(8)函数与导数的综合应用-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（B卷）

高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（八） 品题要素一览表 注： 1,能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力下.空间想象能力V,数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅢN ① ② ③④⑤ ⑥⑤ 档次 系数 函数的极值与充要 1 选择题 5 易 0.80 性的关系 利用导数研究函数 2 选择题 5 零点的个数 易 0.78 3 选择题 由函数的单调区间 5 易 0.72 求参 由函数存在最值 4 选择题 5 中 0.65 求参 利用导数研究函数 选择题 中 0.60 的图象 6 选择题 函数的新定义问题 中 0.55 利用导数处理双变 7 选择题 5 中 0.50 量不等式问题 8 选择题 5 利用导数比较大小 难 0.40 由导函数图象研究 9 选择题 6 易 函数的性质 0.72 利用导数研究三次 10 选择题 6 中 函数的性质 0.60 选择题 利用导数研究指数 11 6 中 0.45 型函数的性质 12 填空题 5 导数的儿何意义 易 0.78 填空题 与导数有关的开 13 5 中 0.60 放题 导数与生产实际相 14 填空题 5 中 0.40 结合 利用导数研究函数 15 解答题 13 中 0.70 的最值 利用导数求切线，由 16 解答题 15 中 函数零点个数求参 0.65 利用导数解决双变 17 解答题 15 中 量不等式问题 0.50 ·29· ·数学· 参考答案及解析 利用导数求函数的 18 解答题 17 极值，证明数列型不 难 0.30 等式 利用导数讨论含参 19 解答题 12 函数的单调性，由函 难 0.25 数零点求参 香若誉案及解析 一、选择题 f(x)在(1,3]上单调递减，即对Hx∈(1,3]， 1.C【解析】当广(x)=0时，x不一定是极值点，还 需要∫(x)在x=x。两侧的单调性不相同：当x。是 f()=3-兰<0，即a≥3x,由x∈(1,3]，则3xe f(x)的极值点时，由于∫(x)在R上连续，所以 (3,9],所以a≥9，所以实数a的取值范围是 了(x6)=0,所以“了(）=0"是“x为函数f(x)的 [9.十∞).故选D. 极值点”的必要不充分条件.故选C 2.B【解析】函数∫(x)的定义域为R,f(x)=1 8.A【解析】只需比较号n2,亡ne,宁n3的大小 cosx≥0，故函数f(x)在R上单调递增.又f(0)= 令fx)=h三，则f（x)=n工，当x>e时， 0,所以该函数的零点个数为1.故选B. x2 3.B【解析】由题得f(x)=+2x+a=2r+ax+」 f(x)<0,f(x)单调递减，当0<x<e时，f(x)> 0,f(x)单调递增，又号ln2=十1n4,故号ln2= <0的解集为（分1），所以不等式2x+ax+1<0 n4长ln3<ne,则2<t<,即a<c< 的解集为（号1），所以号+1=一受，解得a=一3 b.故选A 故选B. 二、选择题 4.C【解折】因为f(x)=子2+之-2x+1,所以 9.CD【解析】由题意及图得，f(x)在（一∞，3）上单 调递增，在(3，十∞)上单调递减，所以f(x)有一个 f(x)=x2+x-2=(x-1)(x+2),令f(x)=0, 极大值，没有极小值，所以A,B错误，C,D正确.故 解得x=一2或x=1,所以f(x)在(-o,一2)， 选CD (1,十∞)内单调递增，在（一2,1）内单调递减，所以 10.ABC【解析】因为对Hx∈R,∫(-x)=一x+ 极小值为∫1)=-合令了()=-名，则 12x十t,显然当t=0时，f(x)为奇函数，故A正确： 因为子(x)=3(x2-4)=3(x十2)(x-2),则 (2x+)x-1)=0,所以f(-号)=-合，由题 f(x)的单调递增区间为（一o∞，一2）和(2，十∞)， 意得-号<2a<1<a十3，所以a的取值范偶为 单调递减区间为[一2,2]，故B正确：由(x)=0, 得x=士2，结合选项B可知，x=一2是∫(x)的极 [-子，)故选C 大值点，此时f(x)的极大值为f(一2)=一8十24 十t=17,解得=1，故C正确：由B可知，∫(x)在 5.C【解析】由f(x)=x(sinx十x),而x2≥0恒成 (-∞，一2)和(2，十∞)上单调递增，在[一2,2]上 立，对于y=sinx十x,则y=cosx十1≥0，即y= 单测递减，所以∫(x)无最大值，无最小值，故D错 sinx十x在定义域上单调递增，所以当x>0时，y= 误，故选ABC. sinx十x>sin0+0=0,则在(0，十∞)上，f(x)>0, 11,ACD【解析】由题得f(x)的定义域为R,定义域 排除A,B,D.故选C. 6.C【解析】由f(x)=lnx可得∫(x)=子，令x 关于原点对称且f(-x)=号(e÷+e)=fx, ·fx)为偶函数，故A正确，B错误：”e>0,e 为函数f(x)=nx在[l,e]上的“拉格朗日中值 点”则2-但=占解得=e-1.故 >0,∴f(x)≥号×2V·e=a,当且仅当e e一】 选C. =e,即x=0时取等号，故C正确；了(x) 7.D【解析】由题得，3x1一alnx>3.x一anz4,令 f(x)=3x-alnx,x∈(1,3]，即等价于对x,x 受（日e-e)=之(-t)=g, 2e. ∈(1,3]，当x<x时，f(x1)>f(x:),即函数 令子(x)=0,得x=0,则f(x)在[0，十o)上单调 ·30· 高三一轮复习B ·数学· 递增，故D正确.故选ACD. 整理得2ex-y-e-2=0. (6分) 三、填空题 (2)由f(x)=xe-a=0, 12.一12【解析】由题得，f(x)=3.x2一12x,所以 得a=xe, f(2)=3×2-12×2=-12. 则y=a与y=xe有2个交点， (8分) 13.一1（答案不唯一）【解析】：了(x)=ae,.f(x) 记g(x)=xe', -f(x)=ae'-a-ae=-a>0,.a<0,令a= 则g(x)=e(x+1), 一1，则f(x)=一e十1<1<5符合题意. 令g'(x)=0,得x=一1， 14.25【懈析】由题可知池底面积为20=1250为 则当x<一1时，g'(x)<0,g(x)单调递减： 当x>一1时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 定值，即池底维修费用为定值，则泳池维修费用由池 壁维修费用决定.又x表示较短池壁长，则0<x 则g(x)m=g(-1)=-L (11分) 2500,解得0<x≤25厄，则池壁维修费用为2× 又当x→一∞时，g(x)→0：当x→十∞时，g(x)→ 十00， 2污x+2500 尝+0，设)= ,0<x 故g(x)的图象如下： 25E,则了（x)=若-504=8250. 25x g(x)=xex 令f(x)=0,得x=25,则当0<x<25时，(x)< 0,f(x)单调递减：当25<x≤25√2时，f(x)>0, f(x)单调递增，故f(x)m=f(25),则当泳池的 维修费用最低时，x=25. 四、解答题 15.解：(1)由题得，f(x)=3.x2+4ax十b, (1分) 由题意知f八-1)=1，了(-1)=0， 用化，解号a-61 (4分) 由图象可知，当a∈(-。，0)时，方程f(x)=0有 此时了(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1), 两个不等的实根， 即满足在x=一1处取得极大值.所以a=b=1符合 故a的取值范围为（一。0） (15分) 题意. (6分) (2)由(1)知，f(x)=x3+2x°+x+1,f(x)=3.x+ 17,解：D因为fx)=毛，所以了(x)=2红。兰， e 4x+1=(3x+1)(x+1),x∈[-1,1] 令了(x)=0,得x=0或2. 令fx)>0,得x(-号]则fx)在(-子 列表如下： (9,0) (0.2) 2 (2,十0∞ 1上单调递增： (r) 0 0 令fx)<0,得x∈[-1，-号），则fx)在[-1 「(x)单测递诚极小值单調递增极大值单调递减 (5分) )上单调递减， - 所以函数f(x)的单周递减区间为（一⊙，0）， 于是()在[-1上有极小值即最小值（一专） (2,十∞)，单调递增区问为(0,2). (7分) (2)由题意可得f(x)mm≤g(x): -器 由(1)可知f(x)在[一1,0]上单调递减， (10分) 所以f(x)m.=f(1)=e, 又f(-1)=1,f(1)=5, (12分) 所以nx-ax十c≥e在x∈[2，c]上有解， 故f(x)在区间[-1,1]上的最大值是5，最小值是 (10分) 器 即a<产在x∈[2e]上有解， (13分) 16.解：(1)当a=2时，f(x)=xe-2, 令h(x)=h,xe[2,c], 则f(1)=e一2， 则a≤h(x)m, f(x)=(1+x)e, 由h(x)=1-n工=0，得r=. 故f(1)=2e, (4分)》 x 于是得f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程 x,h'(x),h(x)的变化情况如下表： 为y-(e-2)=2e(x-1), ·31· ·数学· 参考答案及解析 (2,e) (e.e2) 当a<0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在 (1,十∞)上单调递减 (5分) h'(r) 0 (2)选择①： In 2 h(x) 单调递增 极大值 单调递减 g(x)=f(x)-x'-A=axln x-ax-x'-A, e 令g(x)=0,得A=alnx-ar-x. 即h(x)= n工的最大值为。 设F(x)=axln x-ax-r, 则F(x)=alnx-2x, 所以≤， 设h(x)=alnx-2x, 即。的取值意围为(-四，] 则h'(x)=4-2,r∈(0，+o∞). (15分) 若a=0,则F(x)=一x, 18解：1油题得了)=}号- ,x>0, 方程F(x)=入至多有2个不相等的实数根，不符合 当a≤0时，了(x)>0,函数f(x)在(0，+∞)上单 题意， (7分) 调递增，无极值： 若a<0,则h'(x)<0,h(x)在(0，十∞)上单调 (3分) 当a>0时，当0<x<a时，f(x)<0,当x>a时. 递减， f(x)>0. 取x=e,h(e)=alne÷-2et=2(1-e)>0, 即函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,十o∞)上 而h(1)=-2<0, 单调递增， 故不妨设h(o)=0, 所以函数f(x)有极小值f(a)=na十1，无极大 则当x∈(0，)时，h(x)>0,即F(x)>0,F(x) 值 (7分) 单调递增， 综上所述，当a≤0时，f(x)无极值；当a>0时， 当x∈(，十o)时，h(x)<0,即F(x)<0,F(x) f(x)的极小值为lna十1，无极大值 (8分) 单调递减， (2)由(1)知，当a=1时，f(x)≥f(1)=1,当且仅 此时方程F(x)=A至多有2个不相等的实数根，不 当x=1时取等号， (11分) 符合题意： (9分) 令=中>1n∈N,可知（时）>1， 若a>0,令(x)=0,解得r=受 即n>1帝 1 当x∈(0，受)时，(x)>0,h(x)单调递增， 则n(n+1)-lhn>n干市 1 (14分) 当xe(受，十e∞)时，'(x)<0,h(x)单调递减， 即号<ln(1+1)-h1,号<n(2+1)-ln2,…, 当h(号)=a(ln号-1)≤0，即0<a≤2e时， 点<laa+1)-inan h(x)≤0，即F(x)≤0.F(x)在(0，十∞)上单测 递减， 累加得+号十+<h(a+)(aEN) 此时方程F(x)=入至多有1个实数根，不符合 题意： (17分) 当h(号)=a(n号-1)>0，即a>2e时， 19.解：(1)f(r)的定义域为(0，十o),了(x)= aln r, 因为h(1)=-2<0, 令f(x)=0,得x=1, 所以存在雌一实数x∈(1，号)，使得h(x)=0, 当a>0时， 令m(a)=lna-a,a>0, 由f(x)<0,得0<x<1,此时f(x)在(0,1)上单 调递减： 则m(a)=1-一a a 由f(x)>0,得x>1,此时f(x)在(1，+∞)上单 当0<a<1时，m'(a)>0,m(a)单调递增， 调递增， (2分) 当a>1时，m'(a)<0,m(a)单调递减， 当a<0时， 故m(a)≤m(1)=一1， 由了(x)<0,得x>1,此时f(x)在(1，十)上单 即lna-a≤-1<0， 调递减： 则h(a)=2a(lna-a)<0, 由了(x)>0,得0<x<1,此时f(x)在(0.1)上单 调递增， (4分) 所以存在唯一的x:∈（受，a）:使得h()=0, 综上所述，当a>0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在 (13分) (1,十o)上单调递增： 此时，当x∈(0，x1)时，h(x)<0, ·32· 高三一轮复习B ·数学· 即F(x)<0,F(x)在区间(0，x)上单调递减， 当x∈(1，x4)时，h(x)>0, 则F(合)>F1)=0 即F(x)>0,F(x)在区间(x1x:)上单调递增， 所以F(x)在(1，)上无零点。 当x∈(x,+o∞)时，h(x)<0, 即F(x)<0,F(x)在区间(x,十∞)上单调递减， 设h(x)=e-x(x>0), 由数形结合可知，此时F(x)的图象与直线y=入可 则h(x)=c-1>0, 以有3个交点， 所以h(x)单调递增，h(x)>h(0)=1, 即当a>2e时，存在A使得g(x)恰有3个零点， 则e>x, 综上，a的取值范围是(2e,十o∞). (17分) 所以e>1 (13分) a 选择②： g(r)=(a+1)rIn r-ar-f(r)=ar+rin r 设(x)=e-1-x(x>0), -ax 则p'(x)=c-2x 由题意知，方程x(a十lnx)一ax2=0在 令m(x)=e-2r(x>0), (1,十∞)上仅有一个实数解， 则m(x)=e一2， 则方程a十nx一a=0在(1，十)上仅有一个实 令m(x)=0,得x=n2, 数解. (7分) 当x∈(0，ln2)时，m(x)<0, 设F(x)=lnx-ax十a(x>1), 当x∈(n2,十o∞)时，m'(x)>0, i-a=l-ar 所以m(x)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2,十o∞) 则F(x)= 上单调递增， 当a≤0时，F(x)>0, 则m(x)≥m(h2)=2-2h2=h号>0，即 所以F(x)在（门，十∞）上单调递增， 又F(1)=ln1-a十a=0, p'(x)>0, 所以当x>1时，F(x)>0, 所以中(x)在(0，十∞)上单调递增， 则F(x)在(1，十o)上没有零点，不符合题意： 又p(0)=0,所以g(x)>0, 则e-1>x2, (9分) 当a≥1时，x>1时，ax>1, 所以->过则1-e中<寺 则F(x)<0, 所以F(x)在(1，十∞)上单湖递减， 又e÷∈（日+∞ 又F(1)=0, 所以F(x)<0, 则F(e)=a-a+=a(-e中)+是< 则F(x)在(1，十∞)上没有零点，不符合题意： 当0<a<1时，>1， a(-)+片=0， 又F(x)在（日，+∞）上单调递减，且F()>0, 当xe(1,)时.F(x)>0 当re(合+∞)时，F'（r)0, 所以F(x)在（日，十）上有且仅有一个零点. 所以当0<a<1时，F(x)在(1，十∞)上有且仅有 所以F(x)在(1，)上单调递增，在（合，+∞）上 一个零点，符合题意. 综上可知，a的取值范围为(0,1). (17分) 单调递减， ·33·高三轮复习周测/数学 7.对r1,r∈(L,3)],当<无：时，3x1一3n1一nn-则实数g的敢值范用是 〔八函数与导数的综合应用 A.3.十0】 技[3，+》 (号试时间120分钟，房分150分》 C9,+四j D.[9,+o) &.设a-2t,6-e-3*,期 一，透择题（本大题共8小题，年小恩5分，共0分，在每小题给出的四个这明中：只有一项是符 A.CcC 我aCc 合题目要求的) C.BCaCF Dcia L.已知雨数八的图象在R上连线不闻斯，y=厂(r是y=x的导丽数.则()=6”是“x, 二，盏择驱（木大题共3小题，每小思专分，共18分，在每小题给出的这项中，有多填符合题日要 为雨数f(的级值点"的 求。全事选对的得6分，部分这对的得军分分，有选错的得分) 人充要条件 我充分不心要条件 .已短属数几x,北导丽数了《x的解象如图质示，妈 C.必要不充分条件 D低不充分也不必爱条件 A,八r1有：个极值点 2.雨数几)=一nr的零点个数为 ./x1在x=1处取得极小值 A.0 我1 C.《上有极大值，没有极小值 C,2 D.3 Df八x)在（一的，3上单湖递增 玉已知雨数儿)一nF++一的单码逢减以阿为（行，则。的和镇范据为 10,已每函数f1=士一12x+41ER).则 A,-2,-3》 收1一到 A.《x?可能是奇雨数 化3 B.f（x1在区间【一2,2上单两递减 D.(-.3> 当f4x)的极大值为17时，=1 4已知两数1一+2一2+1，若e在2am+3内存在最小值，则：的取植爸围为 0当1=1时.f(x)的值城是[一1,1行 (-2,》 11游客从花州城站到西湖之滨，最先看到的是公同滨湖一带的护栏，南北路延约1公里，柱与使 k(-2,3 之何是一第第轻匀悬链，快胆湖上的水光山色.德国数学家菜布尼数把这种里在等高丙柱可， c[-) D.1-5.-10 自然下重有均匀密崖的由线称为是悬苗线，如果建文语当的半面直角半标系，席么是桥线可以表 5.已知两数f代)一s加十x,则八)的图象大致是 示为函数八x一受心十。，其中>，则下列关干悬链线两敢)的性质列斯中，正喻 女村 的有 人fr)为俱两数 长f为奇雨数 C,(x)的最小值为日 D.民x)的单调送增区间为0，十ge) 成暖 姓名 分数 号 牧格明目中值定理是微分学的禁本定理之，内岩为：如果网数x)在区同：灯上的图象 连接不间断，在开区阿(u,1肉的导数为：)，都么在区何(a)内至少存在一点c,捷得(b) 三，情空露（本大影共3小题，每小避5分，共15分） 一f(=/()(6一丝)成立，其中c叫作/(x1在a,6门上的“牧格周日中值点”.根据这个定理，可 1名由线=r一6r+18在点2，f(2)处的切线解率为 得函数f(x)=mx在[1，e]上的“枚格圆日中值点”为 13,已每函数/民x)=e一￥的导属数为（士1，若f(r)>/(x),民x)<5,附a的值可以为 A1 挂e .(写出调足条件的—个围可 C.e-1 n 脑举第1直1共4直) 害水金泰上先家现·高三一轮想习烟圆晚人 曲学第2方（共4成） 回 14.为备战亚运会等冰勇口，某市将里运会参赛透手练所用的沫演进行了检蜂，已知常滤承度为 17,本小题离分15分) 2:,其容积为2500，如果法：每平方米的雄爆费用为150元，设人水处的较复泡膜长度为 已短函数fz-千，g)一nr一a十，其中e最白然对数的底数 「m,且据结计较短的一鳄池壁的维修变用与池壁长度成正比，且比制系数为(>0小，拉长 1求函数f的单钢区列： 的准壁总维修费用獭足代数式2，刚当袜法的维修费用最链时：的植为 (2)对x1E[一1,0]，总3x∈[2,2]，使x,R:》成立，求实敷a的取值范用 四，解答葛（木大递共5小题，共？7分。解荐应写出必要的文字说谢，正附过程线润算步翼） 15.(本小题离分13分》 已知函数x)=x+2r+b:+:在x=一1处眼得级大值1. (1)求“，山的值： (2)求函数八r)在区同[一1，门上的最值 18,「本小题满分17分) 已组函数fr小=nT十华(aER), (1)采函数fx)的慢值 16.(木小题满分15分) 已知函数f(z=一a. 口)当a一”时，求f(x)的图象在点(1，们》处的切线方程： 19.(术小题清分1？分) 2)若关于r的方程了=0有两个不等的实银，来e的取值雀围 已班函散f小一x的1一知e我。 (1)当a0时，诗论f八)的单国性 2)从下面两个问题中任远-个进行作等 ①若存在实数1，使得函数gx)一飞x}一x一1恰有3个零点，求a的取值范同： ⊙若函数gr1一(a十1xhx一一尺x)在K可1，十o)上仅有1个零点.求的取值范用. 生：扣果是择多个可题分调解答，期按第一个解答什分 脑举第3直1共4直) 害水金泰上先家·高三一轮想习烟圆晚人 曲学第4方（共4成） 回