(17)空间向量及其应用-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（B卷）

高三一轮复习周测卷/数学 7.在（九章算术）中，将底面为直角三角形且侧棱重直于底面的三棱桂称为断W.在超译ABC (十七]空间向量及其应用 A,(中，若AB=C=AA=?,且P为战段BA,的中点，期点P到直线B,C的距离为 (等试时间20分钟，请分150分》 A./ 收受 c n 一，远择题（本大思共8小题，蜂小览5分，共0分。在每小题给出的国个选璃中，只有一项是存 怎为体现中民参与城中建设，共建其享公园城市的热精，同叶时搭建城市共建共享平台，能显城巾的 合道目要求的 发展夏度，某市在中心公同开放长情册送点位，接交市民哪送的体闲长情.其中观景意坪上一刻 1.若点A(1,0,一3}，3,1.)在直线？上，期直线/的…个方向向量为 长特因北造型简单划致，颌受人们喜欢（如周1），如图？，已知AB和CD是屑)的两条亚相垂直 A,2,1,-i) 找C-4.2,一107 的直径，指平面ABC语AB群折单平顶AB',使裂平面A风C⊥平面AD.联此时直线AB与 64-2,-1.-5 D.a.-2,-10 平面CBD质成角的正弦值为 2.已知毫间向量a=(,2,01,b-0,→1,1).c-2,3,m1,若向量a,b,c共面.期买数m 号 AI 1我2 C3 山.4 R 3.若平面可的一个法向量为n一1,22)，A(1,0,)为▣内的一点，则点P3,l,)到平面▣的雨离 为 c A1 我2 C.3 D.面 n 4如图，在正方棒A)-A,D中，点E是A:G的中点，点F在线段A上，且AF=云EF 二，进择葛（本大题共3题，每小题4分，共18分。在每小巡给出的项中，有多境符合避目要 我。全部选对的得8分，部分这对的得都分分，有选精的得0分了 期A示 9.给出下列分题，北中为假命题的是 AA不+号游+是而 入已知n为平面▣的一个法向量，国为直线！的一个方向向量，若用，用。 我是AM+号+号A 且心知n为平而：的一个法向量m为直线：的一个方向向量，者0m一学，则与。质度角为号 心沉+孩+清和 C若两个不列的平面3的法向量分湖为，且u=(I,2。一2)，r=(一2，一4)，期a∥9 久已知空司的三个向量0，b,心，则对于空间的任意一个向量摩：总存在实数￥，：使得P■w DA+B+若西 b十速 10.已第在三棱柱ABC一A:BC中，P为空闻内一点.若B产一ABB+a,其中ae0,1门.则 元，已知某空科直角坐标系(r口中。一只到奴从点P(1,1,0出发.在灯y和r:平面上爬行，则 入，若1=1，期点P在棱B:G上 且若A=公期点P在线段，上 这只蚂蚁爬到点Q2,0:2)的最短矩南为 A/ C,若一a一士·湘P为检℃的中点 D若A+a=【,则点P在线2B,C上 k3 C./10 ,2+豆 11.如图，在直四传柱AD一AB,CD,中，展面ABCD是边长为1的正方思，侧棱AA一2，从 E:下，H分别为能DD,DC,B出的中点，则 6。我们起军面内与直线柔直的非爹向量称为直线的法问量，在平面直角米标系中，过点A一3,4) A,点F在平面EAB:内 的直线4的一个法向量为1。一)，划直线（的点达式方型为：1×(：十3）+一)×(y一4》=0， 化简得一2十11■0.类比以上颜法，在空间直角坐标系中，经过点M1,2,3的平面的一个达 B直线CH与平道BDD,B所战的角为 向量为w一41，一4：2)，则该平面的方程为 CCH∥平面EA4 A=4y+2z+1=0 找4一4y-2±+1=0 C.x十4y一2z十1=0 0.r+4y-2:1=0 异雨直线A以与G日所线的角的念弦植为 数学，第11共1直) 侧水金稀·先享额·高三一轮短习州圆奉十七 轴学第当（共黄） 班线 姓名 分数 17.(本小题需分15分) 赠号 10 如围，在四棱钜P一AD中，平直PCDL平mAD,因边形AD是梯形，AB∥C力，AB ⊥AD,E,F分别是棱C,PA的中点 三、，填空题（本大题共3小题，鲜小题5分，其1后分》 (1)证明，F平面PCD: 2已日平面▣的一个法向量为一(1，一1,2，若点A1一1,0.，B(2,3,》均在年内，则 (2)若PC-,3PD-3CD-,sAD-2,AB,求直线EF与平面PAD所成角的正弦算. 1AI- 远.已如空何向量Pi,P方.心韵横长分为2,2,3，且再两夹角均为是，点G为△ABC的重心.则 心 14如图是位于上券市奉香区南桥工商银行和大装场南面的一个正方体障醒，其大个面楼空刻满了大美 奉赞的多个痕标，可以将其视为：某王方体的菌点A在平面。内.三条酸AB.AC,AD霍在卓面：的 同斜，若顶点BC,D到平物a的距离分群丸乏2，划线正方体外接球的表窗阻为一 18(本小题清分17分) 在四棱惟P一ABCD中，△PCD为等边三角形，四边形ABCD为直角解形，AB∥CD,BCI CD,半面ADL半面PCD,D=AB=2,AM为CD的中点 (1)E明：CDL平面PAM: (2)若四棱锥P一A以D的体积为，求直线P书与平面PAD所成角的正弦氧， 四、解答露（本大共5小题，共77分，解答点写出必要的文字说用，正明过程或渊算步翼） 15.(本小题满分13分》 如周，三校柱AC一ABG的产布是边长为2的正三角形，侧棱(C上核面AC,CC,, D是CB廷长线上一点，且BD一C 山)求直线风罚平靠4BD的距离， (2)在线段44：上是香存在一点P,桂得CP⊥B2若存在，求出 点P的位置：若不存在，请说明理山： 19.(本小题清分17分) 如图，在梯形ACD中，AB及CD,BDCD,AB=BD=2CD一2，将△ABD沿程BD折起 △PD的位置，使得平面PC⊥平面风D (1)证明：PBLD 16.本小题满分15分) 在如图所示的五面体A以DFE中，产而A拟D是边长为艺的正方形，AE⊥平面AD,DF (2)若点M满起P丽i-aPi(0<<D,且=国角C-B-D的余弦值为导，来文的值 AE,且DF=AE=1,N为E的中点，M为CD的中点， (1)表纯二面角N一下一D的余弦值： (2)若线段C的中点为H,试判断点H是香在平面NF内？并说明 理由， 数学，第2成共1直) 衡水金酵·先享敬·高三一轮想习展西韩十七 轴学第4方（共岗）高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十七） 9 品题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ，应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 值 (主题内容) ⅢN ③① 档次 系数 1 选择题 求直线的方向向量 易 0.80 2 选择题 5 由向量共面求参 易 0.78 3 选择题 点到面的距离 易 0.72 空间向量基本定理 4 选择题 5 中 0.65 的应用 5 由空间向量解决两 选择题 5 中 0.55 点间最短距离问题 6 选择题 5 平面法向量的应用 中 0.50 利用空间向量求点 选择题 5 中 0.45 到直线的距离 利用空间向量求线 8 选择题 难 0.26 面角（数学文化） 9 选择题 空间向量有关概念 6 中 0.60 的辨析 利用空问向量解决 10 选择题 6 中 0.40 含参问题 利用空问向量判定 11 选择题 6 平行、垂直关系，求 √ 难 0.28 角等综合问题 利用平面的法向量 12 填空题 5 求参 易 0.71 利用空间向量求线 13 填空题 中 段长 0.45 利用空间向量求解 14 填空题 0.35 外接球问题 利用空问向量求线 15 解答题 13 面距，由线线垂直 中 0.60 求参 ·75· ·数学· 参考答案及解析 利用空间向量求二 16 解答题 15 面角的大小及判断 中 0.55 点在平面内 利用空问向量证明 17 解答题 15 线面平行，求直线与 中 0.45 平面所成的角 利用空间向量证明 18 解答题 17 线面垂直，求线面角 中 0.35 的大小 19 解答题 线线垂直的判定，由 17 0.28 二面角求参 香考答案及解析 一、选择题 1,C【解析】依题意，直线1的一个方向向量为Ai= D (2,1,5)=-(-2,-1,-5).故选C A(Q) 2.A【解析】由题意知，存在实数1，使(2,3，m)=A(1, B λ=2 D 2.0)十4(0，-1,1)=(A,2以-，r),所以2A-4=3, u=m r1=2 解得4=1.故选A D m=1 3.B【解折】点P(31,1)到平面a的距离为户，m n =L(211)·.2.2)1=12+2+2=2.故选B 41 /1+2+2 6,A【解析】根据题意进行类比，在空间中任取一点 4.D【解析】由题意知A产=子A忘，A范=AA+A它 P(x,y,z,则M币=(x-1y-2,z-3),.1× (x-1)-4×(y-2)+2×(x-3)=0,即x-4y+ AE=7A.C.A.C:=A.B.+A D:.A.B.=AB. 2:十1=0.故选A AD-Ai,所以A=号AA+。A,C=号AA+ 7,B【解析】根据堑堵的定义，以点B为原点建立空间 直角坐标系，则B(0,0,0),A1(2,0,2),B(0,0,2), AB+Ad.故选D. C(0,2,0,P(1,0,1),故BC=(0.2,-2),BP=(1,0, 5.C【解析】如图，在棱长为2的正方体ABCD -D,所以cos(BC,B产)=10,2，-2)·(1,0-1) 2√2×√E ABCD中，P(1,1,0)为正方形ABCD的中心， Q(2,0,2)为点A,将正方体的面ABCD,ADD1A =子所以s如B衣B=号，设点P到直线B,C 展开，所以这只蚂蚁爬到点Q(2,0,2)的最短距离为 展开图中的PA,PA,=√3+1下=√而，故选C 的距离为，所以n之.-行一号好 得d= 2 ,故选B. ·76· 高三一轮复习B ·数学· 所以∠ADB=号，根据线面角的定义可得，l与a所 成角为否，故B正确：对于C,因为u=(1,2,一2)= -(-2,-4,)=一，所以u/,故a∥g故C 正确：对于D,只有当空间的三个向量a,b,c不共面 时，对于空间的任意一个向量p,才存在实数，y,: 使得p=0十b十c,故D错误.故选AD, 10.ABD【解析】作出三棱柱ABC-A:B,C,如图，对 8.B【解析】依题意，OC⊥AB,OD⊥AB,而平面 于A,当A=1时，B驴=BB+:BC,则BP=B驴 ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB. BB=BC=uBC,所以点P在棱B,C上，故A OCC平面ABC,则OC⊥平面ABD,又ODC平面 正确：对于B,当A=:时，BP=A(BC十BB)= ABD,则OD⊥OC',因此直线OD,OB,(OC两两垂直， 以点O为原点，直线OD,OB,OC分别为x,y,z轴建 ABC,A∈(0,1]，所以点P在线段BC,上，故B正 立空问直角坐标系，令圆的半径OD=1,则O(0,0, 0),D1,0,0),B0,1,0),C(0,0,1),Oi=(0,1,0), 确：对于C,当入=以=号时，由B知B前=号BC,所 BC=(0,-1,1),BD=(1,-1,0),设平面CBD的 以P为线段BC1的中点，故C错误：对于D,当A十： 一个法向量为n=(x,y,x),则 =1时，=1-X,所以BP=入BB+(1-)BC,则 /n·BC=-y十=0 BP-BC=BB-ABC,即CP=ACBi,所以点P在 n·Bd=x-y=0 令y=1,得m=(1,11D,设直 线段B,C上，故D正确.故选ABD 线AB与平面C'BD所成的角为0，则sing=|cos(n, Oi)1=ln·O 13 ,所以直线AB与平面 OBI 1×33 CD所成角的正弦值为号故选B 11,ACD【解析】由题意知以D为原点，DA,DC,DD 所在直线分别为x,y,:轴建立空间直角坐标系，如 图所示. D 二、选择题 9,AD【解析】对于A,由题意，当n⊥m时，l∥a或1C a,故A错误：对于B,由图可得，∠CAD=等，则 ∠DAB=号， 则D(0,0,0),A(1,0,0),E(0,0,1),H(1,1,1), B(1,1,2),C(0,1,2),F(0,号，2八，对于A:连接 EF,AB=(0,1,2),E求=(0，之，1），所以AB= 2EF,结合图可得AB∥EF,所以AB,∥EF,所以 77✉ ·数学· 参考答案及解析 点A,B,E,F共面，故A正确：对于B:连接BD, 14.27π【解析】设正方体的棱长为a,取空间的一个基 B,D1,Ci=(1,0,-1),设平面BDDB的一个 底{AB,AC,AD,设n是平面a的一个方向向上的 法向量为n=(a,b,c),DD=(0,0,2),DB 单位法向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序 /n·DB=a十b=0 实数组(x,y,z),使得n=xAB+yAC+zAD.由题 (1,1,0),则 n:D元=2c=0,令a=1,得n 意，A立，A亡，AD在n方向上的投影向量的长度分别 (1,-1,0),设直线CH与平面BDD,B1所成的角 为E5,2,于是n·Ai=E,即(xAi+yAC+ 为.所以ing=|cos(,n1=C直.nl CH A·-亿，即m=厄，即-号同理y 尼X万子，所以9=吾放B箭误，对于C,正 1 是-号.从面a-子立+5心+2动，由 (-1,0,1),Ci=(1,0,-1),所以AE=-Ci, n=1,得子√a+3a+证=1，即六·3a=, 所以AE∥CH,因为AEC平面EAB,,C,H过平面 EAB,所以CH∥平面EAB,故C正确：对于D: 解得4=3，所以正方体的外接球半径为，外接球 AB=(0,1,2),Ci=(1,0,-1),所以 1osG直，A1=1Ci.AB 2 的表面积为4红(2)广=27元 IC HIIABI √2X5 四、解答题 ，故D正确.故选ACD. 15.解：(1)取BC,BC1的中点O,O,连接OA,OO, 5 因为CC⊥底面ABC,CC∥(O), 三、填空题 所以OO⊥底面ABC, 12.32【解析】由点A(-1,0,1),B(2,3c),可得 因为OA,OBC平面ABC, AB=(3,3,c-1).因为平面a的一个法向量为n= 所以OO⊥OA,OO⊥OB, (1,-1,2),点A(-1,0,1),B(2,3,c)均在a内， 又因为△ABC为等边三角形，O为BC的中点， 所以AO⊥BC 所以AB·n=0,则3×1+3×(-1)+(c-1)×2 则以O为原点，OA,OD,OO所在直线分别为x,y =0,解得c=1,则1AB=√3+3+（c-1)产 :轴建立空间直角坐标系，如图所示： 32. 18. 【解析】如图， 故B(0.1√5)，A(3,0,0),D(0,3,0) BD=(0,2,-3),AD=(-3,3,0), 因为G为△ABC的重心，则GA+GB+GC=0,可得 设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z), PA-P心+Pi-PG+P心-P心=0，则3P心=PA+ n·B,D=2y-3=0 pB+P心.所以9P心=(Pi+Pi+P心)'=Pi+ 则 n·AD=-√3x+3y=0 Pi+心+2(PA,pi+Pi.p元+P元.)= 令=1则n=(51,2)月 (3分) 4+4+9+2×(2cos5+2×3c0s号+3× 因为BD∥BC,BD=BC, 20晋）=3，故心=厘 所以四边形BDBC为平行四边形， 所以BC∥BD. 因为BC丈平面AB:D,B,DC平面AB:D, ·78✉ 高三一轮复习B ·数学· 所以BC∥平面AB,D, 即直线BC到平面AB:D的距离等于点B到平面 则6os9=-losm:ml=-n:h=-子 AB:D的距离. (5分) :钝三面角N一MF-D的余弦值为-子 (8分) 又B(0,1,0), 则Bi=(0,2,0), 设直线BC到平面AB:D的距离为d, 则d=d.nl 2 5 n √3+1+3 4 即直线BC,到平面ABD的距离为 (7分) (2)设P(,0,t)(∈[0w3]), 又C(0,-1,0), 则C币=(3,1，t) (2)连接AC,:H为CE的中点，且A(0,0,0),E(0, 因为BD=(0,2,-3),CP⊥BD, 0,2),C(2,2,0),N(1,0,1),F(0,2,1) 所以C市.B=2-5=0, a府=号心+花=2,2.0+号 （0,0,2)= 解得=∈[05]，符合题意 (1,1,1), 即H(1,1,1), 放p(5,02) (11分) ∴Ni=(0,1,0), (12分) 由(1)得平面MNF的一个法向量为m=(2,1,2), 2 因为言子 2 m.NH=1≠0. .Ni与m不垂直， 所以存在点P为靠近A:的三等分点，使得CP⊥ 故点H不在平面VMF内. (15分) BD. (13分) 17.解：(1)取AD的中点H连接EHFH. 16.解：(1)：AE⊥平面ABCD,且AB,ADC平面AB 因为F,H分别是棱PA,AD的中点， CD. 所以HF∥PD AE⊥AB,AE⊥AD, 因为PDC平面PCD,HFt平面PCD, 又AB⊥AD,即AE,AB,AD两两垂直， 所以HF∥平面PCD. 以A为原点，AB,AD,AE所在直线分别为x,y,: 因为E,H分别是棱BC,AD的中点， 轴建立空问直角坐标系，如图所示， 所以HE∥CD. 则E(0,0,2),F(0,2,1),M(1,2,0),N(1,0,1), 因为CDC平面PCD,HE丈平面PCD, NF=(-1,2,0),MF=(-1,0,1) 所以HE∥平面PCD. (4分) 因为HE,HFC平面HEF,且HE∩HF=H, 设平面MNF的一个法向量为m=(x,y,z), 所以平面HEF∥平面PCD. 1m.Ni=-x+2y=0 则 因为EFC平面HEF, m·Mi=-x十z=0 所以EF∥平面PCD. (7分) 令y=1,则m=(2,1,2), (3分) AE⊥平面ABCD,DF∥AE, ∴.DF⊥平面ABCD, ,ADC平面ABCD, D .DF⊥AD, AD⊥DC.DC∩DF=D,DC,DFC平面MFD, .AD⊥平面MFD, ∴.平面MFD的法向量可以为n=(0,1,0),(5分) 设钝二面角N-MF-D为8， ·79· ·数学· 参考答案及解析 (2)以D为坐标原点，分别以DA,DC的方向为x,y 是BC,PM=E, 轴正方向，垂直于平面ABCD向上的方向为：轴正 方向，建立如图所示的空问直角坐标系. 所以四棱锥P一ABCD的体积V,-D= 1 设AB=1, 则AD=CD=PD=2,PC=23. 号BCX厅=9BC=是解得BC=厅， (6分) 2 由余弦定理可得cos∠PDC=PD+CD-PC 由AMLCD,平面ABCD⊥平面PCD,平面ABCD 2PD·CD ∩平面PCD=CD,AMC平面ABCD, 4+4-12 2X2×2 可得AM⊥平面PCD, 则∠PDC=120°， 所以AM,CD,PM两两垂直， (8分) 以M为坐标原点，以M心、M币，MA的方向分别为x, 从而A(2,00),D(00,0),P(0,-13),E(1, y、之轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 o）F1 Mryz 故Di=2,0,0),D市=(0，-15)，E =(0.-2.)月 设平面PAD的一个法向量为n=(x,y,z), 则0·Di=2r=0 D n,Di=-y+3:=0 令y=3,则n=(0√3,1) (12分) 设直线EF与平面PAD所成的角为B, 则sin9=|cos(n,E市1=，n…E市 则P(0√5,0)，B(1,0,√3).A(0,0W5),D(-1,0, |nl·|EF 0), 33 所以pi=(1,-3,3),PA=(0,-5,3),P市= 2 3√57 (-1,-3,0), 3 38 24+ 设平面PAD的一个法向量为n=(x,y,z), 即直线EF与平面PAD所成角的正弦值为3， n·PA=0 -√/y+√3：=0 38 ,市-0即 则 -x-5y=0 (15分) 取y=1,则x=-√3，e=1, 18.解：(1)因为AB∥CD,DC=2AB=2, 所以四边形ABCM为平行四边形，则AM∥BC 即n=(一5,1,1)， (13分) 又因为BC⊥CD, 设直线PB与平面PAD所成角为9， 所以AM⊥CD, (2分) 则sm9=lcos(P吃，n1=本.n-反 =105 因为△PCD为等边三角形，CD的中点为M, 1PB11n√/35 35· 所以PM⊥CD 所以直线PB与平面PAD所成角的正弦值为 由AM∩PM=M,AMC平面PAM,PMC平 105 面PAM, 35 (17分) 可得CD⊥平面PAM (4分) 19.解：(1)过D作DN⊥BC,垂足为N, (2)由(1)可知PM⊥CD. 因为平面BCD⊥平面PBC,平面BCD∩平面PBC 因为平面ABCD⊥平面PCD,平面ABCD∩平面 =BC,DNC平面BCD, PCD=CD,PMC平面PCD, 所以DN⊥平面PBC. 所以PM⊥平面ABCD,即PM为四棱锥P-ABCD 因为PBC平面PBC,所以DN⊥PB, 的高。 因为PB⊥BD,BD∩DN=D, 又因为梯形ABCD的面积S=×1+2)×BC= 所以PB⊥平面BCD, 因为CDC平面BCD,所以PB⊥CD. (5分) ·80✉ 高三一轮复习B ·数学· 则BC=(2,1,0),BM=B驴+PM=B+Api (0.0.2)+1(2.0,-2)=(21,0,2-2x), 设平面BCM的一个法向量为n=(x,y,z), /BC·n=0 得 (2x十y=0 由Bd.n=0 ax+(1-A)z=0 令x=-1,得n=(-12产小 (10分) (2)由(1)可知PB⊥平面BCD, 平面BDM的一个法向量可取m=(0,1,0),(12分) 又BD⊥CD. 以B为坐标原点，以B币，D心，B护的方向分别为x 因为二面角C-BM-D的余弦值为号 轴、y轴：轴正方向建立空间直角坐标系， lo =子解得（产）广=4， 又因为0<<1， 所以产=2 所以=号 (17分) 则D(2,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2) ·81.