(14)数列求和、数列的综合应用-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（B卷）

高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十四）》 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W.空间想象能力V,数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑤数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ②③④ G 档次 系数 1 选择题 6 周期数列求和 易 0.85 2 等比数列与函数零 选择题 易 0.78 点的综合 与绝对值相关的 选择题 S 易 0.75 求和 4 选择题 5 裂项相消法求和 中 0.70 5 选择题 奇偶项分组求和 中 0.60 6 选择题 并项求和法求和 中 0.55 数列性质的综合 选择题 5 中 0.50 应用 等比数列与基本不 选择题 0.45 等式的综合 公 等比数列的有关 9 选择题 6 中 0.65 问题 S.与a,间关系的综 10 选择题 6 中 0.55 合应用 11 选择题 6 数列的综合 中 0.40 12 填空题 等差数列与三角函 5 数的综合 易 0.78 数列求和与古代数 13 填空题 5 中 0.45 学文化 14 填空题 5 倒序相加法求和 中 0.35 15 分段数列问题，等差 解答题 13 中 0.65 数列的前n项和 结构不良题，裂项 16 解答题 15 中 0.50 求和 等比数列通项及前” 17 解答题 15 中 0.45 项和，证明不等式 ·57· ·数学· 参考答案及解析 等比（差）数列的单 18 解答题 17 调性，错位相诚法 中 0.40 求和 数列求和的实际 19 解答题 17 0.25 应用 善考管案及解析 一、选择题 =a1十(m-1)d十a1,因为a1≠0，所以m=28∈ 1.C【解折】因为a=1--合，=1-=-1 [1,50],即1≤2-2≤50，由2=16,2=32.2=64， 所以2≤2≤2，即2≤k≤7，所以满足等式的解k a=1一1=2，…，所以数列{a,}是以3为周期的周 =2,3,4,5,6.7,故集合M中的元素个数为6.故 选A. 3 期数列，且a十ae十a=立，所以S:=4X(a十a十 8.B【解析】设等比数列{a。}的公比为g,则a= a,)+au=4×是+2=8，故选C a0,即23=9对解得g3,所以a=号=是-1 2.C【解析】由题意可得asa1,=9>0,a5十am=m 所以a,=3,8=2=,因为3就， 1一4 0,则a>0,a:>0,所以{an}的奇数项均为正数，所 2S。-730≤0恒成立，即31≤3一1+730恒成立， 以am>0,且a,=√aa=√9=3.故选C. 3.B【解析】由a+1=a,十3，可知数列{a.}是以a1= 即8+罗恒成立，由基本不等式可得8+婴≥ 一60为首项，公差d一3的等差数列，则4。=a1+ (H-1)d=3n-63,所以当n≤21时，a≤0，当>21 2√·要-54，当且仅当3-罗即=3时等号 3 时，a.>0,所以|a1|+|a2+…十|ae|=T(a1十 成立，所以A≤54，即实数入的取值范围为 +n+a)+a+…十a=-号(a十0)t (-0,54].故选B. 二、选择题 2 (ez+ow)=-×(-60+o)+号×3+27) 9.ABD【解析】对于A,a6a,=aig'>1,又0<a<1 故g">1,即g>1,故A正确：对于B.a6a后=ga6a:, 765.故选B. 由a6a:>1,g>1,故asaa>1,故B正确：对于C,由0 4.B【解析】依题意a,一十V干 =√n十I-√n 1>1故数列为道增数列.又二0， 所以S。=2一1十3一√2+…十√m+I一√m= 故au-1<0,a-1>0,即an<1,d,>1,即T7=a,T √n+1-1.由S.=十I-1=7,解得n=63.故 >T,故C错误：对于D,T:=a1a…a=a>1,故 D正确.故选ABD. 选B. n+ 5.C【解析】当n为奇数时，a,+￥=4m一2，当n为偶数 2,”为奇数 时，a。+:=a.十2，因此数列{a.}的奇数项构成首项为 10.BCD【解析】由S,= ,可得a1= 2,公差为一2的等差数列，偶数项构成首项为0，公差 受n为偶数 为2的等差数列，则Sm=16×2+1615×(一2)+ S,=一2，a:=3,当n为奇数且n≥3时，am=S。 2 S1=-十3-”，=一n-1,其中41符合，所以 16×0+16X15×2=32.故选C. 2 2 2 当n为奇数时，a=一n一1，所以B正确：当n为偶 6.B【解析】：1+2+22+…+2-'=2+2+22+… +2-1=1-2" 数时a,=5-5-号-(-”号+3)=+1，所 一=2=2”-1·该数列为2一11，其前99 以A错误，C正确：又由ana。+1=一(n十1)(n+2), 项和为2-2)-1×99=2m-101.放选B 则 1 1-2 a an+1 m++西-(h) 7.A【解折】由么=a=号，得=a+a,户a,X2 }的前n项和为T,=-(合-吉 所以数列{a ·58 高三一轮复习B ·数学· ++++) 四、解答题 15.解：(1)设数列{a.}的公差为d, n+2一2(m十2)，所以D正确.故选BCD, 因为T3=十b2+b-a1十5+(-a2+10)+a,+5 =a1+d+20, (2分) 11.ACD【解析】对于选项A,因为a.,r1,xe,…, 由T=24,得a1+d=4. xm,a+成等差数列，所以tn1十ze十…十xm 又因为T:=b+b十b+b=a1+5+ 十，n=4+a山·n=2”+2 ·n=3n· 2 2 2 (-a2+10)+a:+5+(-a4+10)=30-2d, 2-,故A正确：对于选项B.因为a,和a:之间插入 由T,=24,得d=3, 1个数a:和a之间插入2个数，…，ag和an之间 所以a1=1, 插入9个数，所以au在数列{b,》中是第10+1十2 故an=3n-2. (5分) 十…十9=55项，所以a。=b5,故B错误：对于选项 (2)当n=2k,k∈N时. C,a在数列{bn}中是第11+1+2+…+9+10= T.=Tu=b6十b6+…十b-1十b2 66项，“z在数列{b.》中是第12十1十2十…十10十 =a1+5十(-4：+10)+…十a-1十5+(-aa十10) 11=78项，又依题意，b6,b,…,b成等差数列，所 =15k-3k=12k, 以m=e+=an寸a=22=3072,故C 所以T.=6n: (7分) 2 2 2 当n=2k-1.k∈N时， 正确；对于选项D,由选项B可知，a1o在数列{b.}中 T。=T-1=十b+…+b-1=Tw一=12k- 是第55项，所以Ss=(a1十a十…+ae)十[.x1+ (12-6k)=18k-12, (x1十x#）十…十(x1十x十…+x)]=(2十2 所以T.=9n-3. (10分) +…+2")+3×(1×2+2×21+…+9×2)= 由T.=T,(m≠15)，得m为偶数， (21-2)十3×(8×2”+1)=14337，故D正确.故 所以6m=9×15-3,解得m=22. (13分) 选ACD. 16.解：(1)设数列{b.1的公比为g,且4>0 三、填空题 若选①：因为6=16，b=128, 12.5【解析】由题得S。=10(a+a）=5(a,十a) 则6g=16,6g=128, 2 解得6=4,9=2， n10x=3 =19,所以amSw=an19 所以b.=4×2-1=2+,an=log:b,=n+1(n∈ N). (8分) 13.m十1）【解析】设第m层有a.个球，则a4=1 若选②@：因为b6,=4,6-66=0, 2 一a1=2,as-a2=3,…,an一a-1=n(n>2),所以当 则4g一4×4d=0, n≥2时，a。=a1十a-a1+au一a2十a一da+…+a 解得g=2, 所以b.=4×2m-1=2+,an=log2bn=n十1(n∈ -a.1=1+2+3+4十…十n=m+1D,当n=1 2 N°). (8分)】 时a,=1也适合上式，故a,=n+山 (2)由(1)可得c。=4.·b,=(n十1)·2+1=n· 2 2+-(n-1)·2+1, (10分) 14.4050【解析】正项数列{a,)是公比不为1的等比 所以5，=1×23-0×22+2×2-1×2+3×2-2 数列，aa22s=1,则aa:u5-=1,n≤2025，由 ×2+…+n·2+2-(n-1)·2+1=n·2+2. )=中当≠0时fx)+()=中7 (15分) 17.解：(1)由S+1=S。十4an-3, =4,于是f(an)十(a:26-#） +() 得S.+1-S,=4am-3, a。+1=4an-3, (2分) f(a,)+f()=4,令7s=f(a:)+f(a:)+ 则a+1-1=4(a,一1)， a-1=2-1=1≠0， …十f(a2o5),则T225=f(ato25)十f(a经t1)+… ∴a。-1≠0， +f(a1),因此2T:s=[f(a1)十f(a:s)]十 ∴.数列{a一1)是以1为首项，4为公比的等比 [f(a:)+f(a)]+…+[f(a:s)+f(a1)] 数列， 4×2025,所以T:0=4050. ∴.a。-1=4-1=2-, (4分) ·59· ·数学· 参考答案及解析 :bn=log(a。-1)+3, 所以T.=31-4n-3 (17分) ∴.b=l0g:2m-+3=2n+1. (6分) (2)c,=(-10+1.1+6 19.解：(1)依题意第三年共有职工3×5=15人， b,b。 基础工资为15×1×(1+10%)=18.15万， c.=(-1)1·（2m+1D(2m+3) 2n+2 =(-1)+1. 房屋补贴为5×0.08十5×0.08×2+5×0.08×3= 2.4万， (点+) (9分) 医疗费为15×0.32=4.8万， 所以第三年公司付给职工的工资总额为18.15十 .T.=q十十9十…十c 2.4+4.8=25.35万. (4分) =[(号+)-（信+）+（号+）-+ (2)设第n(n∈N·)年共有5n个职工，那么基础工 资总额为5n(1十10%)-1万元， -(+]: (13分) 医疗费为5n×0.32=1.6n万元， 当m为奇数时，工.=（号十2n十）>言Q5分) 房屋补贴为5×0.08+5×0.08×2+5×0.08×3+ …+5×0.08×n=0.4×(1+2+3+…+n)= 18.解：(1)设等差数列(a.)的公差为d,等比数列(b) 0.2(n十1)万元， 的公比为g(g>0), 所以y=5n(1+10%)-1十0.2n(n+1)+1.6n 则aa=a1十2d,即9=1+2d, =0.2n+1.8m+5n×1.1-1,n∈N”. (10分) 解得d=4, (3)依题意0.2n(n十1)十1.6n≤5n(1十10%) ba=b,即9=1·q, ×P%, 解得q=3, 所以a,=4,+(n-1)d=1+4(n-1)=4n-3, 所以P%>+, 5X1.1T b=bW1=1X3”1=3-1. (4分) 令a. 0.2m+1.8 令e=b-a=3-4h+3, 5×1.1T· 则当正整数>3时，c+1一c=2×3-1一4>0， 令 aw+1≥aw+s 所以当正整数k>3时，数列{}是递增数列， a-i≥aw 此时ca≥c=14>0, 0.2(n十1)+1.8、0.2(n+2)+1.8 5X1.1m 5×1.1+ 即当k≥4时恒有b>a:· 即 0.2(n十1)+1.8、0.2n+1.8 所以不存在正整数>3，使得a=b. (9分) 5×1.1# 5X1.17 (2)设T,=a1b6,+a:b-1十abn-1+…+ab1· 解得0≤n≤1， 则号T,=a61taA+ah+…+了a 2 2 (13分) 所以当n=1或n=2时，a,取得最大值名 相诚得号工=a6十d(-+-+…+） 所以P%≥号，则P>40.则P的最小值为40. (17分) -1, ·60高三-轮复习周测卷/数学 二、进择幕（本大题共3小巡，每小题6分，共18分：在每小题给出的是顶中，有多项答合题口要 (十四}数列求和，数列的综合应用 表。全部达对的得后分，部分注对的得部分分，有选情的得0分) (号试时间120分钟，满分150分》 多设等北致到a,的公比为项职为T,且满是0C>片二0，测 一，透择驱（木大题共8小题，每小题5分，共0分，在每小想给出的四个这明中，只有一明是符 A,>1 线4：>1 合题目要求的) C丁，的量大值为T D.T>1 上已知数开a.的前境和为5且a-21-一期S 一十3，n为奇数 10,已数列[.1的前m顶和为S。,且5 .6 我7 空n为偶数 C.8 D.9 A.4=一1 2.已即数列以，是等比数列，用数)=r一m十0的零点分组是4，以1，媒，= B.当n为奇数时a,一一n一1 A出8 k±1 C当育为偶数时，一十1 C.8 D.9 3.已知在数判中，1-一0。，一2，十3.期a十4：十…十4=- D数到一的做：提和等于一污 A,45 H785 11,已扫数列（出的通项公式是，-空，在和：之间婚入1个数使中1成等左数列 C,100 1.3105 在0：和a1之何精人2个数和=，使ar1口a最寥登数列：：在4和：，之月知人 4在数列冲，一后+合可北前项和5=7测n 个数2a,,。,使。工上a,,1。a。成等差数列这梓得到新数列6为4， +4+1+,记数列，的偏原和为5，+雨 L经 我对 A,4十e十t十。-3w… 我4=6 C.70 D.75 C,6如=3072 D,5=11337 5已知在数列4，)巾=2：=0，且，=4，十2·〔一1)”，期数列4的敢2项和为 晓板 姓名 分数 L128 技斜 0 C.2 D.16 答金 6,数列1,1十2,1十2十2.….1十2十要十m十21，=的前9明项和为 L.2m-99 k2=10t 三，填空置《木大避共3小题，每小整5分，共5分) C.2"一99 D.2”-1o] 2已每等是数罚,的前w项和为S,且十一15 7.已知数列山是公2为的等是数判，A是公比为卫的等比数列：且A=山=号若集合M= 1支南宋数学家扬解所著的详解九章评法·我功》中黄述了如图所示的形状，后人称为三角绿” 从=：。十1w01,期集合M中的元常个数为 三角燥的最上层（即第一层）有1个绿，第二层有个球，第三层有个球“，从第二层开始 A.6 7 每层球散与上一层球数之差氨次构收等差数列，设第型层有。个球，爆保，一 C.8 D.9 8.已知等比数列@，的前n壤和为S.,一9,8：一243，若关于的不等式3a.一25。一700何 域立，侧实数1的取算范围为 A,《-0,27 h(一o,54] C.4=∞，27) D.4oG,54) 1L已年正项数列（山是公比不为1的等比数列·且一1，试用推导等寿数列铜原程的方 法求者儿小=中京期a:)十八a+1十…+e:n) 脑举第1直1共4直) 陶本金裤·先享敬·高三一轮想习居测韩十四 鱼学第2方（共4成》 回 四、解菩墓（木大题共5小题，共7分，解答家写出必竖的文字说明，证明过程或清算步艘） 18.(本小避离分17分) 5,(本小题分13分》 已每4，为等是数列，6}为正项等比数列，且筒足4=4=1=么=9 以，+5e为奇数， 1)是否存在正整数>，使得恤，一4？若存在，求出的值：若不存在，请说明理出： 已知数列a.是等差数列，众= 一山。+10，为为阁数， 见T,为数列点的雕n项和且丁，一T, 〔2)承@：6。十46,1十h。十td,0的值. -24. 口)求数到{a.的通用公式： 2)若了.=T辉中151，落m的值 16,(本小题离分1分 19,(零小题清分1？分) 已知数列山与正项等比数列6。满是2=1限6.∈N1,且 某公司实行年薪制工资结构攻革.该公可从202对年是，每人的工餐出三个项日构成，并按下表 求@，与点3的通明公式： 规定实德： (2)设c,=a·.,求数列，}的用n明和5， 喉川 金版万元/（人·年门 性期与计算方这 从①从=]6，=8，心4■4.一66■0这两个条作中任远一个.补充在上面间圈中并作答， 雪患到粉伦树素，决定从论1年起年年建增1ǜ%（与人胆年 注：如果选择多个条作分判解答，袋第个解答让分。 林回工昏 22年某碑工餐为1厅元 梨无处，23年裤本工符为1万元 房厦杯随 04万元 从秘3年起，花工判公通年限什算，句年送增0,08万无 医疗费 02万无 调定不度 加果流公司2023年有5位眼工，计知从2024年起将年新招5名同工，若202时年算第一年. (1)表第三年公词付给织工的工瓷总振： (2)求第日年该公司付给队工的工竇总额y(万元)关于年限划的函敬： (3)若公司每年发给即工的工蜜总架中，房城补贴和医疗费之和总是不会句过某础工资总额的 17.(本小题离分15分 P⅓，求P的最小值 已知父为数列4,1的用w疾和a1=2,5.4=5.十a。一3：记A=1w:a一1十3 山)求数判4}的适项公式： 2)已知6-一：法会，记整到心的前埃和为工…求证：当n为者盘时，江>号 脑举第3直1共4直) 陶本金裤·先享敬·高三一轮想习居测韩十四 曲学第4方（共4成） 回