(18)立体几何的综合-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（B卷）

高三一轮复习周测卷/数学 ?,布站佩斯的伊帕期维译等博物馆收策的达·芬奇方砖，在正六动彩上题了其有阀意效果的正方 (十八)立体几何的综合 体围紫（如第1》：把三片这样的达·芬奇方萨形域图？的组合，这个组合表达了图3所示的儿何 (等试时间2如分钟，请分150分) 体，如闭3中每个正方体的棱长为1，用点A到平面的距离为 一，远择题（本大思共8小题，蜂小览5分，共0分。在每小题给出的国个选璃中，只有一项是存 A图 合题日要求的 R受 1.设，。是空间中两条不间的有线，则：与6无公共点“基“a与&是异直直线“的 A充分不必要策件 我必要不充分条件 C.1 二充要条件 口，氏不充分也不必要条件 D 42 田3 二若一水平放登的止方形的周长为8，划其用斜二测衡法得到的直线图的面积是 8已每正方形ABBA的边长为12.其内有两点PQ.点P到边AA:,AB的离分期为等，2.点 Q到边HB,AH的距离鱼是3和2，现将正方形卷成一个W柱，佳得A书相A:B重合如图)，侧 找2 C2 ,3 此时P,Q两点同的距离为 3.已知ry长H.点A1,5,一2).B2.4.11,Cz,3,y十21在同一第直线上-则x-y- A6十7 A-1 我1 C,2 h.3 且62+7 4中国是登暑的放乡，“绕器”一问最早见之于许慎的（悦文解字）中，某瓷器如图1解示.该瓷器可 以近创看作由上半常分网柱和下半第分两个图台组合而成，其直靓阴如阁2所示，已知国柱的 C.63+ 高为18cm,孩面直径A一12m,CD-20em,EF-14m,中间圆台的高为3em,下面调台的 高为Am,若怎略该爱器的厚度，期该烧器的侧面积的为 D. 二，选举题（本大题找小愿，每小题8分，我18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题日要 求。全那边制的得年分.部分这对的得露分分，有选情的得0分1 9.已加下列国种条件，空可中国点A,B,C,D不一定共面的是 Ai-+元4+号而 阳2 BP以=3Pi-:心-P方 A,375开m 线377xem C.A-C+ C.370:m D.381z cm' D.Pi+P正++Pi=0 5.已知一个正棱使植平行于底面的平面所慧，若截得的餐面面积与底直直积的比为1：4，属此平面 假正校维所得的棱策和棱台的体积之比为 10,在平行六雀体4D-A我，CD,中，正=i++AA示=++，则 A12 1我14 A.E为棱D,C的中点 业F为棱C℃：上常近C的三等分点 C.11 h.118 G.如周，二面角x一一月的大小为0°，A,B是校！上两点，BD,AC分别在半平面a,内，ACL, C.EF-CD D.EF∥平面ABB,A BDLl,且AB=AC=2,BD=,8,别CD= 1L如图，在正方体ABD-AB,CD中，E.F,G分划为AB.BC.AA的中点， A A.DFIAB 22 且，'∥平面E行 C,23 飞直线nF与G所域角的余弦镇为号 D.17 D若AB一2，则棱台AG一DD约表面积为18 数学，量1成共1直) 侧水金稀·先享额·高三一轮短习州圆奉十八 轴学第当（共黄） 姓名 分数 17.(本小题需分15分) 号 1011 如图：在三棱柱ABC-ABG中.AC=2,AB=.E.F分别为AC,BB的中点.且EF上平 面AACC 三、填空置（本大题共3小题，每小题5分，共5分） (1)求棱C的长度： 1z在空间直角坐标系x=中，点M(1.O,3,N(0:20),点P在(=平面内：且PM一PW。 (2)若BB,⊥AB,且△A:℃的面积为w5,求平面A:B,F与平面AC夹角的念弦值 若P,y1),wz+y+3:- 1过虹图所示，在四棱银P-ACD中，PA⊥联面ACD,月底面各边宿相等，AC门D-O,M是 P℃上一动点，当点M满足 时.平面MBDL平面(CD〔填写一个正确的条件印可) 18.(本小题满分17分) 如图，在国棱台ABCD一ABCD中，国边形ABCD程AB,CD均为正方形，国边形 第13 第14题 ACA为直角9形，AC1AA,已知AB=2,AB=1,BH,=DD: 1.棕子，本时北方也防角桑”，是由称叶包表糯米，素米等箔料蒸煮制成的食品，是中闻很转传统 (1)魂迁：半能A4,C甲度A以D 节庆食物之一，端午食棕的（俗.千百年来在中铜盛行不衰，棕子形状多群，箔料种类繁多，南 北方（味各有不同，某四角蛋载棕可置红看成一个正四血体，蛋黄在似看成一个球体。且句个 (2若直线AB与平面BC,所成角的正孩值为百.求疾四陵台的体积 除子里仅包果一个蛋置，若解子的校长为6，期其内可包我的蛋黄的短大体积为 指 四，解答题（本大题共5小题，共分，解答应写出必婴的文学说明，正明过程线满算步餐） 5.(本小题请分18分》 在棱长为u的正方体ACD一AHCD,中，E,F分别是BB,CC的中点， (I)求证：AD平mA:FFD: (2)求直线AD到平面A:EFD,的距离。 9.(本小墨满分17分) 已每正△1以的边长为3，点D.形分到是边AAC上的点，且情起品-置-专·加m,将 △ADE沿DE折起到△ADE的R置，楼平面ADE⊥平面DECB,生接A:B,AC,如图之 (1求证：BD⊥平雀A,DE, 6(本小道请分15分》 (2)在线段C上是香存在点P,使平面P1左与半面A:BD的类角为0？若存在，求出PB 如图，在三棱柱AC-AB行中，侧面AACC⊥底面A以，花面△1似是以AC为斜边的 的长：若不存在，请说明理由， 等腰直角三角瑟，而AA.CC是边长为2的菱形，且∠A,AC一60， (1)求点A珂平罪ABC的听离： (②)求直线A,B与平面AB,C所成角的余弦值， 数学，第2成共1直) 侧水金稀·先享额·高三一轮短习州圆奉十八 轴学第4方（共岗）高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十八） 9 品题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ，应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④⑤ 档次 系数 1 选择题 5 异面直线与充分必 易 0.80 要性的综合 斜二测画法求直观 2 选择题 0.78 图的面积 3 由空间三点共线 选择题 5 易 0.72 求参 组合体侧面积的实 4 选择题 5 中 0.65 际应用 5 选择题 5 棱锥与棱台的体积 中 0.60 6 选择题 5 二面角的应用 中 0.50 1 选择题 点到面的距离（数学 0.45 文化) 选择题 旋转体，两点间的 难 0.26 距离 9 选择题 6 四点共面的判断 中 0.60 10 选择题 空间向量的线性 6 中 0.50 运算 11 选择题 空间位置关系的 6 中 0.40 综合 利用两点间的距离 12 填空题 5 0.75 求参 易 13 填空题 5 面面垂直判断 中 0.60 棱锥的最大体积（和 14 填空题 中 0.45 生活实际相结合) 15 线面平行的判定，求 解答题 13 中 0.65 直线到平面的距离 16 解答题 15 求点面距，线面角 中 0.55 求线段长，求两平面 17 解答题 15 中 0.45 夹角 ·83· ·数学· 参考答案及解析 证明面面垂直，线面 18 解答题 17 角的大小与棱台体 中 0.35 积的综合 证明线面垂直，由二 19 解答题 面角的大小求线段 难 0.30 的长 香考誉案及解析 一、选择题 1.B【解析】当a与b无公共点时，a与b可能平行或 异面，反之，当a与b是异面直线时，a与b无公共点， 故选B. 2.B【解析】由正方形的周长为8，可得正方形的边长 为2，且S= 4 ·S周，所以其直观图的面积是 0 4 ×2×2=√2.故选B 3.B【解析】由已知可得AB=(L,-1,3).AC=(x 则A(1,1,0),C(0.2,0),G(0,0,2),Q(1,0,2),所以 1,一2，y十4).因为A,B,C三点共线，所以存在实数 G=(1,0,0).G式=(0,2，-2).CA=(1.-1,0).设 /x-1=A (a=2 A,使得AC=入A,所以-2=-A,解得x=3,所以 平面QGC的一个法向量为n=(x,y,z),由 n·GQ=x=0 y十4=3 y=2 ,令z=1,得n=(0,1,1),所以 x一y=1.故选B 1m.GC=2y-2x=0 4.D 【解析】由AC= √3+(DA 点A到平面QcC的距离是n, 2 √+(0 =5cm.CE=V√F+(DE旺 x0-+0X-号.故接A 2 8.C【解析】过点P作平行于底面的截面圆O,,过点 -√+（ =5cm,可得该瓷器的侧面积 Q作平行于底面的截面圆O:,OO,=6,设圆柱的底 为12π×18+5×(6+10)π+5×(7+10)π= 面圆半径为，则2r=12,解得r=,于是(0，户， 381πcm.故选D. 5.C【解析】设正棱锥被平行于底面的平面所截得的 0,)=2+2=红，由P戒=P0+0,d+0.d,得 2 小棱锥与原正棱锥的体积分别为V,V,则由已知可 得V,:V:=1:8,所以此平面截正棱锥所得的棱锥和 1P61=√(P0+0O.+0.Q 棱台的体积之比为1：7.故选C =√/2r+00+2P0·0,Q 6.D【解析】由二面角a-一月等于150°，得(AC,BD) =150°，所以CD=AD-AC=Ai+BD-AC,所以 =V2×(）+6+2x(只）=6 CD:=(AB+BD-AC)=AB:+BD:+AC+2AB 所以P.Q两点间的距离为53+元故选C .BD-2AB.AC-2AC.BD=4+3+4+0-0-2 ×2×5×(-号)=17.因此CD=.故选D 7,A【解析】建立如图所示的空问直角坐标系O一x, ·84· 高三一轮复习B ·数学· Dy 3 3 0 02 对于B,如图，过E,F,G的平面截正方体所得的截 二、选择题 面为正六边形EFNLHG, 9.ABD【解析】空间中A,B,C,D四点共面的充要条 件是满足PA=xPB+yPC+:PD,且x+y+=1, 对于A:由Pi=号P成+子P心+Pi.得号+号十 之≠1，则空间中四点A,BC,D不共面：对于B,由 PA=3Pi-2P心-PD,得3+(-2)+(-1)=0≠ 1,则空间中四点A,B,C,D不共面：对于C,由AB AC+AD=0,得AC=AB+AD.则向量AC,AB,AD 共面，即四点A,B,C,D共面：对于D,由PA+PB十 因为BC∥FN,FNC平面EFG,BC:丈平面EFG, 所以BC∥平面EFG,故B正确：对于C,如图，连接 PC+PD=0,得PA=-PB-P心-PD,得-1+ DF,DC,因为DC∥EG,所以直线DF与EG所 (一1)十(-1)=一3≠1，则空间中四点A,B,C,D 成角为∠FD,C(或其补角)，因为FC⊥D,C,所以 不共面.故选ABD. 10,ABD【解析】因为A正=号A店+AD+Ad ms∠FDC-BS=2号所以DF与EG所成角 DC+Ai+D元=DC+Ad,所以A证 的余弦值为2故C箭误： D C AD=DE=D,C,则E为棱DC的中点，A正 确：因为A=AB+A市+AA=A花+号元，所 以A市-AC=C市=号心，侧F为棱CC,上靠近C 的三等分点，B正确：因为E为棱D1C的中点，F D 为棱C上靠近C的三等分点，易得EF≠CD, C错误：因为平面ABB,A∥平面DCD1,EFC平 面DCCD,所以EF∥平面ABB:A1,D正确.故 对于D,S=S△c十Sam十S#w,BcD十S#aD,D十 选ABD, Sam,=号×1X1+号×2×2+7×1+2)×2 11.ABD【解析】对于A,连接DF,AB,AB,D,C, 因为AB⊥AB,AB⊥AD,AB∩AD=A, +之×1+2)×2+7×+2)×32=13，故 A1B,AD,C平面A:BCD,所以AB:⊥平面 D正确.故选ABD. A,BCD,又因为D,FC平面A:BCD,所以DF⊥ 三、填空题 AB,故A正确： 12.3【解析】由题得y=0,则P(x,0,z),由|PM= |PN|,得√(x-1)+0+(-3) =/(x-0)+(0-2)十(-0)下，化简得x十3： =3,则x十y+3x=x十3z=3. 13.DM⊥PC(或BMLPC,OM⊥PC等都可)【解析】 可填DM⊥PC,由四边形ABCD为菱形，得AC⊥ BD,:PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,.PA ·85. ·数学· 参考答案及解析 ⊥BD,又PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,.BD (2)如图，以点D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线 ⊥平面PAC,又PCC平面PAC,.BD⊥PC,又 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxy, DM⊥PC,BDNDM=D,BD,DMC平面MBD, PC⊥平面MBD,又PCC平面PCD,∴.平面MBD 则D00,0),D(0,0,a)A(a0,a),F(0a,号) ⊥平面PCD.故可填DM⊥PC. 所以D市=(0a,-号），D成=(o,a,号)，DA- (a.0,0), (7分) 设平面AEFD的一个法向量为n=(xy,z), M 则 n.Di=ay-受=0】 n·D1A=ar=0 令y=1,可得n=(0,1,2), (10分) 所以点D到平面A,EFD,的距离为d=D萨：n n 14,√6π【解析】蛋黄体积最大时可近似看成一个棱长 为6cm的正四面体ABCD的内切球，设其球心为 5 5a, O,球的半径为r,正四面体的表面积为S,体积为V, 因为正四面体ABCD的棱长为6，所以正四面体的 即直线AD到平面A,EFD,的距离是2E a. (13分) 商A=√6-（号×号×6)=26，正四面体的表 16.解：(1)如图，取AC的中点D,连接AC,AD, 因为侧面AA,CC为菱形，且∠AAC=60°， 面积为S=4××6=365,因为号Sr=Sa 所以△AAC为等边三角形， 所以A:D⊥AC ·h,所以号×36vr=××6X26,解得r= 又因为平面ABC⊥平面AACC,ADC平面 A AACC,平面AACC∩平面ABC=AC, 所以蛋黄的体积为号x×(）=6x(cm) 所以A,D⊥平面ABC. (3分) 2 所以A:D的长即为点A,到平面ABC的距离. 而A,D=AAsin∠AAC=AA:sin60°=√3， 即点A,到平面ABC的距离为√3. (5分) 四、解答题 15.解：(1D因为在正方体ABCD一A,B,CD中，四边 形ADDA:为正方形， 所以AD∥AD, 因为AD￠平面AEFD,A,D,C平面AEFD, (2)连接DB,依题知DB,DC,DA两两垂直， 所以AD∥平面AEFD. (5分) 以D为坐标原点，以DB,DC,DA:所在直线分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标系Dxy, 由题可知D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A(0, -1.0),A(0,03),AB=(1,0,-3),DC =(0,1,0), 由AB=AB=(1,1,0), 可得B(1,15),CB=(1,05) (8分) 设平面AB,C的一个法向量为n=(x,y,x), 则有n,C可=+=0 n.DC=y=0 .86. 高三一轮复习B ·数学· 取=√5，得n=(-3.0,5). (10分) ∴△AAC为直角三角形，可得AA=4, (9分) 设直线AB与平面AB:C所成的角为0， 又在三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥BC .AB⊥BC, 则sin0=lcos(A1B.n)1= AB·n IAB·In 以B为坐标原点，B,C,B,A,BB所在直线分别 为x,y,z轴建立如图所示的空何直角坐标系， =-3-3-5 2×12 21 (13分) 则B(0,0,0),A(02,0),C(√2,0,0)，C(E, 所以cos9=√一sim0=立： 0,4)B(0,0,4),F(0,0,2),AF=(0,-2,2) AC=(2,-2,4), 即直线A,B与平面AB,C所成角的余弦值为2 1 设平面AFC的一个法向量为n=(x,y,之)， (15分) 则"…A方--厄y+2a=0 17.解：(1)取AC的中点D,连接BD,ED, n.AC=√2x-2y+4=0 在三棱柱ABC-AB,C,中，可得DE∥AA∥BB, 令x=1,则y=2,x=-√2， 且DE=ZAA,=BF-BB, .平面AFC的一个法向量为n=(一√瓦，E,1): (12分) ∴四边形DEFB为平行四边形， 易得平面A1BF的一个法向量为m=(1,0,0), 则EF∥DB, 设平面AB:F与平面A,FC的夹角为8， 又EF⊥平面AA:CC, .DB⊥平面AACC (2分) ..cos= |m·nE0 m·n5×15 ,ACC平面AACC, .DB⊥AC, 平面AB,F与平面AFC夹角的余弦值为 5 又D为AC的中点， .△ABC为等腰三角形， (15分) 18.解：(1)连接BD,BD分别与A,C,AC交于点 AC=2,AB=√Z, 0.0. 则BC=AB=√E, 易得O,O分别为BD,与BD的中点， 即棱BC的长度为反 (5分) 又BB:=DD, 所以(OO⊥BD, 因为在正方形ABCD中，AC⊥BD, 又AC∩OO=O,AC,OOC平面ACCA: 所以BD⊥平面ACCA, 又AA,C平面ACC,A, 则BD⊥AA, (2分) 又AC⊥AA,BD∩AC=O,BD,ACC平面ABCD, 所以AA:⊥平面ABCD. B 又AA1C平面AACC, (2)由(1)知1，AB+BC=AC, 所以平面AA:C,C⊥平面ABCD, (5分) .AB⊥BC,EF=BD=1, :ACC平面AACC, .EF LA C, 放Sae=名A,C,EF=后， 解得A1C=25, 由(1)知，DB⊥平面AACC,AAC平面AAC1C, 则DB⊥AA, (7分) 又三棱柱中AA:∥BB· .DB⊥BB, (2)由(1)知AA⊥平面ABCD,AB⊥AD, 又AB⊥BB 故AA1,AB,AD两两垂直， ∴.AB⊥BB, 以点A为坐标原点，AB,AD,AA,所在直线分别为 AB∩DB=B,AB,DBC平面ABC, x,y,之轴建立空间直角坐标系，如图， .BB⊥平面ABC, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0) .三棱柱ABC一AB,C为直三棱柱， 设AA1=h(h>0),则C(1,1,h), 87✉ ·数学· 参考答案及解析 故BC=(0,2,0),CC=(-1,-1,h),AB 面A1BD的夹角为60°， (2,0,0) (8分) 由(I)可知DB,DE,DA两两垂直， 设平面BCC的一个法向量为m=(,y·), 以D为坐标原点，DB,DE,DA:所在直线分别为x, BC·m=2y=0 y,z轴建立空间直角坐标系， 则乙·m=-1-到十h=0 所以D(0,0,0),A(0,0,1),E(03,0),B(2,0, 取=1.则m=(h,0,1). (10分) 0.c(33.0小，C=(-是，390)Ai- 设直线AB与平面BCC,所成的角为0， 则sin0=|cos(m,AB》1=。 2h (05.-1),D2=(0w5,0) 2+I 3 设BP=xBC(0≤A≤1)， (13分) 可得P(2-受39o)A市=(2-琴9x 而四边形ABCD的面积S,=2×2=4, (6分) 四边形ABCD的面积S=1×1=1. -1 所以该四棱台的体积为V=专（S十S:十√S) 设平面PAE的一个法向量为n=(x,y,z), /n·Ap=0 3X(4+1+AxT)x2=1E 所以 m·AE=0 2 6 即该四棱台的体积为温 (17分) 即2-婴)+9w=0, 3y-x=0 19,解：(1因为正△ABC的边K为3，品-蛋-之， 令y=√3(4-3λ)， 所以AD=1,EA=2, 则x=3(4一3入)，x=6-9以， 在△ADE中，由余弦定理可得DE=AD十AE 所以n=(6-9x3(4-3x),3(4-3)),(10分) 2 ADX AEcos60°=3， 因为DE⊥平面ABD, 所以AE=AD+DE, 所以DE可以为平面A1BD的一个法向量， 可得DE⊥AD,即DE⊥BD. (3分)】 因为平面PAE与平面A1BD的夹角为60。 又平面A,DE⊥平面DECB, |DE·n 又平面A:DE∩平面DECB=DE,BDC平面 所以|cos(D求，n= DEI·n DECB. 34-3x 所以BD⊥平面ADE (4分) 5·√(6-9λ)+3(4-3队)+9(4-3x) 1 解得=子， (14分) D 可得P(1,3,0),Bi=(-1.5,0) 则|BP1=√个+3=2. 综上，存在点P为线段BC上靠近C点的三等分点， 使平面PAE与平面A:BD的夹角为60°，PB的长 (2)假设在线段BC上存在点P,使平面PA1E与平 为2. (17分) 88