(11)平面向量及运算、平面向量在平面几何及物理中的应用、复数-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（B卷）

高三一轮复习周测卷/数学 二，进拆（本大题共3本避，帮小题4分，共18分，在每小赠给出的选理中，有多项符合题日要 (十一》平面向量及运算、平面向量在平面几何及物理中的应用、复数 桌。全部法对的得后分，部分这对的得年分分，有选皆的特Q分) (号试时间20分钟，请分150分》 身.已据向量0m2,一2).b地（一4,11.则 A.若0b,期t=士2，四 一，远挥题（本大瑟共8小题，蜂小览5分，共0分。在每小题命出的因个速项中，只看一项是有 B.若e⊥b,则1=0 合题目要来的) ,a一的最小值为 1.已知复数x满足：(1一)=2.侧： D.若向量。与向量春的夹角为钝角，则：的敷值值围为0，+) A1+1 1= C.=1= .=1+ 10.已如复数，期 2者复数：-是则 A.若=【，则，与可能不相等 A是 我要 c ,若1=，用 C,若4十一1一.则到一0 3已知等边△ABC的边长为2.喇A店.C [D·4=E1·到 L-2 其2 11数学家欧位在1765年发表的（三角形的几何学一格中提出定理：三角形的外心，重心.重心依 C,2,8 D.2 次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线藏移为三角形的 4设复数：的共栀复致为，且生-五-1+，明一 欧拉线，该定理则箴移为成拉线定现，设点O,G,日分别是△AC的外心，重心，币心，且M为 BC的中点，屏 AI 线一 A,O-0i+0丽+ C.2 D.2 且Saw:=5am=Sam 五，已知在平行四边感A以D中.A示=？反，EF=Fi,相 C,i-30 A-科而 我不游+而 D.AB+A心-4丽i+2雨 CA-+号成 D.A-A+兰心 提级 姓名 分数 1011 6.已知丰零向量0与b澜足b一2@，a十2h在4上的经形向量为，别a与b的夹角为 A30 我4 C.60 n,00 三，填空驱（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 7.已知复数：清足引一2一4=1，当：的虚第取最小值时= 12食拉公式”一©s十inxi为墨数单位)是由理上落名数学家食拉提出的，它将帮数函数的 L.23i 我2+3街 定又城扩大到复数巢附复教的实部为 C一3十前 D-3+3i 8我同人龄供别技术处于量界须左地位，所滑人验识料，就是科用计算机检测样本之何的相似度： 区如图，正方形ABCD的边长为4，E为C的中点，F为D边上一点，若4乎，A正-A,划 IAF- 余弦乐离是检满相鼠度的常用方法，程设二雀空何中有两个点A,,:),(,),0为坐标 原点，余弦相就度为向量i,月夹角的余统值，记作m*(A,B),余兹是离为1一m(A.),已知 P(mg,m》.Qom小sinoa一ine,若P.Q的余弦肥离为宁sna·an=子，则 Q,R的余览兜离为 c 数学，量1成1共1直) 衡水金酵·先享酸·高三一轮想习展西韩十一 轴学第当（共黄） 回 14某河花南北两岸平行，一腰等船从商岸码头A出发就行到北岸，假没游每在静术中的航行座度 1&.(本小题需分17分) 的大小为n|=8km/h,本演遮度的大小为的=4kmh,授n相n的夷角为8(0< 在△AC中，已年AB=4,A=10,∠BA=60,C,AC边上的两条中线AM,BN相交干点 180),北岸的点在A的正建方向，游船正好到达B处时- G,利用向量法求解下列问想， 四，解餐题（本大题共5小通，共7分，解答应写出必贤的文学说明，证明过程演算步露） (1)求BN,AM的长： 5.(本小题清分13分) (2)求∠GN的余弦算. 已知复数x=十w一2》一《m十2)i(mEN (1若：是纯虚数：求m的值： (2)若：+<0，求的值： (3)若。在复平内对安的点俊于简一象限，求加的取值范圆. 1G.(本小题清分1后分》 19.(本小题清分【7分) 已知复数1-1+i一2写-多， 已知O为坐标原点，对于函数f(x1一am￥十01，称向量O-(a,b为函数fx)的伴随向 求 精，间时称希数)为向的作随两数 (2已知是关干x的方程2子十x十一川的一个根，求实数P,?的值. 较函数一加+}十@（受-一小，试求）的作随向龄O: (2记向量O-18)的作随雨数为f,米当f)号H（一吾爱)时，imx的值 (3)已细将(：中的函数=：的图象上各点的情坐标帽短到原来的专·再把整个图象向右 平移号个单位长度得判+)的图象，若存在e(和，受使F+1一2·[u一本1门减立， 17.(本小题满分15分》 果的取值范国 如图，点E.F分薄是州边那ACD的边AD,BC的中点，A日一4，C一G,AB与D所成的角 是60. a)若E示=xAB十yDC.米实数y的值： (2)求线段EF的长度 数学，第2成共1直) 侧水金稀·先享鳞·高三一轮短习州圆奉十□ 轴学第4方（共岗） 回高三一轮复习B ·数学· (2)由题意可得g(x)=f(x十0) 解得《=√2， (3分) =2sim[2u+m-吾] 由f(x)的图象经过点（跃，1）， =2sim(2x+20-晋） 得sim(管-平)=是 因为y=g(x)的图象关于y轴对称， 则20-若=受+，k∈ (13分) 2kπ，k∈Z. 解得0-吾+经k∈乙且0>0， 则w=1+k∈乙.或w-号+k,k∈乙. 5 所以当=0时，0取到最小值，即么=子(5分) 因为0<w<2, 18.解：(1)由题意得f(x)=√2sin2ar-区(1十 故=1， cos2ar)+a=2sin(2amr-千）+a-√z, (2分) 则f(x)=2sin(2r-牙)： (6分) 若选①②， 令2kx-变≤2x-于≤2km+受，k∈Z 由f(0)=-V2, 得2sim(-于）+a-vE=-2, 则kx-吾<r<ka十，k∈乙. 解得a=√反， (3分) 故∫(x)的单调递增区间为[k红一吾，k标+要]k 由f(x)的最小正周期为π， Z (9分) 得克 (2)由已知可得g(x)=28sim[2(x+贸)-天] 解得w=1, =28sim(2x+若 (10分) 即f(x)=2sin(2x-文) (6分) 若选②③， 因为xe[-子，受]： 由f(x)的最小正周期为π， 所以2x+吾∈[-受，g], 相亮 解得w=1, (3分) 当2+吾=受，即x=看时， 由x)的图象经过点（贸1小 可得g(x)=g（君)=2W 得f()=1+a-=1, 当2+=一受，即=一音时， 解得a=√区， 可得g(x)m=g(-等）=-2， 故f(x)=2sim(2x-于）. (6分) 若选①③， 当2x+音-晋即=号时， 由f(0)=-√反， 可得g(等）=V3, (14分) 得2sim(-子）+a-E=-瓦， 要使得g(x)=m有且仅有两个实数根， 即y=g(x)和y=m的图象有两个不同的交点， ·43· ·数学· 参考答案及解析 2)当re[-晋，吾]时，2x+∈[0，受] 23 =g) 所以0≤sin(2x+于）≤1， 所以fx)∈[02] (8分) 令1=f(x), 则当xe[-吾，晋]时，[fx)-mx)-m<0 有解， 2月 等价于1∈[02]时，产-mt-m≤0有解，(11分) 如图所示，可得√3≤m<2√3， 即实数m的取值范围是[3,2√). (17分) 又广-<0em≥有 19.解：(D由题知，f(0)=√2sin9-1,即sin9-气 因为本=)2+)1=4+1)-2+ 1+1 又0<<受，所以g=至， (2分) ≥2V+1)·鬲-2=0 因为|f()-f()=22时，x1-x|的最小 当且仅当十1=市，即1=0时，等号成立，5分) 值为2， 所以m≥0. 即实数m的取值范围为[0，十©∞). (17分) 所以号-受，即T=,所以w-2 (4分) 即f(x)-2sin(2x+开）. (5分) ·44· 高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十一）》 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W.空间想象能力V,数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑤数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) N ⊙ ④ G⑤ 档次 系数 1 选择题 6 复数的除法运算 易 0.85 2 复数的运算，i的周 选择题 易 0.80 期，复数的模 3 选择题 5 求数量积 易 0.75 共轭复数，复数的除 4 选择题 中 0.70 法运算 平面向量的线性 5 选择题 5 中 0.65 运算 向量的夹角，投影 6 选择题 5 中 0.60 向量 复数的模的相关 选择题 中 0.50 计算 平面向量有关的新定 选择题 中 0.40 义问题（数学文化） 平面向量的坐标 9 选择题 6 易 0.72 运算 10 选择题 6 复数慨念的综合 么 0.55 平面向量与三角形 11 选择题 6 的外心、重心，垂心 0.30 的综合 12 填空题 5 求复数的实部 易 0.78 13 填空题 5 平面向量的应用 L 中 0.65 平面向量在物理中 14 填空题 0.55 的应用 分 复数的分类，复数的 15 解答题 13 易 0.82 几何意义 16 解答题 求复数的模，复数与 15 中 0.68 方程的根 17 解答题 15 平面向量的应用 第 0.65 ·45· ·数学· 参考答案及解析 利用向量解决平面 18 解答题 17 中 0.45 几何问题 平面向量、三角函 19 解答题 17 0.30 数、二次函数的综合 香者答案及解析 一、选择题 时，即当y=3时，则(x一2)”十(3一4)=1，解得z 【解桥】x=后=1)1中行 1.D 2i 2i(1+i) =2,故g=2+3i.故选B. 1- 8.A【解析】由题意得OP=(cosa,sina),O0=(cos月， 2i-2=-1+i.故选D 2 simg),O求=(cosa,-sina),则cos(P,Q) 2.C【解析】因为=+2-)1+23 OP.OQ 2 1-i 1-i IOPOQ =cos cos+sin asin=子，又tan atan月 3(1+i) sin asin B (1-i)(1+i) i,所以|x|= cos acos F7,六cos acos月=7 sin asin, √()+()-故选C 1 .sin asin cos=月是故1-os(Q,R) 3.A【解析】A店.BC=|A方1BC1os(x-号）=2 1- 2 sin in9=1-(品-)=文.故 ×2×(-）=-2.故选A. 选A 二、选择题 4.A【解析】设x=x十yi(x,y∈R),则x=x一，由 9.AB【解析】若a∥b,则f=-2×(-4)=8,解得t 2x-=x+3yi=1+3i,可得x=y=1,所以x=1+i, =土22，故A正确：若ab,则a·b=一4t-21=0, 所以告P-登=故选A 解得1=0，故B正确：a一b=(1+4.一2-t),|a-b 1-i1-￥ 2 5.C【解析】如图.由题意可知A花-号(A店+A市)，下 =√(t+4)+(-2-1)下=√2(1+3)+2，当1= 一3时，|a一b有最小值√2，故C错误：当1=2√2时， 是BE的中点，所以A亦=号A$+号A正=号A成+ a=(22,-2).b=(-4,22),b=-√2a,向量a 与向量b的夹角为180°，故D错误.故选AB. 合店+A=名B+Ai.枚选C 10.AD【解析】对于A,若z=1十i,2=1一i,则1 =,但与不相等，A正确：对于B,设= 十bi(a,b∈R),若1=2，则2=a一i,而(a十i) =a2-+2abi,(a-bi)2=a2-F-2abi,故≠， B错误：对于C,当=1十i,=1一i时， 十|=2=一|.而=2≠0，C情误：对 于D,设=a十i,效=c十di,则名·=(a十i)· (c+di)=(ae-bd)+(ad+c)i,则1·4=(ac 6.C【解析】a+2b在a上的投影向量为(a+2b)·a a bd)-(ad+be)i,=(a-bi)(c-di)=(ac- ‘日-十0.a=3a,所以士0b-8,整 b)一(ad+bc)i,因此·=·，D正确，故 a a 选AD. 理可得a·b=a,所以a|b cos(a,b)|a2, osab-=8卧又b-21al,所以 a: 1.ABD【解析】对于A,因为O心=2Gi.所以O心- 是Oi.因为G为重心，所以Gi+G成+G式=0，所以 ma-b)=日-，因为0r<a,b)≤180.所以 Oi-0+O苑-0元+O元-0元=0，所以0店 (a,b)=60°.故选C. 7.B【解析】设g=x十yi(x,y∈R),则一2-4i=(x 号oi+Oi+O心)，所以令0i-号(oi+Oi+ 2)+(y-4)i,所以|x-2-4i=√(x一2)+(y-4)尸 OC),所以O方=OA+O成+O心，所以A正确：对于 =1,即(x-2)2+(y一4)=1，则(y-4)≤1，可得 一1≤y一4≤1，解得3≤y≤5，当：的虚部取最小值 B.Sam=号XBCX,Sw=号×BCXA,由于 ·46· 高三一轮复习B ·数学· G是重心，所以A,=专1，所以Saw=子Sam,同 1 2 理SaAm-号SA,Sm-号S,所以Sam- SA=SA:,所以B正确：对于C,A方=AG+G方 =2GM+2O心=2(OG+GM)=2OM,所以C错 误：对于D.Oi=3O元.所以M心=号Mò+号Mi, 所以G成=号成+号成.所以店+A亡=2成 6G-6(号Oi+寸H)=4oi+2Hi.所以D 四、解答题 15.解：(1)因为是纯虚数， 正确.故选ABD. 所以m+m-2=0 m+2≠0 解得m=1. (4分) (2)g+i=(m2+m-2)-(m十1)i, 若十i<0,则+i为实数， 故m十1=0， 解得m=一1， 此时x=一2，符合题意， 即m的值为一1. (9分) (3)因为之在复平面内对应的点位于第一象限， 所以/m十n-2>0 三、填空题 m+2<0 解得m<一2， 12.1 【解析】依题意c=os子+sn票-罗+ 42 2 故m的取值范围为（一0，一2）. (13分) 所以②。 2i 2i(1-i) 16.解：(1)因为兰-2i=3-21-3)(1-D=-1+5团 1+i(1+i)(1-i) 1+i(1+i)(1-i) 2 212 + (3分) 二江二1+所以复数子的实部为1， 2 所以-V)+(受)= 2 (6分) 13.5【解析】如图，建立平面直角坐标系，设|DF|=a (2)因为1是关于x的方程2x2十px十g=0的一 ∈[0,4]，则A(0,0),E(4,2),F(a,4),可得AF 个根， =(a,4),AE=(4,2),因为AF.AE=AE1,即 所以2(1+i)2+p(1+i)十q=0, (9分) 4a+8=20,解得a=3,即AF=(3,4),所以 所以4i+p(1+i)+q=0, |AF|=√32+4-5. 即p+g十(p+4)i=0, (12分) 所以(=0解得D一4 b+4=0 1q=4 (15分) EF-EA+AB+BF① 17.解：①)由题意.可得序=E市+D心+C@ (2分) :E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点， ∴Ei+ED=0,BF+CF=0. ①+②得，2EF-AB+DC (4分) ∴E球=号A店+号心， 14.- 【解析】设船的实际速度为，则=”十， 又EF=xAB+yDC, 北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处， 则⊥的，所以·=0，即（十）·的=|· =y= (8分) |m|·cos0+||=32cos0+16=0,解得cos0= (2)AB=4,DC=6,AB.DC所成的角为60， ·47· ·数学· 参考答案及解析 ∴E产=A+号Ai.D心+D心=×16+ 所以os(r+晋)-合， (5分) 2×4×6×+×36=10, (12分) 所以sinr=im[(r+吾）-吾] |E=, .线段EF的长度为√F. (15分) m(+晋）-(e+）-3 10 18.解：(1)因为M为BC的中点， (7分) 则AM-Ai+Bi-A店+号BC (3)将f(x)=2sin(十号)图象上各点的横坐标缩 AB+(AC-AB)-AB+AC. 短到原来的2，得y=2sin(2x+受）： 所以2AM-AB+AC, 再把整个图象向右平移苓个单位长度得y 所以4A亦=(AB+AC) -AB+AC+2ABI.ACI cos 60 2sim[2(x）+号]=2sm(2x-音)： =4+10+2X4X10×2-156。 所以(x)=2sim(2x-号） (8分) 所以AM=√39， (5分) 因为N为AC的中点， 若re(0,受)则2x-吾∈(-受，) 所以B成=A-Ai=AC-A店。 所以h(x)=2sin(2x-苓)e（-3,2] 则B衣-（号A花-A) 令t=h(x)∈(-√5,2]，则4h(x)十1=2·[4- h(x)]可化为4t+1=2·(a一2)， =A亦+AC-A·1ACos60 即a=f+24+合 (10分) =4+号×10-4X10×号=21， 因为函数y=?十21十号是开口向上，对称轴为1= 故BN=√2T (11分) 一1的二次函数， (2)因为AM.B示 所以(-3，-1]时，函数y=+21+号单调递 =号（成+C)·安(C-2Ai) 减1∈（一1,2]时，函数y=+2:+号单调遥增。 =子(AC-1a·1cos60-2Ai*) =×(10-4×10x号-2x4)=12. 所以-(-10-2+号-之 所以cos∠MGN=cOs(A立.Bi 又当1=一时y=子-25：当1=2时y=号 AM.BN 12 =4√I 所以y=r+2+号∈[-] (14分) AM·IBNI39×√2 .17分) 19,解：1Dg(=im(+号)+os(受- 因为存在r∈(o,受），使h(x)+1=2·[a 交sinr+3 (x)成立， c0s十sinx= (2分) 则e[-日号] 所以o成=（号受） (3分) 即a的取值范周为[-？·号] (17分) (2)依题意f(r)=sinx十cosx=2sin(r+号)小 (4分) 由f(x)=号，得2sim(x+受）=号， 即in(x+受)=子， 因为x(-牙，吾)x+琴∈(0，受) ·48·