(12)正弦定理余弦定理解三角形-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（B卷）

高三轮复习周测卷/数学 8第九国中国域际“无联国十”大学生创业大赛于202写年10月1日日至21日在天律举办，天律雨 (十二}正弦定理、余弦定理、解三角形 以此为突机，加快指进“5十光网双千兆就市建设，如阁，某区县赵城烛直有因个：基站A (号试时间120分钟，离分150分》 B,C,D,已知C,D丙个甚站建在河的南岸，距离为10km,甚站A,日在河的北岸，测叙∠ACB -75,∠ACD-120,∠ADC-30,∠ADB-45,则A,B可个基站的师离为 一，透择驱（本大题共8小题，年小题5分，共40分。在每小想给出的四个这项中，只看一填是符 A10宿km 合题目要求的 且30(-1)km 1.记△AC约内角A.B.C的对边分别为：b,已知a一3，b=4.=√/区.期C一 C.10 kma L.90 B.60" C.45 0,30 D.10/5 km 2,已知△A4的内角A,BC的对边分别是：r,且：=2，b=2石，B=,则角A的值为 二、进择幕《木大题共3小趣，每小避6分，共18分，在每小避给出的这用中，有多项符合螺口要 L晋 北晋 C晋智 n青号 求。全部选对的得行分，部分远对的得常分分，有选墙的得0分 9,见△A的内角A,出，C的对边分别为￥，则 3.记△ABC的内角1，B.的对边分别为a,6,F,已知=2，A=60°，△A以的有积为23，期n= A=十a-2rtn传+到 a十b A.12 2万 C.2 u,4 收十mBmC 4足△AC的内鲁A.B,C的对边分谢为a4,已知1+asA=生兰，则△AC的形状为 C.若m>nB,姨C变B D.若A>B,期M6 1Q已目△1风C的内角A,B,C的对边分别是0，b:c-且ab:一753，则 A直角三角感 我等鞭三角彩或直角三角思 A.tun A>-tan B 线△ABC一定是镜角三角形 C正三角慰 几等腰三角形 C,in A:ain Brain C-7:513 i,已知△ABC的内角A,,C的对边分属是，，c,且a=4,=6,C=0“,周△A以C的边A出上的 D者什r-8,则△ABC的南是5，区 2 中线长为 11人一广场是南昌市的心莲地蒂，是江再省量大的城市中心广场，人一南昌起义纪念塔为八一户 A,2 我面 场修标志性建筑，现某兴源小组在备在人一广场上对八一南昌甚义纪念塔的高度证行测量，并 C.25 D.4 险麟出测量方案示意图，A为纪金婚最顶端，山为纪金塔的基由《即！在A的正下方1，在广桥 内（与B在同一水平国内）这取C,D两点，测得CD的长为w.兴迎小组成员利用测角位可测得 G.中国古代四大名楼到雀楼，位于山丙省运减市水济市面州值，因唐代诗人王之魚的诗作《登到藏 楼面瓷芳后赴.如网，某同学为测量朝宿楼的高度MN,在尊雀棱的正东方鲜找到一座建筑物 的角有∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADC,∠BD7,则银据下到各组中的测量数据，能计算出园 AB,高约为37m,在是面上点C处B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A.朝雀楼度事M的和 念婚高度AB的是 A,m,∠ACB,∠D,∠BLC 知分别为0和45，在A处测得楼顶军M的仰角为15，则鹤面楼的高度约为 B.w,∠ACB,∠CD,∠ACD A.74m Cm∠AB,∠ACD,∠ADC 我60面 D,∠AB.∠CD,∠Cp C.52 m 1,91m 性名 7,在△A中w.b分湖为角A.B.“的对边.A=票山+=2a.△AC的面为2尽.则△A 号 10 答案 的调长为 A.6 我8 三，填空罩《本大题共3小题，每小题5分，共15分) C.52 D.68 12已知△AC的内角A:书.C的对边分别是4，五，若向A=2华 :g=3,b=5。则i脑书 脑举第1直1共4直) 陶本金鞋·先享酬·高三一轮想习限测餐十日 位学第2方（共4成 回 1以.在等餐△A以C中，内角A,B.C的对边分别为w,6,c,且2mA十inC2 in Beo C,r=10, 17,本小题离分15分) 则= 在△AC'中，内角A,H.C的对边分月为g,6,r,已知nBn(A+C》一nCin(A十B)日 14记△AC的内角A,B.C的对边分满为，.，已知瓦Co4-1,且。十B=4.则 sin A. 4十6 △ABC周长的取值范用为 ·△ABC道积的最大值为 ·(木题第一空2 1)旺明：B-C=: 分，第二空3分1 2)若A一京-25，求△AC的面积 国、解答驱（木大题北5小通，具7分。解容应写出必要的文学说明，迁明过程成演算步臀） 15,(本小题满分13分 是香存在△4，它的内角A,B.C的对边分为a,b,r,且inA一区inB.C- 7 在以下三个条件中任选一个，补充在上面的横线中并求解，若问题中的三角形存在，求6的值： 1这（本小题满分17分） 若问题中的三角形不存在，语说明理的， 配△4BC的内角A,B,C的对边分别为h,已知2c0sC一2u+ ①ao8B十D8A-2t△ABC的面积为2：ainA-G. 1)承B: 注：如果是择多个条件分别解答，则按第一个解容什分 (2)若6=反-2a,D是C上一点，BD为角B的平分线，求BD的长。 1点，本小题满分17分) 某海岸的A南所在凌悬1点15分爱现用所北偏东D方向20Hme处的D点出现可疑船只， 10.(本小题清分15分》 因天气墨劣能见度低，无法对船只进行识刷，所以将藏船雷达特征借号进行标记并上报周用时 已知函数f小一区no上一0sr+ 所.早上5点15分位于A用所正西方向0nme的B晴所发限了该可疑船只拉于B市所北 偏丙0方向0nm处的￡点，开识删出其为走彩目，立则命令位于B射所正再方向 山当∈最·时，求两数)的植城， 动nle处C成的程方御私船前往栏截，已知饼离船的违度大小为30nmle/h(假设所有好 只均健持匀落直线航行) 2)设△ABC的内角A,B,C的对应边分别是a,bC,且W一2S,b-,兮)-0求△ABC的 (1)求走私相的速度大小， 的周花. (2)私船沿什么方向行使才能量快载获走花，船？求指侵伏走彩，船的具体时列 脑举第3直1共4直) 陶水金酸·先享酬·高三一轮想习周脚餐十已 曲学第4方（共4成） 回高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十二） 品题要素一览表 注： 1,能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力下.空间想象能力V,数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ①直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) n ① ③④ 档次 系数 1 选择题 5 由三边求角 易 0.80 选择题 5 由两边及一角求角 易 0.78 3 选择题 面积公式的应用 易 0.72 选择题 利用余弦定理判断 4 5 中 0.65 三角形的形状 三角形的中线长 5 选择题 5 中 问题 0.60 利用正弦定理测量 6 选择题 5 中 高度 0.55 7 选择题 三角形的面积，周长 中 0.45 利用正，余弦定理测 量两点不可直达的 8 选择题 5 中 距离问题（解多个三 0.40 角形) 对正、余弦定理的 9 选择题 6 易 理解 0.72 10 选择题 6 解三角形的综合 中 0.60 11 选择题 6 测量高度的方案 中 0.35 设计 12 填空题 5 利用正弦定理求角 易 0.78 13 填空题 5 利用余弦定理求边 易 0.71 14 利用基本不等式求 填空题 5 中 0.50 面积的最值 15解答题 利用正，余弦定理解 13 中 0.65 决三角形存在问题 三角函数与解三角 16 解答题 15 中 0.60 形的综合 ·49· ·数学· 参考答案及解析 三角形中的证明，求 17 解答题 15 中 0.50 三角形的面积 方程思想解三角形， 18 解答题 17 三角形的角平分线 中 0.45 问题 利用正，余弦定理解 19 解答题 17 决航海中的角度 中 0.35 间题 香考答案及解析 一、选择题 1.B【解析】由a=3,b=4,c=√13及余弦定理，得 Sac=号女sinA=26,即c=8,由于a=公+ cosC=+C-3+4-（E)= -2bccos A=b+c-8,6+c=2a,=(b+c)- 2ab 2X3×4 ，因为0 2x-8=(2a)-24,即a=2√2，所以b+c=4√2，所 <C<180°，所以C=60°，故选B. 以△ABC的周长为a十b十c=6E.故选C. 2A【细标】曲品台品用 b ,解得 8.D【解析】在△ACD中，∠ACD=120°，∠ADC= 30°，则∠CAD=30°，则AC=CD=10√5，AD= 2 CDeos30°=30，在△BCD中，∠BCD=120°-75°= sinA=子则A=吾或A=晋，因为6>a,所以B> 45°，∠CBD=180°-45°-30°-45°=60°，由正弦定理 6 CD BD A,所以A=云，故选A in/CBD-sin2cD:即05=BD 得 sin60一sim1行，解得 3.B【解析】因为△ABC的面积为25，所以2女sm60 BD=10√E,在△ABD中，由余弦定理得AB=30+ (10,E)-2×30X102×c0s45°=500，所以AB= -号c-2厅，解得c=4,由余弦定理得。 105.故选D. 二、选择题 √6+c-2 bccos60=25.故选B. 9,BCD【解析】对于A,在△ABC中，有6=c2十a 4,A【解析】因为1+c0sA=生S,所以由余弦定理得 2 acesB=+d+2 acsin(经+B）成立，A错误：对 1++c=+,整理得2=6+a,则∠C 于B,由正弦定理知入=品B=C=2R(R为 90°，则△ABC的形状为直角三角形.故选A a十b 5.B【解析】设边AB上的中线为CD,则C方=2C △ABC的外接圆半径)，故 sin A+sin B +成，可得C市=+i.+c亦 2AD=2R=c·B正确：对于C,在 sin A+sin B △ABC中，sinC>sinB,由正弦定理得c=2 Rsin C> 十×36+2×6×4×2+十×16=19，即11= 2 Rsin B=b,故C>B,C正确：对于D,根据三角形中 √19.故选B. 大角对大边可知若A>B,则a>b,D正确.故 选BCD. 6,A【解析】在R1△ABC中，AC= AB sin∠ACB 10.BC【解析】依题意可设a=7k,b=k,c=3k(k> m30=74,∠ACM=180°-∠ACB-∠MCN= 37 0),则osA=+之-a-25+9k-49k- 2×5kX3k 105°，∠CAM=15°+30°=45，在△ACM中，∠CMA 1 ,义A∈(0，元)，所以A=了，则三角形为纯角 =180°一∠MAC-∠ACM=30°，由正弦定理得 0-放Mc-6·sn6-74E AC MC 三角形，枚B正确，A错误：由正弦定理可知，sinA: sinB:sinC=ab:c=7:5:3,故C正确：因为b十c 在Rt△MNC中，MN=MC·sin45°=74.故选A. 8,即5k+3k=8,则k=1,所以a=7,b=5,c=3,又 7.C【解析】因为△ABC的面积为25，A=子，故 因为cosA=-号 所以血A=9,则Sr= ·50. 高三一轮复习B ·数学· 之：mA=5,5,故D钻误，枚选C 四、解答题 4■ 15.解：由sinA=√2simB, 11.ACD【解析】对于A,由m,∠BCD,∠BDC可以 可得a=√2b, (3分) 解△BCD,又AB=BC·tan∠ACB,可求塔高度 则c2=a2+6-2 abcos C=, AB,A正确：对于B,在△BCD中，由CD=m, 故b=c. (6分) ∠BCD无法解三角形，在△ACD中，由CD=m, 若选择条件①： ∠ACD无法解三角形，在△BCA中，已知两角 因为acos B+bcos A=2, ∠ACB,∠ABC无法解三角形，所以无法解出任意 三角形，故不能求塔高度AB,B结误：对于C,由CD 所以由余弦定理得a.g+-位+6.十C一c 2ac 2bc =m,∠ACD,∠ADC可以解△ACD,可求AC,又 =c=2, (9分) AB=AC·sin∠ACB,即可求塔高度AB,C正确： 则b=c=2,a=2√2， 对于D,由∠CBD,∠BCD可求∠BDC,在△BCD 则三角形存在且b=2. (13分) 中，由正弦定理可求BC,在△ABC中，由BC, 若选择条件： ∠ACB可求塔高度AB,D正确.故选ACD. 三、填空题 因为6=，C=受 12.号【解折】由品B得如B=4-号 所以B=平A=受 ×25=2 则△ABC为等腰直角三角形， (9分) 3 13.√30【解析】由2sinA+sinC=2 sin Bcos C,可得 故5=宁k=2,即c=4 2a+c=2 2beos C,则2a十c=2b.g+-C,即a+ 所以c=b=2,则a=2√2， 2ab 此时三角形存在且6=2. (13分) accosB (0) 若选择条件③： 由c=b,a=√2b=2c, 要由于ac=10,则a=e=元，10+10-6 得A=受 (9分) -10,解得b=/30. 由asin A=c, 14.[6,8)√5【解析】由V3sinC+ccos B=a+b及 得a=c,矛盾， 正弦定理，得√3 sin Bsin C+sin Ceos B=sinA十 所以三角形不存在， (13分) sinB,所以√3 sin Bsin C.+sin Ceos B=sin(B+C)+ 16,解：（1由题知，(x)-号n2红-1+g2红+号 2 sinB,即v3 sin Bsin C=sin Bcos C-十sinB,因为0< B<π，所以sinB≠0，所以√5sinC=cosC十1，即 =sn2z-os2=sm(2-晋）， (3分) 3sinC-cosC=1,于是有2sim(C-）=1,因为 由xe[-]则2x-∈[-号，]， 0<C<,所以-吾<C-吾<晋，所以C-晋 做e[ 号，即C=号.由余弦定理得2=(a+b)-2ab 所以x)的值城为[号，1] (7分) 2 alesC,.即c2=(a+b)-3ab>(a+b)-是(a (2)f(2）=sim(A-g）=0,且A∈0，x, 十b)=4,解得c≥2，当且仅当a=b=2时等号成 立，又c<a十b=4,所以2≤c<4,所以6≤a+b+c 故A=晋， (9分) <8,即△ABC周长的取值范围为[6,8).因为a十b 又a=23,b=6, =4,所以ab≤(2）-（受）厂=4，当且仅当a=b 则cosA=36+-1卫=5→c-65+24=(e 12c 2 =2时等号成立则Sax=之binC≤宁×4×写 2 2√/3)(c-43)=0, =√，所以当a=b=2时，△ABC面积的最大值 所以c=2√5或c=4√3， (13分) 为√. 故△ABC的周长为6十43或6十65. (15分) ·51· ·数学· 参考答案及解析 17,解：(1)因为sin Bsin(A+C)-sin Csin(A+B)= ∴.∠BAD=90°+30°=120°，AD=20 n mile, sin A, '.'AB=20 n mile, sin B(sin Acos C+cos Asin C)-sin C(sin Acos B ∴.BD=/AD+AB-2AD·ABcos120 十cos Asin B)=sinA, (3分) =20 3 n mile. sin Bsin Acos C-sin Csin Acos B=sin A. .AB=AD. 因为在△ABC中A,B,C∈(0，π)，所以sinA≠0， ∴.∠ABD=∠ADB=30°， (4分) sin Bcos C-sin Ceos B=1, ,E点位于B哨所北偏西30方向60 n mile处， 故sin(B-C)=1,即B-C=艺 (7分) ∴.∠DBE=90°-30°+30°=90°，BE=60 n mile, ∴.DE=√/BD+BE=40√5 n mile, (2)由1)可知B-C=受 ÷u=40,5-105 n mile/h. 因为A=受，所以B+C-号则B=登，C=是 4 ·走私船的速度大小为l0√n mile/h. (8分) (11分) 由正弦定理可知nA一in B-sin C=4, 则b=4sinB,c=4sinC. 放△ABC的面积S=宁红snA=4万s血BnC= 45 cos Csin C=2√5sin2C=√5. (15分) 18.解：(1)由题意结合正弦定理，可得2 sin Bce0sC= 2sinA十sinC, 所以2 sin Beos C=2sin(B+C)+sinC, (2)连接CE, 2sin Beos C=2sin Beos C++2cos Bsin C+sin C, 设在F点处截获走私船，截获走私船所需时间为t, 整理可得2 cos Bsin C十sinC=0. '.'BE=60 n mile,BC=30 n mile,CBE=60, 因为B,C∈(0，x),所以sinC≠0， ∴.CE=VBE+BC-2BE·BCcos60 所以cosB=一子，所以B=三 (8分) =30√3 n mile, (2)因为△ABC中，6=a2+c2-2 aceos B,b=7,c BE=BC十CE, ,'.∠BCE=90°，∠BEC=30°， =2a,B=号 ∴.∠CEF=120°， 所以7=a2+4a+2a2,解得a=1,则c=2.(12分) ,走私船速度为10√3 n mile/h,组私船速度为 又因为BD为角B的平分线，S△D十S△m 3 0 n mile/h, =S△x+ .'EF=10v3t n mile,CF=30t n mile. (12分) 所以BDe…sim受+BDa·sin晋=a· 1 在△CEF中，由余弦定理得CF=CE十EF一2CE ·EFcos120°， c·sin 即900r2=2700+300r-2×30√3×10√31c0s120°， 化简得2r一31-9=0， 即BDX2×+BDX1x号=合×1×2 2 解得1=一2（舍去）或：=3， 此时CE=EF=30√5 n mile, 所以BD=号 .∠ECF=30°， (17分) ∴.当缉私船沿北偏西30°方向行驶时能最快截获走 19.解：(1)连接BD, 私船，截获时间为3小时后即早上8点15分 ,D点位于A哨所北偏东30°方向20 n mile处， (17分) ·52·