精品解析： 福建省漳州市2024—-2025学年八年级上学期期末教学质量检测数学试题（华东师大版A卷）

2024—2025学年上学期教学质量检测 九年级数学试卷（华师大版A卷） （考试时间：120分钟，满分：150分） 友情提示：请把所有答案填涂到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 要使二次根式有意义，则x的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2. 如图是两面标准的国旗，则它们的面积比为（） A. B. C. D. 无法确定 3. 不透明的袋子中装有2个黑球、1个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出两个球，下列事件是必然事件的是（ ） A. 摸出两个白球 B. 摸出一个白球和一个黑球 C. 至少摸出一个黑球 D. 摸出两个黑球 4. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 从，0，1三个数中，随机抽取两个不同的数相乘，积为负数的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（） A. B. C. D. 7. 如图，某超市的自动扶梯高为4米，坡角为，则扶梯长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位长度，再向下2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，线段是等腰直角的中位线，，的平分线交于点D，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 3 10. 已知关于x的二次函数的最小值为k，若，，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 化简：______． 12. 电脑键盘上字母的排列顺序与字母的使用频率有关，小辉同学调查发现，字母“E”出现的频率最高，约为11.1%．已知某篇文章中，所有字母的总数为3000个，可估计字母“E”约为__________个． 13. 若点，在抛物线上，则__________（填“＞”、“＝”或“＜”）． 14. 若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则n的值为______． 15. 四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则的值为__________．     16. 如图，在矩形中，，，E在边上且，连接，过点D作于点F，交于点G，则的长为__________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸的相应位置解答． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 中国电影博物馆是纪念中国电影诞生100周年的标志性建筑，是目前世界上最大的国家级电影专业博物馆，馆内设有6个现代化影厅，其中最大的是巨幕影厅．如图，巨幕影厅的银幕宽BC为27米，观众A坐在某排的正中间位置（），测得观众A观影水平视角，求观众A与银幕的距离（参考数据：，，，）． 20. 新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为120米，宽为80米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的长和宽分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，已知剩余停车场的面积为4500平方米，求减少的长度是多少？ 21. 漳州拥有丰富的地方特色小吃和传统美食，是一座不可被低估的美食城市．为解决顾客的“选择困难症”，某店推出美食盲盒活动，规则如下： 规则1：顾客从“A（卤面）、B（手抓面）、C（蚜仔煎）、D（锅边糊）”这四张卡片中任意抽取一张进行品尝（卡片背面完全相同），可享受九折优惠； 规则2：两人同行，依次从四张卡片中抽取（不放回），若抽到“C（蚵仔煎）”和“D（锅边糊）”，两份均可享受半价优惠． （1）求规则1中恰好抽到“B（手抓面）”的概率； （2）用列表或画树状图的方法求“两人同行，享受半价”的概率． 22. 如图，中，E在射线上，连接，已知． （1）在射线上作一点D，连接，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 23. 已知实数m、n满足，，且． （1）试说明的值恒为正数； （2）求证：． 24. 如图，二次函数的图象交轴于点、点，交轴于点，且，，满足和，连接． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与，重合），连接，． ①求面积的最大值； ②若，，求的取值范围． 25. 综合实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． 【初步思考】 一张三角形纸片，其中，． （1）操作一：折叠三角形纸片，使点A落在边上，展开后折痕为，使与相似．如图1，小明通过折叠，使点A与点B重合，很快得到两个相似的三角形．你还有其他的折法吗？如果有，请你在图2中直接画出折痕，并证明与相似；如果没有，请说明理由． 【迁移探索】 （2）操作二：如图3，小君将纸片折叠，使点A落在边上（不与点C重合），折痕为，连接，相交于点M，求证：； 【延伸应用】 （3）如图4，延长操作二中的折痕，交延长线于点F，点G在上，且，连接、，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年上学期教学质量检测 九年级数学试卷（华师大版A卷） （考试时间：120分钟，满分：150分） 友情提示：请把所有答案填涂到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 要使二次根式有意义，则x的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-3≥0，再解即可． 【详解】解：二次根式要有意义，则x-3≥0， 即x≥3， 故选：D． 【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握二次根式定义． 2. 如图是两面标准的国旗，则它们的面积比为（） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质以及长方形面积计算知识点，解题的关键是明确两面标准国旗是相似图形，且相似图形对应边成比例，根据对应边的比例关系求出面积比． 先根据标准国旗的性质确定两面国旗相似，找到它们对应边的长度，计算出对应边的比例，再根据相似图形面积比等于相似比的平方这一性质，得出两面国旗的面积比． 【详解】因为两面都是标准的国旗，所以这两面国旗相似．从图中可知，一面国旗长，另一面国旗长，它们的对应边长度分别为和，那么对应边的比为． 根据相似图形的性质，相似图形面积比等于相似比的平方．这里相似比是，其平方为，所以两面国旗的面积比为， 故答案选C． 3. 不透明的袋子中装有2个黑球、1个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出两个球，下列事件是必然事件的是（ ） A. 摸出两个白球 B. 摸出一个白球和一个黑球 C. 至少摸出一个黑球 D. 摸出两个黑球 【答案】C 【解析】 【分析】对各个事件逐项分析即可作出判断． 【详解】解：A、摸出两个白球，这是不可能事件； B、摸出一个白球和一个黑球，是随机事件； C、至少摸出一个黑球，是必然事件； D、摸出两个黑球，是随机事件； 故选：C． 【点睛】本题考查了事件，事件分为不可能事件、随机事件及必然事件，正确判断各个事件是关键． 4. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，理解并掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．首先等号两边同时加上1，然后配方即可． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 5. 从，0，1三个数中，随机抽取两个不同的数相乘，积为负数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图法计算概率，熟练掌握画树状图的方法是解题的关键．画树状图计算即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： ∵一共有6种等可能性，负数有2种等可能性， ∴积为负数的概率是， 故选：B． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式知识点，解题的关键是明确一元二次方程的根与判别式的关系，当时，方程有两个不相等的实数根． 根据根的判别式列出关于的不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式， 可得， 即， 所以的取值范围是． 故答案选A． 7. 如图，某超市的自动扶梯高为4米，坡角为，则扶梯长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坡度坡比问题（解直角三角形的应用），已知正弦值求边长等知识点，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键． 由正弦的定义即可直接得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 米， 故选：． 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位长度，再向下2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，掌握“自变量左加右减，函数值上加下减”是解题关键 【详解】解：将抛物线​向左平移1个单位长度，再向下2个单位长度,所得抛物线的解析式为：​， 故选：B． 9. 如图，线段是等腰直角的中位线，，的平分线交于点D，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的性质，等边对等角，平行线的性质，勾股定理，先根据中位线的性质得出，，再得出，，进一步得出，推出，设，则，得出，再求出，求解，进而可得出答案 【详解】解：∵线段是等腰直角的中位线， ∴，， ∴，， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：C 10. 已知关于x的二次函数的最小值为k，若，，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，最值的计算，掌握二次函数图象的开口方向，对称轴，最值的计算方法是解题的关键． 根据二次函数（，均是实数），可得二次函数图象开口向上，对称轴直线为，由此可得，则有，设，得到关于的二次函数图象开口向下，对称轴直线为，再根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为：直线， 当时，二次函数有最小值，最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴关于的二次函数图象开口向下，对称轴直线为， ∴当时，有最大值，即， 当时，， ∴， 故答案选B ． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 化简：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：因为32=9， 所以=3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方． 12. 电脑键盘上字母的排列顺序与字母的使用频率有关，小辉同学调查发现，字母“E”出现的频率最高，约为11.1%．已知某篇文章中，所有字母的总数为3000个，可估计字母“E”约为__________个． 【答案】333 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体的知识点，解题的关键是理解频率的含义并运用频率与总数的关系进行计算． 已知字母E出现的频率以及文章中字母的总数，根据频率=频数总数，可得出频数=频率总数，通过该公式计算出字母的频数，也就是字母的估计个数． 【详解】已知字母E出现的频率约为，文章中所有字母的总数为3000个．根据频数=频率总数，可得字母的个数约为：（个）．所以，可估计字母约为333个． 故答案为:333． 13. 若点，在抛物线上，则__________（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，注意：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，有最小值为2，对称轴为直线，然后根据点离对称轴的远近即可求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，有最小值为2，对称轴为直线， 时，y随x的增大而减小， ∵， 故答案为：． 14. 若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则n的值为______． 【答案】15或16##16或15 【解析】 【分析】分3为等腰三角形的腰长和3为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： （1）当3为等腰三角形的腰长时，则3是关于的方程的一个根， 因此有， 解得， 则方程为， 设另一个根为， ∴ ∴另一个根为， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系； （2）当3为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根， 因此，根的判别式， 解得， 则方程为，解得方程的根为， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系； 综上，的值为15或16， 故答案为：15或16． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理． 15. 四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则的值为__________．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，矩形，平行四边形，关键是由矩形、平行四边形的面积推出． 由矩形、平行四边形的面积得到，即可求出的值， 【详解】 解：如图，作于， ∵，， ∴， ∴， 令，， ∴， ∴=， 故答案为： 16. 如图，在矩形中，，，E在边上且，连接，过点D作于点F，交于点G，则的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 首先求出，然后证明出，得到，代数求出，求出，延长，交于点H，证明出，得到，代数求出，然后求出，，证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∴ 如图所示，延长，交于点H ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴． 故答案为：4． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸的相应位置解答． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值、绝对值等知识，根据相关运算法则正确求解即可． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：． ， 或， 解得：，． 19. 中国电影博物馆是纪念中国电影诞生100周年的标志性建筑，是目前世界上最大的国家级电影专业博物馆，馆内设有6个现代化影厅，其中最大的是巨幕影厅．如图，巨幕影厅的银幕宽BC为27米，观众A坐在某排的正中间位置（），测得观众A观影水平视角，求观众A与银幕的距离（参考数据：，，，）． 【答案】观众A与银幕的距离为45米 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中三角函数的应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数的定义来求解相关边长。 首先，根据题意过观众作垂直于银幕的垂线，这样就将问题转化到直角三角形中。然后，利用已知的银幕宽度的一半的长度以及的正切值，通过正切函数的定义来计算出的长度，也就是观众与银幕的距离。 【详解】解：过点A作于D， 依题意得：，米，， ∴米，． 在中，， ∴（米）． 答：观众A与银幕的距离为45米． 20. 新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为120米，宽为80米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的长和宽分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，已知剩余停车场的面积为4500平方米，求减少的长度是多少？ 【答案】减少的长度是30米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用知识点，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程并求解．通过设减少的长度为未知数，利用矩形面积公式建立方程，从而得出答案． 设减少的长度是米．原矩形停车场长为 120 米，宽为 80 米，长和宽分别减少米后，新的长为米，新的宽为米．已知剩余停车场的面积为 4500 平方米，根据矩形面积公式长宽，可列出方程．求解可得结果． 【详解】解：设减少的长度是x米． 根据题意，得， 解得：（不合题意，舍去），． 答：减少的长度是30米． 21. 漳州拥有丰富的地方特色小吃和传统美食，是一座不可被低估的美食城市．为解决顾客的“选择困难症”，某店推出美食盲盒活动，规则如下： 规则1：顾客从“A（卤面）、B（手抓面）、C（蚜仔煎）、D（锅边糊）”这四张卡片中任意抽取一张进行品尝（卡片背面完全相同），可享受九折优惠； 规则2：两人同行，依次从四张卡片中抽取（不放回），若抽到“C（蚵仔煎）”和“D（锅边糊）”，两份均可享受半价优惠． （1）求规则1中恰好抽到“B（手抓面）”的概率； （2）用列表或画树状图的方法求“两人同行，享受半价”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率及概率公式是解题的关键． （1）分析所有等可能的结果数及所求的结果数，然后根据概率公式计算概率即可； （2）先列表展示所有等可能的结果，再找出抽到“C（蚵仔煎）”和“D（锅边糊）”的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【小问1详解】 解：从四张卡片中任意抽取一张共有4种等可能的结果，其中恰好抽到“B（手抓面）”的结果有种， 规则1中恰好抽到“B（手抓面）”的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中抽到“C（蚵仔煎）”和“D（锅边糊）”有2种结果， 抽到“C（蚵仔煎）”和“D（锅边糊）”的概率， “两人同行，享受半价”的概率为． 22. 如图，中，E在射线上，连接，已知． （1）在射线上作一点D，连接，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图以及相似三角形的判定与性质相关知识点，解题的关键是熟练掌握尺规作等线段的方法，以及通过线段相等推出角相等，再利用全等三角形的判定定理证明三角形全等． （1）作交于D，点D为所求作的点． （2）连接，由（1）得：，根据等边对等角的性质，可得，．进而得到，再结合这一条件，从而得出要证明的结论． 【小问1详解】 如图，点D为所求作的点． 【小问2详解】 证明：连接 由（1）得： ∴， ∴， ∴，， ∴． 23. 已知实数m、n满足，，且． （1）试说明的值恒为正数； （2）求证：． 【答案】（1） ∵实数m、n满足，，且， ∴m、n是一元二次方程的两个不相等的根． ∴， 即的值恒为正数． （2） 证明：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ． 由（1）得， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）把m、n看作一元二次方程的两个不相等的根，然后利用根的判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得，，然后把通分后代入整理可得结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，二次函数的图象交轴于点、点，交轴于点，且，，满足和，连接． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与，重合），连接，． ①求面积的最大值； ②若，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用和，得到二次函数的图象经过点和点，即可求出抛物线的对称轴； （2）①先利用待定系数法求出二次函数解析式，再求出直线的解析式，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，由，再结合二次函数的性质即可解答；②根据轴，轴，推出，在中，由，即可得到答案． 【小问1详解】 解：二次函数的，，， 满足，， 二次函数的图象经过点和点， 抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：①二次函数的图象经过点和点， 二次函数的表达式可写为． 点在抛物线上， ， 解得， 二次函数的表达式为． 设直线的表达式为， 把和代入，得： ， 解得：， 直线的表达式为． 过点作轴于点，交于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ． ． 动点在直线的上方（不与，重合）， ． 当时，面积取得最大值，最大值是． ②轴， 轴， ． ． ，， 在中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数与面积综合，二次函数与角度综合问题，涉及待定系数法，抛物线的最值，解直角三角形，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 25. 综合实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． 【初步思考】 一张三角形纸片，其中，． （1）操作一：折叠三角形纸片，使点A落在边上，展开后折痕为，使与相似．如图1，小明通过折叠，使点A与点B重合，很快得到两个相似的三角形．你还有其他的折法吗？如果有，请你在图2中直接画出折痕，并证明与相似；如果没有，请说明理由． 【迁移探索】 （2）操作二：如图3，小君将纸片折叠，使点A落在边上（不与点C重合），折痕为，连接，相交于点M，求证：； 【延伸应用】 （3）如图4，延长操作二中的折痕，交延长线于点F，点G在上，且，连接、，求证：． 【答案】（1）图见解析，证明见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形折叠的性质知识点，解题的关键是根据三角形折叠的特点找到相等的角，再利用相似三角形的判定定理证明三角形相似，进而通过相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质来解决问题。 （1）对于操作一，根据折叠性质得到垂直关系，从而得出相等的角，利用两角对应相等证明三角形相似。 （2）操作二中，先由与操作一类似的方法证明一组相似三角形，得出对应边成比例，再通过角的关系证明另外两组相似三角形，进而得到要证明的比例式。 （3）延伸应用中，通过已知的角相等关系，逐步证明多组相似三角形，利用相似三角形的性质得到角之间的关系，最终证明垂直。 【详解】解：（1）如图，即为折痕． 证明：由折叠得：． ∴． ∵， ∴． （2）同（1）理可证：， 则， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $