(15)基本立体图形、立体图形的直观图、简单几何体的表面积与体积-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（B卷）

高三轮复习周测卷/数学 7.古希精数学家欧几里在儿挥算本)■是出：“球的体粗(V)与它的直径（的文方成正比”，即V (十五)基本立体图形，立体图形的直观图，简单几何体的表面积与体积 =D,欧儿得未给出★的值，7世纪目本数学家们对求球的体积方法还不了解，佳们将体供公 (号试时间120分钟，满分150分 式V一D中的管数人移为”立属术"设”玉积*”，创用了求“主积*“的孩特方法“会玉米“，其中， D为直径.类缸地，对于等边圆柱（袖属面是正方形的圆柱叫作等边图柱）正方体也有类似的体积 一，透择题（木大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小想给出的四个这明中，只有一填是符 公式V一伊，其中，在等边图桂中，D表示底面则的直径：在正方体中，D表示接长.假设运用此 合题目要求的 “会玉术“，求视的球，等边图桂，正方体的“玉积率“分湖为高，，期：= 1将一个等腰梯那资着它较长的帐边质在直线炭排一周，所得的几何体包括 A,一个得台，两个圆相 入营 k晋号2 两个园台。一个四细 %1a:g 12,4 2 C.两个台、一个圆桂 品中国有鉴久的金石文化，印信是金石文化的代表之，印信的彩款多为长为体，正方体或圆桂 D,一个图柱，两个解管 体，但南北朝时别的官是鞋题信的印信形款是“半正多面体“（图1），半正多南体是由两种或两种 2.已知一个直三棱柱的帐面是吸长为2的等腰直角三角形，高为3，侧该三棱柱的表面积为 以上的正多边形用成的多面体，半正多面体体观了数学的对称：美.图2是一个棱数为4州的半正 A.1区+8 k2E+16 多面体，它的所有魔点都在间一个正方体的表直上，且此正方体的楼长为【，解该半正多面体共 C,12区+6 h16+62 有面的个数及棱长分别为 1.,个近似眉台形状韵水缸.若它的上，下成面风的半径分别为5m和1m:深度为这则 A.25反-1 该水缸葡满水时的部水量为 且.242=2 A.1 225x cm' 我400元cm C262-2 D24厚-1 图2 C.J 350x cm D.22050xm 二，这理驱〈木大题共小题，每小思6分，共18分，在每小题给出的这项中，有多项符合避日要 4.如用，某国边琴ACD的直遥图是正方形ABCD',且A'(L,0).C(一1,0)，期原国边形ABCD 求。全部达的得目分，部分这对的得军分分，有选错的得0分 的网长等于 .下列说法错误的是 ,2 A.极柱的侧棱都相等.侧面都基平行四边形 且.2厘+2a B,用一个平雀去裁棱锥·控维嘘直与载雀之闻的常分是控台 CI C所有儿何体的表面都使展开成平底图形 D42+45 D.棱台的质有侧酸延长后文干一点，侧面是等腰梯形 ,下面的四个长方体中，是由左边的平面图形用成的是 a已知属作的侧面展开周是牛径为2的半风，则下列关于该哪作的站论正确的是 人体积等于得 我过源点的截或跑积量大作等于2 C外核球的体机等于忍 2 D.内切球的表面肌等于2m 11下判物体，能够藏半径为2m的球体完全客纳的有 C. A,所有棱长均为3曲的国面体 6.若球的两个平行截面面凯分别为5云和8x,球心到这两个载面的配离之爱等于1，期球的直径判 且.底面棱长为1m,高为1.6m的正大棱相 A.10 我6 C底面直径为L8■，高为3.8m的阅柱 C.5 h.3 D上，下售面的边长分别为1m,m.高为3m的正四棱什 脑举第1直1共4直) 淘水金裤·先享敬·高三一轮想习居测韩十五 位学第2方（共4成 回 姓名 分数 17.(本小避离分15分】 号 101 如图，在直角梯形ABCD中，∠B-∠C-是，A82E.CD-区.C-8将ABCD(登其内部) 绕4所在的直线旋转一周，形成一个儿何休 三，填控驱（本大题共3小思，每小题5分，共1后分》 (1)求溪几，与体的体积和表面积 12.已知某厘台轴载面的面积为5，且轴藏面有一个角为12，则该圆价的面积为 (2)设直角梯形AB风D烧AB断在的直找旋特角（∠C一9E(0,)至ABCD',若AD' 13.如阁所示.日知正三棱桂ABC一AB,C,的底面边长为2，高为5，一疑点自点A出爱，沿着三棱 AD,疾角9的值 佳的侧面瓷行鸡周到达A点的最知路线的长为 18,(本小避清分17分) 如图，某铁置零件由一个正三棱行和一个正三棱桂组成，已知正三校柱的底面边长与高均为 1+正三棱白的下：雀边长为2m,且正三控台的高为1em,现有一盒这种零件共重 第13厘 第1H庭 60唇g(不包含盒子的现量).取铁的密度为7.8g/m, 14,足尖虽未道及美景，浪漫郑从未停止生长，清风牵动期您，处处彰暴看儿何的图殊，下直的儿何 (1)试问该盒中有多今个这样的零件？ 图形好平铺的一作裙装，①②@是全等的等暖梯形，④是正方形，其中AB■AA=2, (2)细果要给这套零件的每个零件表重蜂上一种特豫的材料，试间共需像多少m的材料？ A品一4.若沿图中的虚假折起，用成一个封同儿何体口.国2的体积为 口的外接 球的表面积为 一（本题第一—整？分，第二空3分） 四、解答愿（木大题共5小题，其7分，解若位写出必要的文学说明，旺明过程成演耳步程】 13.本小题清分13分 一个圆台的母线长为2m,两底直面机分图为1r画和25xm,求： (1)留台的体积： 19,(本小些病分17分) (2)舰得此阅台的圆都的母线长 为了更直戏地让学生认识棱续的儿何特任：某数师计划制作一个正四棱脏领学顿型.提有一个 无盖的长方体硬：盘，（底面是边长为20m的正方形，高为10m,将其侧棱剪承，得列展开 图，加国1断示，P,产，P,P分黑是所在边的中点，明去别感都分，再沿围线折起，使得P, B,B,P四个点重合于点P,正好形发一个正四棱兼P一AD,如图2箭示，设AB=单 1乐（本小题满分1后分》 位). 我国古代数学名著（九章算术中，将底面为矩形且有一条侧酸垂直于核面的国棱触称为“和 (1)若x=10,求正四棱锥P一ABCD的表面积： 马”.如图所示，在长方体ACD一ACD中，已知4B-B'-2,AA,-3. (2)当x取何值时，正四棱锥P一ABCD的体积最大 1求王：四棱霍D一ACD是一个“用马”，井求该”目马”的体积： 2)求该用马“D,一AD的外接球的表育积， 脑举第3直1共4直) 陶本金裤·先享敬·高三一轮想习居测韩十五 曲学第4方（共4成） 回高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十五） 9 品题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力N,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ，应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 值 (主题内容) ⅢN ① ② ③④⑤ 档次 系数 1 选择题 5 组合体的结构特征 易 0.80 2 选择题 5 棱柱的表面积 易 0.78 圆台的体积（数学文 3 选择题 5 易 0.75 化) 4 选择题 由直观图求原图形 5 中 0.65 的周长 选择题 长方体展开图 中 0.60 6 选择题 5 球的截面问题 中 0.50 正方体、圆柱与球的 选择题 5 中 0.45 综合（数学文化） 8 选择题 5 半正多面体 难 0.26 9 选择题 6 几何体的结构特征 易 0.72 10 选择题 6 圆维的结构特征 中 0.40 11 选择题 6 多面体与球 难 0.28 12 填空题 圆台的轴截面、侧面 5 易 0.71 积问题 13 填空题 5 多面体的展开间题 中 0.45 14 填空题 棱台的外接球 中 0.35 圆台的体积及相关 15 解答题 13 中 量计算 0.65 棱维的体积，补形法 16 解答题 15 求儿何体外接球的 中 0.60 表面积 17 解答题 15 旋转体的表面积与 中 0.55 体积问题 18 解答题 棱柱与棱台的体积、 17 中 0.40 表面积的实际应用 ·61 ·数学· 参考答案及解析 维体的表面积，导数 19 解答题 17 法求锥体体积的 难 0.28 最值 香考答案及解析 一、选择题 B.故选B 1,D【解析】将等腰梯形分割成两个直角三角形和一 6.B【解析】令球心到较近的截面距离为h,则到另一 个矩形，如图所示： 个截面的距离为h十1，设球的半径为R,易知较近的 截面圆面积为8π，另一个截面圆面积为5π，所以较近 的截面圆半径为=2√2，另一个截面圆半径为r:= 5,由截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系 知：(R2-)-(R2-)=(h十1)2一h,所以斤-月 矩形绕其一边旋转一周得到圆柱，直角三角形绕其一 =2h十1=3，h=1,故R”=h2十r1=9→R=3,则球的 条直角边旋转一周得到圆锥，因此，将该等腰梯形绕 直径为6.故选B 它的较长的底边所在的直线旋转一周，可得儿何体为 一个圆柱，两个圆锥，故选D. 7.D【解析】在球中，V=号R=专x(号)'=晋D 2.D【解析】由题意可知，该三棱柱的表面积为S表= =D,解得k=吾在等边圆柱中，V=x(号)'· (4+22)X3+2×号×2×2=16+6E.故选D, D=于D=k:D,解得k:=于：在正方体中，V,=D 3.C【解析】由题意得V=子：·(25+15十 =6D,解得6=1.k6=吾：受1=1：2： 2 /25×15)×18=7350π(cm).故选C. 4.D【解析】因为A'(1,0),C(-1,0),所以直观图 点故选D, 中正方形的边长为√反，结合直观图的特征，可得原图8.A 【解析】可以将该多面体分为三层，上层8个面， 如下： 中层8个面，下层8个面，上下底各1个面，所以共有 8十8十8十1十1=26个面，设正多面体的棱长为a,作 出该几何体的截面如图，截面图为正八边形，由图可 得CD=1,4,CE=a,因为△CDE为等腰直角三角 2 形，所以CE=厄CD,即a=E×与，解得a= =反-1，所以该多面体的棱长为反一1故 2+1 选A. 因为直观图中BC'=√2，且BC‘与y'轴平行，所以原 图中BC=22且BC与y轴平行，因为AC=2,所以 AB=√2十(2√2)-25.由直观图的性质可知， 原图中四边形ABCD为平行四边形，所以四边形 ABCD的周长等于4V厄+45.故选D. G 5,B【解析】由长方体的展开图可得符合的长方体为 ·62. 高三一轮复习B ·数学· 二、选择题 9.BCD【解析】棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四 边形，故A正确：用一个平行于棱锥底面的平面去截 棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故B错：球 0 体展开后就是一个曲面，而不是平面图形，故C错，棱 台的所有侧棱延长后交于一点，侧面都是梯形，不一 定是等腰梯形，故D错.故选BCD, 10.AC【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为t,则 (=2 对于B,底面棱长为1m的正六棱锥的底面外接圆 l=2 2w-子·2xX2解得 ,所以圆锥的高h= 的半径为1m,设此时的外接球的半径为2m,球心 =1 到底面的距离为hm,则由球的性质可知2：=1十 3rh= 一F=,则圆锥的体积V= 3π，故 h,解得h=√3或h=一√3（舍去），此时正六棱锥的 A正确：设过顶点的截面三角形顶角为6，则0<≤ 高的最大值为2十h=2十√3≈3.732>3.6，故B 号，则截面面积S=号fs如9=2如0K2如号- 正确； √3，故B错误，记圆锥的轴截面为△ABC,则△ABC 是边长为2的等边三角形，圆锥外接球和内切球的 半径分别是△ABC外接圆和内切圆的半径，依次为 =号，所以外接球体 积为专x×(华)=吾，故C正确：内切球的 表面积为4红×（停）-专，故D错误.枚选AC 对于C,圆柱的底面半径为0.8m高的一半为1.9m, 设其外接球的半径为Rm,所以R=√0.8十1.9丽 =√/4.25>2，故C错误； 、08 1.9 11.ABD【解析】对于A,设所有棱长均为3m的四面 体ABCD的外接球的球心为O,顶点在底面的投影 为E,外接球的半径为rm则CE=号×号×3= 对于D,正四棱台中，上底面的对角线长为√2m,上 5m,AE=√AC-CE=√月-3=√6m,因为 底西外接圆的半径长为号m下底面的对角线长 CO=CE+OE,所以r=3+(6-r)',解得r= 为22m,下底面外接圆的半径长为2m,易知外 35<2,故A正确： 4 接球的球心在正四棱台的上，下底面中心的连线 上，且在上底面的下方，设球心到上底面的距离为 dm(0<d<3),球的半径为tm,当球心在两底面 .63. ·数学· 参考答案及解析 之间时，球心到下底面的距离为(3一d)m,则 13.13【解析】此题相当于把两个正三棱柱都沿AA d+()=r 剪开拼接后得到的线段AA,的长，即最短路线为 ,解得d=1.75<3,符合题 /12+5F=13. (3-d)+(2)=t B C B: 意，此时t=√3.5625<2，故D正确： C 14.282 3-d 3 40【解析】由题意可知儿何体Q为正四 棱台，其底面边长分别为2,4，侧棱长为2，正四棱台 的商为V2一(22丁=区，可得体积为号 当球心在下底面上或下方时，球心到下底面的距离 为(d-3)m(d>3),则 +()=r ×厄×(4+16+VX5)282,设上，下底面中 心分别为O,O,外接球的球心为O,半径为R,可 (d-3)+(2)'= R=(22)+O0房 1R2=10 解得d=1.75<3,不符合题意.故选ABD. 得 ·解得 ,所 R=(2)+(O0+√2) 00,=2 以Ω的外接球的表面积为4πR=40π. 2 02 三、填空题 四、解答题 12.45π【解析】如下图所示，设圆台上底面半径CE 15.解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图)： =r,下底面半径FB-R,设∠BCD-120°，则∠ABC =60°，在平面ABCD内，过点C作CM⊥AB,垂足 为M,则圆台的高CM=h=√3(R一r),圆台轴截面 D 01 的面积为+2R.5（R-)=6,所以R一，= 2 26,所以圆台侧面积为号·2aR·2R-号·2r· 2r=2π(R-)=2π×23=4W5π ,两底面面积分别为4rcm2和25rcm, D .圆台上底半径OA=2cm,下底半径OB=5cm. 又，母线长即等腰梯形的腰长AB为12cm, ∴.高为AM=√/12-(5-2)P=3/15(cm). (5分) B 圆台的体积V=子×(4标+25m+10m)×3V压 ·64 高三一轮复习B ·数学· =39√/15π(cm3). (8分) (2)设截得此圆台的圆锥的母线长为， 圆台截面中AD∥BC, △SM00△sB0.则2=号， ∴.l=20cm, 即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm (13分) .B 16.解：(1)因为长方体ABCD-AB,C:D,中，DD⊥ C 平面ABCD,且四边形ABCD是矩形， 在△DED'中，由余弦定理得DD:=CC=DE+ 所以四棱维D,一ABCD中，底面ABCD是矩形，且 D'E-2·DE·D'E·cos8. 侧棱DD⊥底面ABCD, 即DD'2=8-8cos0, 所以四棱锥D1一ABCD是一个“阳马”， (4分) 所以在R△DAD中，AD十AD=DD, 体积V=号5mXD0,=寸×2X2X3=4(分 即8-8c0s9=12,解得cos9=-之， (13分) (2)长方体的外接球即为四棱锥的外接球， 又8e(0,,所以0= 3 (15分) 因为AB=BC=2,AA=3, 所以长方体的体对角线长为√②+2+3=√17， 18解：()由题得，正三棱柱的体积V,=×1×1 4 则长方体的外接球半径R=亚 2 (12分) 4 cm' 所以该“阳马”外接球的表面积为S=4πR=4π× ()-1 正三陵台的体积=号×1×（气×1：+×2：+ (15分) 17,解：(1)过点D作DE⊥AB,如图所示， cm', 所以该零件的质量为(+)×7.8=1 2 g (4分) 所以该盒中共有零件6505÷13,5=10个. 2 (6分) (2)如图，设D,D,分别为三棱台所在棱的中点，O, O分别为三棱台上、下底面的中心， 则DE=BC=2,BE=CD=√2 连接OO,AD,DD,AD1, 所以AE=AB-BE=√2， 则AD过点O,AD1过点O. 在Rt△DEA中，DE⊥AE,DE=2,AE=√2， 0 则AD=AD=6, 所以该儿何体的体积V=子x×2X巨十元X2艺× V2-162x 3 (6分) 该儿何体的表面积S=π×2+2π×2×厄+π×2× 6=(4√E+4+2√6)元. (8分) (2)连接D'E,DD',CC,如图所示， 因为AD=1Xsim60= 2 m ·65· ·数学· 参考答案及解析 所以OD=↓xE=E (2)AB=x 3 2=6cm 0E=营，PE=20-受(0<<20) 同理可得OD= ×号×2-9 cm 0=√(20-)-（号）=25×V20- 所以DD,=√OO+(OD,-OD)=3 cm. (0<x<20), (9分) 所以三棱台的侧面积为号×(1+2)×四X3 ∴正四棱锥P一ABCD的体积为 6 33 V()x25x/x 3 -cm'. (13分) 4 =25×√(20-(0<x<20). (12分) 所以一个零件的表面积为3厘+×1+5× 3 4 4 令t(x)=x(20-x)(0<x<20), +1X1X3=3+53+33 .cm. (15分) 则/(x)=5x(16-x), 4 当0<x<16时，t'(x)>0,t(x)单调递增： 因为（3+55+33厘)×100=300+1255+ 当16<x<20时，t'(x)<0,t(x)单调递减， .t(x)m=t(16)∴.V(x)mw=V(16), 75√3， ∴.当x=16时，正四棱锥P-ABCD的体积最大， 所以共需涂(300+125√3+75√39)cm°的材料. (17分) (17分) 19.解：(1)在正四棱锥P-ABCD中，连接AC,BD交 于点O,设BC的中点为E,连接PE,EO,PO AB=10,.OE=5,PE=15, ∴.正四棱锥P一ABCD的表面积为S=S。o十 45ac=10X10+4X号×10X15=40, .正四棱锥P-ABCD的表面积为400cm.(5分) 0 ·66·