精品解析：福建省泉州市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量监测数学试题

2024—2025学年度上学期泉州市高中教学质量监测 高一数学 2025.01 本试卷共19题，满分150分，共8页.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸､试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号：非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整､笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁，不折叠､不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 5. 函数且的图象如图所示，则必有（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》在卷一《方田》题[三五]中提到弧田面积的计算问题.弧田是由圆弧和弦所围成的弓形部分（如图阴影部分所示）.有一弧田的弧长为10，且所在的扇形圆心角为2，则该弧田的面积约为（ ） （参考数据：） A. 10 B. 12.5 C. 13 D. 26 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上的取值范围为 D. 使得成立的的取值集合为 11. 已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意，当时，都有，则（ ） A. B. C. 直线是函数的一条对称轴 D. 若在区间上有8个零点，则所有零点的和为32 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 使得有意义的的取值集合为__________. 13. 写出同时满足下列条件的一个函数的解析式__________. ①为幂函数； ②为偶函数； ③在区间上单调递减. 14. 在平面直角坐标系中，已知角为第一象限角，其终边和单位圆的交点与点关于直线对称，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值. 16. 已知集合，集合. （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数为奇函数. （1）求实数，判断并根据定义证明的单调性； （2）求不等式的解集. 18. 已知函数其中. （1）当时， （i）按关键点列表，并画出函数的简图； （ii）写出的单调区间； （2）是否存在实数，使得的图象是中心对称图形？若存在，写出的值并对图象的对称性加以证明；若不存在，说明理由. 19. 函数和的定义域分别为，如果对于中的任意一个数，按照的对应关系，在中都有且仅有个确定的数与之对应，则称为的“函数”.例如：，则为的“函数”. （1）设，判断以下两种说法是否正确，并说明理由： ①是的“函数”；②是的“函数”； （2）设，判断是否为的“函数”，若是，求；若不是，请说明理由； （3）设，若为的“函数”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期泉州市高中教学质量监测 高一数学 2025.01 本试卷共19题，满分150分，共8页.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸､试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号：非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整､笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁，不折叠､不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的知识来求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：C 2. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性结合一元一次不等式的解法求解出每个集合，再结合充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】令，解得，令，解得， 得到， 即可以推出，推不出， 得到“”是“”的充分不必要条件，故A正确. 故选：A 3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的性质求各选项函数的定义域，判断奇偶性，求函数单调区间即可得到结果. 【详解】A选项：函数定义域为，，函数是偶函数，A选项排除； B选项：函数定义域为，，函数是奇函数，且函数在单调递增，B选项正确； C选项：函数定义域为，，函数是偶函数，C选项排除； D选项：函数定义域为，D选项排除； 故选：B. 4. 已知，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本不等式即可求得的最大值. 【详解】，∴， 当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 5. 函数且的图象如图所示，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的知识以及图象来确定正确答案. 【详解】由图象可知，在定义域上单调递增，而是增函数， 根据复合函数单调性同增异减可知，， ，所以，， 由图可知当时，， 所以A选项正确. 故选：A 6. 《九章算术》在卷一《方田》题[三五]中提到弧田面积的计算问题.弧田是由圆弧和弦所围成的弓形部分（如图阴影部分所示）.有一弧田的弧长为10，且所在的扇形圆心角为2，则该弧田的面积约为（ ） （参考数据：） A. 10 B. 12.5 C. 13 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】用扇形的面积减去三角形的面积来求得正确答案. 【详解】扇形的半径，面积为， ， 三角形的面积为， 所以弧田的面积约为. 故选：C 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案. 【详解】， 所以， 所以， ， 所以. 故选：D 8. 若函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过函数单调性，求出分段函数在上的值域，再通过对参数的范围讨论，通过二次函数的性质求出函数在上的值域，通过并集为全集求出参数的范围，从而求得结果. 【详解】∵函数在上单调递增， ∴当时，， 令，， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递增， 则，即函数的值域为， 要想函数的值域为，则，即， ∴， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即函数的值域为， ∵，∴此时函数的值域为，即， 综上所述：. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质、差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，由不等式的性质可知，A选项正确. B选项，若，当时，，所以B选项错误. C选项，若，则，C选项正确. D选项，若，则，D选项错误. 故选：AC 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上的取值范围为 D. 使得成立的的取值集合为 【答案】ACD 【解析】 【分析】已知三角函数解析式，得到即可得到函数周期，判断A选项；令解得区间即是函数单调递增区间，从而判断出B选项：由单调区间可以求得函数在区间上的值域，判断C选项；先求出的解，由函数单调性即可得到的解集，判断D选项. 【详解】由解析式知道，则周期，故A选项正确； 令，解得， ∴在区间上单调递增，在上递减，故B选项错误； 当时，，即，故C选项正确； 令，解得或， 由函数单调性可知成立的的取值集合为，故D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意，当时，都有，则（ ） A. B. C. 直线是函数的一条对称轴 D. 若在区间上有8个零点，则所有零点的和为32 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过函数图象的平移性质，由的对称轴推出的奇偶性，这是后续推理的基础,利用已知等式，通过赋值法求出与的值，思路合理,根据函数的周期性和奇偶性，结合给定区间上函数的单调性判断选项B.对于选项C，通过一系列等式变换，利用函数的奇偶性和周期性证明直线是的对称轴.对于选项D，将的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，利用函数的对称性求出所有零点之和. 【详解】因为的图象关于直线对称，根据函数图象平移规律， 将的图象向左平移个单位得到的图象， 所以的图象关于对称，即是偶函数，， 已知，令，则， 由于，所以，故A正确， 由，可得，进而， 所以函数是周期为的周期函数， 对任意，当时，， 移项得到， 这意味着当，即时，， 所以在上单调递增， 因为是偶函数，所以在上单调递减， ，， 由于在上单调递减，所以，即，故B错误， 函数的周期为，又因为的图象关于直线对称， 所以的图象关于轴对称，即， 因为的图象关于轴对称，所以， 又因为的周期为，则， 再根据，可得， 同样，，而， ， 所以，设，则， 因为是偶函数，所以， 那么， 所以直线是函数的一条对称轴，C选项正确， 令，即， 设，，关于对称， 是周期为的偶函数， 由在区间上有个零点，这个零点两两关于对称， 设这个零点为，则，，，， 所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛： 利用函数图象的平移规律来确定函数的奇偶性，这是一种常见的方法,对于给定的函数等式，通过合理赋值可以求出函数在特定点的值. 由函数等式推出函数的周期性，再结合奇偶性和给定区间的单调性来比较函数值大小,证明函数对称轴时，通过对函数表达式进行变形，利用函数的性质进行推导. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 使得有意义的的取值集合为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用根式和分式有意义的条件求解即可. 【详解】若有意义，则且， 即的取值集合为或. 故答案为：或 13. 写出同时满足下列条件的一个函数的解析式__________. ①为幂函数； ②为偶函数； ③在区间上单调递减. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据幂函数、偶函数、函数的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，是幂函数，偶函数，且在区间上单调递减， 所以中，是偶数且为负数， 所以符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 14. 在平面直角坐标系中，已知角为第一象限角，其终边和单位圆的交点与点关于直线对称，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合条件及三角函数定义可得，，由此可得，结合二倍角公式求结论. 【详解】由已知点的坐标为，且，， 又点与点关于直线对称， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以， 又为锐角，所以，所以， 所以， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）8 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算性质求解即可. （2）（3）利用指数和对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）由，可得 所以 16. 已知集合，集合. （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）依据题意并结合补集的定义求解集合即可. （2）将给定条件转化为子集问题，分类讨论参数范围求解即可. 【小问1详解】 当时，， 令，解得， 所以，故或. 【小问2详解】 由得到， （i）当时，， 因为，所以，解得. （ii）当时， 因为，所以，解得. （iii）当时， 因为，所以，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 17. 已知函数为奇函数. （1）求实数，判断并根据定义证明的单调性； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） 求解法一： 函数的定义域为， 因为为奇函数，所以， 所以，所以， 解得； 求解法二： 由即， 解得，此时. 因为，所以为奇函数， 符合题意. 以下用定义证明是增函数： 任取，且，则 ， 又因为在上单调递增，且，所以，故 又，所以， 所以函数在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）根据为奇函数求得，利用函数单调性的定义证得是增函数. （2）根据函数的单调性和奇偶性来求得不等式的解集. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，可得， 又因为为奇函数，所以，所以， 又函数在上单调递增，所以， 即，即， 解得，所以不等式的解集为. 18. 已知函数其中. （1）当时， （i）按关键点列表，并画出函数的简图； （ii）写出的单调区间； （2）是否存在实数，使得的图象是中心对称图形？若存在，写出的值并对图象的对称性加以证明；若不存在，说明理由. 【答案】（1）（i）（ii）单调递增区间：；单调递减区间： （2）存在实数，使得的图象是中心对称图形； 对称中心为. 下证明：①对于任意. 所以 ； ②对于任意，. 所以 ； 综上所述，存在实数，使得的图象关于中心对称. 【解析】 【分析】（1）利用五点作图法来画出图象，根据图象写出单调区间. （2）由来进行判断和证明 【小问1详解】 （i）当时，列表如下： 0 0 1 0 1 2 描点如图： （ii）由图可知，单调递增区间：； 单调递减区间：. 【小问2详解】 略 19. 函数和的定义域分别为，如果对于中的任意一个数，按照的对应关系，在中都有且仅有个确定的数与之对应，则称为的“函数”.例如：，则为的“函数”. （1）设，判断以下两种说法是否正确，并说明理由： ①是的“函数”；②是的“函数”； （2）设，判断是否为的“函数”，若是，求；若不是，请说明理由； （3）设，若为的“函数”，求的取值范围. 【答案】（1）①是正确的， ②是错误的，理由：因为当时，，因为，按照的对应关系，此时不存在，使得.所以，不是的“函数”，所以，②错误. （2）是，4 （3） 【解析】 【分析】（1）①对于①，紧扣“函数”的定义，先确定的取值范围，再根据求出，判断对于任意，在中与之对应的的个数，思路清晰，符合定义要求. 对于②，同样依据定义，通过举反例，当时，找不到使得，从而说明不是的“函数” （2）首先分析的单调性，得出的取值范围.然后将问题转化为判断方程在内的解的个数，通过令，进一步转化为判断方程在内的解的个数.接着对在不同区间进行讨论，利用函数的单调性和零点存在定理，得出在一个周期内方程有个解，进而得出在内有个解. （3）由（2）得到的取值范围后，对进行变形，将问题转化为关于的方程在上解的个数问题.通过换元令，进一步转化为关于的方程在上有个不同解的问题，根据二次函数对称轴和根的分布情况列出不等式组求解. 【小问1详解】 ①是正确的，因为对，按照的对应关系，即， 所以，，所以，对，按照的对应关系， 在中都有且仅有1个确定的数与之对应所以，是的“函数”，所以，①正确； ②略 【小问2详解】 ，且，， 因为， 当，有，所以，在上单调递减； 当，有，所以，在上单调增减. 因为，所以，在上单调递减，在上单调递增. 所以，有. 因为，所以，问题等价于对于中的任意一个数，关于的方程 在内都恰有几个解的问题， 令，则，问题等价于判断对于，方程在内都恰有几个解， 记，因为， 当，又在单调递增， 所以，在都恰有1个解； 当，又在单调递减， 所以，在都恰有1个解； 当，此时方程没有解， 所以，方程在内恰有2个解，即一个周期内方程都恰有2个解. 所以，方程在内恰有4个解，所以对于中的任意一个数， 按照的对应关系，在中都有且仅有4个确定的数与之对应， 即为的“函数”，所以 【小问3详解】 由（2）可知有. ， 因为为的“函数”，即对于中的任意一个数， 按照的对应关系，在中都有且仅有4个确定的数与之对应， 即对于，关于的方程都恰有4个解. 令，则，此时问题等价于对于， 关于的方程在上都恰有4个解， 令，由（2）可知， 要使在上都恰有4个解， 则关于的方程在必有2个不同的解， 记，因为的对称轴， 所以，关于的方程的两根应满足， 所以，即即 因为，所以，， 所以 【点睛】思路点睛： 对于复杂函数，先研究其单调性和值域，将“函数”问题转化为方程解的个数问题，结合函数性质和零点存在定理求解. 对于涉及复合函数和方程解个数求参数范围的问题，通过合理换元转化为二次函数问题，利用二次函数根的分布来求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $