第17章 函数及其图象拓展之几何篇（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

第17章 函数及其图象拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、一次函数与反比例函数中的将军饮马 【解惑】如图，直线 与两坐标轴分别交于 两点，点 是 的中点， 分别是直线 ， 轴上的动点，则 周长的最小值是（　  　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在直角坐标系中，，，，且点的纵坐标为5，为线段上一动点，连接；则的最小值为（    ）    A． B． C．16 D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为 ． 3．如图，点，都在双曲线上，点是轴正半轴上的点，当的周长为最小值时，点的坐标是 ． 类型二、一次函数与反比例函数中的三点共线 【解惑】如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与坐标轴分别交于B，C两点．    (1)若，求自变量x的取值范围； (2)动点在x轴上运动．当n为何值时，的值最大？并求最大值． 2．如图，在平面直角坐标系内，，，点在轴上，轴，垂足为，轴，垂足为，线段交轴于点．若，． (1)求点的坐标； (2)如果经过点的直线与线段相交，求的取值范围； (3)若点是轴上的一个动点，当取得最大值时，求的长． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的，两点，与轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)在轴上找一点，使最大，求的最大值及点的坐标． 类型三、一次函数与反比例函数中的全等三角形 【解惑】如图，直线与轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，．    (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)点是坐标系中的一个动点，当与全等时，请直接写出点的坐标． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴交于点A，交x轴于点B，直线与直线交于点E，与y轴交于点C，与x轴交于点D，且，． (1)求直线的解析式； (2)连接，作交直线于点F，在直线上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标并说明理由； (3)若点N是直线上一点，点H是x轴上一点，当以B、N、H为顶点的三角形与全等时，直接写出点N的坐标． 2．已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点、，点是直线上的一点． (1)请用含的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，联结，三角形的面积是否变化，若不变，请求出三角形的面积；若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的三角形和三角形全等，如果存在，请求出关于m的方程（不必求解）． 3．已知在平面直角坐标系中，点分别是轴和轴上的动点，． (1)如图1，过点作轴 ，交轴于点， 交的延长线于点交轴于点， 若， 求的长； (2)如图2，当点运动到原点O时，的平分线交轴 于点， 点为线段上一点将沿翻折，的对应边的延长线交于点为线段上一点，且， 试判断线段之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，若， 在坐标平面内是否存在一点（不与点重 合），使与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型四、一次函数中的等腰三角形 【解惑】如图，直线与轴、轴分别交于点、，另一直线与轴、轴分别交于点，连接．直线与直线交于点，在轴上有一点，过点作轴的垂线，分别与直线交于点． (1)求的值及的面积； (2)若，求的值； (3)在轴找点使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【融会贯通】 1．如图，直线分别与轴，轴交于点两点，直线交直线于点，点从点出发，以每秒个单位的速度向点匀速运动． (1)求出点、点、点坐标； (2)当直线平分的面积时，求直线的函数关系式； (3)若等腰三角形，求点运动时间． 2．如图直线与轴、轴分别交于点两点，且点的坐标是，该直线上还有一点． (1)则点坐标是____________；____________； (2)在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点的坐标为，点在轴上，的面积为，请直接写出点的坐标； 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图像交点为． (1)点的坐标为______； (2)求的面积； (3)在轴上求一点，使是以为腰的等腰三角形．请直接写出所有符合条件的点的坐标______． 类型五、一次函数中的直角三角形 【解惑】已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点从点出发，沿轴以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为 (1)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ (2)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 【融会贯通】 1．如图，已知一次函数的图像与轴交于点，一次函数的图像与轴交于点，且与轴以及一次函数的图像分别交于点，，点的坐标为． (1)______，______． (2)求的面积； (3)在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知一次函数的图象经过点和点． (1)用含的代数式表示； (2)若，求的取值范围； (3)已知，为轴上一点．当为直角三角形时，求点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，与直线交于点． (1)求点，的坐标． (2)若第一象限内的点到轴的距离为，求直线的函数表达式． (3)若是轴上一动点，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型六、一次函数中的等腰直角三角形 【解惑】在直角坐标系中，已知，且． (1)请判断并说明的形状． (2)如图1．若，为中点，连接，过点向左作，且，连．过点作直线垂直于轴，交于点N，求证：． (3)如图2，点在的延长线上，连接，以为斜边向上构造等腰直角三角形，连接，若，，求的面积． 【融会贯通】 1．【建立模型】如图①，等腰直角三角形的直角顶点在线段上，过点作于点，过点作于点，可以得到结论：． 【运用模型】请利用这一结论解决下列问题： (1)如图①，请证明； (2)如图②，在平面直角坐标系中，，，过点作，使，请求出点的坐标； (3)如图③，在平面直角坐标系中，，，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？请直接写出符合条件的点的坐标． 2．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰，，直线经过A，C两点．    (1)则A点的坐标为　　　，B点的坐标为　　　； (2)求直线的函数表达式； (3)点P是线段AC上的一点（不与A、C重合），试探究能否成为以BP为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过轴负半轴上一点作直线交轴正半轴于点，且． (1)的长为______，的长为______，直线的表达式为______； (2)若点为直线上的点，点为轴上的点，请问：直线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型七、反比例函数中的等腰三角形 【解惑】如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在直角坐标平面内，点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点在函数的图像上，且轴． (1)当点横坐标为4时，求直线的表达式； (2)连接，当平分与轴正半轴的夹角时，求点的坐标； (3)当点是的中点时，在轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标． 2．如图，在直角坐标平面内，一个正比例函数的图像与反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求正比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 3．如图，正比例函数图像与反比例函数图像交于点，直线，交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，C点横坐标为8，连接，． (1)求正比例函数，反比例函数解析式； (2)求的面积． (3)点P是y轴上一点，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标． 类型八、反比例函数中的直角三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式： (2)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积 (3)点在轴上，且是直角三角形，求点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集________； (3)若P是x轴上一点，且满足是直角三角形，直接写出点P的坐标________． 3．如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值． (2)将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，与反比例函数的图象交于点． ①求点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型九、反比例函数中的等腰直角三角形 【解惑】如图，函数的图象过点和两点．    (1)求和的值； (2)点是双曲线上介于点和点之间的一个动点，若，求点的坐标； (3)过点作，交轴于点，交轴于点，第二象限内是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，反比例函数的图象经过点，直线与反比例函数图象交于另一点，轴，垂足为． (1)求反比例函数表达式； (2)过B作于H，试判断是否为等腰直角三角形？并说明理由． 2．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，且点的坐标为，点，分别在第一、三象限，且此一次函数与反比例函数图象交于，两点，又．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，双曲线：与直线在第一象限交于点． (1)求双曲线与直线的解析式； (2)曲线 是反比例函数在第四象限的分支，点B是上的一点，且是等腰直角三角形，，求的解析式； (3)是否在x轴上存在一点P，使的值最大，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 类型十、一次函数与反比例函数中的角度问题 【解惑】如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线交于点D． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图1，点E是线段的中点，连接，点F是射线上一点，当，且时． ①求的长； ②在x轴上找一点P，使的值最小，求出P点坐标． (3)如图2，若，过B点，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若点是坐标轴上一点，使得，求点的坐标； (3)如果轴上有一动点，当时，请直接写出符合条件的点坐标． 2．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点在轴上，，一次函数的图象经过点，且与的图象交于点，连接． (1)求的解析式； (2)求的面积； (3)如图2，直线交轴于点，作直线，点为直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 3．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，点是线段上的任意一点，过点作直线∥y轴，直线交直线于点，交直线于点． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，求的面积； (3)连接，若，求点的坐标． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 函数及其图象拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、一次函数与反比例函数中的将军饮马 【解惑】如图，直线 与两坐标轴分别交于 两点，点 是 的中点， 分别是直线 ， 轴上的动点，则 周长的最小值是（　  　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据轴对称的性质可得，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短可得周长的最小值为的长，然后根据直线的解析式求出点B的坐标，从而可得点C、G的坐标，最后根据等腰直角三角形的判定与性质可得点F的坐标，据此利用两点之间的距离公式即可得出答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接、、， 由轴对称的性质得：， 周长为， 由两点之间线段最短得：当点在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长， 对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，即， ， 点为的中点， ，， 点为点关于的对称点， ， 又， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，，即轴， ， 则， 即周长的最小值是， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、坐标与轴对称、等腰直角三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，利用轴对称将周长转化为两定点间的折线段长，利用两点之间线段最短找出最小值是解题关键． 【融会贯通】 1．如图，在直角坐标系中，，，，且点的纵坐标为5，为线段上一动点，连接；则的最小值为（    ）    A． B． C．16 D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，轴对称的性质，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．作点B关于的对称点，连接交于点E，过点作轴于点D，过点C作轴于点F，利用等面积法得到，然后求出，设，则，利用勾股定理求出，，进而求解即可． 【详解】如图所示，作点B关于的对称点，连接交于点E，过点作轴于点D，过点C作轴于点F，    ∴ ∴当A，P，三点共线时，有最小值，即的长度， ∵点的纵坐标为5 ∴， ∴，即 解得 ∵点B关于的对称点 ∴， ∴ ∴设，则 ∵ ∴ ∴ 解得 ∴ ∴ ∴ ∴． ∴的最小值为． 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义、轴对称中最小距离问题、勾股定理、正方形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 由正方形的边长是3，得到点D的横坐标和点E的纵坐标为3，求得，，根据三角形的面积列方程得到，，作E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，则的长的最小值，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵正方形的边长是3， ∴点D的横坐标和点E的纵坐标为3， ∴，， ，， ∵的面积为4， ，解得：或（舍去）， ∴，， 作E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，则的长的最小值， ∴， ∴，， ，即的最小值为． 故答案为． 3．如图，点，都在双曲线上，点是轴正半轴上的点，当的周长为最小值时，点的坐标是 ． 【答案】（5，0） 【分析】先根据A、B两点在反比例函数上，求出A、B的坐标，然后过点B作其关于x轴的对称点B´，连接AB´与x轴交于点P´，此时的点P´即为所求，然后求出AB´的解析式，从而求出P´的坐标. 【详解】解：如图所示，过点B作其关于x轴的对称点B´，连接AB´与x轴交于点P´ ∵点，都在双曲线上 ∴ 解得： ∴A（2，3），B（6，1） ∴（6，-1） ∵的周长为最小值 ∴为最小值即有最小值 ∴当A、P、三点共线时有最小值 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 令，解得 ∴P（5，0） 故答案为：（5，0） 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键在于能够找到的周长为最小值时P点的位置. 类型二、一次函数与反比例函数中的三点共线 【解惑】如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析表达式为； (2)； (3)点的坐标为时，的最大值为． 【分析】（）设直线的解析表达式为，然后把和代入求解即可； （）作轴于点，分别求出，，再由三角形的面积公式即可得出结论； （）延长交轴于点，则点即是所求的点，此时的最大值为线段的长度， 由可得出点，由勾股定理可得，即可得出答案； 【详解】（1）解：设直线的解析表达式为， ∵和， ∴， 解得， ∴直线的解析表达式为； （2）解：作轴于点， ∵， ∴，， 由，令，得， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下： 延长交轴于点，则点即是所求的点，此时的最大值为线段的长度， 由（）得直线的解析表达式为， 令，得， ∴点的坐标为， 在中， 由勾股定理得， 综上，点的坐标为时，的最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数与几何问题，待定系数法求函数解析式， 两点之间线段最短，构造三角形全等求线段长度，三角形面积，掌握以上知识是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与坐标轴分别交于B，C两点．    (1)若，求自变量x的取值范围； (2)动点在x轴上运动．当n为何值时，的值最大？并求最大值． 【答案】(1) (2)当为时，的值最大，最大值为 【分析】 （1）由点的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，即可得出当时，自变量的取值范围； （2）由点的坐标利用待定系数法即可求出直线的函数解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点、的坐标，再根据三角形的三边关系即可确定当点与点重合时，的值最大，利用两点间的距离公式即可求出此最大值． 【详解】（1） 解：当时，， 点的坐标为， 观察函数图象，可知：当时，直线在双曲线上方， 若，自变量的取值范围为． （2） 解：将代入中， ，解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， ， 当时，， 点的坐标为． 当点与点重合时，的值最大， 此时，． 当为时，的值最大，最大值为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的三边关系，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点的坐标；（2）利用三角形的三边关系确定点的位置． 2．如图，在平面直角坐标系内，，，点在轴上，轴，垂足为，轴，垂足为，线段交轴于点．若，． (1)求点的坐标； (2)如果经过点的直线与线段相交，求的取值范围； (3)若点是轴上的一个动点，当取得最大值时，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1），，轴，垂足为，轴，垂足为，可求出，的长，，，可证，由此即可求解； （2）先计算出直线的解析式，从而求出点的坐标，已知点的坐标，从而可以将直线变形为，根据直线与线段相交，由此即可求解； （3）根据“三角形两边之差小于第三边”可知，，的最大值为，，过点作轴于，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵轴，轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标为：． （2）解：设经过点，的直线的解析式为，且，， ∴，解方程组得，， ∴经过点，的直线的解析式为， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴，则直线的解析式表示为， 若直线经过点，则，解方程得，； 若直线经过点，则， ∴的取值范围是． （3）解：根据“三角形两边之差小于第三边”可知，， ∴的最大值为，则点为直线与轴的交点，由（1）可知，，如图所示， 过点作轴于，根据勾股定理得，， 设，则，解方程得，， ∴， ∴当取得最大值时，的长为． 【点睛】本题主要考查一次函数，直角三角形的勾股定理，全等三角形的判定，掌握一次函数的运用是解题的关键． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的，两点，与轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)在轴上找一点，使最大，求的最大值及点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)的最大值为， 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、动点最值问题-三边关系模型、一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质是解决问题的关键． （1）本题考查待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）在轴上找一点，由三角形三边关系可知，故当三点共线时，的值最大，为，求出一次函数的解析式为与轴的交点即是，再求出，过点作轴于，如图所示，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入，解得， ∴反比例函数的解析式为； 把点代入，解得， ∴， 把，代入得，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：在轴上找一点，由三角形三边关系可知，故当三点共线时，的值最大，为， 一次函数的解析式为，令，则， ∴一次函数与轴的交点为，即为所求， 令，则， ∴， 过点作轴于，如图所示： 在中，由勾股定理可得， ∴的最大值为． 类型三、一次函数与反比例函数中的全等三角形 【解惑】如图，直线与轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，．    (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)点是坐标系中的一个动点，当与全等时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作轴于点，如图所示，根据等腰直角三角形性质，由三角形全等判定定理得到，再结合点、点，求出即可得到答案； （2）由勾股定理得到，再由等腰直角三角形性质，结合直角三角形面积公式代值求解即可得到答案； （3）根据题意，分三种情况：当；当；当；作出图形，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图所示：    在中，，， ， ， ， 在和中， ， ，， 点、点， ， ， 点的坐标； （2）解：点、点， ， 在中，由勾股定理可得， 在中，，， 的面积为； （3）解：根据题意，分三种情况： 当，过点作轴于，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当，过点作轴于，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当，过点作轴于，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上，点P的坐标为． 【点睛】本题考查图形与坐标、互余、直角三角形性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，其中（3），要注意分类讨论，避免遗漏． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴交于点A，交x轴于点B，直线与直线交于点E，与y轴交于点C，与x轴交于点D，且，． (1)求直线的解析式； (2)连接，作交直线于点F，在直线上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标并说明理由； (3)若点N是直线上一点，点H是x轴上一点，当以B、N、H为顶点的三角形与全等时，直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点M的坐标为或，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）先求得点A、B坐标，再证明得出，即可得出点C，D坐标，用待定系数法即可得出结论； （2）先证明得到，过F作轴于G，过E作轴于H，则，联立方程组求得点E的坐标为，证明，则，进而得到点F的坐标为；根据已知和等高的三角形面积比等于底边比得到，分当M为线段中点时，和当点M在延长线上时求解即可； （3）先由勾股定理求得，根据题意分当时和当时两种情况，可分别画出图形，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵直线交y轴交于点A，交x轴于点B， ∴当时，，当时，由得， ∴，，则，， ∵， ∴，则， ∴，即，又，， ∴， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 则，解得 ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， 过F作轴于G，过E作轴于H，则， 联立方程组得：，解得：， ∴点E的坐标为， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴点F的坐标为； ∵点M在直线上，且， ∴， 当M为线段中点时，满足，此时； 当点M在延长线上时， ∵，， ∴，则点M与点B重合， ∴， 综上，满足条件的点M坐标为或； （3）解：∵， ∴， ∵,点N是直线上一点，点H是x轴上一点， ∴分两种情况： 当时，则，，，如图， ∵ ∴点N的坐标为； 由（1）中得点N与A重合、H与O重合时，也满足条件，此时； 当时，则，，，此时，， 设直线的解析式为， 当H在B的左侧时，如图，则，代入中，得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得， ∴； 当H在B的右侧时，如图，则，代入中，得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得， ∴； 综上，满足条件的N的坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数与几何图形的综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 2．已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点、，点是直线上的一点． (1)请用含的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，联结，三角形的面积是否变化，若不变，请求出三角形的面积；若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的三角形和三角形全等，如果存在，请求出关于m的方程（不必求解）． 【答案】(1)点，点，点 (2)三角形的面积不变， (3)存在以为直角边的三角形和三角形全等；或 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数综合问题，涉及了全等三角形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． （1）根据题意可得点，由轴，轴，、在反比例函数的图象上即可求解； （2）由题意得，分别表示出，即可求解； （3）由题意分类讨论：①，；②，两种情况，求出点的坐标，代入即可得到关于的方程． 【详解】（1）解：点是反比例函数图形上的动点， ， 点， 轴，轴， ，， 、在反比例函数的图象上， ，， 即：点，点； （2）解：三角形的面积不变；理由如下： 轴，轴， ， ，，， ，， ； （3）解：存在以为直角边的三角形和三角形全等；理由如下： 若以为直角边的△和△全等， ①，，如图1所示： 此时， 即：点， 点是直线上的一点， ， 整理得：， 或（舍去）； ②，，如图2所示： 此时， 即：点， 点是直线上的一点， ， 整理得：， 或（舍去）， 综上所述：存在以为直角边的三角形和三角形全等；或． 3．已知在平面直角坐标系中，点分别是轴和轴上的动点，． (1)如图1，过点作轴 ，交轴于点， 交的延长线于点交轴于点， 若， 求的长； (2)如图2，当点运动到原点O时，的平分线交轴 于点， 点为线段上一点将沿翻折，的对应边的延长线交于点为线段上一点，且， 试判断线段之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，若， 在坐标平面内是否存在一点（不与点重 合），使与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）连接，过点E作于点M，过点E作于点N，根据折叠的性质和角平分线的性质推出，通过证明，得出，通过证明，得出，即可得出，最后证明，得出，即可得证． （3）根据题意分3种情况讨论P点位置，利用全等三角形性质及判定即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵轴， ∴ ∴ ∴， 在中 ∴ ∴； （2） 证明：连接，过点E作于点M，过点E作于点N， 由折叠的性质可得：， ∵，，， ∴， ∵为的角平分线，，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ （3）解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∵与全等 ∴是等腰直角三角形， 如图所示， 过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 如图所示， ∴， ∴， ∴平分， ∴且平分， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 如图所示，过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∴ ∴ ∴ 如图所示，， 过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， 在中， ，， ∴ ∴ ∴ ∴． 综上所述，点的坐标为：，，． 【点睛】本题主要考查了三角形综合，折叠的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；折叠前后对应角相等；角平分线上的点到两边距离相等． 类型四、一次函数中的等腰三角形 【解惑】如图，直线与轴、轴分别交于点、，另一直线与轴、轴分别交于点，连接．直线与直线交于点，在轴上有一点，过点作轴的垂线，分别与直线交于点． (1)求的值及的面积； (2)若，求的值； (3)在轴找点使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)5；7 (2) (3)点Q的坐标为或或或 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积． （1）由直线求得E的坐标，代入求得b的值，即可求得D的坐标，再求出A，B点坐标即可求得的面积； （2）通过证得，得出，进而根据点E的坐标，求得点M的横坐标，从而求得a的值． （3）由勾股定理求出，分为底和腰两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）∵直线经过点， ∴， ∴， 把E点的坐标代入得，， 解得， ∴直线为， ∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B， 令，则；令，则， ∴， ∵直线与x轴，y轴分别交于点C，D， 令，则， ∴； ∴， ∴． （2）解：∵轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点， ∴M点的横坐标为， ∴a的值为． （3）解：过点作于点 ∵， ∴, ∵ ∴ ∴由勾股定理得，； 若为腰时，则，如图， ∴； 若为底时，则的垂直平分线交于，则。 设，则 ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上，点Q的坐标为或或或． 【融会贯通】 1．如图，直线分别与轴，轴交于点两点，直线交直线于点，点从点出发，以每秒个单位的速度向点匀速运动． (1)求出点、点、点坐标； (2)当直线平分的面积时，求直线的函数关系式； (3)若等腰三角形，求点运动时间． 【答案】(1)，， (2) (3)秒或秒或秒 【分析】（）把，分别代入一次函数可求出点坐标，联立一次函数解析式，解方程组可求出点坐标； （）由可得，进而求出点坐标，再利用待定系数法可求出直线的函数关系式； （）由一次函数及点坐标可得，，再分、、三种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，, ∴， 由，解得， ∴； （2）解：∵直线平分的面积， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，将、代入得， ， 解得， ∴直线的函数关系式为； （3）解：∵直线交直线于点，点的坐标为， ∴，， ①当时，如图， 则， ∵点从点出发以每秒个单位长度的速度向点匀速运动， ∴点的运动时间为秒； ②当时，过点作轴于点，如图， 则，， ∴点的运动时间为秒； ③当时，如图， ∵， ∴， ∴， 即轴， ∴， ∴点的运动时间为秒； 综上，当为等腰三角形时，点的运动时间为秒或秒或秒． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，等腰三角形的定义及性质，勾股定理，掌握一次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键． 2．如图直线与轴、轴分别交于点两点，且点的坐标是，该直线上还有一点． (1)则点坐标是____________；____________； (2)在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点的坐标为，点在轴上，的面积为，请直接写出点的坐标； 【答案】(1)，； (2)存在，点的坐标为或或或； (3)点坐标是或． 【分析】（）把点代入得到，求得直线的解析式为，当 时，，得到点坐标是，把点，代入，即可得到结论； （）由，，得到，，根据勾股定理得到 ，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可； （）设直线的解析式为，得到直线的解析式为，求得直线与轴的交点坐标为(0， ，设，根据三角形的面积公式列方程即可求解； 本题考查了待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质，三角形的面积的计算，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点坐标是， 把点，代入得， 故答案为：，； （2）解：存在，理由， ∵，， ∴，， ∴， 当时，如图， 则点是， ∴点是或 ； 当时， ∴， ∴点是， 当时， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴点是， 即， 综上所述，点的坐标为或或或； （3）解：设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线与轴的交点坐标为， 设， ∵点的坐标为，，的面积为， ∴， ∴或， ∴点坐标是或． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图像交点为． (1)点的坐标为______； (2)求的面积； (3)在轴上求一点，使是以为腰的等腰三角形．请直接写出所有符合条件的点的坐标______． 【答案】(1) (2)3 (3)或或 【分析】（1）把代入求出y的值，即可得出答案； （2）先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式求出结果即可； （3）分两种情况：当时，当时，分别根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点的坐标为； （2）解：联立， 解得：， ∴点C的坐标为， ∵， ∴； （3）解：∵点C坐标为， ∴， 当时， ∵点P在y轴上， ∴点P的坐标为或； 当时，过点C作轴，如图所示： ∵点， ∴， ∵，， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，当点P的坐标为或或时，三角形是为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，直线交点坐标，等腰三角形的定义和性质，综合性较强，正确把握并能熟练运用相关知识是解题的关键．注意分类思想的运用． 类型五、一次函数中的直角三角形 【解惑】已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点从点出发，沿轴以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为 (1)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ (2)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会数形结合和分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）利用一次函数的知识求出点、的坐标，根据题意可得，得到点与点重合，即可求解； （2）根据题意，分2种情况讨论：①；②，分别求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ， 令，则，解得：， ， 是以为斜边的直角三角形， ， 点与点重合， ， ， 当时，是以为斜边的直角三角形． （2）解：由（1）得，，， ， 是以为腰的等腰三角形， 或， ①当时，； ②当时， ，， ， ， ； 综上所述，当或时，是以为腰的等腰三角形． 【融会贯通】 1．如图，已知一次函数的图像与轴交于点，一次函数的图像与轴交于点，且与轴以及一次函数的图像分别交于点，，点的坐标为． (1)______，______． (2)求的面积； (3)在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，4 (2)6 (3)点坐标为或 【分析】（1）将点分别代入一次函数，，即可求得答案； （2）首先确定点的坐标，然后由求解即可； （3）分三种情况讨论：①当点为直角顶点时，过点作轴于，即可得出结论；②当点为直角顶点时，轴上不存在点；③当点为直角顶点时，过点作交轴于点，设，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 可得，解得， 将点代入一次函数， 可得，解得． 故答案为：1，4； （2）结合（1）可知，一次函数，一次函数， 对于一次函数， 令，可得， ∴， 对于一次函数， 令，可得， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）对于一次函数， 令，可得，解得， ∴， 如图， ①当点为直角顶点时，过点作轴于， ∵， ∴； ②当点为直角顶点时，轴上不存在点； ③当点为直角顶点时，过点作交轴于点， 设， ∵，， ∴，． ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 综合上所述：点坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了求一次函数解析式、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，并利用数形结合的思想分析问题． 2．已知一次函数的图象经过点和点． (1)用含的代数式表示； (2)若，求的取值范围； (3)已知，为轴上一点．当为直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）将点和点分别代入即可求解； （2）解一元一次不等式即可； （3）分两种情况讨论，利用勾股定理结合两点之间距离公式建立方程求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将代入， ； （2）解：由题意得， ． （3）解：当时，，设点的坐标为 ①当，，如图： ②当，，如图： ，解得， 点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象上的点的坐标特征，解一元一次不等式，勾股定理，两点间距离公式，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，与直线交于点． (1)求点，的坐标． (2)若第一象限内的点到轴的距离为，求直线的函数表达式． (3)若是轴上一动点，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，的坐标分别为、 (2) (3)存在．点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，勾股定理的应用，直角三角形的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据题意，直线分别交轴，轴于，两点，当时，求出点，当时，求出点，即可； （2）根据第一象限内的点到轴的距离为，则点的纵坐标为，根据点在直线上，求出点的坐标，设直线的解析式为，即可； （3）根据是直角三角形，分类讨论：当边为斜边，；当边为直角边，；当边为直角边，；进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于，两点, ∴当时，, ∴点； ∵当时，, ∴点． （2）解：∵第一象限内的点到轴的距离为， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴点， ∴直线的解析式为， ∴， ∴． （3）解：存在，理由如下： 当边为斜边，； ∵， ∴点与点重合， ∴当点时，是直角三角形； 当边为直角边，； ∵线段在第一象限， ∴点在的负半轴， ∴设点， ∴， ∵，， ∴，， ∴，，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴当点时，是直角三角形； 当边为直角边，； ∵点在上，点是轴上一动点， ∴； 综上所述，当点，时，是直角三角形． 类型六、一次函数中的等腰直角三角形 【解惑】在直角坐标系中，已知，且． (1)请判断并说明的形状． (2)如图1．若，为中点，连接，过点向左作，且，连．过点作直线垂直于轴，交于点N，求证：． (3)如图2，点在的延长线上，连接，以为斜边向上构造等腰直角三角形，连接，若，，求的面积． 【答案】(1)是等腰直角三角形，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线、构造全等三角形解决问题． （1）证明即可； （2）过点作轴，垂足为，交于点，则，证明，推出，再证明即可； （3）过点作交的延长线于点，连，证明，推出，，可求出，最后根据即可求解． 【详解】（1）由题意得， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）证明：过点D作轴，垂足为H，交于点，则． ∵， ∴， ∵C为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ，垂直于轴，轴， ∴，， ∴，， ∴， 在和中 ∴， ∴； （3）如图，过点作交的延长线于点，连接， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．【建立模型】如图①，等腰直角三角形的直角顶点在线段上，过点作于点，过点作于点，可以得到结论：． 【运用模型】请利用这一结论解决下列问题： (1)如图①，请证明； (2)如图②，在平面直角坐标系中，，，过点作，使，请求出点的坐标； (3)如图③，在平面直角坐标系中，，，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，或或 【分析】（1）由证明即可； （2）如图②，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，同（1）得，则，求出，，即可解答； （3）分三种情况，①当时，；②当时，；③当∠时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，且， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：如图②，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F， 同（1）得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴点B的坐标为； （3）解：第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分以下三种情况： ①如图③，当时，，分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：， ∴； ②如图④，当时，，分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：， ∴； ③如图⑤，当∠时，，分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴． 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的平与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质、平行线的性质、分类讨论等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰，，直线经过A，C两点．    (1)则A点的坐标为　　　，B点的坐标为　　　； (2)求直线的函数表达式； (3)点P是线段AC上的一点（不与A、C重合），试探究能否成为以BP为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)能， 【分析】（1）对直线关系式，令或，即可求出、两点的坐标． （2）通过构造全等，求出点的坐标，再由、两点坐标根据待定系数法求得直线的函数表达式． （3）设点的坐标为，过点C作x轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的平行线交轴于点，交于点，同（2）理可证得，从而，，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：对于直线，令，则，所以点坐标为； 令，则，所以点坐标为． 所以点、坐标分别是和； （2）解：如图，过点向轴作垂线，为垂足．   为等腰直角三角形， ． ，， ． 在和中，，，． ． ，． ． 故点坐标为． 设函数表达式为，把、两点坐标代入得： ，解得． 直线的函数表达式为； （3）解：设点的坐标为，假设以为直角边的△BQC是等腰直角三角形， 如图．过点C作x轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的平行线交轴于点，交于点， 同（2）理可证得， ，， ， ，，． ∴由，，， 此时，m适合题意． 此时．    【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，涉及到三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，通过“一线三直角”模型构造全等三角形是解答本题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过轴负半轴上一点作直线交轴正半轴于点，且． (1)的长为______，的长为______，直线的表达式为______； (2)若点为直线上的点，点为轴上的点，请问：直线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，2， (2)直线上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，点的坐标为或 【分析】（1）先求出，，由全等三角形的性质可得，； （2）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和一次函数的性质可求点坐标． 【详解】（1）解：直线交坐标轴于，两点，把代入得：， 点的坐标为， ， 把代入得：， 点的坐标为， ， ， ，， ，， 设直线对应的函数表达式为：， 把，代入得： ， 解得， 直线对应的函数表达式为， 故答案为：4，2，； （2）直线上存在点，使是以为直角顶点的等腰三角形．理由如下： 为直线上的点， ， ， ①当点在点下方时，如图2，连接，过点作，交的延长线于点， ， 轴，，点的纵坐标为2，， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 点的纵坐标为3， 把代入中得：， 点； ②当点在点上方时，如图3，过点作轴，过点作于点，过点作交的延长线于点． 则， 点的横坐标为1， 则， 是以为直角顶点的等腰三角形， ，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标为1， 点的纵坐标为1， 把代入中得：， ； 综上所述，直线上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 类型七、反比例函数中的等腰三角形 【解惑】如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，或或或 【分析】（1）首先把点的坐标代入反比例函数解析式中，求得反比例函数解析式，然后把点坐标代入反比例函数解析式中求得点的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围，就是反比例函数的图像在一次函数的图像的上方部分所对应的自变量的范围； （3）当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求出点坐标即可． 【详解】（1）解：将代入，得： ， 反比例函数的解析式是， 将代入，得： ， 的坐标为， 将，代入，得： ， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：根据图像可知，使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围为： 或； （3）解：在轴上存在点，使是等腰三角形，点的坐标为或或或， 理由如下： 如图，过点作轴于点， ， ，， ， 当是等腰三角形时，分三种情况讨论: ①当时， 由，等腰三角形三线合一的性质可得： ， ， ； ②当时， 根据题意，可得：， 在中，由勾股定理可得：， , 解得：， ； ③当时， 当点在点左侧时，， 当点在点右侧时，； 综上所述，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，求反比例函数解析式，从函数的图象获取信息，三线合一，勾股定理，已知两点坐标求两点距离，解一元一次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式并运用分类讨论思想是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在直角坐标平面内，点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点在函数的图像上，且轴． (1)当点横坐标为4时，求直线的表达式； (2)连接，当平分与轴正半轴的夹角时，求点的坐标； (3)当点是的中点时，在轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，等角对等边，勾股定理，等腰三角形的定义等等： （1）先求出点P的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）设点G为x轴坐标轴上一点，先求出点B的纵坐标，进而求出点B的坐标，则可求出的长，再证明，得到，据此可得答案； （3）设出点C坐标，利用勾股定理求出，再分， 三种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时， ， ∴， 设直线的表达式为， 把代入中得，解得， ∴直线的表达式为； （2）解；设点G为x轴坐标轴上一点， ∵轴，点的坐标为， ∴点B的纵坐标为4，， 在中，当时，， ∴， ∵； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点A的横坐标为， ∴点A的坐标为； （3）解：∵点是的中点，点的坐标为， ∴点P的纵坐标为2， 在中，当时，， ∴； 设， ∴，， 当时，则， ∴， ∴点的坐标为或； 当时，则 解得， ∴点C的坐标为； 当时，则， 解得（舍去）或， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或或． 2．如图，在直角坐标平面内，一个正比例函数的图像与反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求正比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或； (3)或或或 【分析】（1）反比例函数经过点，将代入，得，可得，再将点A代入正比例函数的解析式为，即可得出答案； （2）设点的坐标为，则，，，根据勾股定理求得，根据的面积求出，再由即可列出方程，求解即可； （3）由，分，，三种情形，分别得出答案． 【详解】（1）解：， 点A的纵坐标为3， 反比例函数经过点， 当时，， ∴， ， ∵正比例函数经过点， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式为：； （2）解：轴于点，设点的坐标为， ∵，， ∴，，， ∴在中，， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点到直线的距离等于它到点的距离，即， ∴， ∴或， 综上所述，满足要求的点的坐标为或； （3）解：分三种情况讨论： ①当时， ∵， ∴或； ②当时， ∵， ∴， ∴； ③当时，设， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得， ∴． 综上所述：或或或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与正比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，运用分类讨论思想是解题的关键． 3．如图，正比例函数图像与反比例函数图像交于点，直线，交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，C点横坐标为8，连接，． (1)求正比例函数，反比例函数解析式； (2)求的面积． (3)点P是y轴上一点，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标． 【答案】(1)正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)18 (3)点P的坐标为或，， 【分析】本题考查待定系数法求解析式，直线围成的图形的面积，等腰三角形的定义及性质，掌握数形结合思想，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据点C在反比例函数的图像上，求出点C的坐标为，设直线的解析式为，把点C坐标代入求得直线的解析式为．过点作轴，交于点E，求出，得到，根据即可求解； （3）分三种情况分别讨论：①，②，③进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数图像过点， ∴，解得， ∴正比例函数的解析式为． ∵反比例函数图像过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵点C的横坐标为8，且点C在反比例函数的图像上， ∴当时，， ∴点C的坐标为， ∵，且的解析式为， ∴设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点作轴，交于点E， ∴点E的横坐标为4， 把代入函数中，得， ∴， ∴， ∴． （3）解：把代入函数，得， ∴， ∵把代入函数，得， 解得， ∴， ∴． 若以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况讨论： ①如图，若， ∵轴， ∴点B与点P关于x轴对称， ∴． ②如图，若， ∵， ∴或． ③如图，若，则设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ∵， ∴，即， ∴， 解得， ∴． 综上所述，点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为或，，． 类型八、反比例函数中的直角三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式： (2)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将，代入,求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可； （2）过点A作交y轴于点M，勾股定理得出点M的坐标，在求出直线AP的表达式，与反比例函数联立方程组即可． 本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴反比例函数的表达式； （2）解：如图所示， 设直线交y轴于点， ∵，， ∴，，， ∵是以点A为直角顶点的直角三角形， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把和分别代入， 得 ∴可得直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴点P的坐标为或． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积 (3)点在轴上，且是直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)或 【分析】（1）点和点在反比例函数上，利用待定系数法即可求解； （2）先求出一次函数的解析式，分别就出A，B，C三点坐标，利用求解即可； （3）点A，C为两个定点，为直角三角形有两种情况，设，分两种情况结合坐标与图形，勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：点和点在反比例函数图像上， ， 解得：， 则， 反比例函数的解析式为； （2）如图，连接， 在一次函数的图像上， ， ， 一次函数的解析式为， ，即， ， ； （3）点A，C为两个定点， 为直角三角形有两种情况： ①时，轴，此时点轴， 的坐标为， 的坐标为； ②时，此时直线与垂直，设， ，，， ， ，解得：， ， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形，待定系数法求反比例函数解析式，勾股定理，正确根据已知条件列出方程是解题关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集________； (3)若P是x轴上一点，且满足是直角三角形，直接写出点P的坐标________． 【答案】(1)， (2)或 (3)，，， 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，以及勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）可先把代入反比例函数解析式，求得的值，进而求得的值，把两点分别代入一次函数解析式即可． （2）利用图象法解决问题即可； （3）设，表示出，分为当时，当时，当时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：点在上， ， ∴反比例函数解析式为； 又点在上， ， ∴点的坐标为， 把和两点的坐标代入一次函数得， 解得：， ∴一次函数的解析为． （2）解：、， 观察图象可知：不等式的解集为或； （3）解：设， ∵、， 则， 当时，， 解得：， 故； 当时，， 解得：， 故； 当时，， 解得：或， 故，； 综上，，，，． 3．如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值． (2)将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，与反比例函数的图象交于点． ①求点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的表达式为， (2)①②存在，的坐标为或 【分析】（1）把代入得到反比例函数的表达式中求，确定反比例函数的表达式，把代入反比例函数可得到结论； （2）①设直线的解析式为：，解方程组得到直线的解析式，求得点 ，得到是等腰直角三角形，推出四边形是正方形，得到坐标，把代入反比例函数中即可得到结论； ②设点，根据勾股定理得到即，可求得，即可确定点坐标． 【详解】（1）解：∵的图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． （2）①设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为． 当时，；当时，， ∴点，点． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵将沿直线翻折， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 把代入，得， ∴； ②存在，理由如下； 设点， 则，，， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， 即， 解得或． 故在轴上存在点，使得是以为斜边的直角三角形， 此时点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键． 类型九、反比例函数中的等腰直角三角形 【解惑】如图，函数的图象过点和两点．    (1)求和的值； (2)点是双曲线上介于点和点之间的一个动点，若，求点的坐标； (3)过点作，交轴于点，交轴于点，第二象限内是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)和的值分别为，； (2)， (3)点或。 【分析】（1）将、两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得、的值； （2）设点，过点做轴于点，交于点，以为底，由的面积解出点坐标； （3）先用待定系数法求得进而求出直线的解析式，再分两种情况进行讨论：①以为直角边，为直角顶点；②以为直角边，为直角顶点．再观察图形并利用点的移动特点写出答案． 【详解】（1）解：函数的图像过点和两点， ， 解得， 故和的值分别为，； （2）解：， ， 设直线的解析式为：， 把代入，得，解得， ∴直线的解析式为：， 过点作轴于点，交直线于点，    设， ， ， ， 或（不符合题意舍去） ， （3）解：，直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 点在直线上，， ，即， 直线的解析式为：； 当时，， ∴， 当时，， ∴，    根据题意，分两种情况进行讨论： ①以为直角边，为直角顶点； 如图，过做轴于点，可知：，   ， ， 又， ，又， ， ， 故点到点的平移规律是：向左移个单位，向上移个单位得点坐标， ，且在第二象限， 即； ②以为直角边，为直角顶点；同①理得，将点向左移个单位，向上移个单位得点坐标，得． 综上所述：点或 【点睛】此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键． 【融会贯通】 1．如图，反比例函数的图象经过点，直线与反比例函数图象交于另一点，轴，垂足为． (1)求反比例函数表达式； (2)过B作于H，试判断是否为等腰直角三角形？并说明理由． 【答案】(1)； (2)为等腰直角三角形．理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数表达式； （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得点，再求得，，据此即可证明为等腰直角三角形． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）解：为等腰直角三角形． 证明：∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴点， ∵轴，， ∴，，， ∴为等腰直角三角形． 2．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，且点的坐标为，点，分别在第一、三象限，且此一次函数与反比例函数图象交于，两点，又．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）点作轴于点，由可知是等腰直角三角形，，且，则代入一次函数的解析式为可求直线的解析式，设 ，，由勾股定理得，故，代入反比例函数的解析式为可求反比例函数的解析式； （2）过点作轴于P，或过点作，交轴于，根据等腰直角三角形的性质可求满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：，，点在轴上， ． 设一次函数的解析式为 ， 把点，代入， 得 解得 一次函数解析式为 ． 过点作轴于点 ，    由，得为等腰直角三角形，，为等腰直角三角形． 设 ， ∵， ∴由勾股定理得， ．（不同方法也可） 设反函数的解析式为 ，把点代入得 ， 反比例函数解析式为 ． （2）解：过点作轴于P，如图，    由（1）知，为等腰直角三角形，， ∴，， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴； 过点作，交轴于，如图， 同理得是等腰直角三角形， ∵ ∴， ∴， ∴； 综上，存在，当点P的坐标为或，使为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了点的坐标的求解与一次函数、反比例函数关系式的确定方法．运用待定系数法是解题的关键． 3．如图，双曲线：与直线在第一象限交于点． (1)求双曲线与直线的解析式； (2)曲线 是反比例函数在第四象限的分支，点B是上的一点，且是等腰直角三角形，，求的解析式； (3)是否在x轴上存在一点P，使的值最大，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点，点分别作轴，轴，可证，进而求得点，再利用待定系数法求解即可； （3）作关于轴的对称点，连接，，可得，，则，当，，在同一直线上时取等号，即此时取最大值，亦即此时点为直线与的交点，利用待定系数法求得直线解析式为：，令，求得得，可得． 【详解】（1）解：将点代入，可得，即：， ∴直线的解析式为：， 将点代入，可得，即：， ∴双曲线的解析式为：， （2）过点，点分别作轴，轴，则， ∵， ∴，， ∵，则 ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 则， 将点代入，可得，即：， ∴的解析式为； （3）作关于轴的对称点，连接，，，可得， 则，当，，在同一直线上时取等号，即此时取最大值，亦即此时点为直线与的交点， 设直线解析式为：，将，代入， 可得：，解得：， ∴直线解析式为：， 当时，，得， ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式，全等三角形的判定即性质，三角形的三边关系的应用，作出图形，利用数形结合是解决问题的关键． 类型十、一次函数与反比例函数中的角度问题 【解惑】如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线交于点D． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图1，点E是线段的中点，连接，点F是射线上一点，当，且时． ①求的长； ②在x轴上找一点P，使的值最小，求出P点坐标． (3)如图2，若，过B点，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；② (3)或 【分析】（1）根据题意列方程即可得出结论； （2）①由（1）可得，求得，过点F作轴于点H，易证，则有，，进而根据勾股定理可求解；②作点E关于x轴的对称点N，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，则与x轴的交点即为P点，进而求出的解析式，最后求解即可； （3）根据题意得到点C的坐标，如图，当点M在点A的左侧，根据全等三角形的性质得到，当点M在点A的右侧时，根据三角形的面积即可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线分别与x轴，y轴交于A，B两点， ∴当时，则有， ∴， 当时，则， ∴，； （2）①由（1）可得，，， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， 过点F作轴于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点H与点B重合， ∴，， ∴； ②作点E关于x轴的对称点N，连接，如图所示： 由轴对称的性质可得垂直平分，则有点P到点N、E的距离相等，再由两点之间线段最短可得即为的最小值，此时与x轴的交点即为P点， 由①可得：点，则点， ∴设解析式为， 将，代入得 ， ， ∴解析式为： 联立， 解得：， ∴点， 设的解析式为，则有： ， 解得：， ∴解析式为， ∴令时，则， 解得：， ∴当为最小值时，点P的坐标为； （3）3）存在，理由如下： ∵， ∴直线：， ∵， ∴设的解析式为，把代入得， ， 所以直线的的解析式为， 当时，即， ∴， ∴， 如图，当点M在点A的左侧时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点M在点A的右侧时，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查直线与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式及一次函数与几何的综合,勾股定理解直角三角形，熟练掌握直线与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式及一次函数与几何的综合是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若点是坐标轴上一点，使得，求点的坐标； (3)如果轴上有一动点，当时，请直接写出符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）分两种情况：当点C在y轴上时，当点C在x轴上时，根据两点间距离公式列出方程，解方程即可； （3）分两种情况讨论：当点D在点A左侧时，当点D在点A右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：把点，点代入得： ， 解得：， ∴该一次函数的表达式为； （2）解：当点C在y轴上时，设点C的坐标为，则： ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴此时点C的坐标为； 当点C在x轴上时，设点C的坐标为，则： ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴此时点C的坐标为； 综上分析可知：点C的坐标为或． （3）解：当点D在点A左侧时，过点D作于点E，过点E作轴于点F，延长，过点B作于点G，如图所示： 则， 设点E的坐标为，则，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时点D的坐标为； 当点D在点A右侧时，过点D作于点E，过点E作轴于点F，延长，过点D作于点G，如图所示： 则， 设点E的坐标为，则，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴此时点D的坐标为； 综上分析可知：点D的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，三角形全等的判定和性质，余角的性质，坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，求一次函数解析式，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 2．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点在轴上，，一次函数的图象经过点，且与的图象交于点，连接． (1)求的解析式； (2)求的面积； (3)如图2，直线交轴于点，作直线，点为直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】（1）先根据已知条件求得，，再利用待定系数法求解的函数解析式即可； （2）设直线交轴于点，先求得，再利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可； （3）根据题意，分两种情况：当点P在点E的左侧时和当点P在点E的右侧时，分别画出对应图形，利用数形结合思想，结合等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法分别求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点， ∴当时，，当时，由得， ∴，,， ∵， ∴，则， ∵点在函数的图象上， ∴，解得， ∴， ∵函数的图象经过点C、D， ∴，解得， ∴； （2）解：设直线交轴于点， 当时，，则， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：根据题意，分两种情况： 当点P在点E的左侧时，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 则点P为直线和直线的交点， 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为； 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴； 当点P在点E的右侧时，如图， ∵，，， ∴， 过点E作交与F，则， ∴， ∴， 设， 由得， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为； 由可设直线的函数解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴， 综上，满足条件的点P坐标为或． 【点睛】本题是一次函数与几何图形的综合，考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、三角形的外角性质、两点坐标距离公式、两直线的交点问题等知识，涉及知识点多，综合性强，熟练掌握待定系数法，添加平行线构造等腰三角形以及分类讨论是解答的关键． 3．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，点是线段上的任意一点，过点作直线∥y轴，直线交直线于点，交直线于点． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，求的面积； (3)连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把代入，求出直线的关系式，再求出点，然后根据待定系数法求出直线的关系式； （2）先设点，可表示，再根据纵坐标的差表示，然后根据，求出m的值，接下来分两种情况求出，即可得出面积； （3）过点A作于点H，过点H作轴于点K，过点B作于点T，先说明是等腰直角三角形，接下来证明，即可得出点，再求出直线的关系式，然后得出点，进而得出答案． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 当时，， ∴点． 将点和点代入直线的关系式，得 ， 解得， 所以直线的关系式； （2）解：设，则， ∴． ∵， ∴， 解得或． 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴． 综上所述，的面积是或； （3）解：过点A作于点H，过点H作轴于点K，过点B作于点T， ∵点， ∴， ∴， ∴． ∴， 即． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 设， ∵， ∴， 解得， ∴． 由点，可知直线的关系式：． 当时，， ∴． 在中，当时，， ∴点； 综上所述，点Q的坐标为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求直线关系式，一次函数与几何图形，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形式解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$