第17章 函数及其图象（基础类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

第17章 函数及其图象思维导图 【类型覆盖】 类型一、正比例、一次、反比例函数的定义 【解惑】下列各函数中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此可得答案． 【详解】解：A、，y是x的正比例函数，故该选项符合题意； B、，y不是x的正比例函数，故该选项不符合题意； C、，y不是x的正比例函数，故该选项不符合题意； D、，y不是x的正比例函数，故该选项不符合题意； 故选：A． 【融会贯通】 1．下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1． 根据一次函数的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A.自变量x的次数为，不是一次函数，不符合题意； B. 是一次函数，符合题意； C. ，自变量次数为2，不是一次函数，不符合题意； D.当时，（k、b是常数）是常函数，不符合题意． 故选：B． 2．下列函数：①；②；③；④，其中一次函数有 ，正比例函数有 ．（请填写序号） 【答案】 ①④/④① ① 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，掌握一次函数和正比例函数的定义是解题的关键．形如（为常数，）的函数是一次函数，形如（为常数，）的函数是正比例函数，据此求解即可． 【详解】解：①是正比例函数，是一次函数； ②不是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； 因此，一次函数有：①④，正比例函数有①． 故答案为：①④，①． 3．已知下列函数①，②，③，④（为常数），其中是反比例函数的是 （填序号）． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了反比例函数的定义：形如的函数叫反比例函数；直接根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：下列函数①，②，③，④（为常数），其中是反比例函数的是，， 故答案为：②③． 类型二、用有序数对表示位置或路线 【解惑】元旦期间，小明想去王阳明故居纪念馆参观，以下表示王阳明故居纪念馆位置最合理的是（   ） A．东经，北纬 B．在余姚博物馆的东北方向 C．距离余姚北站6公里 D．在浙江省 【答案】A 【分析】本题考查了利用有序数对表示位置，理解坐标的实际意义与应用是解题关键．根据利用有序数对表示位置解答即可． 【详解】解：A东经，北纬是有序数对，故符合题意； B．只有方向没有距离，故不符合题意； C．只有距离没有方向，故不符合题意； D．不能表示具体位置，故不符合题意． 故选A． 【融会贯通】 1．如图所示，小亮从学校到家所走最短路线是(     )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点的坐标写出即可． 【详解】由图可知小亮从学校到家所走最短路线是， 故选：B． 【点睛】本题考查学生利用类比点的坐标来解决实际问题的能力和阅读理解能力，实际操作一下能直观地得到结论． 2．若教室内第2行、第5列的座位表示为，则第6行、第3列的座位表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置，数对表示位置的方法是：第一个数字表示行，第二个数字表示列，由此即可解决问题． 【详解】解：∵教室内第2行、第5列的座位表示为， ∴第6行、第3列的座位表示为， 故答案为：． 3．如图，李老师家在2街与2巷的十字路口附近，如果用(2，2)→(2，3)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(5，4)表示李老师从家到学校上班的一条路线．请你用同样的方式写出从家到学校的另外一种路线： ． 【答案】答案不唯一：如(2，2)→(3，2)→(4，2)→(5，2)→(5，3)→(5，4) 【分析】李老师从家到学校上班的路线可以沿走2巷走到5街，然后到学校，即（2，2）→（3，2）→（4，2）→（5，2）→（5，3）→（5，4）． 【详解】李老师从家到学校上班的路线可以沿走2巷走到5街，然后到学校，即（2，2）→（3，2）→（4，2）→（5，2）→（5，3）→（5，4）． 故答案为（2，2）→（3，2）→（4，2）→（5，2）→（5，3）→（5，4）． 【点睛】本题考查了坐标确定位置：直角坐标平面内点的位置由有序实数对确定，有序实数对与点一一对应． 类型三、点在象限或点的坐标 【解惑】在平面直角坐标系中，点位于第三象限，则的值可能是（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，根据平面直角坐标系中第三象限点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点位于第三象限， ∴， ∴a的值可能是， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，若，则点D的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，坐标与图形，先得到，再由全等三角形的性质得到，，则，据此可得答案． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别是，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，点在轴上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴上点的坐标特点，根据在轴上的点纵坐标为0进行求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点在轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，，，若，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，由，，得，，过作轴于点，根据同角的余角相等得，证明，由全等三角形的性质得，，最后线段和差得，从而求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 如图，过作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 类型四、一次函数的图象 【解惑】如下图，在同一直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与正比例函数的图像，分和两种情况，讨论两个函数图像的位置即可得出答案． 【详解】解：当时，直线经过第一、三、四象限，直线经过第一、三象限， 大致为： 当时，直线经过第一、二、三象限，直线经过第二、四象限，大致为： 综上，B选项符合题意． 故选：B 【融会贯通】 1．已知等腰三角形周长是10，底边长y是腰长x函数，则下列图象中，能对的反映y与x之间函数关系图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，然后选择即可． 【详解】解：由题意得，， 所以，， 由三角形的三边关系得，， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，不等式组的解集是， 正确反映与之间函数关系的图象是D选项图象． 故选：D． 2．已知点在直线上，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的特征，代数式求值，根据一次函数图象上点的特征将点坐标代入直线，可得，整体代入计算可求解． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 即， ∴原式 ． 故答案为：． 3．若点在一次函数的图像上，则 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查的是一次函数图像上点的坐标特点、代数式求值等知识点，熟知一次函数图像上各点坐标一定满足此函数的解析式是解题的关键．先把点代入一次函数，求出，再将代数式变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图像上， ∴，即， ∴． 故答案为：2024． 类型五、反比例函数图象 【解惑】下列各点在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断给出各点是否在反比例函数的图象上，只需将各选项坐标代入验证即可. 【详解】A.，∴点在反比例函数的图象上，符合题意； B.，∴点不在反比例函数的图象上，不符合题意； C.，∴点不在反比例函数的图象上，不符合题意； D.，∴点不在反比例函数的图象上，不符合题意； 故选：A 【融会贯通】 1．关于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象是轴对称图形，对称轴是y轴 C．函数图象位于第一、三象限 D．函数图象是中心对称图形，对称中心是原点 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，故函数图象不经过点，原说法错误，不符合题意； B、函数图象是轴对称图形，对称轴为直线和，原说法错误，不符合题意； C、，函数图象位于第二、四象限，原说法错误，不符合题意； D、函数图象是中心对称图形，对称中心是原点，原说法正确，符合题意； 故选D． 2．函数的图象与直线没有交点，那么k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，难度不大，关键是结合函数图象解答较为简单．根据正比例函数及反比例函数的性质作答即可． 【详解】解：直线中，，图像过一、三象限， 函数的图象与直线没有交点， 函数的图像必须位于二、四象限， ， ． 故答案为：． 3．若点，都在反比例函数的图象上，则 （填、或）． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握反比例函数图像与性质． 结合反比例函数的图像与性质即可求解． 【详解】解：反比例函数中， 该函数图象经过二、四象限，且在二、四象限中均有随着的增大而增大， ，， ． 故答案为：． 类型六、用一次函数和反比例函数表示数量关系 【解惑】一次函数图象经过点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，解之即可得出的值． 【详解】解：一次函数图象经过点， 解得： 故选：C 【融会贯通】 1．下列说法正确的个数是（    ） ①是x的函数；②等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成正比例；③已知，则直线经过第二、四象限． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】此题考查正比例函数的性质，函数的概念、变量成反比例．根据函数的概念、正比例函数的性质判断即可． 【详解】解：①是的函数，正确； ②等腰三角形的面积一定，则底边和底边上的高的乘积为定值，故它的底边和底边上的高成反比例，原说法错误； ③已知，则，故直线经过第一、三象限，原说法错误， ∴正确的只有①， 故选：B． 2．为了鼓励节能降耗，某市规定如下用电收费标准：每户每月的用电量不超过200度时，电价为元/度；超过200度时，不超过部分仍为元/度，超过部分为元/度．设该用户每月用电量为x（度），应付电费为y（元），则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．根据题意列出函数关系式即可． 【详解】当时，, 当时，，即； 故答案为： 3．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们归纳出为“杠杆原理”.已知，手压压水井的阻力和阻力臂分别是90和0.3，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而代入已知数据即可得解． 【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是用待定系数法求反比例函数解析式，解此题的关键是要知道阻力×阻力臂=动力×动力臂． 类型七、一次函数的增减性 【解惑】关于函数，下列结论错误的是（） A．图像经过点 B．随着的增大而减小 C．图像经过第一、三、四象限 D．图像与直线平行 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是关键． 根据函数解析式得出直线与坐标轴交点，增减性，一次函数的平移，直线经过的象限，逐项分析判断即可求解． 【详解】A．，当时，，∴图象经过点，故A正确，不符合题意； B．，∴y随着的增大而减小，故B正确，不符合题意； C．，∴图象经过第一，二，四象限，故C不正确，符合题意． D．图象与直线平行，故D 正确，不符合题意； 故选：C 【融会贯通】 1．已知，是关于的函数图象上的两点，当时，，则的可能取值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据一次函数增减性求参数，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意可知，随的增大而增大，由此可得，解得，然后结合各选项逐一判断即可得出答案． 【详解】解：，是关于的函数图象上的两点，且当时，， 随的增大而增大， ， ， 即：的取值范围为， 故选：． 2．已知直线与轴交于点，直线与轴交于点．设，当时，随着的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【分析】本题考查了一次函数的知识，掌握了以上知识是解题的关键； 本题需要先求出，然后根据，得到，然后即可求解． 【详解】解：把代入，得，， 把代入，得，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴随着的增大而增大． 故答案为：增大 3．已知点，，且，两点不重合，线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，根据题意得出线段平行于轴，进而可表示出线段的长度，再利用分类讨论的数学思想即可解决问题． 【详解】解：因为点坐标为，点坐标为 ， 所以线段平行于轴， 则， 因为，两点不重合， 所以，即， 当时， ， 此时随的增大而增大，故不符合题意； 当时， ， 此时随的增大而减小， 所以的取值范围是． 故答案为：． 类型八、反比例函数的增减性 【解惑】若反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．该图象在第一、三象限 B．随着的增大而减小 C．该图象关于原点对称 D．该图象经过点 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的解析式及性质．把点的坐标代入函数解析式，求出，然后运用性质进行解题． 【详解】解：将代入得，， ∴，当时，，所以该图象经过点， 由于，所以该图象在第二、四象限；在每一项内y随x的增大而增大； 图象关于原点对称． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 【融会贯通】 1．对于反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D．任意实数 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键．根据当时，反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∴， 故选：A． 2．若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质求出m，n的值是解题的关键，根据反比例函数的性质，可得函数的最值，根据有理数的乘法，可得答案． 【详解】解：由反比例函数，，且可得的最大值是，的最大值是2， ∴， ∴， 故答案为：． 3．设反比例函数（m为常数），当时，y随x的减小而增大，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的性质和不等式的解法，解题的关键是掌握反比例函数的性质：即时，图像过第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，时，图像过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可得答案． 【详解】解：对于双曲线（m为常数），当时，y随x的减小而增大， ， ． 故答案为：． 类型九、求一次函数的表达式 【解惑】已知一次函数，表中给出了部分对应值． … 2 4 … … … (1)求该一次函数的表达式； (2)求、的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式和一次函数图象上点的坐标特征，能求出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）由所给数据，利用待定系数法可求得一次函数解析式； （2）利用（1）中所求的函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为, 由题意可得. 解得. ∴一次函数的表达式为； （2）当时，代入可得， ． 当时，代入可得， ， 解得． ，． 【融会贯通】 1．已知一次函数的图像与直线平行，且经过点． (1)求这个函数的解析式． (2)判断点，是否在此一次函数的图像上． 【答案】(1) (2)点在此一次函数的图像上 【分析】（1）两直线平行，则直线对应的一次函数解析式值相等；再将点代入解析式即可求解； （2）令，代入函数解析式观察函数值是否等于即可进行判断． 【详解】（1）解：由题意可知， 解得   ∴这个函数的解析式为 （2）解：当时， ∴点在此一次函数的图像上． 【点睛】本题考查了一次函数的解析式、判断给出的点是否在一次函数图象上．求出解析式是解题关键． 2．如图，直线经过点和点，直线经过点． (1)求的值和一次函数的解析式； (2)根据函数图象可得，不等式的解集为_______． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的综合题： （1）把代入，可求出a的值，再把点A，B的坐标代入可求出一次函数的解析式； （2）直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得： ； ∴点， 把和代入，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：根据函数图象得，当时，直线在直线的上方，且位于x轴的下方， ∴不等式的解集为． 故答案为： 3．如图，经过点的一次函数与正比例函数交于点． (1)求的值； (2)请直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式的问题，解题的关键是能够确定有关待定系数的值，难度不大． （1）将点和点P的坐标代入一次函数的解析式求得m、b的值，然后将点P的坐标代入正比例函数解析式即可求得a的值即可； （2）直接根据函数的图象结合点P的坐标确定不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数与过点的一次函数交于点， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：根据函数的图象，可得不等式的解集为：． 类型十、求反比例函数的表达式 【解惑】已知x，y满足下表. x … 1 4 … y … 4 1 … (1)求y关于x的函数表达式： (2)当时，求y的取值范围. 【答案】(1) (2)当时， 【分析】（1）观察表格中x，y的变化规律即可得出y关于x的函数表达式； （2）当时，，当时，，根据该函数在每一象限内，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：当时，， 当时，， ， 在每一象限内，y随x的增大而减小， 当时，． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式，正确进行计算是本题解题关键． 【融会贯通】 1．一定质量的二氧化碳，它的密度ρ与体积V之间成反比例函数关系，其图象如图所示．求ρ与V之间的函数表达式． 【答案】 【分析】根据密度与体积V之间成反比例函数关系，结合图像可得函数关系式． 【详解】解：由题意可设（m为常量，），把点代入函数，可得， 与V之间的函数表达式为：． 【点睛】本题考查求反比例函数解析式，熟知反比例函数的概念是解题的关键． 2．如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点和点． (1)求点的坐标及反比例函数的解析式； (2)结合图像，请直接写出当时，不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查反比例函数与正比例函数的交点问题、用待定系数法求反比例函数解析式，利用数形结合思想解决问题是解题关键． （1）先将点代入正比例函数中求得，再将点代入反比例函数中求得，联立两解析式求得，即可求解； （2）分析题意可得要求当时且反比例函数的值大于等于正比例函数的值时x的取值范围，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为； 联立得：， 解得：或， ∴， （2）解： ∵，即反比例函数的值大于等于正比例函数的值，当时， ∴结合函数图象可知，此时． 3．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标是2，点的纵坐标是． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象写出取何值时，． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求反比例函数解析式，数形结合是解此题的关键． （1）先根据点A的横坐标是2，求出，再利用待定系数法进行计算即可得出反比例函数的表达式； （2）先根据点B的纵坐标是，求出，由，，结合函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，令，则， ． 将代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：在中，令，则， ， 由图象得：当或时，． 【一览众山小】 1．已知正比例函数，则它经过的象限是（   ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴正比例函数的图象经过第二、四象限， 故选：A． 2．若反比例函数的图象位于第一，三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数（是常数，）的图象与性质：当时，反比例图像在一、三象限；当时，反比例函数图像在第二、四象限内；解不等式．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故答案为：B． 3．已知反比例函数图象过点，若，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是求出反比例函数解析式．先求出k，令，得出y的范围，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数图象过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是或． 故选：A． 4．函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，函数中，自变量x的取值范围是，即， 故答案为：． 5．反比例函数图象上有两点，，若，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，把，代入，结合，从而可得答案． 【详解】解：将点，代入反比例函数得出：，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．如图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…，记面积为，面积为，面积为，…，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及图形变化的规律，能通过计算得出（n为正整数）是解题的关键．根据题意，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，将代入得，， 所以点得坐标为． 所以． 又因为， 所以， 所以． 因为轴，且点在直线上， 所以点得坐标为， 所以， 所以， 依次类推，， ， …， 所以（n为正整数）． 当时，． 故答案为： 7．在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，第一象限内点的坐标特点，在y轴上的点的坐标特点，熟练掌握是解答本题的关键． （1）在轴上的点横坐标为，据此列出方程求解即可； （2）第一象限内的点横纵坐标都为正，点到轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此求出点到两坐标轴的距离，再根据点到两坐标轴的距离之和为9建立方程求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：点在轴上， ， ； （2）解：在第一象限， 点到轴的距离为，到轴的距离为， 点到两坐标轴的距离之和为9， ， ， ， 点的坐标为． 8．福鼎市贯岭镇是黄栀子之乡，今年黄栀子价格大涨，农民收益颇丰，某天一农户采收级、级黄栀子共斤，级黄栀子售价每斤元，级黄栀子售价每斤元． (1)求该农户全部售出这些黄栀子的收入（元）与采收的级黄栀子数量（斤）之间的函数关系式； (2)若当天全部售出这些黄栀子的总收入为元，求售出的级黄栀子的数量． 【答案】(1) (2)若收入元时，则售出的级黄栀子斤． 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用： （1）依题意得，化简即可求得答案； （2）将代入一次函数即可求得答案． 【详解】（1）依题意，得 ， 即； （2）当时，可得 解得 ． 答：若收入元时，则售出的级黄栀子斤． 9．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求密度：关于体积的函数解析式； (2)当时，求二氧化碳的密度的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法和反比例函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）利用反比例函数的增减性，结合自变量取值范围即可求出密度的取值范围． 【详解】（1）解：由密度与体积是反比例函数关系， 设， 将点代入， 得：， 解得：， 即关于体积的函数解析式为：； （2）解：∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，， 即， ∴二氧化碳的密度的取值范围为． 10．已知点，，根据下列要求确定a，b的值： (1)直线轴； (2)直线轴； (3)点A，B在第一、三象限的角平分线上． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于坐标轴上的直线上的点的坐标特征以及象限角平分线上的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等列式计算即可得解； （2）根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等列式计算即可得解； （3）根据第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列式计算即可得解． 【详解】（1）直线轴， ，， ，． （2）轴， ，， ，． （3），B两点在第一、三象限的角平分线上， ，， ，． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 函数及其图象思维导图 【类型覆盖】 类型一、正比例、一次、反比例函数的定义 【解惑】下列各函数中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数：①；②；③；④，其中一次函数有 ，正比例函数有 ．（请填写序号） 3．已知下列函数①，②，③，④（为常数），其中是反比例函数的是 （填序号）． 类型二、用有序数对表示位置或路线 【解惑】元旦期间，小明想去王阳明故居纪念馆参观，以下表示王阳明故居纪念馆位置最合理的是（   ） A．东经，北纬 B．在余姚博物馆的东北方向 C．距离余姚北站6公里 D．在浙江省 【融会贯通】 1．如图所示，小亮从学校到家所走最短路线是(     )    A． B． C． D． 2．若教室内第2行、第5列的座位表示为，则第6行、第3列的座位表示为 ． 3．如图，李老师家在2街与2巷的十字路口附近，如果用(2，2)→(2，3)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(5，4)表示李老师从家到学校上班的一条路线．请你用同样的方式写出从家到学校的另外一种路线： ． 类型三、点在象限或点的坐标 【解惑】在平面直角坐标系中，点位于第三象限，则的值可能是（    ） A． B．0 C．1 D．3 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，若，则点D的坐标是（   ）    A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点在轴上，则 ． 3．如图，，，若，，则点的坐标为 ． 类型四、一次函数的图象 【解惑】如下图，在同一直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知等腰三角形周长是10，底边长y是腰长x函数，则下列图象中，能对的反映y与x之间函数关系图象是（    ） A． B． C． D． 2．已知点在直线上，则的值为 ． 3．若点在一次函数的图像上，则 ． 类型五、反比例函数图象 【解惑】下列各点在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．关于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象是轴对称图形，对称轴是y轴 C．函数图象位于第一、三象限 D．函数图象是中心对称图形，对称中心是原点 2．函数的图象与直线没有交点，那么k的取值范围是 ． 3．若点，都在反比例函数的图象上，则 （填、或）． 类型六、用一次函数和反比例函数表示数量关系 【解惑】一次函数图象经过点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列说法正确的个数是（    ） ①是x的函数；②等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成正比例；③已知，则直线经过第二、四象限． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．为了鼓励节能降耗，某市规定如下用电收费标准：每户每月的用电量不超过200度时，电价为元/度；超过200度时，不超过部分仍为元/度，超过部分为元/度．设该用户每月用电量为x（度），应付电费为y（元），则y与x之间的函数关系式为 ． 3．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们归纳出为“杠杆原理”.已知，手压压水井的阻力和阻力臂分别是90和0.3，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数解析式是 ． 类型七、一次函数的增减性 【解惑】关于函数，下列结论错误的是（） A．图像经过点 B．随着的增大而减小 C．图像经过第一、三、四象限 D．图像与直线平行 【融会贯通】 1．已知，是关于的函数图象上的两点，当时，，则的可能取值为（　　） A． B． C． D． 2．已知直线与轴交于点，直线与轴交于点．设，当时，随着的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 3．已知点，，且，两点不重合，线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是 ． 类型八、反比例函数的增减性 【解惑】若反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．该图象在第一、三象限 B．随着的增大而减小 C．该图象关于原点对称 D．该图象经过点 【融会贯通】 1．对于反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D．任意实数 2．若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 3．设反比例函数（m为常数），当时，y随x的减小而增大，则m的取值范围是 ． 类型九、求一次函数的表达式 【解惑】已知一次函数，表中给出了部分对应值． … 2 4 … … … (1)求该一次函数的表达式； (2)求、的值． 【融会贯通】 1．已知一次函数的图像与直线平行，且经过点． (1)求这个函数的解析式． (2)判断点，是否在此一次函数的图像上． 2．如图，直线经过点和点，直线经过点． (1)求的值和一次函数的解析式； (2)根据函数图象可得，不等式的解集为_______． 3．如图，经过点的一次函数与正比例函数交于点． (1)求的值； (2)请直接写出不等式组的解集． 类型十、求反比例函数的表达式 【解惑】已知x，y满足下表. x … 1 4 … y … 4 1 … (1)求y关于x的函数表达式： (2)当时，求y的取值范围. 【融会贯通】 1．一定质量的二氧化碳，它的密度ρ与体积V之间成反比例函数关系，其图象如图所示．求ρ与V之间的函数表达式． 2．如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点和点． (1)求点的坐标及反比例函数的解析式； (2)结合图像，请直接写出当时，不等式的解集． 3．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标是2，点的纵坐标是． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象写出取何值时，． 【一览众山小】 1．已知正比例函数，则它经过的象限是（   ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 2．若反比例函数的图象位于第一，三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知反比例函数图象过点，若，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 4．函数中，自变量x的取值范围是 ． 5．反比例函数图象上有两点，，若，则等于 ． 6．如图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…，记面积为，面积为，面积为，…，则的值为 ． 7．在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点的坐标． 8．福鼎市贯岭镇是黄栀子之乡，今年黄栀子价格大涨，农民收益颇丰，某天一农户采收级、级黄栀子共斤，级黄栀子售价每斤元，级黄栀子售价每斤元． (1)求该农户全部售出这些黄栀子的收入（元）与采收的级黄栀子数量（斤）之间的函数关系式； (2)若当天全部售出这些黄栀子的总收入为元，求售出的级黄栀子的数量． 9．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求密度：关于体积的函数解析式； (2)当时，求二氧化碳的密度的取值范围． 10．已知点，，根据下列要求确定a，b的值： (1)直线轴； (2)直线轴； (3)点A，B在第一、三象限的角平分线上． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$