精品解析：重庆市江北区2024-2025学年九年级上学期数学初中学业质量抽样检测（第一次）试卷

2025年初中学业质量抽样监测（第一次） 九年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，掌握0大于一切负数；正数大于0是解题的关键． 根据0大于一切负数、正数大于0解答即可． 【详解】解：∵， ∴最大的数是3． 故选：D． 2. 下列四种实验仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、示意图是轴对称图形，符合题意； B、示意图不是轴对称图形，不符合题意； C、示意图不是轴对称图形，不符合题意； D、示意图不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 3. 点在反比例函数的图像上，则k值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故选：D． 4. 如图，某数学兴趣小组用同样大小的围棋子按照一定规律排列成下图，其中，图1中有5颗围棋子，图2中有8颗围棋子，图3中有13颗围棋子，图4中有20颗围棋子，按照此规律排列下去，则图⑦中有（ ）颗围棋子 A. 29 B. 40 C. 53 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，从已知图形归纳变化规律是解题的关键． 根据题意得出第n个图形中棋子数为，据此求解即可． 【详解】解：图①中棋子的数量是， 图②中棋子的数量是， 图③中棋子的数量是， 图④中棋子的数量是， …， 图n中棋子的数量是， 当 时，． 故选：C． 5. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算、无理数的估算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用多项式除以单项式法则计算，然后估算其取值范围即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴的值应在4和5之间． 故选：C． 6. 如图，点D、点E在的边上，且 ，，则与 的相似比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得 是解题的关键． 先求得，再证明 ，再根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵ ， ∴ ， ∴． 故选B． 7. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，根据所给二次函数图象，可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性及抛物线上点的坐标特征，依次对所给选项进行判断即可，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知， ∴，故A选项不符合题意； ∵抛物线与轴有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，则 ∴，故B选项不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线 ∴时的函数值与时的函数值相等， 由函数图象可知，时函数值小于零， ∴时函数值也小于零，即，故C选项符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线 ∴即，故D选项不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在矩形 中，点E在对角线上，分别以点B和点D为圆心，线段 、 的长为半径画圆弧，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、扇形的面积公式、勾股定理等知识点，发现阴影部分的面积为矩形面积减去两个扇形面积是解题的关键．先根据矩形的性质以及勾股定理求得，再根据阴影部分的面积为矩形面积减去两个扇形面积求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面为：． 故选：A． 9. 如图，在正方形 中，点E为边上一点，，连接，将线段绕点E顺时针旋转后，点A对应点为点F，连接、，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，交的延长线于点 ，作于点，根据旋转的性质和正方形的性质得到，，再证明，得到 ，，设 ，则 ，，得到，， ，再根据勾股定理求出，证明四边形为矩形，得到，，，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点 ，作于点，则， ∵将线段绕点E顺时针旋转后，点A对应点为点F， ∴ ， ， ∴， ∵四边形 是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴ ，， 设 ， ∵， ∴ ，， ∴，， ∴， 在中， ， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中， ， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 10. 对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，在1937年LotharCollatz提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长．下列说法： ①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长时，总能得到连续四次变换的结果依次是，，，； ②若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值只有4个； ③若输入正整数n，变换次数m，当 时，n的所有可能值中最大是512，最小是13． 其中正确的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的运算，归纳推理的应用，利用变换规则，逆向推理计算求出所有可能的取值，再判断结果即可． 【详解】解：∵对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数， ∴由新自然数求原来的数计算方法为：新自然数乘以 ，或新自然数减去1的差再除以3（取整数）， 若输入正整数n，则最后一次计算过程为：，上一步结果为； 倒数第二次计算过程为：，上一步结果为； 倒数第三次计算过程为： ，上一步结果为； 倒数第四次计算过程为：，上一步结果为； 倒数第五次计算过程为：，或，上一步结果为 或 ； 倒数第六计算过程为：，或，上一步结果为 或 ； 倒数第七次计算过程为：，或，或，或，上一步结果为或或或 ； 倒数第八次计算过程为：，或，或，或，上一步结果为或或或； 倒数第九次计算过程为：，或，或，或，或，或，上一步结果为或或或 或或 ； ∴①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长时，总能得到连续四次变换的结果依次是，，，，说法正确； ②若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值为或或或，只有4个，说法正确； ③若输入正整数n，变换次数m，当 时，n的所有可能值为或或或 或或 ，其中最大是512，最小是12，说法错误； ∴正确的个数是2个， 故选：B． 二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数次幂、零次幂、实数的混合运算等知识点，掌握负整数次幂、零次幂是解题的关键． 先根据负整数次幂、零次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 12. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以点O为旋转中心将点逆时针旋转后，它的对应点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键．如图：过点P作轴于点G，过点Q作轴于点H，再证明三角形全等即可解答． 【详解】解：如图：过点P作轴于点G，过点Q作轴于点H， 由旋转性质得，， ∴， ∵轴于点G，轴于点H， ∴， ∴， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴． ∵点， ∴． ∵点Q在第三象限， ∴点Q的坐标为． 故答案为：． 13. 生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因控制的．如人的眼皮性状由常染色体的一对基因控制，双眼皮由显性基因（A）控制，单眼皮由隐性基因（a）控制．当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮；当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女．若父母都是双眼皮，且他们的基因都是，则他们的子女是单眼皮的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求概率，正确列表是解题的关键．先列表得到所有等可能性的结果数，再找到他们子女可以是单眼皮的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 父亲 母亲 A a A a 由表格中，一共有四种等可能性的结果数，其中他们子女是单眼皮的结果数有1种， ∴他们子女可以是双眼皮的概率为． 故答案为：． 14. 暑假期间，小青同学和小彬同学相约进行社会实践活动，他们购进了某种卡片进行销售，第一天销售256张．第二、三天该卡片十分畅销，销售量持续走高，第三天的销售量达到400张．则第二、三天平均的增长率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程求解是解答的关键．设第二、三天的平均增长率为x，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设第二、三天的平均增长率为x，根据题意得： ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：第二、三天的平均增长率为 ． 故答案为： ． 15. 如图，直线与反比例函数的图像交于A、B两点，点C为反比例函数图象上另一点，连接，点D为线段的中点，若点B、点C的横坐标分别为和，，则k值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合、反比例函数与一次函数的综合、坐标与图形等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据题意确定、、，则，然后根据三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像在反比例函数的图像上，点B、点C的横坐标分别为和， ∴， ∴，即， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不合题意，舍弃）， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，解得∶ ． 故答案为：． 16. 若关于的不等式组至少有3个整数解，且关于 的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次不等式组等知识点，掌握解分式方程、解不等式组的方法成为解题的关键． 先解不等式组，再根据关于x的一元一次不等式组至少有3个整数解，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定a的取值范围，然后根据范围确定出a的取值，最后相加即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得： ， 解不等式②得：， ∵关于x的一元一次不等式组至少有3个整数解， ∴，解得：， 解方程，得， ∵关于y的分式方程的解为非负整数， ∴且，是偶数，解得且，a是偶数， ∴且，a是偶数， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故答案为：8． 17. 如图，平行四边形 的顶点A、B和对角线交点F均在 上， 与相切于点B，边经过圆心O且交 于点E，若半径，则线段________，线段________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查的是切线的性质、平行四边形的性质等知识点，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．如图：连接，根据切线的性质得到 ，根据平行四边形的性质得到，得到，根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，最后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图：连接， ∵ 与相切于点B， ∴ ， ∵四边形 为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2，． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最小是________；若四位自然数M是“方佳数”，将“方佳数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值________． 【答案】 ①. 3162 ②. 4961 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、一元一次方程的应用、因式分解的应用等知识点，理解新定义、正确推理计算是解题关键． 根据“方佳数”的定义可得，即，再确定a的最小值及b的值即可解答；设这个四位数，则，再结合“和方数”的定义，得出，再由能被33整除可知是整数，得到满足条件的a的值为4，进而得出满足条件的等式，即可得到M的最大值． 【详解】解：∵是“方佳数”， ∴，即， ∴当时，a有最小值3， ∴这个数最小是3162； 设这个四位数，则， ， ∵四位数M是“方佳数”， ∴， ∴， ∵能被33整除， ∴是整数， ∴是整数且，，，，， ∴满足条件的a的值为4， ∴， ∵要求M的最大值，则 ∴满足条件的M的最大值是． 故答案为：3162；4961． 三、解答题：（本大题共8小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）解方程： （2）化简： 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程和分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据分式加减乘除运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2） ． 20. 某校为增强学生秋季流疾防控意识，开展了预防流疾知识竞赛．现从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（100分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，88，89，90，82，96，99，96，100 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，92，93 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 93 b 众数 a 100 方差 35.4 35 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中 ________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的预防流疾知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有400名学生，八年级有500名学生参加了此次预防流疾知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次预防流疾知识竞赛成绩优秀的学生共有多少名？ 【答案】（1）96，，40 （2）见解析 （3）590名 【解析】 【分析】（1）根据题意和表格在的数据、扇形统计图种的数据，可以计算出a、b、m的值即可； （2）根据平均数、众数、中位数、方差进行分析即可解答； （3）根据样本估计整体的知识列式计算即可． 【小问1详解】 解：七年级10名学生的竞赛成绩中，出现次数最多的是96，即众数：； 由题意可得：八年级获得A等级的有2人，B等级的有1人，则八年级竞赛成绩从小到高排列处于第5、6位的是93，94，则中位数；，即． 故答案为：96，，40． 【小问2详解】 解：八年级学生的预防流疾知识竞赛成绩较好，理由如下：八年级的中位数高于七年级的中位数，故八年级学生的预防流疾知识竞赛成绩较好． 【小问3详解】 解： （名）． 答：估计该校七、八年级参加此次预防流疾知识竞赛成绩优秀的学生共有590名． 【点睛】本题主要考查频数分布表、扇形统计图、中位数、众数、平均数、方差、样本估计整体等知识点，审清题意、从图表中获取所需信息是解题的关键． 21. 如图，在中， ，平分．小智在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，老师给出了一个富有挑战性的题目，利用所学知识推导出和 面积的比值与边和长度的比值之间的关系．经过小组讨论他们的总体思路是控制变量法，即过点D作的垂线，垂足为点E，再根据三角形全等来证明和 的高相等，从而得到结论，请根据小智他们的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：过点D作的垂线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）． （2）证明：平分， ① ， 又② ． ③ ，， ． 小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题： 如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值④ ． 【答案】（1）见解析 （2）①；② ；③；④相等 【解析】 【分析】本题主要考查作一条直线的垂线，三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据过直线外一点作一条直线的垂线的作图方法，进行作图即可； （2）先证明得出，根据，，得出． 【小问1详解】 解：如图， 即为所求； 【小问2详解】 证明：平分， ①， ， 又② ， ． ③， ，， ． 已知：任意中，平分，过点D作于点E，于点F，如图所示： 则， 平分， ， ∵ ， ∴， ， ，， ， ∴如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值④相等． 22. 开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍． （1）求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价； （2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10％．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？ 【答案】（1）商家购进每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元； （2）每个套尺的售价为11元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、分式方程的应用等知识点，审清题意、列出方程是解题的关键． （1）设商家购进每本笔记本的单价是x元，则每个套尺的单价是元，由题意：商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍列出分式方程求解即可； （2）设每个套尺的售价为m元，使笔和圆规平均每天的总获利为400元，列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设商家购进每本笔记本的单价是x元，则每个套尺的进价是元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ∴． 答：商家购进每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元． 【小问2详解】 解：设每个圆规的售价为m元， 由题意得：， 整理得：，解得： 或 ， ∵降价幅度不超过， ∴，解得：， ∴ ． 答：每个套尺的售价为11元． 23. 如图，在中， ，， 于点D，动点E从点B出发，沿折线 ，到达点C时停止运动，设点E的运动路程为，连接 ，若的面积与点E的运动路程x的比值为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，当 时请直接写出函数时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 ）． 【答案】（1）， （2） 如图所示函数图象即为所求； 由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当 时，随x增大而增大． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、勾股定理、三线合一等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）由三线合一得到 ，则由勾股定理得到 ，进而可得 ，即；当点E在上时，过点D作于H，根据等面积法求出，则，同理可得当点E在上时，； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出的性质即可； （3）求出时两函数的交点横坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵在中， ，， 于点D， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即； 如图，点E在上时，过点D作于H，则 ， ∵ ， ∴， ∴； 同理：可得当点P在上时，． 综上所述，． 【小问2详解】 解：列表如下： x … 1 2 … … x … 1 6 … 0 … x … 1 2 … 6 3 … 如图所示函数图象即为所求； 由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当 时，随x增大而增大． 【小问3详解】 解：联立：解得： 或 ， ∴当 时，与交点的横坐标为 或 ， ∴由函数图象可得：当 时，函数时x的取值范围为： ． 24. 北滨路延伸段建设是我区的重大民生项目，在建设过程中十分重视便民利民．如图，四边形 区域是规划的休闲公园，其中四周是人行步道，对角线、为两条自行车道，点B为公园入口．经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西 方向，点C在点A的北偏西方向，若米．（参考数据： ，，） （1）求自行车道的长．（结果保留小数点后一位） （2）测得，小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明步行速度的3倍骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，问他们谁先到达B地，通过计算说明先到达多长时间？（结果保留小数点后两位） 【答案】（1）米 （2）小明先到达，先到达分钟． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、方位角、直角三角形的性质等知识点，将实际问题转化为三角函数问题是解题的关键． （1）由题意可得：，，即，如图：过D作，先说明 ，解直角三角形可得，再说明，可得，最后根据线段的和差即可解答； （2）先解直角三角形得到米，再说明，解直角三角形得到，，即；然后分别求得小明、小刚所用时间，然后作差比较即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，即， 如图：过D作， ∵， ∴，米，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴米 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∴ ， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明骑自行车以180米/分钟从D出发赶往B地， ∴小明用时：分钟；小刚共用时：分钟， ∵， ∴小明先到达，先到达分钟． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），作直线，连接，． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上直线上方的一动点，过点P作 轴于D，交于点E，过点P作于点F．点N是线段 上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接， ．当 的周长取得最大值时，求点E的坐标和的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点E，且与直线相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）或 【解析】 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法，二次函数与线段最值，二次函数与角度综合． （1）先求出，，再把代入，结合对称轴为直线求解即可； （2）先求出，直线解析式为 ，再设，则，得到，再说明 是等腰直角三角形，得到 的周长为，代入得到当时， 的周长取得最大值，此时，，连接 ，，证明四边形和是平行四边形，得到，则，当在 上时，最小，求出 的长即可； （3）求出平移后抛物线的表达式为：，求出与直线的另一个交点，则设直线线 的表达式为：，当点在点 下方时，由，得到，求出直线 的表达式为：，与新抛物线联立求出；点在点 的上方时，取点，则，得到，求出直线 的表达式为：，与新抛物线联立求出． 【小问1详解】 解：令得，，则，， ∵， ∴ ， ∴， 把代入得， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，解得， ∴， ∴抛物线解析式为 ； 【小问2详解】 解：令，解得， ∴， ∴， ∴ ， 设直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为 ， ∵ 轴， ∴，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ，， ∴， ∴ 的周长为， ∴当时， 的周长取得最大值，此时，， ∴， 连接 ，， ∵作轴， 轴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当在 上时，最小， ∵，， ∴的中点G坐标为， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：将该抛物线沿射线方向平移，设向左平移 个单位，再向上平移了 个单位，， 则新抛物线的表达式为：， 将代入上式得：，解得或， ∴， 故新抛物线的表达式为：， 联立上式和直线的表达式 并解得：（舍去）或， ∴点， ∴设直线线 的表达式为：， 当点在点 下方时， ∵， ∴， 由，，得，直线的表达式为：， 则直线 的表达式为：， 联立，解得或， ∴， 当点在点 的上方时，取点，则轴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由，，得，直线的表达式为：， ∴直线 的表达式为：， 联立，解得或， ∴， 综上所述，当时，点Q的坐标为或． 26. 如图，等边中，点D为直线上一点，连接，以点B为旋转中心，将线段逆时针旋转，点D的对应点为点E，连接 ． （1）如图1，点D在边上，若 ，求 的度数（用含的代数式表示）； （2）如图2，点D在延长线上，连接，延长交于点F，取 的中点G，连接，用等式表示线段与、之间的数量关系，并证明； （3）点D在运动过程中，当线段的值最小时，直接写出的值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转可得，，得到，再由三角形的外角可得，代入求值即可； （2）延长至，使 ，过作，交延长线于，连接，先证明，得到，，，即可说明四边形为平行四边形，得到，，再证明，，接着利用中位线得到，，最后代入即可求解； （3）由（2）可得，当点在下方时，，，同理，当点在上方时，，，，则，得到在直线上运动，且，当时，线段的值最小，此时四边形为矩形，设，则，在中，求出，，得到，，再由等腰直角三角形的特点得到，最后代入化简求值即可． 【小问1详解】 解：∵以点B为旋转中心，将线段逆时针旋转，点D的对应点为点E， ∴，， ∴， ∵等边， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：， 证明如下： 延长至，使 ，过作，交延长线于，连接，则 ， ∵以点B为旋转中心，将线段逆时针旋转，点D的对应点为点E， ∴，， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴是中位线， ∴， ∴， ∵ 的中点G， ∴ 是中位线， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：延长至，使 ，连接，过 作于，过 作于 ， 由（2）可得，当点在下方时，，， 同理，当点在上方时，，，，则， ∴在直线上运动，且， ∴点D在运动过程中，当时，线段的值最小，此时四边形为矩形， ∴， 设，则， 在中，，则， ∴，， ∴，， 由旋转可得，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线，全等三角形的判断与性质，直角三角形的性质，二次根式的计算，利用旋转得到是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业质量抽样监测（第一次） 九年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3 2. 下列四种实验仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 点在反比例函数的图像上，则k值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 4. 如图，某数学兴趣小组用同样大小的围棋子按照一定规律排列成下图，其中，图1中有5颗围棋子，图2中有8颗围棋子，图3中有13颗围棋子，图4中有20颗围棋子，按照此规律排列下去，则图⑦中有（ ）颗围棋子 A. 29 B. 40 C. 53 D. 56 5. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 如图，点D、点E在的边上，且 ，，则与 的相似比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形 中，点E在对角线上，分别以点B和点D为圆心，线段 、 的长为半径画圆弧，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形 中，点E为边上一点，，连接，将线段绕点E顺时针旋转后，点A对应点为点F，连接、，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，在1937年LotharCollatz提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长．下列说法： ①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长时，总能得到连续四次变换的结果依次是，，，； ②若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值只有4个； ③若输入正整数n，变换次数m，当 时，n的所有可能值中最大是512，最小是13． 其中正确的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 12. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以点O为旋转中心将点逆时针旋转后，它的对应点的坐标是________． 13. 生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因控制的．如人的眼皮性状由常染色体的一对基因控制，双眼皮由显性基因（A）控制，单眼皮由隐性基因（a）控制．当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮；当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女．若父母都是双眼皮，且他们的基因都是，则他们的子女是单眼皮的概率为________． 14. 暑假期间，小青同学和小彬同学相约进行社会实践活动，他们购进了某种卡片进行销售，第一天销售256张．第二、三天该卡片十分畅销，销售量持续走高，第三天的销售量达到400张．则第二、三天平均的增长率为________． 15. 如图，直线与反比例函数的图像交于A、B两点，点C为反比例函数图象上另一点，连接，点D为线段的中点，若点B、点C的横坐标分别为和，，则k值是________． 16. 若关于的不等式组至少有3个整数解，且关于 的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为________． 17. 如图，平行四边形 的顶点A、B和对角线交点F均在 上， 与相切于点B，边经过圆心O且交 于点E，若半径，则线段________，线段________． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最小是________；若四位自然数M是“方佳数”，将“方佳数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值________． 三、解答题：（本大题共8小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）解方程： （2）化简： 20. 某校为增强学生秋季流疾防控意识，开展了预防流疾知识竞赛．现从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（100分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，88，89，90，82，96，99，96，100 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，92，93 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 93 b 众数 a 100 方差 35.4 35 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中 ________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的预防流疾知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有400名学生，八年级有500名学生参加了此次预防流疾知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次预防流疾知识竞赛成绩优秀的学生共有多少名？ 21. 如图，在中， ，平分．小智在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，老师给出了一个富有挑战性的题目，利用所学知识推导出和 面积的比值与边和长度的比值之间的关系．经过小组讨论他们的总体思路是控制变量法，即过点D作的垂线，垂足为点E，再根据三角形全等来证明和 的高相等，从而得到结论，请根据小智他们的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：过点D作的垂线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）． （2）证明：平分， ① ， 又② ． ③ ，， ． 小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题： 如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值④ ． 22. 开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍． （1）求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价； （2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10％．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？ 23. 如图，在中， ，， 于点D，动点E从点B出发，沿折线 ，到达点C时停止运动，设点E的运动路程为，连接 ，若的面积与点E的运动路程x的比值为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，当 时请直接写出函数时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 ）． 24. 北滨路延伸段建设是我区的重大民生项目，在建设过程中十分重视便民利民．如图，四边形 区域是规划的休闲公园，其中四周是人行步道，对角线、为两条自行车道，点B为公园入口．经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西 方向，点C在点A的北偏西方向，若米．（参考数据： ，，） （1）求自行车道的长．（结果保留小数点后一位） （2）测得，小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明步行速度的3倍骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，问他们谁先到达B地，通过计算说明先到达多长时间？（结果保留小数点后两位） 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），作直线，连接，． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上直线上方的一动点，过点P作 轴于D，交于点E，过点P作于点F．点N是线段 上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接， ．当 的周长取得最大值时，求点E的坐标和的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点E，且与直线相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 26. 如图，等边中，点D为直线上一点，连接，以点B为旋转中心，将线段逆时针旋转，点D的对应点为点E，连接 ． （1）如图1，点D在边上，若 ，求 的度数（用含的代数式表示）； （2）如图2，点D在延长线上，连接，延长交于点F，取 的中点G，连接，用等式表示线段与、之间的数量关系，并证明； （3）点D在运动过程中，当线段的值最小时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $