第17章 函数及其图象（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

第17章 函数及其图象思维导图 【类型覆盖】 类型一、图象规律变化 【解惑】如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查长度和时间之间的图象描述，根据题意可知货车进入隧道的长度和时间的关系具体可描述为：货车前期进入、完全进入和驶离隧道三个阶段，第一阶段随时间的增加长度逐渐增加，第二间阶段随时间增加但是长度不变，第三阶段随时间的增加长度逐渐减小，由题意知货车匀速通过一条隧道，则增加或减小的长度随时间均匀变化． 【详解】解：当货车开始进入时c长度逐渐变长，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时长度达到最大，当货车开始出来时长度逐渐变小．另外是匀速运动，长度随时间的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型． 故选：C． 【融会贯通】 1．近年，“李子坝轻轨站”成为了外地游客来渝必打卡之地．如图，列车匀速通过站台（站台长大于列车长）时，列车进入站台的时间x与其在站台内的长度y之间的关系用图像描述可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实际问题中的函数图象，理解题意，明确各个时间段内y与x之间的关系是解题的关键．根据题意可以分为三个阶段，当火车开始进入时y逐渐变大，火车完全进站后一段时间内y不变，当火车开始出来时y逐渐变小，由此得解. 【详解】解：根据题意可知，当列车开始进入时，y随着x增大而逐渐变大；当列车完全进站后，由于站台长大于列车长，所以列车完全进入后一段时间内y不变，在这个阶段，对应图象为一段平行于x轴的线段；当列车开始出站时，y随着x增大而逐渐变小． 故选：B． 2．如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满. 【答案】4 【分析】根据函数图像可得正方体的棱长为10cm，同时可得水面上升从10cm到20cm,所用的时间为16秒，结合前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒可得答案. 【详解】解：由题意可得:12秒时,水槽内水面的高度为10cm,12秒后水槽内水面高度变化趋势改变，正方体的棱长为10cm； 没有立方体时,水面上升从10cm到20cm,所用的时间为:28-12=16秒 前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒 将正方体铁块取出, 又经过4秒恰好将此水槽注满. 故答案：4 【点睛】本题主要考查一次函数的图像及应用，根据函数图像读懂信息是解题的关键. 3．小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速度返回家，父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家，则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系是 （只需填序号） 【答案】④② 【详解】∵小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回， ∴表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象是②； ∵父亲看了10分报纸后，用了15分返回家， ∴表示父亲离家的时间与距离之间的关系的图象是④ 类型二、动点几何图象 【解惑】如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点且图象是轴对称图形，则的面积是（    ） A．30 B．36 C．60 D．72 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，而从C向A运动时，先变小后变大，从而可求出与的长度． 【详解】解：根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大， 由图象可知：点P从B向C运动时，的最大值为13，即， 由于M是曲线部分的最低点， ∴此时最小，即，， ∴由勾股定理可知：， 由于图象的曲线部分是轴对称图形， ∴， ∴， ∴的面积为：． 故选C． 【融会贯通】 1．如图①，动点从点出发，以的速度沿的路线运动，记三角形的面积为，与点的运动时间的关系如图②所示，若，则，的值分别为（   ） A．24，17 B．12，17 C．24，18 D．12，18 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．根据动点的路程与运动时间的关系依次求出点在不同线段上运动的状态，分别计算即可． 【详解】解：由题得五段函数分别是点在、、、、上所形成的， 当时，点在上运动， ， ， ； 当时，点在上运动， ， 当时，点在上运动， ， ， 点在上运动的时间， ， 点在上运动的时间， ， 故选：A． 2．如图1，在长方形中，动点P从点B出发，沿、、运动至点A停止，设点P的运动路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则长方形的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正确理解两个图的数据关联是解题的关键．根据函数的图象、结合图形求出、的值，再根据长方形的周长公式得出长方形的周长． 【详解】解：当点P运动到点C、D之间时，的面积不变， 时，y不发生变化， ，， 所以长方形的周长是：． 故答案为：16． 3．如图1，在中，，D是边上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则线段的长和线段的长分别为 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是动点问题的函数图像，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是：弄清楚不同时间段，图像和图形的对应关系，进而求解． 从图像得出看，当时，重合，此时，则，即当时，为以点为顶点腰长为的等腰三角形，进而求解． 【详解】解：从图像看，当时， ， 即时， ， 当时，，即时，重合， 此时，则， 即当时，为以点为顶点腰长为的等腰三角形，如下图： 过点作于点， 在中，， 则， 在中，， 故答案为：，． 类型三、坐标中的规律 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，解题关键是求出运动后的坐标，由题意易知半圆的弧长为，然后可得点每秒走个半圆，即可求解． 【详解】半径为1个单位长度的半圆的弧长为 点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， 点每秒走个半圆． 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动， 运动时间为1秒时，点的坐标为； 运动时间为2秒时，点的坐标为； 运动时间为3秒时，点的坐标为； 运动时间为4秒时，点的坐标为； 运动时间为5秒时，点的坐标为； 运动时间为6秒时，点的坐标为 点的横坐标等于运动时间，纵坐标以四个数为一个循环组循环． 第2025秒时，点的坐标是， 故选C． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫作点的友谊点，已知点的友谊点为点，点的友谊点为点，点的友谊点为点依此类推，当点的坐标为时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，发现点坐标的变化规律是解题的关键． 根据友谊点的定义依次求出的坐标，可得每4个点为一个循环，每个循环内的点的坐标分别为、、、，然后据此规律求解即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的友谊点为点，即； 同理可得，，，，， ……， 以此类推，可知每4个点为一个循环，每个循环内的点的坐标分别为，，，， ∵， ∴点的坐标为． 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查坐标规律探究，等边三角形的性质，过点作，过点作，推出的纵坐标为，即可得出结果． 【详解】解：∵点A的坐标是， ∴， ∵等边三角形，， ∴，即：的纵坐标为， 同理：，即的纵坐标为， 依次类推，可知：的纵坐标为， ∴点的纵坐标为； 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动2个单位长度，其行走路线如图所示，则点的坐标为 ；点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律问题，根据图像先将点的坐标求出来，然后得到规律，即可求得结果，利用移动规律得出坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题可得点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； ， 每四次一循环，并且向右平移个单位长度， ∴点的坐标为； ， ∴点的坐标为， 故答案为：，． 类型四、一次函数中的不等式与面积 【解惑】如图，直线与直线相交于点，且两直线分别与轴分别交于，两点，且点坐标为． (1)求点坐标； (2)一元一次方程的解为__________； (3)若直线上有一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把代入求出b的值，即可得出点P的坐标； （2）根据直线与轴交于点，且点B的坐标为，求出方程的解即可； （3）先求出，再求出，得出，列出方程，求出，最后求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点P的坐标为； （2）解：∵直线与轴交于点，且点B的坐标为， ∴一元一次方程的解为； （3）解：把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 把代入得：， 解得：； ∴此时点Q的坐标为； 把代入得：， 解得：； ∴此时点Q的坐标为； 综上分析可知：点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线围成的三角形面积，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 【融会贯通】 1．已知一次函数的图象如图所示，根据图象，解决下列问题： (1)求函数与交点P的坐标； (2)当时，x的取值范围是 ； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的综合应用，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）联立两个函数解析式，求出点坐标即可； （2）图象法求出x的取值范围即可； （3）连接，分割法求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：联立，解得：， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴， 由图象可知：当时，； 故答案为：； （3）∵， ∴当时，， ∴， 由（1）（2）知：，， 连接，则：四边形的面积． 2．已知一次函数，的图象如图所示，根据图象，解决下列问题： (1)求交点P的坐标； (2)当时，写出的取值范围． (3)求出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数及一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是利用数形结合的思想． （1）根据图象可得两个函数的图形的交点坐标； （2）根据图象可得x的取值范围； （3）根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 可得交点P的坐标为； （2）解：根据图象可得：当时，的取值范围是， （3）解：当时， ∴，        ∴ 3．如图，已知函数的图象与轴交于点，与轴交于点；一次函数：的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点、，且点的坐标为． (1)求一次函数的表达式，点，，的坐标； (2)若，直接写出的取值范围． (3)求四边形的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式：，，， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图象与性质、不等式与函数图象的关系等知识，熟练掌握一次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． （1）利用待定系数确定函数解析式即可得到答案，然后利用一次函数图象与性质代值求解即可求出点，，的坐标； （2）利用不等式与函数图象的关系，数形结合，通过函数关系解不等式即可得到答案； （3）过作轴于，如图所示，由代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：解：把代入中，得即， 把，，代入中，得， 解得， 一次函数的表达式； 直线，令，得到，即， 令，得到，即， 直线，令，得到，即； （2）解：过点、点作轴的垂线，如图所示： 由（1）知、， 表示一次函数：的图象在轴的上方，函数的图象在一次函数：的图象上方，求不等式的解集就是找一次函数：的图象在轴的上方，函数的图象在一次函数：的图象上方部分对应的的范围， ； （3）解：过作轴于，如图所示： ，，； ． 类型五、一次函数的应用——分配方案问题 【解惑】“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲，乙两个仓库分别可运出和有机化肥，A，B两个果园分别需要和有机化肥．已知从甲仓库到A果园15千米，到B果园20千米；从乙仓库到A果园25千米，到B果园20千米． 设甲仓库运往A果园有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元． (1)根据题意，填写下表． 运量 运费/元 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A果园 x B果园 (2)设总运费为y元，求y关于x的函数解析式，写出x的取值范围． (3)怎样调运总运费最省，最省的总运费是多少元？ 【答案】(1)；；； (2) (3)从甲仓库运往A果园有机化肥，从乙仓库运往A果园有机化肥，运往B果园有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据已知量列出整式，即可求解； （2）总运费运往甲仓库的运费运往乙仓库的运费，据此列出一次函数，即可求解； （3）由，且，根据一次函数的增减性，求出运费最省时的方案，即可求解； 理解实际意义，能根据一次函数的性质进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： 甲仓库运往果园：（）， 乙仓库运往果园： （）， 甲仓库运往果园所需运费：（元）， 乙仓库运往果园所需运费：（元）； 故答案：；；；； （2）解：， 即（）； （3）解：在一次函数中， ，且， ∴当时， y最小， （）， （）， 答：从甲仓库运往A果园有机化肥，从乙仓库运往A果园有机化肥，运往B果园有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元． 【融会贯通】 1．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【答案】(1) (2)总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 【分析】（1）设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨，再根据每吨的运费列出总运费y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围即可； （2）根据一次函数的性质和x的取值范围，求出最低的调运方案及最低运费即可； 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组的实际应用问题，用x表示运往各地的吨数是解决本题的关键． 【详解】（1）解：设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨， 则总费用 整理得： ∵， 解得， 即总运费y关于x的函数关系式为； （2）∵ ， ∴ y随x的增大而减小 ∵， ∴当时，最低运费为：， 此时从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨． 答：总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 2．甲村和乙村共有22000吨肥料需要运往A，B两地，其运费单价如下表： 收货地 发货地 A B 甲村 15元/吨 20元/吨 乙村 24元/吨 25元/吨 若将甲村的肥料全部运往B地，乙村的肥料全部运往A地，且所需运费相等． (1)求甲、乙两村各有多少吨肥料； (2)若甲、乙两村需要给A地运输肥料共9000吨，且甲村最多只能给A地运输5000吨肥料，问怎样调运可使运费最少？并求出最少运费． 【答案】(1)甲村有12000吨肥料，乙村有10000吨肥料 (2)调运方案见解析；最少运费461000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一次函数的应用． （1）设甲村有x吨肥料，则乙村有吨肥料，根据所需运费相等列关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）设甲村往A地运输了a吨肥料，总运费为W元，则往B地运输了吨肥料，那么乙村运往A地吨肥料，往B地运往吨肥料，利用总运费每吨所需运费运输数量，即可得出W关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设甲村有x吨肥料，则乙村有吨肥料， 由题意得，， 解得，， ∴， ∴甲村有12000吨肥料，乙村有10000吨肥料； （2）解：设甲村往A地运输了a吨肥料，总运费为W元，则甲村往B地运输了吨肥料， 那么乙村运往A地吨肥料，往B地运往吨肥料， ， ． 又甲村最多只能只能给A运输5000吨肥料，即， 又， 随a的增大而减小， 当时，W有最小值，最小值为461000． 答：当甲村往A地运输5000吨肥料，往B地运输7000吨肥料，乙村运往A地4000吨肥料，往B地运往6000吨肥料时，总运费最少，最少运费为461000元． 3．某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； (2)求出与的函数关系式； (3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 【答案】(1)元，千克 (2) (3)从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式和不等式组，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意直接得出结论； （2）根据题意和表格中的数据，可以得到与的函数关系式； （3）根据（2）中的函数关系式和的取值范围，利用一次函数的性质，即可得到怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省． 【详解】（1）解：从甲养殖场调运鸡蛋千克，则从乙养殖场调运鸡蛋千克， 则从甲养殖场调运鸡蛋的运费为：， 故答案为：元，千克； （2）解：根据题意得：， 与的函数关系式为：； （3）解：由（2）知，， ， 随的增大而增大， ，， ， 当时，取得最小值， 此时， 答：当从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋时，每天的总运费最省． 类型六、一次函数的应用——最大利润问题 【解惑】春节饰品不仅具有装饰作用，还蕴含着丰富的文化内涵和美好的寓意．春节饰品种类繁多，其中福字、春联、中国结和红灯笼最受市民喜爱．某超市推出了两款春节饰品套装A、B礼盒．已知购买3盒礼盒与购买1盒礼盒一共需要250元，购买2盒礼盒与购买3盒礼盒一共需要400元． (1)购买1盒礼盒与购买1盒礼盒分别需要多少元？ (2)某公司准备在该商场购买A，B两款春节饰品套装礼盒共70盒，且购买礼盒的数量不超过40盒，作为春节团建会的抽奖奖品．经过商谈，商场给予该公司一定优惠，礼盒全部八折，而礼盒不打折，请问公司应该如何在该商场购买A，B两款礼盒才能使所付费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1)购买1盒礼盒与购买1盒礼盒分别需要元，元； (2)当时，最低费用为元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用； （1）设购买1盒礼盒与购买1盒礼盒分别需要元，元，根据购买3盒礼盒与购买1盒礼盒一共需要250元，购买2盒礼盒与购买3盒礼盒一共需要400元，再建立方程组解题即可； （2）设该商场购买A款礼盒盒，则购买B款礼盒盒，费用为元，结合题意可得，再结合一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设购买1盒礼盒与购买1盒礼盒分别需要元，元，则 ∴， 解得：， 答：购买1盒礼盒与购买1盒礼盒分别需要元，元； （2）解：设该商场购买A款礼盒盒，则购买B款礼盒盒，费用为元， ∴， ∵，， ∴当时，最低费用为（元）． 【融会贯通】 1．某果园实验基地推广甲、乙两种苹果苗，已知乙种苹果苗比甲种苹果苗每株贵2元，且用240元钱购买甲种苹果苗的株数与用360元钱购买乙种苹果苗的株数刚好相同． (1)求甲、乙两种苹果苗每株的价格； (2)某果农计划购买甲、乙两种苹果苗共300株．调查统计发现，甲、乙两种苹果苗的成活率分别为和，要使这批苹果苗的成活率不低于，且使购买苹果苗的费用最低，应如何选购苹果苗？最低费用是多少？ 【答案】(1)甲种苹果苗每株的价格为4元，乙种苹果苗每株的价格为6元； (2)购买甲种苹果苗120株，乙种苹果苗180株时费用最低，最低费用是1560元． 【分析】本题考查分式方程、一元一次不等式、一次函数的实际应用，根据已知等量关系正确列方程是解题关键，注意分式方程求解后要进行检验． （1）设甲种苹果苗每株的价格为x元，则乙种苹果苗每株的价格为元，根据题目中的等量关系列分式方程，求解即可； （2）设甲种苹果苗购买b株，则乙种苹果苗购买株，根据总成活率不低于列不等式，求出b的取值范围，列出总费用W与b的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种苹果苗每株的价格为x元，则乙种苹果苗每株的价格为元， 由题意得， 解得：， 经检验是原方程组的解． 所以甲种苹果苗每株的价格为4元， 乙种苹果苗每株的价格为元． 答：甲种苹果苗每株的价格为4元，乙种苹果苗每株的价格为6元； （2）解：设甲种苹果苗购买b株，则乙种苹果苗购买株，购买的总费用为W元， 由题意，， 解得， 由题意，， ∴， ∴W随b的增大而减小， ∴时，元． 答：购买甲种苹果苗120株，乙种苹果苗180株时费用最低，最低费用是1560元． 2．在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元／辆，紧凑型汽车的售价为20万元／辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为16万元； (2)该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使W最大，W最大为350万元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识： （1）设中级型汽车的进货单价为x万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为y万元，根据3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进中级型汽车a辆，则购进紧凑型汽辆，根据购中级型汽车的数量不低于25辆，得，再求出W关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）设中级型汽车的进货单价为x万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为16万元； （2）设购进中级型汽车a辆，则购进紧凑型汽辆， 由题意得：， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最大值，最大值， 此时，， 答：该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使W最大，W最大为350万元． 3．为了抓住我市旅游文化艺术节的商机，某商店决定购进A，B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要元． (1)求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这件纪念品的资金不少于元，但不超过元，若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润元，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进A种纪念品每件需要元，B种纪念品每件需要元 (2)当购进A种纪念品件，B种纪念品件时，获得的利润最大，最大利润是元． 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识． （1）设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念币每件价格为n元，购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要元．据此列出方程组，解方程即可； （2）设购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品件，用于购买这件纪念品的资金不少于元，但不超过元，据此列出不等式组，解不等式组得到，由一次函数性质即可得到答案． 【详解】（1）解：设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念品每件价格为n元， 根据题意可知：， 解得：． 答：购进A种纪念品每件需要100元，B种纪念品每件需要50元． （2）解：设购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品件， 根据题意可得： 解得：． 销售总利润为． 由由一次函数性质可知，y随x的增大而减小， 当时，获得利润最大，最大利润（元）． 答：当购进A种纪念品件，B种纪念品件时，获得的利润最大，最大利润是元． 类型七、一次函数的应用——行程问题 【解惑】如图1，一条直的公路上依次有、、三个汽车站，，，一辆汽车上午从离站的地出发，向站匀速行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达站时接到通知，要求中午前到达站，设汽车出发小时后离站，图2中折线表示接到通知前与之间的函数关系的图像．    (1)根据图像可知，休息前汽车行驶的速度为_________千米/小时；（直接写出结果） (2)求线段所表示的与之间的函数表达式（自变量的取值范围不需要写） (3)接到通知后，若汽车仍按原来的速度行驶，能否按时到达？如果不能按时到达，速度至少提高到多少可按时到达，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能按时到达，速度至少提高到千米/小时 【分析】本题考查了函数图象，一次函数解析式，一次函数的应用，从图象中获取正确的信息是解题的关键 （1）由图象可知，休息前汽车行驶的路程为千米，时间为小时，根据速度路程时间解题； （2）先求出点G的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可； （3）由题意知，接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程总时间为小时，由，判断并求出速度即可． 【详解】（1）解：由图像可知，休息前汽车行驶的速度为：千米/小时； （2）解：休息后按原速度继续前进行驶的时间为：， 点的坐标为， 设线段所表示的与之间的函数关系式为， 则：，解得， 线段所表示的与的函数关系式为：； （3）解：接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程所需时间为：， 不能按时到达，速度至少提高到：． 【融会贯通】 1．小明和小颖两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一路线到科技馆．如图折线和线段分别表示小明和小颖离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)小明的平均速度是_________千米/小时； (2)求线段的函数表达式； (3)当小颖追上小明时，小颖距科技馆还有多远？ 【答案】(1)9.6 (2) (3)8千米 【分析】本题考查一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）根据小明的总路程为24千米，总时间为2.5小时，进而可得出平均速度； （2）设直线解析式为，把和分别代入得出，令，解得：，得出点C的坐标为，设直线解析式为，把和分别代入求解即可得出答案； （3）把和联立得，求解进而可得出答案． 【详解】（1）解：小明的平均速度是千米/小时， 故答案为：9.6； （2）解：设直线解析式为， 把和分别代入得， 解得：， 所以， 令，， 解得：， 所以点C的坐标为， 设直线解析式为， 把和分别代入得， 解得：， ； （3）把和联立得 ， 解得：， ， 答：当小颖追上小明时，小颖距科技馆还有8千米． 2．快车、慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条笔直的公路匀速相向而行．快车到达乙地后休息一段时间，再以原速的倍原路返回甲地，快、慢两车恰好同时到达甲地．快车离甲地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数图像如图①所示． (1)甲、乙两地之间的距离为______，慢车的速度为______； (2)求线段所表示的y与x之间的函数表达式； (3)设快、慢车两车之间的距离为s（单位：），在图②中画出s与x之间的函数图象．（标明必要的数据） 【答案】(1)300，50 (2)线段所表示的y与x之间的函数表达式为； (3)见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图①中的数据，可以写出甲、乙两地之间的距离，计算出慢车的速度； （2）根据题意，可以算出点A的坐标，然后根据待定系数法，即可求得线段所表示的y与x之间的函数表达式； （3）根据题意，可以计算出和时，慢车走的路程，然后即可画出相应的函数图象． 【详解】（1）解：由图①可得， 甲、乙两地之间的距离为，慢车的速度为， 故答案为：300，50； （2）解：由图可得， 快车从甲到乙的速度为， 则快车从乙到甲的速度为， ∴快车从乙到甲的时间为：， ∴点A的横坐标为， ∴点A的坐标为， 设线段所表示的y与x之间的函数表达式为， ∵点，点在该函数图象上， ∴， 解得， 即线段所表示的y与x之间的函数表达式为； （3）解：当时，慢车行驶的路程为：， 当时，慢车行驶的路程为， 图象如图所示． . 3．某地为了更好地促进旅游业的发展，方便游客游览，推出乘坐观光车和大巴车两种游览方式（行驶路线相同），已知大巴车的速度是观光车速度的3倍，现有甲、乙两个旅游团，均准备从地出发前往地游览.其中甲旅游团选择乘坐观光车，并在中途停靠一段时间后继续按照原来的速度前往地，乙旅游团则在甲旅游团出发后选择乘坐大巴车，且比甲旅游团提前半小时到达地，甲，乙两个旅游团距地的路程与甲旅游团所用的时间之间的关系如图所示． (1)求大巴车的速度； (2)求大巴车距地的路程与之间的函数关系式； (3)求图中点的坐标，并说明点的实际意义． 【答案】(1)大巴车的速度 (2)大巴车距地的路程与的函数关系式为 (3)图中点的坐标为，点的实际意义是当甲旅游团乘观光车出发时，观光车与大巴车距离地18km或当甲旅游团乘观光车出发时，观光车与大巴车相遇或当甲旅游团乘观光车出发时，大巴车追上观光车 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解答本题的关键在于明确题意，利用一次函数的性质以及数形结合的思想求解． （1）根据图象结合路程、速度、时间的关系求解； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求观光车中途停靠后，距地的路程与的函数关系式为，再联立求点，再写出实际意义． 【详解】（1）解：根据图象可知，观光车的速度 则大巴车的速度； （2）解：设大巴车距地的路程与的函数关系式为， 由于图象经过点，所以， 解得， 所以大巴车距地的路程与的函数关系式为， （3）解：设观光车中途停靠后，距地的路程与的函数关系式为， 由于图象经过点，所以， 解得， 所以观光车中途停靠以后，距地的路程与时间的函数关系式为， 联立方程组，解得， 所以，点的坐标为， 点的实际意义是当甲旅游团乘观光车出发时，观光车与大巴车距离地18km， 或当甲旅游团乘观光车出发时，观光车与大巴车相遇， 或当甲旅游团乘观光车出发时，大巴车追上观光车． 类型八、反比例函数的应用 【解惑】某校举行田径运动会，学校准备了一些气球，某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求反比例函数的表达式； (2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少? (3)请你利用p与V的表达式解释，为什么超载的车辆容易爆胎． 【答案】(1) (2)气体的体积应不小于 (3)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）根据反比例函数的增减性解题即可； （3）根据实际情况分析解答即可． 【详解】（1）解：设函数表达式为， 根据图象，得， 所以，函数的表达式为． （2）解：当时，， ∵， ∴p随V的增大而减小． ∴要使气球不会爆炸，． ∴气体的体积应不小于． （3）解：由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 【融会贯通】 1．杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，相传商人范蠡观农夫从井中取水受到启发，发明了称，其中就利用了杠杆原理．（杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．）现某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最大距离为80cm），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：cm）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2．    (1)在图2中画出y与x的函数图象，并直接写出y关于x的函数表达式为 ，自变量x的取值范围是 ． (2)若点O的位置不变，在不改变点O与物体的距离及物体的质量的前提下，移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数y的最小值． 【答案】(1)y，； (2)3． 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，可以画出图象，设这个反比例函数的表达式为y，又过，进而求出k的值，故可判断得解； （2）依据题意，由当时，y中y随x的增大而减小，故当x的值最大时，y最小，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：如图， 设这个反比例函数的表达式为y， 又过， ∴． ∴反比例函数的解析式为，自变量x的取值范围是； （2）解：由题意，∵当时，中y随x的增大而减小． ∴当x的值最大时，y最小． ∴当时．弹簧的示数最小为3． 2．项目式学习 项目主题： 利用温室智能控制系统为大棚中黄瓜生长设置最优环境温度． 项目背景：为了促进温室大棚中黄瓜的光合作用和生长发育，需要控制环境温度在适宜的范围内．通常白天温度需保持在，夜间温度不低于． 数据搜集： 某“综合与实践”小组搜集了某温室大棚智能控制系统测试阶段0—24时的温度变化，并绘制出大棚内的温度（）随时间（时）变化的图象．如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时，温度降到． 问题解决： （1）观察图象，在上午7时，大棚内的温度达到智能控制系统设定的恒温温度，并开启恒温模式．请问：系统在升温阶段、每小时能将大棚内的温度提高______；智能控制系统设定的恒温温度是______． （2）观察图象，求该大棚在0—24时内，温度不低于的时间长度． （3）某地日出时间为，日落时间为．为保证该大棚中的黄瓜至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于．小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，请直接写出最少推迟多长时间能满足上述要求． 【答案】（1）2； 30；（2）小时；（3）最少推迟小时 【分析】本题考查根据图象解答问题，有理数计算，已知自变量值求函数值，待定系数法求一次函数反比例函数解析式等． （1）观察图象列式计算即可得到本题答案，再求出升温时直线的一次函数解析式，继而将代入即可求出第二空答案； （2）求出反比例函数解析式，进而求出在4时，大棚温度升至，在16时，大棚温度降至， 即可求出本题答案； （3）求出现在符合光照和温度的时间，进而根据要求即可解答． 【详解】解：根据图象可知： 设升温阶段的函数解析式为：， 将，代入中得： ，解得：， ∴， ∵将代入中得：， ∴智能控制系统设定的恒温温度是， 故答案为：2，30； （2）设段函数解析式为：， 将代入得：， ∵当时，， ∴段温度为的时刻为16时， 把代入函数，得， 解得, 段温度为的时刻为4时， ∴ ∴大棚在0—24时内，温度不低于的时间一个小时； （3）日出时间为，此时大棚气温是，符合要求，由（2）得到16时后，大棚气温低于，因此符合要求的时间只有小时，故至少需要推迟小时． 3．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而发生变化．学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中线段轴，为双曲线的一部分）．        (1)分别求出线段和双曲线所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围 (2)如果一道数学题需要讲20分钟，为了学生听课效果更好，要求学生的注意力指数不低于40，那么通过怎样的时间安排，教师能在学生听课效果更好的状态下讲完这道题？请通过计算说明． 【答案】(1)， (2)教师应该安排在上课5分钟到25分钟时间内，就能在学生注意力指数不低于40的状态下讲完这道题 【分析】此题主要考查了一次函数与反比例函数的应用．解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． （1）用待定系数法分别求出线段和双曲线的函数解析式即可； （2）把分别代入（1）中解析式即可求值． 【详解】（1）解：设线段的解析式为：， 把和代入得，， 解得， 直线的解析式为：； 设双曲线的函数关系式为：， 把代入得，， ， 双曲线的函数关系式为：． （2）解：当时，则， 解得； 当时，则， 解得， ． 教师应该安排在上课5分钟到25分钟时间内，就能在学生注意力指数不低于40的状态下讲完这道题． 类型九、一次函数与反比例函数结合应用 【解惑】如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出时的取值范围； (3)过线段AB上的动点，作轴的垂线，垂足为点M，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把代入得到，求得，得到反比例函数的表达式为； （2）求出点的坐标，根据函数的图形即可得到结论； （3）设，得到，根据题意列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ， ， ， ∴反比例函数的表达式为， （2）解：联立， 解得：或， ， 观察图象得，时，的取值范围为或， 即时，的取值范围为或； （3）解：设， ∵轴， ∴， ， ， 解得：， ． 【融会贯通】 1．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点和点D． (1)求反比例函数的解析式和点D的坐标； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)连接，，求的面积； (4)点P是反比例函数上一点，轴交直线于且，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)数的解析式为和点D的坐标为 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法等； （1）将点的坐标代入可求出，再将点的坐标代入反比例函数解析式即可求解反比例函数解析式，联立两解析式，解方程组即可得答案； （2）根据图象，由上方的图象对应的函数值较大，即可求解； （3）由即可求解； （4）设，则有，求出，可得，即可求解； 熟练利用一次函数与反比例函数的交点进行求解不等式及面积是解题的关键． 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ， 解得：， ， ， 解得：， ， ， 解得：，， 经检验：，是此方程的根， ， ； 故反比例函数的解析式为、点D的坐标为； （2）解：由图象得 当时， ； （3）解：当时， ， 当时， ， 解得：， ，， ， ； （4）解：设， ， 轴， ， ， 解得：， ， ， ， 或， 当时， 解得：，， 经检验：，是此方程的根； 当时， 整理得：， 不存在； 当时， ； 当时， ； 的坐标为或． 2．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数（）的图象交于C、两点，轴，垂足为E． (1)求反比例函数的表达式； (2)点M是反比例函数图象上点D右侧的点，且满足，求点M的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由，即可求解． 本题考查一次函数与反比例函数的综合，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的性质． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点， 令则；令则，解得，； ∴点A、B的坐标分别为：， 当时，，则， 点D的坐标为， 将点D的坐标代入反比例函数表达式得：， 则反比例函数表达式为：； （2）解：设点， 则， 则， ∴点． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出满足时x的取值范围． (3)连接并延长交的另一支于点C，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查数形结合思想的运用． （1）由反比例函数的性质可得，求解即可求出函数的解析式； （2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案； （3）过C点作轴，交直线于D，求出D的坐标，即可求得，然后根据 即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得，解得， ， 即反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， 由图象和两函数交点坐标，可知， 不等式的解集为：或； （3）解：如图，过点C作x轴的平行线交直线于点D， 由反比例函数图象的中心对称性质可知， ∵，在一次函数的图象上， ，解得， ∴直线解析式为：， 当时，， ∴， 类型十、一次函数与反比例函数的新定义 【解惑】在平面直角坐标系中，已知点，过点且垂直于轴的直线记为直线，过点且垂直于轴的直线记为直线．给出如下定义：将图形关于直线对称得到图形，再将图形关于直线得到图形，则称图形是图形关于点的双对称图形． (1)已知点的坐标为，点关于点的双对称图形点的坐标为___； (2)如图，的顶点坐标是，，． ①已知点的坐标是，写出点，，关于的双对称图形点的坐标___，___，___； ②已知点的坐标为，点，点，线段关于点的双对称图形线段位于内部（不含三角形的边），求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；；；②． 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了坐标的对称、新定义等内容，正确理解题意和熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据双对称图形的定义求出关于直线的对称点为，再求出，关于直线对称的点为，即可得解； （2）①根据点的坐标是，得两条对称轴分别为直线和直线，然后根据对称性质即可解决问题； ②先算出和的双对称图形点和的坐标，然后纵坐标高于1，纵坐标低于3即满足题意，从而建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：（1）由题意可知，点关于直线的对称点是， 点关于直线对称的点是， 点关于点的双对称图形点的坐标是； 故答案为：； （2）解：①点的坐标是， 两条对称轴分别为直线和直线， 点，，关于直线的对称点分别为，，， 点，，关于直线的对称点分别为，，， 点，，关于的双对称图形点的坐标，，； 故答案为：，，； ②， 两条对称轴分别为直线和直线， 点，关于直线的对称点分别为，， 点，关于直线的对称点分别为，， 在直线上， 若位于内部，则需要满足以下条件， ， ． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点M和点N的相关系数如下： 若O，M，N在一条直线上，； 若O，M，N不在一条直线上，． 如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为平面直角坐标系内一动点，请回答下列问题： (1) ； (2)若，则点P坐标为 ； (3)点P在第二象限，若，求y与x之间的关系式． (4)已知直线上恰好存在唯一的一个点P，同时满足，，求b的值. 【答案】(1)6 (2)或 (3) (4)8或 【分析】本题主要考查了定义新运算，求一次函数关系式，一次函数与几何图形， 对于（1），根据题意，得，代入数值计算即可； 对于（2），由题意可知点P在y轴上，再根据求出，进而得出坐标； 对于（3），根据，得，即可得，代入可得关系式； 对于（4），结合（3）可知，，接下来可知，且， 再画出和以及和的图像，可知只有直线过点符合题意，然后代入数值计算即可． 【详解】（1）∵点， ∴， ∴； 故答案为：6； （2）∵， ∴点P在y轴上，则， 解得， 所以点或． 故答案为：或； （3）若，则， 即， ∴； （4）由， 由（3）可知，， 其中 则，且， 画出和以及和， 从图像上看，只有直线过点符合题意， 将点或代入，得 或， 解得或． ． 2．定义：若一个一次函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． (1)函数，是否存在“平衡点”，若存在求出“平衡点”坐标，若不存在，说明理由； (2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值； (3)将一次函数的图象关于y轴对称，若对称后的图象存在“平衡点”则k的取值范围为___________． 【答案】(1)见解析 (2)0或或或或 (3)且 【分析】（1）根据一次函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”，得到．以此为据，计算判断即可． （2）设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，且 ，，根据题意，得，，确定“平衡点”，根据为等腰三角形，分类计算即可． （3）确定对称后函数解析式为，根据图象上存在“平衡点”，得到,表示出，根据，解答即可． 【详解】（1）解：设“平衡点”的坐标为，根据题意，得． 设是函数的平衡点，则即，不满足， ∴函数上不存在平衡点， 设是的平衡点，则， 解得， 故的平衡点是． （2）解：设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，且，，根据题意，得，， 解得，， ∴，， ∵过点A作轴，垂足为C． ∴， ∵为等腰三角形， 当时，得， ∴ 解得或； 当时，得， ∴ 解得； 当时，得， ∴ 解得或， 综上所述，0或或或或． （3）解：一次函数的图象关于y轴对称的直线为：， ∵上存在“平衡点”， ∴, ∴， ∴ 则且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了新定义问题，相反数的应用，方程组求交点，不等式的应用，坐标系中的对称变换，正确理解定义，熟练掌握解方程组是解题的关键． 3．【定义】对于点，规定，那么就把叫点的“点和数”． 例如：若，则，那么叫的“点和数”． 【概念理解】（）①在平面直角坐标系中，已知点，则以下个点，，中，与点的“点和数”相等的是______； ②若点在直线上，且与点的“点和数”相等，则点的坐标是______． 【尝试应用】（）点是矩形边上的任意点，点，，，，先在如下的平面直角坐标系中画出矩形，这时如果点是直线上的任意点，若存在两点的“点和数”相同，求的取值范围． 【答案】（） ；；（）． 【分析】本题考查了一次函数的性质 ，理解“和合数”定义并运用数形结合思想解答是解题的关键． （1）①分别求出各点的“和合数”，即可求解；②设点，由“和合数”的定义列出方程即可求解； （2）由“和合数”的定义可得点在直线上，结合图形解答即可求解． 【详解】解：（1）①∵点的“和合数”，点的“和合数”，点的“和合数”，点的“和合数”， ∴与点的“和合数”相等的点为点， 故答案为：； ②设点， 由题意可得，， ∴， ∴点， 故答案为：； （2）如图，设点， ∵的“和合数”相同， ∴， ∴， ∴点在直线上， ∴点是直线与矩形的交点， 当点在直线上时，， ∴， 当点在直线上时，， ∴， ∴当时，存在两点的“和合数”相同， ∴的取值范围为． 【一览众山小】 1．对于一次函数，下列说法中正确的是（    ） A．当时，该函数图象不经过第三象限 B．函数值随自变量值的增大而增大 C．当时，该函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为2 D．该函数的图象一定经过点 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数的关系，一次函数的增减性，一次函数与坐标轴的交点问题，根据一次函数图象与其系数的关系可判断A；根据一次函数增减性与一次项系数的关系可判断B；求出一次函数与两坐标轴的交点坐标即可判断C；求出当自变量的值为1时的函数值即可判断D． 【详解】解：A、当时，该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，原说法错误，不符合题意； B、当时，函数值随自变量值的增大而增大，当时，函数值随自变量值的增大而减小，原说法错误，不符合题意； C、当时，原函数解析式为，当时，，当时，，则该函数与坐标轴的两个交点坐标为，则该函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为，原说法错误，不符合题意； D、在中，当时，，则该函数的图象一定经过点，原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，轴表示糖水质量，轴表示含糖浓度（瓶中糖固体质量与糖水质量的比值），其中乙、丁两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含糖固体质量最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，发现的值即为糖水中含糖固体质量成为解题的关键． 根据题意可知，的值即为糖水中含糖固体质量，再根据图象即可确定甲瓶糖水中含糖固体质量最少，丙瓶糖水中含糖固体质量最多，乙、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同解题即可． 【详解】解：根据题意，可知的值即为糖水中含糖固体质量， ∵描述乙、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同， ∵点甲在反比例函数图象下面，点丙在反比例函数图象上面， ∴甲瓶的的值最小，即糖水中含糖固体质量最少，丙瓶的的值最大，即糖水中含糖固体质量最多． 故选∶C． 3．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于A，B两点，连接AB、若轴，则的面积是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，连接、， 轴， ． 故选：B． 4．如图，在中，边与x轴交于点C，且，某一反比例函数的图象经过点A，若点B的坐标为，，则这个反比例函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形，正确求得点A坐标是解答的关键．过A作轴于D，根据坐标与图形性质和三角形的面积公式求得，利用等腰三角形的判定与性质求得，进而求得 ，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过A作轴于D，如图， ∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设这个反比例函数的表达式是， ∵这个反比例函数的图象经过点A， ∴， ∴这个反比例函数的表达式是， 故答案为：． 5．如图，平面直角坐标系中，一束光经过照射在平面镜（x轴）上的点处，其反射光线交y轴于点，再被平面镜（y轴）反射得光线，则直线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】可设直线的解析式为，把点A、B的坐标代入即可求出k和b的值，于是可得直线的解析式，易得，则直线和一次项的系数相等，进而设出直线的解析式，把点C的坐标代入即可求得直线的函数表达式． 【详解】解：由题意得：，，， ，， ， ， 设直线的解析式为：， 把点A、B的坐标代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 交y轴于点， ， 直线的解析式为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，同旁内角互补两直线平行，求一次函数解析式，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握镜面反射中入射光线与镜面所在直线的夹角与反射光线与镜面所在直线的夹角相等以及两直线平行一次项系数相等是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，为等腰直角三角形，，，若反比例函数的图象经过的中点，则 ．    【答案】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，中点坐标，求反比例函数的解析式；先根据等腰直角三角形的到点B的坐标，然后根据中点坐标公式得到点C的坐标，代入反比例函数解析式即可求出k值解题． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，， ∴点的坐标为， ∴的中点C的坐标为， 又∵反比例函数的图象经过， ∴， 故答案为：． 7．【问题情境】 “三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能完成这个任务的． 【探究发现】 （1）在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，是长方形，是延长线上一点，是上一点，并且，． 证明：； 若，的面积为，求的周长； 【拓展延伸】 （2）如图，直线（为常数且）与轴、轴交于两点，点的坐标为，．求的值． 【答案】（）证明见解析；；（）． 【分析】（）利用三角形的外角性质和平行线的性质即可求证； 由得：，则有，根据的面积为，求出，然后由勾股定理求出，则可求出的周长； （）作线段垂直平分线，交于，于，连接，通过三角形外角性质证明，由，得到点的坐标为，点的坐标为，又点的坐标为，得，，令，则，解得，则点的坐标为，最后由勾股定理和一次函数的性质即可求出的值． 【详解】（）证明：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 解：∵， 由得：， ∴， ∵是长方形， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴的周长为； （）解：如图，作线段垂直平分线，交于，于，连接， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， ∴，， 令，则， 解得， ∴点的坐标为， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∵图象过第一、二、三象限， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，垂直平分线的性质，三角形外角性质，勾股定理，平行线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数的图象交于点A，x轴的负半轴上有一点． (1)求点A的坐标； (2)过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的左侧），分别交和的图象于点B、C，连接． ①点C的纵坐标是______（用含m的代数式表示）； ②若，求的面积． 【答案】(1) (2)①；②的面积为28 【分析】本题考查一次函数和勾股定理，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． （1）联立正比例函数与一次函数解析式组成方程组，求出方程组的解得到与的值，确定出坐标即可； （2）利用勾股定理求出的长，求出的长，写出B，C的坐标，求出的值，从而求出三角形面积． 【详解】（1）由题意得， ∴ ∴点 （2）①当时，点C的纵坐标是， 故答案为； ②如图，过点A作轴于点D， 由（1）知，，，在中，． ∵   ∴ ∵，且轴    ∴， ∴， ∴， ∴ 由    ∴， ∴ ∴的面积为28 9．阅读材料：美国总统伽菲尔德利用图验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． 问题解决：如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点坐标为， (1)求直线的表达式； (2)以为直角边作等腰直角（、、三点按照顺时针顺序排列），且，，求点的坐标，并判断点是否在直线上； (3)在（2）的条件下，点是线段上一个动点，以为直角边作等腰直角（、、三点按照顺时针顺序排列），且，． ①在点运动的过程中，的面积是否变化，若不变，请求出它的面积，若发生变化，请说明理由； ②在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为______． 【答案】(1) (2)，点在直线上； (3)①，理由见解析；② 【分析】本题为一次函数综合题，涉及到三角形全等、一次函数的图象和性质、定点的轨迹等，数形结合是解题的关键． （1）将点的坐标代入上式得即可求解； （2）由题干知：（AAS），得到点，即可求解； （3）证明（AAS），得到点，则点在直线，即可求解； 当点在点时，即，则点，当点在点时，即，则点，即可求解． 【详解】（1）解：将点和代入直线方程， 解得，， 直线的表达式为； （2）解：在直线上，理由： 如图所示，过点作轴的平行线，交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， 为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， 则， ， 则点， 当时，，即点在上； （3）解：面积不变为，理由： 设点， 如下图，过点作轴的平行线，交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， ∵为等腰直角三角形， 同理可得：（AAS）， 则， ， 则点， 则点在直线上， 该直线和轴的交点为， 由点、的坐标得，直线的表达式为： ， 故上述两条直线平行，设交轴于点， 则的面积； 当点在点时，即，则点，当点在点时，即，则点， 则的运动路径长为， 故答案为：． 10．在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形． (1)点的关联点的坐标为　　； (2)点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标； (3)如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明； (4)已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)为等腰直角三角形，详见解析 (4) 【分析】（1）直接根据关联点的定义代入求解即可； （2）先根据点所在直线解析式设出点坐标，再根据关联点定义求出点坐标，进而代入点所在直线的解析式求解即可； （3）画出图形，根据图形很容易猜想为等腰直角三角形，则可作垂直，将坐标转化为线段长度，证全等，逆向证明三垂直即可得证； （4）先求出各点的关联点，在坐标系中画出图形可发现重叠部分为等腰直角三角形，进而求出值，继而发现当直线经过时，倾斜程度最小，即值最小，代入坐标即可得解． 【详解】（1）解：根据关联点的定义可知：，， 点的关联点的坐标为， 故答案为：； （2）解：点在直线上， 可设点的坐标为， 又，， 点的关联点的坐标为， 点在直线， ， 解得， ， 点的坐标为； （3）解：为等腰直角三角形，证明如下： ， 点和点在坐标系中的位置如图所示， 过作轴，交轴于点，过作于点，则， ， ， ，，，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形； （4）解：，，，， 点关联点，点关联点，点关联点，点关联点， 如图，在平面直角坐标系画出图形， 由图易知，重叠部分为等腰直角三角形， ， 解得（负值舍去）， ，，， 直线经过点， 设直线， 若直线与该关联图形有交点，则两个临界点为和， 当该直线经过点时，可有，解得， 当该直线经过点时，可有，解得， 即最小值为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、一次函数的点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 函数及其图象思维导图 【类型覆盖】 类型一、图象规律变化 【解惑】如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．近年，“李子坝轻轨站”成为了外地游客来渝必打卡之地．如图，列车匀速通过站台（站台长大于列车长）时，列车进入站台的时间x与其在站台内的长度y之间的关系用图像描述可能是（　　） A． B． C． D． 2．如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满. 3．小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速度返回家，父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家，则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系是 （只需填序号） 类型二、动点几何图象 【解惑】如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点且图象是轴对称图形，则的面积是（    ） A．30 B．36 C．60 D．72 【融会贯通】 1．如图①，动点从点出发，以的速度沿的路线运动，记三角形的面积为，与点的运动时间的关系如图②所示，若，则，的值分别为（   ） A．24，17 B．12，17 C．24，18 D．12，18 2．如图1，在长方形中，动点P从点B出发，沿、、运动至点A停止，设点P的运动路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则长方形的周长是 ． 3．如图1，在中，，D是边上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则线段的长和线段的长分别为 ． 类型三、坐标中的规律 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是（） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫作点的友谊点，已知点的友谊点为点，点的友谊点为点，点的友谊点为点依此类推，当点的坐标为时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 3．在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动2个单位长度，其行走路线如图所示，则点的坐标为 ；点的坐标为 ． 类型四、一次函数中的不等式与面积 【解惑】如图，直线与直线相交于点，且两直线分别与轴分别交于，两点，且点坐标为． (1)求点坐标； (2)一元一次方程的解为__________； (3)若直线上有一点，使得，求点的坐标． 【融会贯通】 1．已知一次函数的图象如图所示，根据图象，解决下列问题： (1)求函数与交点P的坐标； (2)当时，x的取值范围是 ； (3)求四边形的面积． 2．已知一次函数，的图象如图所示，根据图象，解决下列问题： (1)求交点P的坐标； (2)当时，写出的取值范围． (3)求出的面积． 3．如图，已知函数的图象与轴交于点，与轴交于点；一次函数：的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点、，且点的坐标为． (1)求一次函数的表达式，点，，的坐标； (2)若，直接写出的取值范围． (3)求四边形的面积． 类型五、一次函数的应用——分配方案问题 【解惑】“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲，乙两个仓库分别可运出和有机化肥，A，B两个果园分别需要和有机化肥．已知从甲仓库到A果园15千米，到B果园20千米；从乙仓库到A果园25千米，到B果园20千米． 设甲仓库运往A果园有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元． (1)根据题意，填写下表． 运量 运费/元 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A果园 x B果园 (2)设总运费为y元，求y关于x的函数解析式，写出x的取值范围． (3)怎样调运总运费最省，最省的总运费是多少元？ 【融会贯通】 1．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 2．甲村和乙村共有22000吨肥料需要运往A，B两地，其运费单价如下表： 收货地 发货地 A B 甲村 15元/吨 20元/吨 乙村 24元/吨 25元/吨 若将甲村的肥料全部运往B地，乙村的肥料全部运往A地，且所需运费相等． (1)求甲、乙两村各有多少吨肥料； (2)若甲、乙两村需要给A地运输肥料共9000吨，且甲村最多只能给A地运输5000吨肥料，问怎样调运可使运费最少？并求出最少运费． 3．某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； (2)求出与的函数关系式； (3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 类型六、一次函数的应用——最大利润问题 【解惑】春节饰品不仅具有装饰作用，还蕴含着丰富的文化内涵和美好的寓意．春节饰品种类繁多，其中福字、春联、中国结和红灯笼最受市民喜爱．某超市推出了两款春节饰品套装A、B礼盒．已知购买3盒礼盒与购买1盒礼盒一共需要250元，购买2盒礼盒与购买3盒礼盒一共需要400元． (1)购买1盒礼盒与购买1盒礼盒分别需要多少元？ (2)某公司准备在该商场购买A，B两款春节饰品套装礼盒共70盒，且购买礼盒的数量不超过40盒，作为春节团建会的抽奖奖品．经过商谈，商场给予该公司一定优惠，礼盒全部八折，而礼盒不打折，请问公司应该如何在该商场购买A，B两款礼盒才能使所付费用最少？最少费用是多少元？ 【融会贯通】 1．某果园实验基地推广甲、乙两种苹果苗，已知乙种苹果苗比甲种苹果苗每株贵2元，且用240元钱购买甲种苹果苗的株数与用360元钱购买乙种苹果苗的株数刚好相同． (1)求甲、乙两种苹果苗每株的价格； (2)某果农计划购买甲、乙两种苹果苗共300株．调查统计发现，甲、乙两种苹果苗的成活率分别为和，要使这批苹果苗的成活率不低于，且使购买苹果苗的费用最低，应如何选购苹果苗？最低费用是多少？ 2．在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元／辆，紧凑型汽车的售价为20万元／辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 3．为了抓住我市旅游文化艺术节的商机，某商店决定购进A，B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要元． (1)求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这件纪念品的资金不少于元，但不超过元，若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润元，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 类型七、一次函数的应用——行程问题 【解惑】如图1，一条直的公路上依次有、、三个汽车站，，，一辆汽车上午从离站的地出发，向站匀速行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达站时接到通知，要求中午前到达站，设汽车出发小时后离站，图2中折线表示接到通知前与之间的函数关系的图像．    (1)根据图像可知，休息前汽车行驶的速度为_________千米/小时；（直接写出结果） (2)求线段所表示的与之间的函数表达式（自变量的取值范围不需要写） (3)接到通知后，若汽车仍按原来的速度行驶，能否按时到达？如果不能按时到达，速度至少提高到多少可按时到达，请说明理由． 【融会贯通】 1．小明和小颖两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一路线到科技馆．如图折线和线段分别表示小明和小颖离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)小明的平均速度是_________千米/小时； (2)求线段的函数表达式； (3)当小颖追上小明时，小颖距科技馆还有多远？ 2．快车、慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条笔直的公路匀速相向而行．快车到达乙地后休息一段时间，再以原速的倍原路返回甲地，快、慢两车恰好同时到达甲地．快车离甲地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数图像如图①所示． (1)甲、乙两地之间的距离为______，慢车的速度为______； (2)求线段所表示的y与x之间的函数表达式； (3)设快、慢车两车之间的距离为s（单位：），在图②中画出s与x之间的函数图象．（标明必要的数据） 3．某地为了更好地促进旅游业的发展，方便游客游览，推出乘坐观光车和大巴车两种游览方式（行驶路线相同），已知大巴车的速度是观光车速度的3倍，现有甲、乙两个旅游团，均准备从地出发前往地游览.其中甲旅游团选择乘坐观光车，并在中途停靠一段时间后继续按照原来的速度前往地，乙旅游团则在甲旅游团出发后选择乘坐大巴车，且比甲旅游团提前半小时到达地，甲，乙两个旅游团距地的路程与甲旅游团所用的时间之间的关系如图所示． (1)求大巴车的速度； (2)求大巴车距地的路程与之间的函数关系式； (3)求图中点的坐标，并说明点的实际意义． 类型八、反比例函数的应用 【解惑】某校举行田径运动会，学校准备了一些气球，某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求反比例函数的表达式； (2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少? (3)请你利用p与V的表达式解释，为什么超载的车辆容易爆胎． 【融会贯通】 1．杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，相传商人范蠡观农夫从井中取水受到启发，发明了称，其中就利用了杠杆原理．（杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．）现某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最大距离为80cm），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：cm）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2．    (1)在图2中画出y与x的函数图象，并直接写出y关于x的函数表达式为 ，自变量x的取值范围是 ． (2)若点O的位置不变，在不改变点O与物体的距离及物体的质量的前提下，移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数y的最小值． 2．项目式学习 项目主题： 利用温室智能控制系统为大棚中黄瓜生长设置最优环境温度． 项目背景：为了促进温室大棚中黄瓜的光合作用和生长发育，需要控制环境温度在适宜的范围内．通常白天温度需保持在，夜间温度不低于． 数据搜集： 某“综合与实践”小组搜集了某温室大棚智能控制系统测试阶段0—24时的温度变化，并绘制出大棚内的温度（）随时间（时）变化的图象．如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时，温度降到． 问题解决： （1）观察图象，在上午7时，大棚内的温度达到智能控制系统设定的恒温温度，并开启恒温模式．请问：系统在升温阶段、每小时能将大棚内的温度提高______；智能控制系统设定的恒温温度是______． （2）观察图象，求该大棚在0—24时内，温度不低于的时间长度． （3）某地日出时间为，日落时间为．为保证该大棚中的黄瓜至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于．小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，请直接写出最少推迟多长时间能满足上述要求． 3．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而发生变化．学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中线段轴，为双曲线的一部分）．        (1)分别求出线段和双曲线所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围 (2)如果一道数学题需要讲20分钟，为了学生听课效果更好，要求学生的注意力指数不低于40，那么通过怎样的时间安排，教师能在学生听课效果更好的状态下讲完这道题？请通过计算说明． 类型九、一次函数与反比例函数结合应用 【解惑】如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出时的取值范围； (3)过线段AB上的动点，作轴的垂线，垂足为点M，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． 【融会贯通】 1．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点和点D． (1)求反比例函数的解析式和点D的坐标； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)连接，，求的面积； (4)点P是反比例函数上一点，轴交直线于且，请直接写出点P的坐标． 2．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数（）的图象交于C、两点，轴，垂足为E． (1)求反比例函数的表达式； (2)点M是反比例函数图象上点D右侧的点，且满足，求点M的坐标； 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出满足时x的取值范围． (3)连接并延长交的另一支于点C，连接，求的面积． 类型十、一次函数与反比例函数的新定义 【解惑】在平面直角坐标系中，已知点，过点且垂直于轴的直线记为直线，过点且垂直于轴的直线记为直线．给出如下定义：将图形关于直线对称得到图形，再将图形关于直线得到图形，则称图形是图形关于点的双对称图形． (1)已知点的坐标为，点关于点的双对称图形点的坐标为___； (2)如图，的顶点坐标是，，． ①已知点的坐标是，写出点，，关于的双对称图形点的坐标___，___，___； ②已知点的坐标为，点，点，线段关于点的双对称图形线段位于内部（不含三角形的边），求的取值范围． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点M和点N的相关系数如下： 若O，M，N在一条直线上，； 若O，M，N不在一条直线上，． 如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为平面直角坐标系内一动点，请回答下列问题： (1) ； (2)若，则点P坐标为 ； (3)点P在第二象限，若，求y与x之间的关系式． (4)已知直线上恰好存在唯一的一个点P，同时满足，，求b的值. 2．定义：若一个一次函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． (1)函数，是否存在“平衡点”，若存在求出“平衡点”坐标，若不存在，说明理由； (2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值； (3)将一次函数的图象关于y轴对称，若对称后的图象存在“平衡点”则k的取值范围为___________． 3．【定义】对于点，规定，那么就把叫点的“点和数”． 例如：若，则，那么叫的“点和数”． 【概念理解】（）①在平面直角坐标系中，已知点，则以下个点，，中，与点的“点和数”相等的是______； ②若点在直线上，且与点的“点和数”相等，则点的坐标是______． 【尝试应用】（）点是矩形边上的任意点，点，，，，先在如下的平面直角坐标系中画出矩形，这时如果点是直线上的任意点，若存在两点的“点和数”相同，求的取值范围． 【一览众山小】 1．对于一次函数，下列说法中正确的是（    ） A．当时，该函数图象不经过第三象限 B．函数值随自变量值的增大而增大 C．当时，该函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为2 D．该函数的图象一定经过点 2．固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，轴表示糖水质量，轴表示含糖浓度（瓶中糖固体质量与糖水质量的比值），其中乙、丁两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含糖固体质量最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于A，B两点，连接AB、若轴，则的面积是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在中，边与x轴交于点C，且，某一反比例函数的图象经过点A，若点B的坐标为，，则这个反比例函数的表达式是 ． 5．如图，平面直角坐标系中，一束光经过照射在平面镜（x轴）上的点处，其反射光线交y轴于点，再被平面镜（y轴）反射得光线，则直线的函数表达式为 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，为等腰直角三角形，，，若反比例函数的图象经过的中点，则 ．    7．【问题情境】 “三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能完成这个任务的． 【探究发现】 （1）在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，是长方形，是延长线上一点，是上一点，并且，． 证明：； 若，的面积为，求的周长； 【拓展延伸】 （2）如图，直线（为常数且）与轴、轴交于两点，点的坐标为，．求的值． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数的图象交于点A，x轴的负半轴上有一点． (1)求点A的坐标； (2)过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的左侧），分别交和的图象于点B、C，连接． ①点C的纵坐标是______（用含m的代数式表示）； ②若，求的面积． 9．阅读材料：美国总统伽菲尔德利用图验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． 问题解决：如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点坐标为， (1)求直线的表达式； (2)以为直角边作等腰直角（、、三点按照顺时针顺序排列），且，，求点的坐标，并判断点是否在直线上； (3)在（2）的条件下，点是线段上一个动点，以为直角边作等腰直角（、、三点按照顺时针顺序排列），且，． ①在点运动的过程中，的面积是否变化，若不变，请求出它的面积，若发生变化，请说明理由； ②在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为______． 10．在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形． (1)点的关联点的坐标为　　； (2)点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标； (3)如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明； (4)已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的最小值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$