第17章 函数及其图象（中等类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

第17章 函数及其图象思维导图 【类型覆盖】 类型一、函数的三种表示方法 【解惑】下列曲线中不能表示 y是 x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解题关键． 根据函数的定义，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，确定正确的选项． 【详解】解：选项ACD中，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A、C、D均不符合题意； B、对于自变量x的值，因变量y不是唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意； 故选：B． 【融会贯通】 1．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下表关系：设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当时，y的值为（   ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．85 B．75 C．65 D．55 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，据此求解即可． 【详解】解：由图表可以看出该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，即该商品的销售价每增加1元，销售量就减少1件， 由110到115售价增加5元，则销售量减少5件， ∴当时，． 故选：C． 2．对于关系式，有下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与无关；④与的关系还可以用列表法和图像法表示．其中正确的说法是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据一次函数的定义可知，为自变量，为函数，也叫因变量；取全体实数；随的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图像法． 【详解】解：对于关系式，①是自变量，是因变量，正确；②的数值可以任意选择，正确；③y是变量，随的变化而变化，故③错误；④与的关系还可以用列表法和图像法表示，正确， 综上所述正确的说法有：①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解答本题的关键． 3．春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由 (2)求与之间的关系式 (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 【答案】(1)不符合题意，理由见详解 (2) (3)18，16，随的增大先增大后减小 【分析】本题主要考查函数关系式及求函数值，根据题意正确表示出花圃的长是解题关键． （1）根据，且，可得，再将代入求值后与墙长9米比较可得； （2）根据长方形的面积公式即可得关于的函数关系式； （3）将、代入求值可完善表格，由表格中随的增减性可得． 【详解】（1）解：不符合题意， 由题意得，， 当时，， 不符合题意； （2）解：； （3）解：当时，， 当时，， 完成表格如下： （米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 （米） 13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5 由表可知，随的增大先增大后减小， 故答案为：随的增大先增大后减小． 类型二、求自变量的值或函数值 【解惑】变量y与x之间的关系式是，当自变量时，因变量y的值是（    ） A． B． C．55 D．105 【答案】A 【分析】此题考查了求因变量的值，把自变量的值代入关系式计算即可． 【详解】解：当自变量时，， 故选：A 【融会贯通】 1．变量与之间的关系是，当自变量时，因变量的值是（    ） A．9 B．15 C．4.5 D．1.5 【答案】A 【分析】本题考查了自变量和函数值，因为变量与之间的关系是，把代入，得，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入，得， 故选：A． 2．在地球某地，地表以下岩层的温度与所处深度之间的关系可以近似地用关系式来表示（如图）．当x的值为1时，相应的y值是 ；当x的值为6时，相应的y值是 ． 【答案】 55 230 【分析】本题考查了求代数式的值．分别把或代入函数关系式，即可解答． 【详解】解：当时，， 当时，， 故答案为：55；230． 3．小英在家里整理内务时发现：把一些相同规格的塑料凳子整齐地叠放在水平地面上，这摞塑料凳子的高度随着凳子的数量变化有一定的关系．于是小英对凳子的高度进行测量，具体变化的情况如下表所示： 凳子的数量个 高度 (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)用（）表示这摞凳子的高度，（个）表示这摞凳子的数量，请写出与之间的函数关系式； (3)当这摞凳子的高度为时，求这摞凳子的数量． 【答案】(1)凳子的数量是自变量，高度是因变量 (2) (3)个 【分析】（）根据表格中列举的变量即可求解； （）根据表格中数据变化规律求解即可； （）根据（）中的函数关系式，把代入求解即可； 本题考查了常量与变量，函数的表示方法，求自变量的值或函数值，理解变量与常量的意义并根据表格中数据的变化规律得出函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：通过表格所列举的变量可知，凳子的数量是自变量，高度是因变量； （2）解：由表格中两个变量的变化关系可得，， 即； （3）解：当时，， 解得， 答：当这摞凳子的高度为时，凳子的数量为个． 类型三、点到坐标轴的距离 【解惑】在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为（） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，用到的知识点为：点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值．根据点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值解答即可。 【详解】∵点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值， 即：， ∴点到轴距离为2． 故选：B． 【融会贯通】 1．平面直角坐标系内有一点，点到轴的距离是2，到轴距离是4，且点在第四象限内，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，第四象限点坐标的特征．熟练掌握点到坐标轴的距离，第四象限点坐标的特征是解题的关键． 由A到x轴的距离是2，到y轴距离是4，可得，，由A点在第四象限内，可得，，然后作答即可． 【详解】解：∵A到x轴的距离是2，到y轴距离是4， ∴，， ∵A点在第四象限内， ∴，， ∴点A的坐标是， 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，若点P在第四象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了求平面直角坐标系点的坐标．根据题意点到轴的距离是纵坐标，到轴的距离是横坐标，再根据第四象限点的特征，横坐标为正，纵坐标为负，即可求解． 【详解】解：点在第四象限，且点P到x轴的距离为2，则纵坐标为，到y轴的距离为1，则横坐标为， ， 故答案为：． 3．已知点． (1)若点N的坐标为，且直线轴，求点M的坐标； (2)若点M在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的特点，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． （1）根据平行于轴，纵坐标相等，可得，由此即可求解； （2）根据点在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等可得，，，由此即可求解． 【详解】（1）解：直线轴， ， 解得， ， 点M的坐标为； （2）解：由题意得， 点在第二象限， ，， ， 解得， ，， 点M的坐标为． 类型四、从函数图象中获取信息 【解惑】一列动车从甲地开往乙地后停止， 一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为，两车之间的距离为，如图中的折线表示y与x之间的函数关系，则两车速度相差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查从函数图象中获取信息，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据，分别求解两车的速度，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， 甲、乙两地相距1000千米， 点B的实际意义是两车出发后3小时相遇， 普通列车从乙地到达甲地时间是12小时，普通列车的速度为：（千米/时）， 动车的速度为：（千米/时）， ∴两车速度相差， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，曲线表示一只风筝离地面的高度随飞行时间变化而变化的情况，则下列说法错误的是（    ） A．风筝最初的高度为 B．时风筝的高度和时风筝的高度相同 C．时风筝的高度最高，为 D．到之间，风筝的高度持续上升 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象逐项判断即可得． 【详解】解：根据函数图象逐项判断如下： A、风筝最初的高度为，正确，不符合题意； B、时风筝的高度和时风筝的高度相同，均为，正确，不符合题意； C、时风筝达到最高高度为，正确，不符合题意； D、到之间，风筝飞行高度先上升后下降，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 2．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与x之间的函数图象如图②所示．则图②中的 ． 【答案】45 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，函数图象，速度与时间的关系，从函数图象获取信息是解题关键． 由图像可得，慧慧走，用了，利用路程与时间关系，求出提速前的速度，从而得出提速后的速度．在线段的过程中，利用路程与速度关系，即可得出慧慧所用的时间，从而得出的值，结合图像可得聪聪行走到了，用了，利用路程与时间关系，即可得出慧慧的速度，从而得出慧慧行走用的时间，即可求出． 【详解】解：由图像可得，慧慧从走到了时，总共用了， 故提速前的速度为， ∵慧慧提速后将速度提高到原来的倍， ∴慧慧提速后的速度为， 由图象可得线段的过程中，慧慧从处行走到了， ∴慧慧在线段的过程中所用的时间为， ∴的值为， 即聪聪从处行走到了时，用了， ∴慧慧的速度为， ∴慧慧行走用的时间为， 即， 故答案为：. 3．元旦期间，小鹿去游乐场乘过山车（如图①）．图②反映了某一段时间内小鹿在过山车上离地面的高度（米）与乘坐时间（分钟）之间的变化关系．请观察图象回答下列问题： (1)在这段时间内，小鹿离地面的最大高度是________米； (2)在4分钟到10分钟时，随着时间的增大，小鹿离地面的高度的变化趋势是________（填“变大”或“变小”）； (3)在这段时间内，多少分钟时，小鹿离地面的高度是25米？ 【答案】(1) (2)变小 (3)或 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，学会从函数的图象获取正确信息是解题的关键． （1）由图象即可直接得出答案； （2）由图象即可直接得出答案； （3）由图象即可直接得出答案． 【详解】（1）解：由图象可知： 在这段时间内，小鹿离地面的最大高度是米， 故答案为：； （2）解：由图象可知： 在4分钟到10分钟时，随着时间的增大，小鹿离地面的高度的变化趋势是变小， 故答案为：变小； （3）解：由图象可知： 在分钟或分钟时，小鹿离地面的高度是米， 答：在分钟或分钟时，小鹿离地面的高度是米． 类型五、一次函数的图象与性质 【解惑】定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（    ） A．该函数图象过点 B．该函数可由的图象向下平移3个单位长度得到 C．y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的性质以及一次函数平移的特点是关键．先根据定义得出函数解析式为，再根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，因此图象不经过点，故A选项结论错误； 的图象向下平移3个单位长度得到的图象，故B选项结论错误； ，因此y随x的增大而减小，故C选项结论错误； 当时，，当时，，即当时，，故D选项结论正确． 故选：D． 【融会贯通】 1．对于一次函数，下列命题是假命题的是（   ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象不经过第三象限 C．向左平移2个单位后经过原点 D．图象与y轴交于点 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，）当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小．根据一次函数的性质，以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判断． 【详解】解：A、∵，∴函数值随自变量的增大而减小，故A结论正确，是真命题，不符合题意； B、∵，，∴函数经过一、二、四象限，不经过第三象限，故B结论正确，是真命题，不符合题意； C、函数的图象向左平移2个单位后得，不经过原点，故C结论不正确，是假命题，符合题意； D、当时，，则函数图象与y轴交于点，故D结论正确，是真命题，不符合题意； 故选：C． 2．已知一次函数．若当时，函数有最小值，则k的值为 ． 【答案】7或/或7 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的增减性，再由x的取值范围得出时，或时，，分别代入函数解析式得出k的值即可． 【详解】解：当时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得：； 当时，函数y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得：； ∴k的值为7或． 故答案为：7或． 3．已知一次函数、和． (1)求一次函数与的图象的交点坐标； (2)若的图象经过（1）中的交点，求的值； (3)若当时，总有的图象在的图象的上方，则的取值范围是______（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】题考查了一次函数图象的交点坐标，一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）联立两个一次函数解二元一次方程组即可． （2）将代入即可解答． （3）求出过点时所对应的值，再结合图象解答即可． 【详解】（1）解：联立一次函数与可得， 解得：， 故一次函数与的图象的交点坐标是． （2）解：将代入可得：，解得：． （3）解：当时，， 将代入可得：，解得：， ∵当时，总有的图象在的图象的上方， 则的取值范围是． 类型六、反比例函数的图象与性质 【解惑】对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象分布在第一、三象限 B．图象经过点 C．过图象上任一点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为1 D．若点，都在图象上，且，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、， 反比例函数图象分布在第二、四象限， 故该选项不符合题意； B、， 反比例函数图象不经过点， 故该选项不符合题意； C、设， ， 过图象上任一点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为1， 故该选项符合题意； D、当时，， 故该选项不符合题意； 故选：C ． 【融会贯通】 1．已知反比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．其图象经过点 B．其图象分别位于第一、三象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键. 根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、当时，， 此函数图象过点，故本选项正确，不符合题意； B、∵， 此函数图象分别位于第一、三象限，故本选项正确，不符合题意； C、∵， 当时，y随着x的增大而减小，故本选项正确，不符合题意； D、当时，， 当时，，故本选项错误，符合题意， 故选：D． 2．已知点、、都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特点．分别把点、、代入反比例函数求出，即可比较出大小． 【详解】解：∵点、、在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴． 故答案为：． 3．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象相交于A，两点． (1)根据图中信息，求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求出点的坐标，并直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式即可； （2）先求出点B的坐标，再根据两个函数图象及交点坐标，直接写出不等式解集即可． 【详解】（1）解：由图象可知，点的坐标为，点的坐标为， 由题意得： ， 解得：． 一次函数的解析式为． 反比例函数的图象过点， 则， 反比例函数的解析式为． （2）解：对于，当时，则， 即点的坐标为． 当时，自变量的取值范围是或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数与反比例函数解析式，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． 类型七、一次函数的平移 【解惑】将直线向上平移2个单位长度后得到的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题一次函数()的平移，根据平移的性质“左加右减自变量，上加下减常数项”，即可找出平移后的直线解析式． 【详解】解：将直线向上平移2个单位长度后得到的函数解析式是． 故选A． 【融会贯通】 1．将某一次函数图象向右平移2个单位后得到函数的图象，则这个一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将某一次函数图象向右平移2个单位后得到函数的图象， 则这个一次函数的解析式为，即． 故选：D． 2．某一次函数的图象与直线平行，并且过点，则这个一次函数的图象与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式．根据题意可设该一次函数的解析式为，再把代入求出b，可得到该一次函数的解析式，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴可设该一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象过点， ∴， 解得：， ∴该一次函数的解析式为， 当时，， 解得：， ∴这个一次函数的图象与轴的交点坐标为． 故答案为： 3．如图，已知一次函数，与x轴的交点横坐标分别为6和，、的交点． (1)求、的函数解析式； (2)x取何值时，函数的图象在函数图象的上方？ (3)若点向下平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； 【答案】(1)直线l1的函数解析式为；直线l2的函数解析式； (2)当时，函数的图象在函数图象的上方 (3) 【分析】本题考查了待定系数法确定函数解析式以及一次函数与不等式，正确求出两个函数的解析式是解题的关键． （1）把点代入求得a的值，再把代入求得点P的坐标，利用待定系数法即可求得的函数解析式； （2）两直线的交点坐标为，根据图象即可得出答案， （3）根据平移的性质得到平移点的坐标，代入直线l1的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴的交点横坐标为，即交点为， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为； ∵、的交点． ∴， ∴ ∵直线与轴的交点横坐标为，即交点为， ∴， 解得：， ∴直线l1的函数解析式为； （2）∵ 、的交点， 由函数图象可得当时，函数的图象在函数图象的上方； （3）点向下平移个单位长度，向左平移个单位长度后 平移后点的坐标为即， ∵平移后的点恰好落在的图象上， ∴，解得： 类型八、反比例函数的对称性 【解惑】正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数图象的性质．由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴A、B两点关于原点对称， ∵A的坐标为， ∴B的坐标为， 故选：C． 【融会贯通】 1．已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．它的图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．它的图象不是中心对称图形 D．y随x的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，在每个象限内随的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，和是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键．通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案． 【详解】解：A、由点的坐标满足反比例函数，故A正确； B、由，反比例函数图象位于二、四象限，故B错误； C、由反比例函数的对称性，可知反比例函数关于直线和对称，是中心对称图形，故C错误； D、由反比例函数的性质，，在每个象限内，随的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D错误． 故选：A． 2．小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为；②该函数与y轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限；④该函数图象关于y轴对称； ⑤若，是该函数上两点，当时，一定有． 其中说法正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】①根据分式有意义的条件即可判断；②把代入即可；③当时，判断是否大于0即可；④取两个点代入验证即可；⑤取两个点代入验证即可．本题考查了函数的图象、函数自变量的取值范围及对称性，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①， ， 故①正确； ②当时，， 该函数与轴交于点， 故②正确； ③，， ∴当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 该函数图象不经过第四象限； 故③正确； ④若该函数图象关于轴对称， 则函数图象的每一个点都关于轴对称， 当时，， 当时，， ∵， 而与不关于轴对称， 故④错误； ⑤当时，取，时， ∴，， 则， 故⑤错误， 故答案为：①②③． 3．如何通过代数推理证明反比例函数图象的性质？代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．我们不妨来试试． 【理解】反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． 证明：在函数图象上任取一点，则点A关于原点对称的点B为（ ， ），因为 ，所以点也在反比例函数的图象上．因为A是反比例函数图象上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上，所以反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． 【拓展】反比例函数的图象关于直线对称，关于直线对称．请运用代数推理进行证明； 【提升】试证明：对于反比例函数，当时，y随x的增大而减小． 【答案】【理解】， 【拓展】证明见解析 【提升】证明见解析 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，坐标系中关于原点对称、关于直线对称和关于直线对称的点的特征，准确写出关于原点、直线和直线的对称点是解决本题的关键． （1）根据题意补充完整即可； （2）利用在平面直角坐标系中，设点，则点关于原点的对称点为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，在反比例函数的图象上任取一点，得出对称点，即可求解； （3）设点，都是反比例函数的图象上的点，且，判断与大小即可． 【详解】解：【理解】在函数图象上任取一点， 则点A关于原点对称的点B为， 因为， 所以点也在反比例函数的图象上． 因为A是反比例函数图象上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上， 所以反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点； 故答案为：，； 【拓展】①在反比例函数的图象上任取一点， 则点关于直线对称的点为， ∵， ∴点也在反比例函数的图象上， ∵点是反比例函数上的任意一点，它关于直线对称的点都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象关于直线对称； ②在反比例函数的图象上任取一点， 则点关于直线对称的点为， ∵， ∴点也在反比例函数的图象上， ∵点是反比例函数上的任意一点，它关于直线对称的点都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象关于直线对称； 【提升】设点，都是反比例函数的图象上的点，且， ∵， ∴， 即对于反比例函数，当时，随的增大而减小． 类型九、一次函数与一元一次方程 【解惑】若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，， 直线一定经过点， 故选：C． 【融会贯通】 1．已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程的解其实就是当时一次函数与x轴的交点横坐标解答．根据交点坐标的含义可得答案. 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标是． ∴只有选项B的图象符合题意， 故选：B 2．如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 故答案为：． 3．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 小明的探究过程如下： 列表： x … m 0 1 2 3 4 … y … 4 3 2 1 2 3 4 5 n … (1)补全表格：______，______； (2)以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线．    (3)根据表格及函数图象探究函数性质： ①该函数的最小值为______； ②当时，函数值y随自变量x的增大而_______（填“增大”或“减小”）； ③若关于x的方程有两个不同的解，求b的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①1；②增大；③ 【分析】（1）求出当时x的值，当时y的值即可得到答案； （2）先描点，然后连线画出对应的函数图象即可； （3）根据（2）所画函数图象进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，则， ∴，即， 在中，当时，，即， 故答案为：，； （2）解：如图所示，即为所求；    （3）解：①由函数图象可知，该函数的最小值为1， 故答案为：1； ②由函数图象可知，当时，函数值y随自变量x的增大而增大， 故答案为：增大； ③由函数图象可知，当时，直线与直线有两个不同的交点，即方程有两个不相同的解， ∴．    【点睛】本题主要考查了求一次函数的函数值和自变量，画一次函数图象，一次函数的性质等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． 类型十、一次函数与二元一次方程组 【解惑】已知二元一次方程组的解为，则在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标，根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像的交点坐标为：， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，若一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两条直线的交点与二元一次方程组的解， 先将点代入正比例函数关系式，可求出交点坐标，再根据两条直线交点的坐标与方程组的解之间的关系得出答案． 【详解】解：当时，， ∴交点坐标为， ∴方程组的解是． 故选：A． 2．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 3．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)填空： ①线段的长度为______； ②方程组的解为______； (2)求直线的函数表达式； (3)已知点为直线上一动点，过点作轴交直线于点．设点的横坐标为，当时，求出点的坐标；结合图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)①，②； (2) (3)的坐标为或，当时，的取值范围是或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式： （1）①对于，分别令，，可求出点，再由勾股定理，即可求解；②根据直线的交点坐标与二元一次方程的解的关系，即可求解； （2）利用待定系数法解答，即可求解； （3）根据，轴，可得的坐标为或，即可求解． 【详解】（1）解：①对于， 令，，令，， ∴点， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵直线与轴，与直线与轴相交于点， ∴方程组的解为； 故答案为：； （2）解：由题意知，直线经过点和点， ∴解得：， ∴直线的函数表达式为：． （3）解：由题意得的坐标为的坐标为的， ∵，轴， ∴， 解得：，， ∴的坐标为或， ∴当时，的取值范围是或． 【一览众山小】 1．反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意将各项的横坐标代入反比例函数即可解答． 【详解】解：A将代入反比例函数得到，故A项不符合题意； B项将代入反比例函数得到，故B项不符合题意； C项将代入反比例函数得到，故C项不符合题意； D项将代入反比例函数得到，故D项符合题意； 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为4，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据反比函数k的几何意义求k值，三角形面积的计算，解题的关键是根据中线的性质求得的面积． 根据线段中点定义得，再由可得，根据反比例函数系数k的几何意义得，以此即可求解． 【详解】解：∵C为的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴． 故选：A． 3．一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答本题的关键．根据选项中正比例函数图象确定k值，再去判定一次函数经过的象限即可判定． 【详解】解：A、选项中没有过原点的直线，此选项不符合题意； B、由正比例函数图象可知，则，故一次函数图象经过第一、三、四象限，此选项符合题意； C、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； D、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； 故选：B． 4．已知点在一次函数的图像上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数上点的特点以及代数式求值，利用一次函数图像上点的坐标特征可得出，将变形为即可求出结论． 【详解】解：∵点在一次函数的图像上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．已知平面直角坐标系第四象限内的点到两坐标轴的距离都是3，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了点的坐标，正确掌握各坐标系中点的坐标特点是解题关键．利用第四象限点的坐标性质结合到两坐标轴的距离都是3，得出其坐标即可． 【详解】解：∵点P在平面直角坐标系中第四象限， ∴P点横坐标为正数，纵坐标为负数， ∵P到两坐标轴的距离都是3， ∴点P的坐标是． 故答案为：． 6．如图，已知直线与直线的交点的坐标为，那么方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据两直线的交点求二元一次方程组的解，一次函数图象上的点的坐标特征．先求出两直线的交点坐标，从而即可得出答案． 【详解】解：∵直线与直线的交点的坐标为， ∴把代入中，可得， ∴直线与直线的交点的坐标为， ∴方程组的解是， 故答案为：． 7．已知一次函数的图象经过、两点． (1)求这个函数的解析式； (2)判断点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)点在直线上 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，列一次函数解析式并求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把、代入进行计算，即可作答． （2）把代入，算出，即可作答． 【详解】（1）解：设所求的一次函数的解析式为． ∵一次函数的图象经过、两点 ∴， 解得， 所求的解析式为； （2）解： 依题意，当时，， 点在直线上． 8．已知是的一次函数，当时，；当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当为何值时，？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数解析式为， 把代入，得： ，解得 ． （2）解：当时， ，解得：． 9．如图，一次函数的图象分别与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且． (1)求函数和的表达式； (2)已知点，试在该反比例函数图象上确定一点，使得，求此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出反比例函数的解析式，根据，求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）根据，得到在线段的中垂线上，进而求出点的纵坐标，代入反比例函数的解析式，求出的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， ∵， ∴， 把，代入，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）∵， ∴在线段的中垂线上， ∵，， ∴的中点坐标为：， ∴点在直线上， ∴点的纵坐标为：1， ∴点的横坐标为：， ∴点的坐标为：． 10．如图，一次函数经过点，与反比例函数图象相交于，与轴交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，反比例函数与几何综合．熟练掌握一次函数解析式，反比例函数解析式是解题的关键． （1）先把点坐标代入求出，得到一次函数解析式，然后确定点的坐标，利用待定系数法求出的值，得到反比例函数的解析式； （2）先利用一次函数解析式确定点坐标，然后根据三角形面积公式求解. 【详解】（1）解：∵一次函数经过点 ， ， ∴一次函数的表达式为， 把代入得, ， ， ∵反比例函数图象经过点， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：一次函数与轴的交点为， ， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 函数及其图象思维导图 【类型覆盖】 类型一、函数的三种表示方法 【解惑】下列曲线中不能表示 y是 x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下表关系：设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当时，y的值为（   ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．85 B．75 C．65 D．55 2．对于关系式，有下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与无关；④与的关系还可以用列表法和图像法表示．其中正确的说法是 （填序号）． 3．春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由 (2)求与之间的关系式 (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 类型二、求自变量的值或函数值 【解惑】变量y与x之间的关系式是，当自变量时，因变量y的值是（    ） A． B． C．55 D．105 【融会贯通】 1．变量与之间的关系是，当自变量时，因变量的值是（    ） A．9 B．15 C．4.5 D．1.5 2．在地球某地，地表以下岩层的温度与所处深度之间的关系可以近似地用关系式来表示（如图）．当x的值为1时，相应的y值是 ；当x的值为6时，相应的y值是 ． 3．小英在家里整理内务时发现：把一些相同规格的塑料凳子整齐地叠放在水平地面上，这摞塑料凳子的高度随着凳子的数量变化有一定的关系．于是小英对凳子的高度进行测量，具体变化的情况如下表所示： 凳子的数量个 高度 (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)用（）表示这摞凳子的高度，（个）表示这摞凳子的数量，请写出与之间的函数关系式； (3)当这摞凳子的高度为时，求这摞凳子的数量． 类型三、点到坐标轴的距离 【解惑】在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为（） A． B．2 C． D．1 【融会贯通】 1．平面直角坐标系内有一点，点到轴的距离是2，到轴距离是4，且点在第四象限内，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，若点P在第四象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为 3．已知点． (1)若点N的坐标为，且直线轴，求点M的坐标； (2)若点M在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，求点M的坐标． 类型四、从函数图象中获取信息 【解惑】一列动车从甲地开往乙地后停止， 一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为，两车之间的距离为，如图中的折线表示y与x之间的函数关系，则两车速度相差（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，曲线表示一只风筝离地面的高度随飞行时间变化而变化的情况，则下列说法错误的是（    ） A．风筝最初的高度为 B．时风筝的高度和时风筝的高度相同 C．时风筝的高度最高，为 D．到之间，风筝的高度持续上升 2．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与x之间的函数图象如图②所示．则图②中的 ． 3．元旦期间，小鹿去游乐场乘过山车（如图①）．图②反映了某一段时间内小鹿在过山车上离地面的高度（米）与乘坐时间（分钟）之间的变化关系．请观察图象回答下列问题： (1)在这段时间内，小鹿离地面的最大高度是________米； (2)在4分钟到10分钟时，随着时间的增大，小鹿离地面的高度的变化趋势是________（填“变大”或“变小”）； (3)在这段时间内，多少分钟时，小鹿离地面的高度是25米？ 类型五、一次函数的图象与性质 【解惑】定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（    ） A．该函数图象过点 B．该函数可由的图象向下平移3个单位长度得到 C．y随x的增大而增大 D．当时， 【融会贯通】 1．对于一次函数，下列命题是假命题的是（   ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象不经过第三象限 C．向左平移2个单位后经过原点 D．图象与y轴交于点 2．已知一次函数．若当时，函数有最小值，则k的值为 ． 3．已知一次函数、和． (1)求一次函数与的图象的交点坐标； (2)若的图象经过（1）中的交点，求的值； (3)若当时，总有的图象在的图象的上方，则的取值范围是______（直接写出结果）． 类型六、反比例函数的图象与性质 【解惑】对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象分布在第一、三象限 B．图象经过点 C．过图象上任一点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为1 D．若点，都在图象上，且，则 【融会贯通】 1．已知反比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．其图象经过点 B．其图象分别位于第一、三象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 2．已知点、、都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 3．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象相交于A，两点． (1)根据图中信息，求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求出点的坐标，并直接写出当时，自变量的取值范围． 类型七、一次函数的平移 【解惑】将直线向上平移2个单位长度后得到的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．将某一次函数图象向右平移2个单位后得到函数的图象，则这个一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．某一次函数的图象与直线平行，并且过点，则这个一次函数的图象与轴的交点坐标为 ． 3．如图，已知一次函数，与x轴的交点横坐标分别为6和，、的交点． (1)求、的函数解析式； (2)x取何值时，函数的图象在函数图象的上方？ (3)若点向下平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； 类型八、反比例函数的对称性 【解惑】正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．它的图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．它的图象不是中心对称图形 D．y随x的增大而增大 2．小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为；②该函数与y轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限；④该函数图象关于y轴对称； ⑤若，是该函数上两点，当时，一定有． 其中说法正确的有 ．（填序号） 3．如何通过代数推理证明反比例函数图象的性质？代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．我们不妨来试试． 【理解】反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． 证明：在函数图象上任取一点，则点A关于原点对称的点B为（ ， ），因为 ，所以点也在反比例函数的图象上．因为A是反比例函数图象上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上，所以反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． 【拓展】反比例函数的图象关于直线对称，关于直线对称．请运用代数推理进行证明； 【提升】试证明：对于反比例函数，当时，y随x的增大而减小． 类型九、一次函数与一元一次方程 【解惑】若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 3．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 小明的探究过程如下： 列表： x … m 0 1 2 3 4 … y … 4 3 2 1 2 3 4 5 n … (1)补全表格：______，______； (2)以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线．    (3)根据表格及函数图象探究函数性质： ①该函数的最小值为______； ②当时，函数值y随自变量x的增大而_______（填“增大”或“减小”）； ③若关于x的方程有两个不同的解，求b的取值范围． 类型十、一次函数与二元一次方程组 【解惑】已知二元一次方程组的解为，则在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为（      ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，若一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 3．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)填空： ①线段的长度为______； ②方程组的解为______； (2)求直线的函数表达式； (3)已知点为直线上一动点，过点作轴交直线于点．设点的横坐标为，当时，求出点的坐标；结合图象，直接写出当时，的取值范围． 【一览众山小】 1．反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为4，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．已知点在一次函数的图像上，则的值为 ． 5．已知平面直角坐标系第四象限内的点到两坐标轴的距离都是3，则点的坐标为 ． 6．如图，已知直线与直线的交点的坐标为，那么方程组的解为 ． 7．已知一次函数的图象经过、两点． (1)求这个函数的解析式； (2)判断点是否在该函数图象上． 8．已知是的一次函数，当时，；当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当为何值时，？ 9．如图，一次函数的图象分别与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且． (1)求函数和的表达式； (2)已知点，试在该反比例函数图象上确定一点，使得，求此时点的坐标． 10．如图，一次函数经过点，与反比例函数图象相交于，与轴交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$