的公比为， 因为，， 所以， 所以，即， 故. 故选：C. 4. 若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】，则，，则双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故， 因此，双曲线的方程为. 故选：B 5. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，是棱的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，数形结合表示即可. 【详解】由题意，因为是棱的中点，所以. 因为，所以， 所以， 则. 故选：A 6. 等差数列中的前项和分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意直接根据等差数列前项和公式得到，进一步代入数据即可得解. 【详解】等差数列中的前项和分别为，． 故选：B． 7. 如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是(　　) A. P在圆外 B. P在圆上 C. P在圆内 D. P与圆的位置关系不确定 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，所以点在圆外 考点：1．直线与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系 8. 已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法错误的是（ ） A. 若为线段中点，则 B. 若，则 C. 存在直线，使得 D. 面积的最小值为2 【答案】C 【解析】 【分析】A项根据题意求出点的坐标，再根据抛物线的定义求出，即可判断；B项根据抛物线的定义求出点的横坐标，再求出即可；C项设点，则，判断是否为0；D项根据，结合基本不等式可求得. 【详解】抛物线的准线为，焦点. A项，如图，过点作轴，垂足为，设轴与准线交点为. 若O为中点，则与全等，则， 即与焦点重合，所以，所以，正确； B项，若，则，解得， 所以，正确； C项，不妨设，则直线方程为， 令，可得，所以，， 所以，不可能， 所以FP与FQ不垂直，错误； D项，由C项可得， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时点坐标为， 所以面积的最小值为2，正确. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，三个答案的部分选对每个得2分，两个答案的部分选对的每个得3分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则下列正确的有（ ） A. 若，则曲线的离心率为 B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 C. 若，则为双曲线，其渐近线方程为 D. 若，则是圆，其半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆、椭圆、双曲线的标准方程和几何性质即可逐项判断. 【详解】对于选项A：若，则C为双曲线，，故A正确； 对于选项B：若，则是椭圆，其焦点在x轴上，故B错误； 对于选项C：若，则为双曲线，其渐近线方程为，即，故C正确； 对于选项D：若，则是圆,半径为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知数列的前项和（ ） A. 数列的前10项和为 B. C. 数列的前10项和为160 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A项由裂项相消法求解；对于B项，由递推关系求解；对于C项，由等差数列的求和公式求解；对于D项由裂项相消法求解． 【详解】解：对于A项，， 则数列的前10项和为：，故A项错误； 对于B项，当时，， 当时，， 也满足上式，故，故B项正确； 对于C项，， 则数列的前10项和为：，故C项错误； 对于D项， ， 故D项正确． 故选：BD 11. 如图，正方体中正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角是 B. 平面 C. 平面截正四面体所得截面面积为 D. 正四面体的高为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角；选项B，根据基本事实三即可判断；选项C，由面面平行及相似三角形的性质得，平面截正四面体所得截面面积为面积的四分之一；选项D，求出正四面体的高即可判断. 【详解】A：正方体中，易知， 异面直线与所成的角即直线与所成的角，即， 为等边三角形，则，正确； B：假设平面，因为平面平面， 平面，即为平面与平面的公共点， 所以三点共线，显然不成立，即假设不成立，错误； C：如图： 在正方体中，因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理，平面，又，所以平面平面. 所以平面平面，则平面截正四面体所得截面为， 又∽，且相似比为， 故的面积为，错误； D：连接，设平面，连接，平面， 平面，即，又，， 有平面，平面，所以， 同理可证：，，平面， 所以平面，即平面，则在底面的射影为的重心， 所以，所以， 即正四面体的高为，正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：利用正方体的性质，找异面直线所成角的平面角求其大小，由正四面体的性质，结合几何图形确定截面的面积，并利用正四面体的性质求高，即可判断C、D的正误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线与间的距离为：__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用两平行线之间的距离公式即可计算求解. 【详解】可化为， 故两条平行直线间的距离为. 故答案为：. 13. 求经过点以及圆与交点的圆的方程________. 【答案】. 【解析】 【分析】方法一，按照圆系方程设为，再代入点，即可求解；方法二，首先求两圆的交点，再根据交点特征，设出圆的方程，代入交点以及点后，即可求解. 【详解】方法一：将化为一般式，所求圆经过两圆的交点，则可设所求圆的方程为，整理得：； 此圆经过,代入上述方程得，解得, 所以该圆的方程为，即. 方法二：圆与的交点为，因为圆心在轴上 设所求圆的方程为，则，解得，所求圆的方程为，化为一般式为. 故答案为：. 14. 在平面四边形中，，将沿翻折至，其中为动点.当时，三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球的体积为：______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题设得，由线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直判定定理得平面平面，建立以A为原点空间直角坐标系，设球心，半径，由列方程组计算得球O的半径，最后代入球的体积公式求解即可. 【详解】在中，由，得， 所以， 且，即， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； 以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，设球心，半径， 则， 所以， 解得，所以球O的半径为， 所以球的体积为 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明，证明过程演算步骤. 15. 已知数列是首项为1，公差大于0等差数列，且满足成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设.求数列的前20项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差等比数列的性质求得通项公式； （2）根据题意得，进而得到，求得答案. 【小问1详解】 设数列的公差为，因为成等比数列，所以. 即；解得舍去 所以； 【小问2详解】 由题意可知：， ①当时，，则； ②当时，，则； 所以 故数列的前20项和. 16. 已知圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知直线经过点，直线与圆相交所得的弦长为8，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）借助待定系数法设出方程，代入计算即可得； （2）借助圆的弦长公式，设出直线方程计算即可得. 【小问1详解】 设圆M的方程为， 因为圆M经过点，，且圆心在直线上， 依题意有 解得，，， 所以圆M的方程为． 【小问2详解】 设圆心到直线l的距离为d， 则弦长， 当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在， 设其方程为，即， ，解得，， 所以所求直线l的方程为或． 17. 在四棱锥中，底面. （1）求证： （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：由题可知：在底面中，因为， 所以，又因为，所以. 由余弦定理可得：， 解得，所以，所以， 因为底面平面.所以. 于是有：，平面， 所以平面，而平面，所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求得，由勾股定理得，利用线面垂直的性质定理得，从而利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，代入线面角的向量公式求解即可； （3）求出平面的法向量，利用向量法求解两个平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系； 可得：， ， 设平面的法向量为； 则有：，取， 则直线与平面所成角的正弦值：； 【小问3详解】 由（2）可知平面的法向量为； 设平面的法向量为； 则有：，取， 记平面与平面的夹角为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为：. 18. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：数列为等比数列. （2）求数列的通项公式； （3）若，求满足条件的最大整数. 【答案】（1）由题意，数列满足，可得， 可得，即， 又由，所以， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列. （2） （3）99 【解析】 【分析】（1）化简已知条件，根据等比数列的定义来进行证明. （2）根据（1）的结论来求得. （3）利用分组和求法以及单调性求得最大整数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 所以. 【小问3详解】 设数列的前项和为， 则 ， 若，即， 因为函数为单调递增函数， 所以满足的最大整数的值为99. 19. 已知椭圆过点，且离心率为.直线经过点 （1）求椭圆的方程； （2）当直线与椭圆相切时，求两切点所在的直线方程 （3）若直线与交于不同两点，动直线与直线分别交于点和为线段的中点，求的最小值. 【答案】（1） （2）或. （3） 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标及离心率列方程组求解即可； （2）易知是椭圆的一条切线，设另一条切线为，切点为.且有：，与椭圆方程联立，由判别式得，得，即可求出另一条切线，得解； （3）设直线的方程为，.韦达定理得，求出的总坐标，利用是中点得，进而，可得点的轨迹方程为：，最后利用点线距离求解最小值即可. 【小问1详解】 由题可知：，解得； 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 由题易知：是椭圆的切线，切点为. 设另一条切线为，切点为.且有：. 联立，消去，得： ，即， 联立：；解得：； 所以，解得：. 所以直线的斜率.故切点所在直线方程为：. 综上所述：两切点所在的直线方程为或. 【小问3详解】 设直线的方程为.且有：.其中. 由（2）可知：. 直线的方程为：.得. 同理，可得. 因为是中点， 所以. 因为. 所以.点的轨迹方程为： 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $