专题06 实数之单元重难点专项提升（重难点常考题型专练） 2024-2025学年人教版（2024）数学七年级下册

专题06 实数单元重难点专项提升 （重难点常考题型专练） 【知识考点 实数】 【解题知识清单】 1.平方根的定义 如果一个数x的平方等于a,即，那么这个数叫做的平方根或二次方根. 求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0）的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. a叫作被开方数。 正数的平方根有两个，它们互为相反数；其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根是0；负数没有平方根。 2.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 被开方数越大，对应的算术平方根就越大。 3.平方根的性质 4.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 5.立方根的定义 如果一个数x的立方等于，即，那么这个数x叫作的立方根或三次方根. 求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 6.立方根的性质 ； ； . 7.立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 8.有理数与无理数 有限小数或无限循环小数都称为有理数. 无限不循环小数又叫作无理数. （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 9.实数的概念 有理数和无理数统称为实数. （1）实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 （2）实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 10.实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 11.实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【题型梳理】 【题型01】 平方根、算术平方根和立方根概念的理解 【题型02】 利用算术平方根的非负性求值 【题型03】 求一个数的平方根、算术平方根与立方根 【题型04】 平方根、算术平方根与立方根的综合 【题型05】 算术平方根、立方根的移动规律问题 【题型06】 无理数的识别 【题型07】 实数的性质及分类 【题型08】 实数与数轴 【题型09】 利用计算器求算术平方根、立方根 【题型10】 实数的大小比较 【题型11】 无理数的估算 【题型12】 实数的运算 【题型13】 算术平方根和立方根的实际应用 【题型01】 平方根、算术平方根和立方根概念的理解 1.（2023-2024七年级下·福建龙岩·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是的算术平方根 B．是的算术平方根 C．9的平方根是 D．是9的一个平方根 2．（2023-2024七年级下·山东临沂·期末）下列说法中，不正确的是（   ） A．1是的算术平方根 B．是的算术平方根 C．是的平方根 D．是的立方根 3.（2023-2024七年级·安徽宿州·期中）下列说法正确的是（   ） A．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数一定为零 B．任何数的立方根都只有一个 C．负数没有立方根 D．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根 4．（2023-2024七年级·浙江湖州·期末）下列说法正确的是（   ）． A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．负数没有立方根 D．是2的算术平方根 5.（2023-2024七年级·安徽合肥·期末）下列语句正确的是（   ） A．的立方根是 B．是的负的立方根 C．的立方根是 D．的立方根是 【题型02】 利用算术平方根的非负性求值 6．（2023-2024七年级下·新疆喀什·期末）若实数，满足，则的值 是 ． 7.（2023-2024八年级上·湖南衡阳·期末）若，则的平方根为 ． 8．（2023-2024七年级下·湖北黄石·期末）已知，为实数，且，则的绝对值为 ． 9．（2023-2024八年级上·四川成都·期末）若，则的算术平方根是 ． 10．（2023-2024七年级下·广东肇庆·期末）如果和互为相反数，那么的平 方根是 ． 【题型03】 求一个数的平方根、算术平方根与立方根 11.（2023-2024七年级·四川达州·期中）下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，其中表示一个数的算术平方根的是（   ） A．①②③ B．④⑤⑥ C．③④ D．②⑤ 12．（2022-2023七年级下·重庆江津·期末）的平方根是 ，的立方根是 ． 13．（2023-2024七年级下·福建厦门·期末）计算：（1） ；（2） （3） ；（4） ． 14.（2023-2024七年级·四川成都·期中）已知，的平方根是，则的平方根为 ． 15．（2023-2024七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【题型04】 平方根、算术平方根与立方根的综合 16．（2023-2024七年级下·安徽安庆·期末）的立方根与16的算术平方根的和是（   ） A． B．2或 C．2 D． 17．（2023-2024七年级·湖南张家界·期末）计算：= 18．（2023-2024七年级下·湖北黄冈·期末）已知x是的立方根，y的算术平方根是，求的平方根． 19．（2023-2024七年级下·河南安阳·期末）对于结论：当时，也成立．若将看成的立方根，看成是的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”． (1)试举一个例子来判断上述结论是否成立； (2)若与的值互为相反数，求的值． 20．（2023-2024七年级下·山东菏泽·期末）已知，的算术平方根是6，求的值． 【题型05】 算术平方根、立方根的移动规律问题 21.（2023-2024七年级下·广东珠海·期中）利用计算器计算出的下表各数的算术平方根如下，则a的值是（   ） …… 25 a …… A． B． C． D． 22.（2023-2024七年级·广东河源·期中）已知，那么下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 23.（2023-2024七年级·甘肃定西·期中）已知，，则 ． 24．（2022-2023七年级下·吉林长春·期末）观察表格回答下列问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … x 1 y 100 … (1)表格中 ， ． (2)从表格中探究a与数位之间的变化规律，并利用规律解决下面问题： ①已知，则 ． ②已知，若，则a＝ ． 25.（2023-2024七年级·浙江湖州·期末）（1）观察发现： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 【题型06】 无理数的识别 26.（2023-2024七年级下·安徽亳州·期末）下列说法，正确的是（   ） A．无限小数都是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．无理数是带根号的数 D．分数是无理数 27.（2023-2024七年级·山东青岛·期中）下列各数是无理数的是（   ） A． B． C． D．5 28.（2023-2024八年级上·湖北·期末）下列各组数中都是无理数的为（   ） A． B． C． D． 29．（2022-2023七年级下·四川凉山·期末）下列实数，，，，，（相邻两个4之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30.（2023-2024七年级·浙江宁波·期中）写出两个无理数，使它们的和为4是 ． 【题型07】 实数的性质及分类 31.（2023-2024七年级下·福建福州·期末）已知均属于同一类数，不一定属于该类数，则这类数可以是（ ） A．正有理数 B．负实数 C．整数 D．无理数 32.（2023-2024七年级下·辽宁朝阳·期末）的倒数是 ，3﹣的绝对值是 ． 33.（2023-2024七年级下·山西大同·期末）已知，y是4的平方根，且则的值为 . 34.（2023-2024七年级·江苏扬州·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里。 ①，②4，③，④，⑤，⑥，⑦（每两个5之间依次增加1个3），⑧0 整数集合{ }； 无理数集合：{ }； 正有理数集合：{ }； 分数集合：{ }． 35．（2023-2024七年级·浙江杭州·期中）解答下列问题： (1)已知a，b互为倒数，c是最小的正整数，d是绝对值最小的数，，求的值； (2)已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 【题型08】 实数与数轴 36.（2023-2024七年级下·辽宁大连·期中）数轴上点所表示的实数是（   ） A． B． C． D． 37.（2023-2024七年级下·湖北荆州·期末）如图，一条长度为的线段绕着O点旋转一周，当与数轴重合时，A点表示的数为（ ） A． B． C． D． 38．（2023-2024七年级·浙江衢州·期末）如图，在方格中，每个小方格的边长为1，格点在数轴上，表示的数为1，以为圆心，长为半径画半圆，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 39.（2023-2024八年级上·重庆沙坪坝·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示， 化简： ． 40．（2023-2024七年级下·云南昆明·期末）如图，半径为1个单位长度的圆沿数轴从实数对应的点向右滚动一周，圆上的A点恰好与点B重合，则点B对应的实数是 ． 【题型09】 利用计算器求算术平方根、立方根 41.（2023-2024七年级·辽宁沈阳·期中）小明利用计算器得到下表中的数据： 8 8.5 9 9.5 10 64 72.25 81 90.25 100 512 614.125 729 857.375 1000 那么在（   ） A．9～9.5之间 B．9.5～10之间 C．90～95之间 D．95～100之间 42.（2023-2024七年级·山东烟台·期末）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为： 则输出结果为（   ） A．8 B．4 C． D． 43.（2023-2024七年级下·河南许昌·期中）若利用计算器求得，，则根据此值估计6619的算术平方根是 44.（2023-2024七年级下·江苏南通·期末）甲同学利用计算器探索一个数x的平方，并将数据记录如下： x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 256.00 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 根据表中数据写出262.44的算术平方根 ． 45.（2023-2024七年级下·湖北武汉·期中）某计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是 ． 【题型10】 实数的大小比较 46.（2023-2024七年级下·陕西西安·期末）在实数，0，，中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 47.（2023-2024七年级下·福建南平·期末）在四个实数1，，0，2中，最大的实数是（   ） A． 1 B． C．0 D． 2 48.（2023-2024七年级·云南·期末）比较，和64的立方根的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 49．（2023-2024七年级·四川成都·期末）比较大小：4 （填“＞”，“＜”或“＝”）． 50.（2023-2024七年级下·上海嘉定·期末）比较大小： ．（填“＜”，“＞”或“＝”） 【题型11】 无理数的估算 51．（2023-2024七年级下·天津西青·期末）估计的值在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 52.（2023-2024七年级·浙江·期中）根据下列表格，估计的大小（   ） x 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 2.5921 2.6244 2.6569 2.6896 2.7225 A． 在1.61~1.62之间 B．在1.62~1.63之间 C．在1.63~1.64之间 D．在1.64~1.65之间 53.（2023-2024八年级上·河北邯郸·期末）的整数部分是 ；的小数部分是 ． 54．（2022-2023七年级·山东威海·期末）已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则 ． 55．（2023-2024七年级下·重庆梁平·期末）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分； (1)直接写出的值； (2)若是的小数部分，求的算术平方根． 【题型12】 实数的运算 56.（2023-2024七年级下·江苏扬州·期末）关于式子的变形，下列结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 57.（2023-2024七年级下·河北承德·期末）下列算式的计算结果不为0的是（ ） A． B． C． D． 58.（2023-2024七年级·河北石家庄·期中）若实数的立方根与的立方根互为相反数，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 59.（2023-2024七年级下·辽宁抚顺·期末）计算： (1)； (2)． 60.（2023-2024七年级下·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示． (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 【题型13】 算术平方根和立方根的实际应用 61．（2023-2024七年级下·河南许昌·期末）地理兴趣小组的同学们准备动手制作地球仪，根据球体体积公式（R为球体半径），经计算可知，若地球仪体积为，则半径为（cm），若地球仪体积为，则半径为（cm）．已知同学们准备制作的地球仪的体积为，则半径约为（   ） A．2.154cm B．21.54cm C．4.642cm D．46.42cm 62.（2023-2024七年级·北京海淀·期中）某区环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为 分米． 63.（2023-2024七年级下·上海浦东新·期中）已知一个正方体的棱长是，要再做一个正方体，使它的体积是原正方体的体积的倍，求新做的正方体的棱长． 64．（2023-2024七年级·浙江温州·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了图1样式的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． （1） A类正方形的边长是________； （2）求长方形邀请函的周长； （3）小李建议将图1正中间的正方形去掉，以中间的“工”形代表“工作之星”的含意，如图2所示，则修改后的阴影部分的周长是________． 65．（2022-2023七年级下·福建福州·期中）单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5 （1）仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； （2）继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； （3）综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 实数单元重难点专项提升 （重难点常考题型专练） 【知识考点 实数】 【解题知识清单】 1.平方根的定义 如果一个数x的平方等于a,即，那么这个数叫做的平方根或二次方根. 求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0）的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. a叫作被开方数。 正数的平方根有两个，它们互为相反数；其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根是0；负数没有平方根。 2.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 被开方数越大，对应的算术平方根就越大。 3.平方根的性质 4.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 5.立方根的定义 如果一个数x的立方等于，即，那么这个数x叫作的立方根或三次方根. 求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 6.立方根的性质 ； ； . 7.立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 8.有理数与无理数 有限小数或无限循环小数都称为有理数. 无限不循环小数又叫作无理数. （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 9.实数的概念 有理数和无理数统称为实数. （1）实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 （2）实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 10.实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 11.实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【题型梳理】 【题型01】 平方根、算术平方根和立方根概念的理解 【题型02】 利用算术平方根的非负性求值 【题型03】 求一个数的平方根、算术平方根与立方根 【题型04】 平方根、算术平方根与立方根的综合 【题型05】 算术平方根、立方根的移动规律问题 【题型06】 无理数的识别 【题型07】 实数的性质及分类 【题型08】 实数与数轴 【题型09】 利用计算器求算术平方根、立方根 【题型10】 实数的大小比较 【题型11】 无理数的估算 【题型12】 实数的运算 【题型13】 算术平方根和立方根的实际应用 【题型01】 平方根、算术平方根和立方根概念的理解 1.（2023-2024七年级下·福建龙岩·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是的算术平方根 B．是的算术平方根 C．9的平方根是 D．是9的一个平方根 【答案】D 【分析】根据平方根、算术平方根的定义解答即可． 【解答】解：A、3是（-3）2的算术平方根，故此选项不符合题意； B、3是（-3）2的算术平方根，故此选项不符合题意； C、9的平方根是±3，故此选项不符合题意； D、-3是9的一个平方根，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查平方根，算术平方根的概念，掌握相关定义，注意符号是解题关键． 2．（2023-2024七年级下·山东临沂·期末）下列说法中，不正确的是（   ） A．1是的算术平方根 B．是的算术平方根 C．是的平方根 D．是的立方根 【答案】B 【分析】利用平方根、算术平方根、立方根的求法逐项进行判断即可． 【解答】解：A．1是的算术平方根，因此选项A不符合题意； B．1是的算术平方根，因此选项B符合题意； C．是的平方根，因此选项C不符合题意； D．是的立方根，因此选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 3.（2023-2024七年级·安徽宿州·期中）下列说法正确的是（   ） A．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数一定为零 B．任何数的立方根都只有一个 C．负数没有立方根 D．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根 【答案】B 【分析】若，则叫做的立方根，；一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是；据此进行逐一判断即可求解． 【解答】解：A.一个数的立方根等于它本身的数是或，结论错误，不符合题意； B.任何数的立方根都只有一个，结论正确，符合题意； C.负数有立方根，结论错误，不符合题意； D.负数有立方根，但没有平方根，结论错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了立方根定义，理解定义是解题的关键． 4．（2023-2024七年级·浙江湖州·期末）下列说法正确的是（   ）． A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．负数没有立方根 D．是2的算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，以及立方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据平方根，算术平方根，以及立方根的定义逐项分析即可． 【解答】解：A．的平方根是，故不正确； B．的算术平方根是，故不正确； C．负数有一个负的立方根，故不正确； D．是2的算术平方根，正确； 故选D． 5.（2023-2024七年级·安徽合肥·期末）下列语句正确的是（   ） A．的立方根是 B．是的负的立方根 C．的立方根是 D．的立方根是 【答案】D 【分析】根据正数的立方根是正数、负数的立方根是负数和立方根的概念解答即可． 【解答】解：A、，1的立方根是1，故本选项错误，不合题意； B、是的立方根，一个数的立方根只有一个，故本选项错误，不合题意； C、的立方根是，故本选项错误，不合题意； D、，8的立方根是2，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了立方根的概念，掌握如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（），那么这个数x就叫做a的立方根是解题的关键． 【题型02】 利用算术平方根的非负性求值 6．（2023-2024七年级下·新疆喀什·期末）若实数，满足，则的值 是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，根据非负数的性质可得，，据此代值计算即可． 【解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7.（2023-2024八年级上·湖南衡阳·期末）若，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质，算术平方根具有非负性，以及任意一个数的绝对值都是非负数，解答此题的关键是求出的大小．首先根据算术平方根具有非负性，以及任意一个数的绝对值都是非负数，求出的大小即可求解， 【解答】解：因为， 所以， 解得， 所以， ， 所以的平方根为：． 故答案为∶ ． 8．（2023-2024七年级下·湖北黄石·期末）已知，为实数，且，则的绝对值为 ． 【答案】/ 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性求得a、b值即可求解． 【解答】解： ， ，， ，， ， ， 故答案为． 【点评】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0是解题的关键． 9．（2023-2024八年级上·四川成都·期末）若，则的算术平方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是非负数的性质，算术平方根，熟知几个非负数的和为0时，每一项都等于0是解题的关键．先根据非负数的性质求出，的值，再代入根据算术平方根求解． 【解答】解：， ，， ，， ， 的算术平方根是2． 故答案为：2． 10．（2023-2024七年级下·广东肇庆·期末）如果和互为相反数，那么的平 方根是 ． 【答案】； 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解即可得到答案； 【解答】解：∵，，且和互为相反数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是：， 故答案为：． 【题型03】 求一个数的平方根、算术平方根与立方根 11.（2023-2024七年级·四川达州·期中）下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，其中表示一个数的算术平方根的是（   ） A．①②③ B．④⑤⑥ C．③④ D．②⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义；根据平方根和算术平方根的概念逐项判断即可． 【解答】解：①，表示16的平方根是，不符合题意； ②，表示的算术平方根的相反数，不符合题意； ③，表示25的算术平方根是5，符合题意； ④，表示36的算术平方根是6，符合题意； ⑤，结果应该是，不符合题意； ⑥，表示是16的一个平方根，不符合题意； 综上，其中表示一个数的算术平方根的是③④， 故选：C． 12．（2022-2023七年级下·重庆江津·期末）的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的概念，熟练掌握相关定义是解题的关键．本题根据立方根和平方根的定义可知，的平方根是，的立方根是，由此就求出． 【解答】解：，的平方根是； 的立方根是； 故答案为：； 13．（2023-2024七年级下·福建厦门·期末）计算：（1） ；（2） （3） ；（4） ． 【答案】 3 2 / 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，平方根，绝对值化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据运算法则逐题计算即可． 【解答】解：（1） （2） （3） （4） 故答案为：（1）3；（2）2；（3）；（4）． 14.（2023-2024七年级·四川成都·期中）已知，的平方根是，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，解题的关键是根据题意得出，． 【解答】解：由题意可得，， 解得：，， 则， 那么的平方根为， 故答案为：． 15．（2023-2024七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，算术平方根及其非负性，代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题关键． （1）根据平方根、立方根，以及算术平方根的非负性求解即可； （2）根据（1）所得结果，求出，进而得出算术平方根即可． 【解答】（1）解：的平方根是，的立方根是2，， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知，，，， ， 的算术平方根是5． 【题型04】 平方根、算术平方根与立方根的综合 16．（2023-2024七年级下·安徽安庆·期末）的立方根与16的算术平方根的和是（   ） A． B．2或 C．2 D． 【答案】C 【分析】分别求出的立方根与16的算术平方根，再把它们相加即可． 【解答】解：∵的立方根为，16的算术平方根为4， ∴的立方根与16的算术平方根的和为：， 故选：C． 【点评】此题考查立方根和算术平方根，解题的关键是准确的求出其立方根和算术平方根再求其和． 17．（2023-2024七年级·湖南张家界·期末）计算：= 【答案】2 【分析】根据立方根和算术平方根的定义求解即可． 【解答】 故答案为：2． 【点评】本题考查立方根和算术平方根的求解，掌握计算方法是解题的关键． 18．（2023-2024七年级下·湖北黄冈·期末）已知x是的立方根，y的算术平方根是，求的平方根． 【答案】的平方根为 【分析】先分别根据立方根和算术平方根的意义求出x和y的值，再根据平方根的意义进行求解即可． 【解答】∵x是的立方根， ∴． ∵y的算术平方根是， ∴． ∴． ∴的平方根为． 【点评】本题考查了据立方根，平方根，算术平方根的意义，熟练掌握知识点是解题的根据． 19．（2023-2024七年级下·河南安阳·期末）对于结论：当时，也成立．若将看成的立方根，看成是的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”． (1)试举一个例子来判断上述结论是否成立； (2)若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)答案不唯一，如，则8与互为相反数 (2)5 【分析】（1）这个结论很简单，可任意选择一对相反数即可说明． （2）利用（1）的结论，列出方程，从而解出的值，代入可得出答案． 【解答】（1）如，则8与互为相反数（答案不唯一）． （2）由已知，得， 解得， ∴． 【点评】本题考查立方根的知识，难度一般，注意一个数的立方根有一个，它和这个数正负一致，本题的结论同学们可以记住，以后可直接运用． 20．（2023-2024七年级下·山东菏泽·期末）已知，的算术平方根是6，求的值． 【答案】5 【分析】利用立方根的定义求得的值，然后利用算术平方根的定义求得y值，将其代入中计算即可． 【解答】解：由题意得：， ∴， ∴， 由，得， ∴， ∴． 【点评】本题考查实数的运算，算术平方根及立方根的定义，熟练掌握并运用相关运算法则是解题的关键． 【题型05】 算术平方根、立方根的移动规律问题 21.（2023-2024七年级下·广东珠海·期中）利用计算器计算出的下表各数的算术平方根如下，则a的值是（   ） …… 25 a …… A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，即可求解． 【解答】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位， ∵， ∴． 故选：A 【点评】本题考查了算术平方根和被开方数间关系，根据表格得到规律是解决本题的关键． 22.（2023-2024七年级·广东河源·期中）已知，那么下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据小数点的运动规律，被开方数的小数点每向左或右移动两位，算术平方根的小数点就相应的向左或右移动一位． 【解答】解：被开方数的小数点每向左或右移动两位，算术平方根的小数点就相应的向左或右移动一位， ∴A、B错误； ，D错误； 故选：C． 【点评】本题考查了算术平方根以及小数点的移动规律，理解被开方数的小数点每向左或右移动两位，算术平方根的小数点就相应的向左或右移动一位是关键． 23.（2023-2024七年级·甘肃定西·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据被开方数的小数点每向右移动3位，开立方的结果的小数点就向右移动1位进行求解即可． 【解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 24．（2022-2023七年级下·吉林长春·期末）观察表格回答下列问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … x 1 y 100 … (1)表格中 ， ． (2)从表格中探究a与数位之间的变化规律，并利用规律解决下面问题： ①已知，则 ． ②已知，若，则a＝ ． 【答案】(1)；10 (2)①；②25600 【分析】（1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【解答】（1）解：∵， ∴，． 故答案为：；10． （2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 已知，则， 故答案为：； ②由①可得被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 已知，则， ∵， ∴． 故答案为：25600． 【点评】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． 25.（2023-2024七年级·浙江湖州·期末）（1）观察发现： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 【答案】（1）0.1，10；（2）右，1；（3）22.4，50 【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题： （1）直接计算即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【解答】解：（1），， 故答案为：，10； （2）被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右，1； （3）①已知，则， ②已知，，则， 故答案为：22.4，50． 【题型06】 无理数的识别 26.（2023-2024七年级下·安徽亳州·期末）下列说法，正确的是（   ） A．无限小数都是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．无理数是带根号的数 D．分数是无理数 【答案】B 【分析】根据无理数的定义逐项判断即可解答：无限不循环的小数，进行求解即可． 【解答】解：A、无限不循环小数是无理数，此选项错误； B、无限不循环小数是无理数，此选项正确； C、无理数不一定是带根号的数，此选项错误； D、分数不一定是无理数，此选项错误． 故选B． 【点评】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数是无限不循环的小数成为解题的关键． 27.（2023-2024七年级·山东青岛·期中）下列各数是无理数的是（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的判断，根据定义逐项判断即可． 【解答】，，5都是有理数，是无理数． 故选：B． 28.（2023-2024八年级上·湖北·期末）下列各组数中都是无理数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数判断即可． 【解答】解：A、中的0.07，不是无理数，故本选项错误； B、中的不是无理数，故本选项错误； C、中的都是无理数，故本选项正确； D，中的不是无理数，故本选项错误． 故选：C． 29．（2022-2023七年级下·四川凉山·期末）下列实数，，，，，（相邻两个4之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：， ∴无理数有：，，（相邻两个4之间0的个数逐次加1），共3个， 故选：C． 30.（2023-2024七年级·浙江宁波·期中）写出两个无理数，使它们的和为4是 ． 【答案】和（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数，实数的运算．熟练掌握运算法则是解题的关键． 写出两个带有理数的无理数，使无理数部分互为相反数即可． 【解答】解：由题意知， ∴两个无理数为，， 故答案为：和（答案不唯一）． 【题型07】 实数的性质及分类 31.（2023-2024七年级下·福建福州·期末）已知均属于同一类数，不一定属于该类数，则这类数可以是（ ） A．正有理数 B．负实数 C．整数 D．无理数 【答案】D 【分析】依据题意，结合实数的性质逐项分析即可． 【解答】解：依题意可得： 两个正有理数的和为正有理数；两个负实数的和为负实数；两个整数的和为整数；但是，两个无理数的和不一定是无理数，如与的和是0，和是有理数， ∴选项都正确，不符合题意，只有选项符合题意， 故选： 【点评】本题考查了实数的性质，解题时要熟练掌握并理解． 32.（2023-2024七年级下·辽宁朝阳·期末）的倒数是 ，3﹣的绝对值是 ． 【答案】 ﹣ ﹣3 【分析】（1）先化简再根据互为倒数的两个数积为1的概念进行求值即可. （2）根据若一个数小于0，那么它的绝对值为它的相反数，求出- 2的相反数即可. 【解答】解：（1）化简，又， 故答案为：. （2）- 2＜0，则它的绝对值即为它的的相反数 = ， 故答案为： 故答案为， 【点评】本题考查立方根，互为倒数和绝对值的概念，务必清楚的是互为倒数的的两个数积1，负数的绝对值等于它的相反数，掌握倒数和求绝对值的相关概念是解题的关键. 33.（2023-2024七年级下·山西大同·期末）已知，y是4的平方根，且则的值为 . 【答案】或 【分析】根据绝对值的性质，可得x的值，根据开平方，可得y的值，再根据绝对值的性质，可得答案． 【解答】由，y是4的平方根，得或，或， 因为， 所以， 所以，或． 当时，； 当时，， 综上，的值为或. 故答案为或. 【点评】此题考查平方根，实数的性质，解题关键在于得出x的值. 34.（2023-2024七年级·江苏扬州·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里。 ①，②4，③，④，⑤，⑥，⑦（每两个5之间依次增加1个3），⑧0 整数集合{ }； 无理数集合：{ }； 正有理数集合：{ }； 分数集合：{ }． 【答案】，，， 【分析】考查了实数的概念及分类，根据实数的概念进行分类，需要注意，分数包括小数，无理数包括无限不循环小数和开方开不尽的数，即可得出答案． 【解答】解： 整数集合：； 无理数集合：； 正有理数集合：； 分数集合：． 故答案为：，，，． 35．（2023-2024七年级·浙江杭州·期中）解答下列问题： (1)已知a，b互为倒数，c是最小的正整数，d是绝对值最小的数，，求的值； (2)已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根 【分析】（1）根据a，b互为倒数，c是最小的正整数，d是绝对值最小的数，，即可求出、c、d、x的值，然后代入要求的式子计算即可； （2）根据9的平方根是±3得出，即可求出a的值，根据16的算术平方根是4得出，即可求出b的值，然后根据平方根的定义求出ab＋5的平方根即可． 【解答】（1）∵a，b互为倒数， ∴， ∵c是最小的正整数， ∴， ∵d是绝对值最小的数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的算术平方根是4， ∴， ∴， ∴， ∵25的平方根是， ∴的平方根． 【点评】本题考查了实数的性质，平方根，算术平方根，倒数，绝对值，代数式求值等知识，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【题型08】 实数与数轴 36.（2023-2024七年级下·辽宁大连·期中）数轴上点所表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得选项平方根的近似值，观察数轴上点的位置，对比各选项的数值，即可求得答案． 【解答】， ，． 观察数轴上点的位置，对比各选项的数值，可知点表示实数． 故选：C． 【点评】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，熟知无理数的估算方法是解题的关键． 37.（2023-2024七年级下·湖北荆州·期末）如图，一条长度为的线段绕着O点旋转一周，当与数轴重合时，A点表示的数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点A到原点的距离，确认A的符号，就是点表示的数． 【解答】解：∵O点为，点A在原点的右侧， ∴当OA与数轴重合时，点A到原点的距离是， ∴点A表示的数是． 故选：D． 【点评】本题考查的是数轴上的点，解题的关键是算出点到原点的距离，加上性质符号就是表示的实数． 38．（2023-2024七年级·浙江衢州·期末）如图，在方格中，每个小方格的边长为1，格点在数轴上，表示的数为1，以为圆心，长为半径画半圆，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了算术平方根，以及数轴与实数，关键是求出的长．根据方格的面积为4，4个直角三角形的面积和为2，即可得到以为边的正方形的面积，利用算术平跟即可求出的长，即可得到的长，根据数轴上两点间的距离即可求出点表示的数． 【解答】解：由题意得每个小方格的边长为1，则方格的面积为4， 则以为边的正方形的面积为：， ， 格点在数轴上表示的数为1， 点表示的数是， 故选：D． 39.（2023-2024八年级上·重庆沙坪坝·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示， 化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，先根据数轴推出，据此化简绝对值，求算术平方根和立方根即可得到答案． 【解答】解：观察数轴可知， ∴， ∴ ， 故答案为：． 40．（2023-2024七年级下·云南昆明·期末）如图，半径为1个单位长度的圆沿数轴从实数对应的点向右滚动一周，圆上的A点恰好与点B重合，则点B对应的实数是 ． 【答案】/ 【分析】圆滚动一周经过的距离为圆的周长，再根据点B对应的实数是在圆滚动前A点对应的实数加上圆的周长求解即可． 【解答】解：圆的周长， ∴点B对应的实数是． 故答案为：． 【点评】本题考查实数与数轴，理解圆滚动一周经过的距离为圆的周长和数轴上的点与实数的一一对应关系是解题关键． 【题型09】 利用计算器求算术平方根、立方根 41.（2023-2024七年级·辽宁沈阳·期中）小明利用计算器得到下表中的数据： 8 8.5 9 9.5 10 64 72.25 81 90.25 100 512 614.125 729 857.375 1000 那么在（   ） A．9～9.5之间 B．9.5～10之间 C．90～95之间 D．95～100之间 【答案】B 【分析】根据表中的数据可知，即，由此可得的取值范围． 【解答】解：∵，，且， ∴， 故在9.5～10之间， 故选：B． 【点评】本题考查立方根，平方根，能够正确理解立方根的定义是正确解答的前提． 42.（2023-2024七年级·山东烟台·期末）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为： 则输出结果为（   ） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根的第二功能是立方根，列式计算即可． 【解答】解：由题意可得：， 故选D． 【点评】本题考查了计算器，掌握算术平方根的第二功能是立方根是解题的关键． 43.（2023-2024七年级下·河南许昌·期中）若利用计算器求得，，则根据此值估计6619的算术平方根是 【答案】81.36 【分析】根据题意，由，即可求出答案． 【解答】解：根据题意， ∵， ∴； 故答案为：； 【点评】本题考查了算术平方根的运算，以及计算器求算术平方根，解题的关键是掌握运算法则进行解题． 44.（2023-2024七年级下·江苏南通·期末）甲同学利用计算器探索一个数x的平方，并将数据记录如下： x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 256.00 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 根据表中数据写出262.44的算术平方根 ． 【答案】16.2 【分析】根据算术平方根的定义即可得出答案． 【解答】解：∵16.22=262.44， ∴=16.2． 故答案为：16.2． 【点评】本题考查了算术平方根，掌握一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为是解题的关键． 45.（2023-2024七年级下·湖北武汉·期中）某计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是 ． 【答案】 【分析】根据题意分别计算出第1、2、3、4、5、6步显示结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解可得． 【解答】解：由题意知第1步结果为x2， 第2步结果为， 第3步结果为=， 第4步结果为， 第5步结果为x2， 第6步计算结果为x， 第7步计算结果为x2， …… ∴运算的结果以x2，，，，x2，x六个数为周期循环， ∵2021÷6=336……5， ∴第2021步之后显示的结果为4，即x2=4， ∴输入的数x是±2， 故答案为：±2． 【点评】本题考查了计算器，通过列举发现：答案按照x2，，，，x2，x六个数循环，这是解题的关键． 【题型10】 实数的大小比较 46.（2023-2024七年级下·陕西西安·期末）在实数，0，，中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小；据此进行比较即可求解． 【解答】解：， ， ， 最小的数是； 故选：A． 【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握比较方法是解题的关键． 47.（2023-2024七年级下·福建南平·期末）在四个实数1，，0，2中，最大的实数是（   ） A． 1 B． C．0 D． 2 【答案】D 【分析】根据实数比较大小的方法进行求解即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴在四个实数1，，0，2中，最大的实数是2， 故选D． 【点评】本题考查了对实数的大小比较法则的应用，能熟记法则内容是解题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 48.（2023-2024七年级·云南·期末）比较，和64的立方根的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据算术平方根的定义，立方根的定义，得，，再直接分别将与5和4比较大小，进而得出答案． 【解答】解：，， ， 故． 故选：D． 【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，立方根的定义，实数比较大小，正确化简各数是解题关键． 49．（2023-2024七年级·四川成都·期末）比较大小：4 （填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，比较容易，由可得，从而即可得解． 【解答】解：∵, ∴， 故答案为：． 50.（2023-2024七年级下·上海嘉定·期末）比较大小： ．（填“＜”，“＞”或“＝”） 【答案】 【分析】两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可得出答案． 【解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查实数的大小比较，熟练掌握比较实数大小的方法是解题的关键． 【题型11】 无理数的估算 51．（2023-2024七年级下·天津西青·期末）估计的值在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】D 【分析】根据“”即可求解． 【解答】解：∵ ∴ 故选：D 【点评】本题考查算术平方根的估值．找到与被开方数相邻的完全平方数是解题关键． 52.（2023-2024七年级·浙江·期中）根据下列表格，估计的大小（   ） x 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 2.5921 2.6244 2.6569 2.6896 2.7225 A． 在1.61~1.62之间 B．在1.62~1.63之间 C．在1.63~1.64之间 D．在1.64~1.65之间 【答案】B 【分析】确定的范围即可求解． 【解答】解：∵ ∴ 由表格数据可知：在之间 故选：B 【点评】本题考查算术平方根的估值．确定被开方数的范围是解题关键． 53.（2023-2024八年级上·河北邯郸·期末）的整数部分是 ；的小数部分是 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握算术平方根的求法及不等式的性质是解决本题的关键．先利用算术平方根确定的范围，再确定的小数部分． 【解答】解：∵， ∴． ∴的整数部分是4． ∵， ∴． ∴，即． ∴的小数部分是． 故答案为：4，． 54．（2022-2023七年级·山东威海·期末）已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小方法是解本题的关键．一个数是由整数部分＋小数部分构成的．通过估算的整数部分是3，那么它的小数部分就是，再代入式子求值． 【解答】解：∵是的整数部分，是它的小数部分， ∴ ∴． 故答案为：； 55．（2023-2024七年级下·重庆梁平·期末）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分； (1)直接写出的值； (2)若是的小数部分，求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据平方根的意义，立方根的意义，无理数的估算计算． (2)根据无理数的估算，确定整数部分和小数部分，后计算． 【解答】（1）解：的平方根是， ， 解得， 又的立方根是， ； 又是的整数部分， 而， ； ． （2）∵，x是的小数部分， ， ， 的算术平方根为． 【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的小数部分，平方根，立方根，算术平方根的计算，熟练掌握估算思想，会求一个数的算术平方根是解题的关键． 【题型12】 实数的运算 56.（2023-2024七年级下·江苏扬州·期末）关于式子的变形，下列结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数的加减运算法则计算即可求解． 【解答】解：， 观察四个选项，只有选项A不正确． 故选：A． 【点评】本题考查了实数的加减运算，掌握实数的加减运算法则是解题的关键． 57.（2023-2024七年级下·河北承德·期末）下列算式的计算结果不为0的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实数的运算，立方根，求出各选项的值，即可得出答案． 【解答】解：A. ，结果为0，故不符合题意； B. ，结果不为0，故符合题意； C. ，结果为0，故不符合题意； D. ，结果为0，故不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查实数的运算，立方根，正确计算是解题的关键． 58.（2023-2024七年级·河北石家庄·期中）若实数的立方根与的立方根互为相反数，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，相反数，立方根，根据题意列出，移项，再两边同时进行3次方，即可判断． 【解答】解：， ， ， ， ， 故选：C． 59.（2023-2024七年级下·辽宁抚顺·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）先进行有理数乘方、绝对值、立方根、算术平方根计算，然后加减运算即可； （2）先算术平方根、绝对值、立方根运算，再加减运算即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 【点评】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关知识的运算法则和运算顺序，正确求解是解答的关键． 60.（2023-2024七年级下·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示． (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 【答案】(1) (2)1或2或3，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【解答】（1）解：当时，， 4的算术平方根为， 而2是有理数，2的算术平方根为， 故答案为：； （2）解：1或2或3，理由如下： ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1， ∴当或0时， 解得或2或3， ∴当或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）解：若1次运算就是， ∴ ∴ ∴解得或， ∴x为负整数， 则输入的数为； 若2次运算输出的数是， ∴ ∴ ∴解得或 ∵ ∴不符合题意， 综上所述，． 【点评】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键． 【题型13】 算术平方根和立方根的实际应用 61．（2023-2024七年级下·河南许昌·期末）地理兴趣小组的同学们准备动手制作地球仪，根据球体体积公式（R为球体半径），经计算可知，若地球仪体积为，则半径为（cm），若地球仪体积为，则半径为（cm）．已知同学们准备制作的地球仪的体积为，则半径约为（   ） A．2.154cm B．21.54cm C．4.642cm D．46.42cm 【答案】B 【分析】根据题目中所给的体积公式，代入计算即可求解． 【解答】根据题意得：球体体积公式为， ∴地球仪的体积为，半径为， 故选：B． 【点评】本题考查立方根的知识，解题的关键是能够正确计算． 62.（2023-2024七年级·北京海淀·期中）某区环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为 分米． 【答案】 【分析】根据题意列出算式进行计算，最后将结果用科学记数法表示即可． 【解答】解：正方体贮水池的棱长为： （分米）． 故答案为：． 【点评】本题考查用科学记数法表示较大的数，求一个数的立方根，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 63.（2023-2024七年级下·上海浦东新·期中）已知一个正方体的棱长是，要再做一个正方体，使它的体积是原正方体的体积的倍，求新做的正方体的棱长． 【答案】新正方体的棱长为 【分析】根据正方体体积的计算方法，求一个数的立方根的方法即可求解． 【解答】解：正方体的棱长是， ∴该正方体的体积为， ∵新做的正方体的体积是原正方体的体积的倍， ∴新正方体的体积为， ∴设新正方体的棱长为， ∴， ∴，即， ∴新正方体的棱长为． 【点评】本题主要考查求一个数的立方根，掌握正方体的体积的计算方法，求一个数的立方根的运算方法是解题的关键． 64．（2023-2024七年级·浙江温州·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了图1样式的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． （1） A类正方形的边长是________； （2）求长方形邀请函的周长； （3）小李建议将图1正中间的正方形去掉，以中间的“工”形代表“工作之星”的含意，如图2所示，则修改后的阴影部分的周长是________． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是，则长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解即可； （3）如图，由题意知，阴影部分由两个类长方形，两个类长方形，一个类正方形组成，则类长方形的长为，宽为2，周长为；类长方形的长为2，宽为，周长为；根据阴影部分的周长为，计算求解即可． 【解答】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴长方形的长为，宽为， ∵， ∴长方形邀请函的周长为； （3）解：如图，由题意知，阴影部分由两个类长方形，两个类长方形，一个类正方形组成，    类长方形的长为，宽为2，周长为； 类长方形的长为2，宽为，周长为； ∴阴影部分的周长为， 故答案为：． 65．（2022-2023七年级下·福建福州·期中）单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5 （1）仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； （2）继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； （3）综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值． 【答案】（1）2.65； （2）2.646； （3）． 【分析】（1）设＝2.6＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案； （2）设＝2.64＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案； （3）设，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案． 【解答】（1）解：∵， ∴＞2.6，设＝2.6＋r， 如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵r2较小故略去，得5.2r＋6.76≈7， ∴r≈0.05，即≈2.65； （2）∵， ∴＞2.64，设＝2.64＋r， 如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵r2较小故略去，得5.28r＋6.970≈7， ∴r≈0.006，即≈2.646； （3）∵n＜＜n＋1，且b＝n2＋m ∴设， 如下图所示，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵r2较小故略去，得， ∴， ∵b＝n2＋m， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$