精品解析： 重庆市潼南区2024-2025学年九年级上学期数学期末试题

2024－2025学年度第一学期期末检测 九年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分、考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. “翻开人教版《数学》九年级下册课本恰好翻到第56页”这个事件（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 4. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，经过圆心且交于，两点，与相切于点，连接，．若，则的度数为（ ） A B. C. D. 6. 某菜鸟驿站星期一收件120件，星期三收件150件，设该菜鸟驿站收件数量平均每天增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 不透明的袋子中有2个红球、个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．随机摸取1个小球后放回，连续摸取次，每次摸取到的都是黄球，下列说法正确的是（ ） A. 第6次摸取到的一定是黄球 B. 第6次摸取到的可能还是黄球 C. 第6次摸取到的一定是红球 D. 第6次摸取到红球的可能性更大 8. 如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转一定角度到的位置，使得，则等于（ ） A B. C. D. 10. 对于若干个数，我们先将任意两个数作差（相同的两个数只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数作“差绝对值运算”．例如：对于1，2，3作“差绝对值运算”，得到．下列说法： ①对，，2，5，6作“差绝对值运算”的结果是50； ②对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为； ③对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或．其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 点关于原点的对称点为点，则点的坐标为_____． 12. 已知关于的方程的一个根是2，那么_____． 13. 《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作，如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”，若图中的定滑轮半径为，滑轮逆时针方向旋转，则重物“甲”上升了_____（绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留）． 14. 抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是_____． 15. 如图，是的直径，于点，连接．若，，则的长为_____． 16. 读了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的这场比赛．他分别用下表中的数字来代表马的实力，数字越大，马的实力越强，每匹马只赛一场，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序依次为上等马、中等马、下等马，则齐王赢得比赛的概率为_____． 马匹等级 人物 下等马 中等马 上等马 齐王 2 4 6 田忌 1 3 5 17. 如图，抛物线与轴的其中一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④对于任意实数，总有．其中正确的个数是_____． 18. 如图，在矩形中，，．将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，边与相交于点，边与的延长线相交于点．在矩形旋转过程中，当落在线段上时，_____；当是线段的三等分点时，_____． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，第20题一第26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解下列方程． （1）； （2）． 20. 为落实国家“双减”政策，某中学在课后延时服务时间里开展了“剪纸社团、足球社团、文学社团、合唱社团”活动．该校从全校540名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢”一种社团活动（每人必选且只选一种）的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）条形统计图中的值为_____，扇形统计图中的度数为_____； （2）根据调查结果，可估计该校540名学生中最喜欢“合唱社团”的约有_____人； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙三名同学中随机选取两名去参加演讲比赛和诗词大会，每人限参加一项，请用列表或画树状图的方法求出恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的概率． 21. 我们规定：对于任意实数a，b，c，d，有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）若关于的方程有两个相同的实数根，求的值． 22. 如图，是的一个内接三角形，点是劣弧上一点（点不与，重合），设，． （1）当时，求的度数； （2）猜想与之间关系，并给予证明． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标． 24. 在正方形网格中，的三个顶点都在格点上． （1）在图1中作出绕点逆时针旋转得到的； （2）在图2中作出与关于点对称的． 25. 当下年轻人喜欢喝奶茶，在草莓成熟的时节，某品牌奶茶店推出了多款草莓系列的新品．其中“莓莓奶麻薯”大杯款（无小杯和中杯款）最受大众欢迎．已知这种饮品的成本价为10元每杯，试销售期间售价定为14元每杯，日销售量为40杯．经市场调查发现，若该饮品的销售单价每增加1元，则日销售量减少5杯．试销售期结束后，设这种饮品的销售单价为元，每天的销售利润为元． （1）求关于的函数解析式； （2）若奶茶店老板希望每天销售“莓莓奶麻薯”大杯款所得利润为175元，则销售单价应定为多少元？ （3）若规定这种饮品销售单价不得高于20元每杯，当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，对称轴是直线，顶点为． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标； （3）设点是线段上的一动点，过点作，交于点．点从点出以每秒3个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒）．当以为边的是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第一学期期末检测 九年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分、考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，关键是一元二次方程定义的熟练掌握，根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：A、有两个未知数，是二元一次方程，故此选项错误，不符合题意； B、有一个未知数，最高次项的次数是1，是一元一次方程，故此选项错误，不符合题意； C、有两个未知数，是二元二次方程，故此选项错误，不符合题意； D、有一个未知数，且最高次项的次数为2，故此选项正确，符合题意， 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，利用二次函数的顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据二次函数的顶点式的顶点坐标为即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：C． 3. “翻开人教版《数学》九年级下册课本恰好翻到第56页”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，可能发生，可能不发生的事件为随机事件，进行判断即可． 【详解】解：“翻开人教版《数学》九年级下册课本恰好翻到第56页”这个事件是随机事件； 故选A． 4. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可． 【详解】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 5. 如图，经过圆心且交于，两点，与相切于点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：与相切于点， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， ， ， 故选：A． 6. 某菜鸟驿站星期一收件120件，星期三收件150件，设该菜鸟驿站收件数量平均每天增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．设该菜鸟驿站收件数量平均每天增长率为，利用关系式：星期三收件数量星期一收件数量，即可解答． 【详解】解：设该菜鸟驿站收件数量平均每天增长率为， 由题意得，． 故选：B． 7. 不透明的袋子中有2个红球、个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．随机摸取1个小球后放回，连续摸取次，每次摸取到的都是黄球，下列说法正确的是（ ） A. 第6次摸取到的一定是黄球 B. 第6次摸取到的可能还是黄球 C. 第6次摸取到的一定是红球 D. 第6次摸取到红球可能性更大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件以及事件发生可能性的大小，理解事件可能性大小是解题的关键； 根据不同颜色的球的数量确定摸到哪种球的可能性的大小后即可确定正确的选项，即可求解； 【详解】解：∵不透明的袋子中有2个红球、个黄球， ∴每次摸球摸到红球概率为，每次摸球摸到黄球概率为； A、第6次摸取到的一定是黄球，错误，第6次摸取到的不一定是黄球，也有可能是红球； B、第6次摸取到的可能还是黄球，正确； C、第6次摸取到的一定是红球，错误，第6次摸取到的不一定是红球，也有可能是黄球； D、第6次摸取到红球的可能性更大，错误，第6次摸取到黄球的可能性更大； 故选：B； 8. 如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式．利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意， ， 故选：D． 9. 如图，中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转一定角度到的位置，使得，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得，再根据旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， 由旋转的性质得，，， ． 故选：A． 10. 对于若干个数，我们先将任意两个数作差（相同的两个数只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数作“差绝对值运算”．例如：对于1，2，3作“差绝对值运算”，得到．下列说法： ①对，，2，5，6作“差绝对值运算”的结果是50； ②对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为； ③对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或．其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算、绝对值的性质、一元二次方程的应用，理解“差绝对值运算”的定义是解题的关键．根据“差绝对值运算”的定义及绝对值的性质，对题目中的说法逐项计算即可判断求解． 【详解】解： ，故说法①错误； ， 当时，的值最小，最小值为， 对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为，故说法②正确； ， ，， ， 由题意得，， 当，即时， ， 整理得：， 解得：，（舍去）； 当，即时， ， 整理得：， 解得：，（舍去）； 对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或，故③错误； 综上所述，其中正确的是②，个数是1． 故选：C． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 点关于原点的对称点为点，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征，熟练掌握关于原点对称的点的特征：横纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的特征即可解答． 【详解】解：点关于原点的对称点为点， 点的坐标为． 故答案为：． 12. 已知关于的方程的一个根是2，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，代入到，解出的值即可解答． 【详解】解：关于的方程的一个根是2， 代入得，， 解得：． 故答案为：． 13. 《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学著作，如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”，若图中的定滑轮半径为，滑轮逆时针方向旋转，则重物“甲”上升了_____（绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 利用弧长公式即可直接得出答案． 【详解】解：绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动， 重物“甲”上升了：（）， 故答案为：． 14. 抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题． 【详解】解：由题知，将抛物线向左平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式，得到的抛物线，再将所得抛物线向下平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式为， 故答案为：． 15. 如图，是的直径，于点，连接．若，，则的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 由垂径定理可得，由勾股定理可得，然后根据即可得解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径，于点， ， ， ， 故答案为：． 16. 读了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的这场比赛．他分别用下表中的数字来代表马的实力，数字越大，马的实力越强，每匹马只赛一场，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序依次为上等马、中等马、下等马，则齐王赢得比赛的概率为_____． 马匹等级 人物 下等马 中等马 上等马 齐王 2 4 6 田忌 1 3 5 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． 先列出所有等可能的结果以及所求的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：当田忌的马随机出场时，双方马的对阵情况如下： 齐王的马 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 田忌的马 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上 由上表可知，共有种等可能的结果，其中齐王赢得比赛的结果有种， 齐王赢得比赛的概率为， 故答案为：． 17. 如图，抛物线与轴的其中一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④对于任意实数，总有．其中正确的个数是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线开口方向，与轴交点的位置可得，，由对称轴为直线可得，可判断①；抛物线经过得，则有，可判断②；由对称轴为直线，得到当时，随的增大而增大，可判断③；利用，可得，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：由图象知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，， 对称轴为直线， ，即， ，故①错误； 抛物线经过， 代入得，， 又， ， ，故②正确； 对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，故③错误； ， ， ，， ， ，故④正确； 其中正确的是②④，正确的个数是2． 故答案为：2． 18. 如图，在矩形中，，．将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，边与相交于点，边与的延长线相交于点．在矩形旋转过程中，当落在线段上时，_____；当是线段的三等分点时，_____． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】当落在线段上时，，在中利用勾股定理进行求解即可，当是线段的三等分点时，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵旋转， ∴， 当落在线段上时，如图，则， 在中，， 即：； 当是线段的三等分点时，分两种情况： ①当时，设，则：，， 连接，过点作，则：（平行线间的距离处处相等）， ∴，即：， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； ②当时，设，则：， 同法可得：， 在中，， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴； 综上：或； 故答案为：；或． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，二次根式的运算，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，第20题一第26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 20. 为落实国家“双减”政策，某中学在课后延时服务时间里开展了“剪纸社团、足球社团、文学社团、合唱社团”活动．该校从全校540名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢”一种社团活动（每人必选且只选一种）的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）条形统计图中的值为_____，扇形统计图中的度数为_____； （2）根据调查结果，可估计该校540名学生中最喜欢“合唱社团”的约有_____人； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙三名同学中随机选取两名去参加演讲比赛和诗词大会，每人限参加一项，请用列表或画树状图的方法求出恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的概率． 【答案】（1）15； （2）99 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率等知识点，正确读懂统计图是解题的关键． （1）先求出参加问卷调查的学生人数，即可求出的值；利用剪纸社团所占百分比乘以即可求出的度数； （2）用540乘以样本中最喜欢“合唱社团”的人数占比即可得到答案； （3）用列表或画树状图的方法先得到所有等可能的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：由统计图可得，参加问卷调查的学生人数为（人）， ，扇形统计图中的度数为． 故答案为：15；． 【小问2详解】 解：由题意得，（人）， 估计该校540名学生中最喜欢“合唱社团”的约有99人． 故答案为：99． 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 甲 乙甲 丙甲 乙 甲乙 丙乙 丙 甲丙 乙丙 由列表可得，共有6种等可能的结果，恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的结果有1种， 恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的概率． 答：恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的概率为． 21. 我们规定：对于任意实数a，b，c，d，有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）若关于的方程有两个相同的实数根，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程的根的判别式，正确理解新定义列出对应的算式和方程是解题的关键． （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得方程，整理得，再由方程有两个相等的实数根，利用根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得：． 22. 如图，是的一个内接三角形，点是劣弧上一点（点不与，重合），设，． （1）当时，求的度数； （2）猜想与之间的关系，并给予证明． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，圆内接四边形的性质． （1）在优弧上取一点，连接、，根据三角形的内角和，求出，根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出，再根据圆内接四边形的性质，即可； （2）在优弧上取一点，连接、，根据三角形的内角和，求出，根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出，再根据圆内接四边形的性质，即可． 【小问1详解】 解：在优弧上取一点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，证明如下： 在优弧上取一点，连接、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数表达式的求解以及利用轴对称求最短路径问题．解题的关键是利用待定系数法求二次函数表达式，以及利用轴对称的性质将三角形周长最小问题转化为两点之间线段最短问题． （1）求抛物线表达式：把抛物线与轴交点的坐标代入抛物线，得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，进而得到抛物线表达式． （2）先求出抛物线对称轴，再根据轴对称性质，找到点关于对称轴对称点，连接与对称轴的交点即为点，先求出直线的表达式，再联立对称轴方程求出点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线图像与轴交于两点， ∴将这两点代入抛物线表达式可得： ， 抛物线的表达式为． 【小问2详解】 抛物线， 其对称轴为， 当时，，所以， 设点关于对称轴的对称点为，则， 连接交对称轴于P， ， ， 当A，P，三点共线时，的周长最小， 设直线的表达式为，把代入可得： ， 直线的表达式为． ∴在对称轴上，把代入 得： ∴点的坐标为． 24. 在正方形网格中，的三个顶点都在格点上． （1）在图1中作出绕点逆时针旋转得到的； （2）在图2中作出与关于点对称的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转变换、中心对称，结合题意正确作出图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质作出图形即可； （2）根据中心对称的性质作出图形即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求： 25. 当下年轻人喜欢喝奶茶，在草莓成熟的时节，某品牌奶茶店推出了多款草莓系列的新品．其中“莓莓奶麻薯”大杯款（无小杯和中杯款）最受大众欢迎．已知这种饮品的成本价为10元每杯，试销售期间售价定为14元每杯，日销售量为40杯．经市场调查发现，若该饮品的销售单价每增加1元，则日销售量减少5杯．试销售期结束后，设这种饮品的销售单价为元，每天的销售利润为元． （1）求关于的函数解析式； （2）若奶茶店老板希望每天销售“莓莓奶麻薯”大杯款所得利润为175元，则销售单价应定为多少元？ （3）若规定这种饮品的销售单价不得高于20元每杯，当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）或 （3），元 【解析】 【分析】（1）根据“每日利润每杯利润日销售量”即可列出关于的函数解析式； （2）根据题意和（1）中的函数关系式，令，解方程即可求出相应的销售单价； （3）先将二次函数化成顶点式，根据二次函数的图象与系数的关系可知抛物线开口向下，然后求二次函数的最值即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意可得： 这种饮品的每杯利润为：（元）， 日销售量为：（杯）， 关于的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：令， 解得：，， 答：若奶茶店老板希望每天销售“莓莓奶麻薯”大杯款所得利润为元，则销售单价应定为元或元； 【小问3详解】 解：， ， 抛物线开口向下， 当时，取得最大值，其最大值为， 且，故符合题意， 答：当销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数（销售问题），一元二次方程的应用（营销问题），列代数式，因式分解法解一元二次方程，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出函数解析式是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，对称轴是直线，顶点为． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标； （3）设点是线段上的一动点，过点作，交于点．点从点出以每秒3个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒）．当以为边的是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值． 【答案】（1） （2） （3）t的值为或2或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出，，再根据待定系数法求出直线的表达式为，则可求，进而求出，设，则，，由四边形为平行四边形，，由此建立方程求解即可； （3）分，和讨论，三种情况利用等腰直角三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解∶根据题意，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：， 当时，， ∴顶点， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得（不符题意，舍去），， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设M点的坐标为 如图所示，当时， ∵轴， ∴轴，N点的纵坐标为 ∴Q点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴N点坐标为， ∴，， 又∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴Q点坐标为， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当时， 由①知：N的坐标为，则， ∴，， 同理得， ∴， ∴， ∴Q点坐标为， ∴， ∴， ∴； 当时，过Q作于P， 由①知：N的坐标为， 同理得， ∴，， ∴， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当以为边的是等腰直角三角形时，t的值为或2或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性格知识． 第1页/共1页 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