17.3 一次函数 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

17.3 一次函数 一、一次函数的定义 一次函数的标准形式是y=kx+b（其中k和b是常数，且k≠0）。x是自变量，y是因变量。k称为斜率（或比例系数），决定了函数的增减性。b称为截距，即当x=0时，y的值。 二、一次函数的图象 一次函数的图象是一条直线。 斜率与方向：当k>0时，图象从左下方斜向右上方，表示函数随x的增大而增大（增函数）；当k<0时，图象从左上方斜向右下方，表示函数随x的增大而减小（减函数）。 截距：直线与y轴的交点坐标为（0，b）。 三、一次函数的性质 1.增减性：由斜率k决定，当k>0时，函数随x的增大而增大；当k<0时，函数随x的增大而减小。 2.图象位置：由斜率k和截距b共同决定。当k>0，b>0时，图象经过第一、二、三象限；当k>0，b<0时，图象经过第一、三、四象限；当k<0，b>0时，图象经过第一、二、四象限；当k<0，b<0时，图象经过第二、三、四象限。特别地，当b=0时，图象经过原点。 3.与坐标轴的交点：与x轴的交点坐标为（-b/k，0），与y轴的交点坐标为（0，b）。 四、一次函数的平移 将y=kx+b的图象沿y轴向上平移m个单位，得到新函数y=kx+（b+m）；向下平移m个单位，得到y=kx+（b-m）。 巩固课内例1:路程中的函数表达式 1．汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．甲，乙两车分别从A，B两地沿直路同向匀速行驶，两车相距y（单位：m）与行驶时间x（单位：s）（0≤x≤60）的部分对应值如下表，则y与x的对应关系可用解析式表示为 ． 时间 0 5 10 15 20 两车相距 300 275 250 225 200 3．甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 巩固课内例2:弹簧中的函数表达式 1．在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数.某弹簧挂质量为物体时，弹簧长度为，挂质量为物体时，弹簧长度为，那么该弹簧不挂物体时的长度为（　　） A． B． C． D． 2．一根弹簧秤原长，所挂物体的质量每增加，弹簧就伸长，则挂物体后弹簧长度与所挂物体的质量之间的函数表达式是 ． 3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量有如下关系： (1)请写出弹簧总长与所挂物体质量之间的函数关系式． (2)当挂重千克时弹簧的总长是多少？ (3)画出函数图像 巩固课内例3:画出一次函数图象 1．用描点法画一次函数图象时，某同学列了如下表格，有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） x 1 2 y 3 1 A． B． C． D． 2．写一个图象经过的函数表达式： ． 3．作出函数的图象，并利用图象回答问题： (1)作出该函数图像； (2)写出图象与x轴的交点A的坐标 ，与y轴的交点B的坐标 ． 巩固课内例4:求一次函数与x轴、y轴交点 1．一次函数图象与y轴交点是（    ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图象经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则此一次函数的解析式为 ． 3．在平面直角坐标系中画出函数的图象，并完成下列问题：    (1)函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积是______； (2)观察函数的图象，当自变量______时，；当自变量______时，． 巩固课内例5:一次函数的增减性 1．已知点，，都在直线上，则，，大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 2．已知、是一次函数的图象上的两点，则 ．（填“”或“”或“”） 3．已知函数 (1)当时，______；当时，______； (2)y随x的增大而______；图象上有两点，，若，则_____； (3)函数图象经过第______象限； (4)函数图象与x轴的交点坐标为______，与 y轴的交点坐标为______． 巩固课内例6:用待定系数法求解析式 1．已知一次函数的图象经过点且平行于直线，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图象经过点，则的值为 ． 3．如图，直线l是一次函数的图象，已知直线l经过点和点． (1)求直线l的函数表达式； (2)在y轴上有一点C，连接，若的面积等于面积的2倍，求点C的坐标． 类型一、正比例函数与一次函数的定义 1．下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有 ． 3．已知y与成正比例，当时，． (1)求这个函数表达式； (2)求当时y的值． 类型二、判断一次函数图象 1．已知一次函数，随的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（   ） A． B． C． D． 2．若点在函数的图像上，则 ． 3．如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值． (1)当输入的值分别为和时，输出的值分别是多少？ (2)下列图象中，可以是“函数求值机”中函数的对应图象的是______． (3)求要使输出结果为，应输入的值． 类型三、比较一次函数大小 1．点和都在直线上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 2．已知一次函数的图像经过点和，则 ．（填“”、“”或“”） 3．已知一次函数． (1)在图中画出该函数的图象； (2)若和是一次函数图象上的两点，比较和的大小，并说明理由． 类型四、一次函数的平移 1．将直线向上平移个单位长度后，得到的直线是函数（   ）的图象 A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的图像对应的函数表达式是 ． 3．已知直线与轴相交于点A，与轴相交于点B，将直线向上平移8个单位得直线． (1)求点A、B的坐标； (2)求直线的函数关系式． 类型一、列一次函数解析式 1．已知汽车油箱内有油40L，每行驶耗油0.1L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（        ） A． B． C． D． 2．拖拉机开始工作时，油箱中有油升，如果每小时耗油升，那么油箱中的剩余油量（升）和工作时间（时）之间的函数关系式是 ，自变量x必须满足 ． 3．某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元． (1)写出（元）关于 （件）的函数关系式； (2)若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案． 类型二、正比例函数的图象与性质 1．在同一坐标系中，一次函数与的大致图象是（   ） A． B． C． D． 2．正比例函数的图象经过点，则的值是 ． 3．已知与成正比例关系，且当时，． (1)求与之间的函数解析式． (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 类型三、一次函数的增减性求参 1．一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而增大，则点的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 2．已知一次函数（k为常数，且）的函数值随自变量的增大而减小，则该一次函数的图象不经过第 象限． 3．已知一次函数． (1)当y随x的增大而增大，求m的取值范围； (2)若图象经过一、二、三象限，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的取值范围． 类型四、一次函数的表达式 1．一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析，下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 1 4 … A．的值随值的增大而减小 B．该函数的图象不经过第四象限 C．关于的方程的解是 D．当时， 2．将直线平移后经过点，则平移后的直线解析式为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（、为常数且）的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)直线上存在点，满足的面积是的面积倍，则点的坐标为 ． 类型一、一次函数与一元一次方程结合 1．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 2．在直角坐标系中，函数的图象如图所示，当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值，则的取值范围为 ． 3．已知一次函数与x轴的交点为A，与y轴的交点为B． (1)求出点A和点B的坐标？ (2)求出的面积？ 类型二、一次函数中求直线围成的面积 1．如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，则 ． 3．如图 ，直线与x轴相交于点 A，与y轴相交于点B． (1)求的面积 ； (2)已知点C在x轴上 ，连接，若的面积是16 ，求点C的坐标 ； (3)若P是坐标轴上的一点 ，且，求点P的坐标． 1．下列函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 2．若直线与的交点在第三象限，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 3．国庆节小明一家自驾车从贵阳到离家的昆明旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 下列说法不正确的是（    ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶耗油 C．当小明一家到达昆明时，油箱中剩余油 D．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 4．将直线沿y轴向下平移2个单位，得到的直线解析式是 ． 5．已知点，在一次函数的图象上．当时，，则该函数图象不经过第 象限． 6．如图，直线（k、b为常数且）经过和两点，当x 时，． 7．已知一次函数 (1)当m为何值时，函数图像经过原点？ (2)图像与轴交点在x轴的上方，且随x的增大而减小，求整数m的值． 8．一次函数的图象经过，两点． (1)此一次函数的解析式； (2)求的面积． 9．综合与实践 项目任务：设计由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计． 素材1：弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图1，．弹簧A拉力与长度之间有关系式；测得弹簧B拉力与长度的数据如下表： 弹簧长度 10 15 20 25 拉力 5 10 15 20 素材2：在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧A每根6元，弹簧B每根3元． (1)任务1：在图2中描出以弹簧B测得数据的各对x与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上． (2)任务2：求关于x的函数表达式，并求出弹簧B在弹性限度内的最大拉力． (3)任务3：如何购买A，B两种弹簧，使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内）？并求出弹簧拉力计的最大拉力． 10．如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线经过点B，交x轴于点C． (1)求b的值和，的长． (2)在延长线上取点D，使，过点D作轴交的延长线于点E，记的面积为，的面积为，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.3 一次函数 一、一次函数的定义 一次函数的标准形式是y=kx+b（其中k和b是常数，且k≠0）。x是自变量，y是因变量。k称为斜率（或比例系数），决定了函数的增减性。b称为截距，即当x=0时，y的值。 二、一次函数的图象 一次函数的图象是一条直线。 斜率与方向：当k>0时，图象从左下方斜向右上方，表示函数随x的增大而增大（增函数）；当k<0时，图象从左上方斜向右下方，表示函数随x的增大而减小（减函数）。 截距：直线与y轴的交点坐标为（0，b）。 三、一次函数的性质 1.增减性：由斜率k决定，当k>0时，函数随x的增大而增大；当k<0时，函数随x的增大而减小。 2.图象位置：由斜率k和截距b共同决定。当k>0，b>0时，图象经过第一、二、三象限；当k>0，b<0时，图象经过第一、三、四象限；当k<0，b>0时，图象经过第一、二、四象限；当k<0，b<0时，图象经过第二、三、四象限。特别地，当b=0时，图象经过原点。 3.与坐标轴的交点：与x轴的交点坐标为（-b/k，0），与y轴的交点坐标为（0，b）。 四、一次函数的平移 将y=kx+b的图象沿y轴向上平移m个单位，得到新函数y=kx+（b+m）；向下平移m个单位，得到y=kx+（b-m）。 巩固课内例1:路程中的函数表达式 1．汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据汽车距天津的距离＝总路程−已行驶路程列函数关系式，再根据总路程判断出t的取值范围即可． 【详解】解：∵汽车行驶的路程为：， ∴汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系为：， ∵， ∴自变量t的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了列一次函数关系式，解决本题的关键是理解剩余路程的等量关系． 2．甲，乙两车分别从A，B两地沿直路同向匀速行驶，两车相距y（单位：m）与行驶时间x（单位：s）（0≤x≤60）的部分对应值如下表，则y与x的对应关系可用解析式表示为 ． 时间 0 5 10 15 20 两车相距 300 275 250 225 200 【答案】y=300-5x（0≤x≤60） 【分析】根据表格可得x=0时，y=300，时间x每增加5s，两车的相距y对应减少25m，由此可得y与x的关系式． 【详解】解：由题意可得：x=0时，y=300，时间x每增加5s，两车的相距y对应减少25m， ∴y=300-25×=300-5x， 故答案为：y=300-5x（0≤x≤60）． 【点睛】本题考查函数关系式，解题关键是理解表格中数据的变化规律． 3．甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 【答案】（1），y是x的一次函数；（2） 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距120km ∴火车与甲地的距离表示为：（km），即； 当火车到达甲地时，即 ∴，即火车行驶1.5h到达甲地 ∴ y是x的一次函数； （2）根据（1）的结论，得：． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 巩固课内例2:弹簧中的函数表达式 1．在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数.某弹簧挂质量为物体时，弹簧长度为，挂质量为物体时，弹簧长度为，那么该弹簧不挂物体时的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图象中的数据，可以得到与的函数解析式，再令求出相应的的值，即可得到该弹簧不挂物体时的长度． 【详解】解：设与的函数解析式为， 某弹簧挂质量为物体时，弹簧长度为，挂质量为物体时，弹簧长度为， ， 解得， 与的函数解析式为， 当时，， 即该弹簧不挂物体时的长度为， 故选：D． 2．一根弹簧秤原长，所挂物体的质量每增加，弹簧就伸长，则挂物体后弹簧长度与所挂物体的质量之间的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，得到弹簧长度的等量关系是解决本题的关键．根据弹簧的长度弹簧原来的长度挂上质量为的重物时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可． 【详解】解：挂上的物体后，弹簧伸长， ∴挂上质量为的物体后，弹簧伸长， ∵簧秤原长， ∴弹簧的长度． 故答案为：． 3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量有如下关系： (1)请写出弹簧总长与所挂物体质量之间的函数关系式． (2)当挂重千克时弹簧的总长是多少？ (3)画出函数图像 【答案】(1) (2)弹簧总长为 (3)见解析 【分析】本题考查一次函数实际应用，已知自变量值求函数值，画函数图象等． （1）通过表中数值可求得为常量，也为常量，继而写出本题答案； （2）将挂重千克数值代入（1）中求得的函数解析式即可求出本题答案； （3）利用表中数值，描点连线即可作出图象． 【详解】（1）解：由表可知：， ， ， ， ， ， 为常量，也为常量． 弹簧总长与所挂重物之间的函数关系式为： ； （2）解：当时，代入， 解得， 即弹簧总长为； （3）解：将表中点在平面直角坐标系中标出，如下图所示： ． 巩固课内例3:画出一次函数图象 1．用描点法画一次函数图象时，某同学列了如下表格，有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） x 1 2 y 3 1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象，在坐标系描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：根据表格数据描点，如图， 则点，，在同一直线上，点没在这条直线上， 故选：A． 2．写一个图象经过的函数表达式： ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题主要考查了函数的解析式，只需根据一次函数的形式或反比例函数的形式或二次函数的形式等写出适合的解析式即可． 【详解】解： 故答案为：(答案不唯一) 3．作出函数的图象，并利用图象回答问题： (1)作出该函数图像； (2)写出图象与x轴的交点A的坐标 ，与y轴的交点B的坐标 ． 【答案】(1)图见解析 (2)， 【分析】（1）按要求在平面直角坐标系中作出一次函数的图象即可； （2）令，则，解方程即可求出函数图象与轴的交点的坐标；令，求一次函数的函数值，即可求出函数图象与轴的交点的坐标． 【详解】（1）解：作出该函数图像如下： （2）解：令，则， 解得：， 图象与轴的交点的坐标为； 令，则， 图象与轴的交点的坐标为； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数的函数值，解一元一次方程等知识点，熟练掌握一次函数图象的画法及一次函数图象与坐标轴的交点问题是解题的关键． 巩固课内例4:求一次函数与x轴、y轴交点 1．一次函数图象与y轴交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与轴的交点．熟练掌握一次函数与轴的交点是解题的关键． 当时，，进而可求交点坐标． 【详解】解：当时，， ∴一次函数图象与y轴交点是， 故选：D． 2．已知一次函数的图象经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则此一次函数的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．先根据一次函数图象过点，可设此一次函数的解析式为，再用k表示出函数图象与x轴的交点，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴可设此一次函数的解析式为， 当时，， 解得：， ∴此一次函数的图象与x轴交于点， ∵与两坐标轴围成的三角形的面积为2， ∴， 解得：， ∴此一次函数的解析式为或． 故答案为：或． 3．在平面直角坐标系中画出函数的图象，并完成下列问题：    (1)函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积是______； (2)观察函数的图象，当自变量______时，；当自变量______时，． 【答案】(1)4 (2)0， 【分析】本题考查的是画一次函数图象一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 根据列表，描点，连线画出函数图象即可； （1）根据三角形面积公式求解即可； （2）根据函数图象直接解答即可． 【详解】（1）解：列表得， ⋯ 0 1 2 3 4 ⋯ ⋯ 0 2 4 ⋯ 描点，连线得   ， 解：由图象知，直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴此三角形的面积． 故答案为：4； （2）解：根据图象得，当自变量时，；当自变量时，． 故答案为：0， 巩固课内例5:一次函数的增减性 1．已知点，，都在直线上，则，，大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的增减性与的正负有关，进而判断即可．根据比例系数，，根据一次函数的性质随的增大而减小即可判断． 【详解】解：根据， ，随的增大而减小， 由于，，都在直线上， ， ， 故选：A． 2．已知、是一次函数的图象上的两点，则 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据k值得到一次函数的增减性是解题的关键． 先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的值即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：． 3．已知函数 (1)当时，______；当时，______； (2)y随x的增大而______；图象上有两点，，若，则_____； (3)函数图象经过第______象限； (4)函数图象与x轴的交点坐标为______，与 y轴的交点坐标为______． 【答案】(1)； (2)减小；> (3)一、二、四 (4)； 【分析】（1）将代入，求出对应的y值；将代入，求出对应的x值； （2）根据一次函数的增减性作答即可； （3）分别求出函数图象与x轴、y轴的交点坐标并作出图象，根据图象判断即可； （4）根据（3）作答即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，得， 解得 故答案为：； （2）， ∴y随x的增大而减小， ， 故答案为：减小； （3）当时，；当时，， 函数经过坐标和， 函数的图象如下： 由图象可知，函数经过第一、二、四象限． 故答案为：一、二、四． （4）由（3）可知，函数图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为 故答案为：； ． 【点睛】本题考查函数值、解一元一次方程、一次函数的图象和性质，掌握一元一次方程的解法、一次函数的增减性是解题的关键． 巩固课内例6:用待定系数法求解析式 1．已知一次函数的图象经过点且平行于直线，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征与性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据一次函数平行于直线，可得到的值，然后，将点代入函数表达式，即可求出的值． 【详解】解：一次函数平行于直线， ， ， 又一次函数的图象经过点， ， 解得：， 故选：D． 2．已知一次函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一次函数与��轴的交点问题，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 将点，代入解析式即可求解． 【详解】解：将点代入中，，解得， 故答案为：5． 3．如图，直线l是一次函数的图象，已知直线l经过点和点． (1)求直线l的函数表达式； (2)在y轴上有一点C，连接，若的面积等于面积的2倍，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数解析式，坐标与图形等知识．熟练掌握一次函数解析式，坐标与图形是解题的关键． （1）待定系数法求解即可； （2）设，根据三角形面积公式列方程求解． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得，， ∴ 直线l的函数表达式为； （2）解：设， ∴ 若的面积等于面积的2倍， 则 解得，或， ∴或． 类型一、正比例函数与一次函数的定义 1．下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了正比例函数的定义，形如的函数，叫做正比例函数，据此进行解答即可． 【详解】解：A．是一次函数，不是正比例函数，故该选项错误，不符合题意； B．不是整式，故该选项错误，不符合题意； C．a的指数是2，不属于正比例函数，故该选项错误，不符合题意； D．是正比例函数的形式，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 2．有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查一次函数的概念，掌握一次函数的一般形式为（其中k，b是常数且）是解题的关键．根据一次函数的定义判断即可． 【详解】解：①是一次函数； ②是一次函数； ③是一次函数； ④，等号右边不是整式，不是一次函数； ⑤，未知数的最高次是2次，不是一次函数， ∴是一次函数的有①②③． 故答案为：①②③． 3．已知y与成正比例，当时，． (1)求这个函数表达式； (2)求当时y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例的定义、利用待定系数法求函数的解析式等知识点，掌握理解正比例的定义是解题关键． ①设，将时，代入求出k的值即可得； ②根据①的结论，将代入求值即可得． 【详解】（1）解：设， 由题意得：， 解得， 则这个函数的解析式是； （2）解：由（1）可知，， ∴当时，． 类型二、判断一次函数图象 1．已知一次函数，随的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质．，图象过第一，三象限；，图象过第二，四象限．，图象与轴正半轴相交；，图象过原点；，图象与轴负半轴相交．利用一次函数的性质进行判断． 【详解】解：一次函数，随着的增大而减小， ， 又， ， 此一次函数图象过第一，二，四象限． 故选：C． 2．若点在函数的图像上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．据此可得出关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵点在函数的图像上， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值． (1)当输入的值分别为和时，输出的值分别是多少？ (2)下列图象中，可以是“函数求值机”中函数的对应图象的是______． (3)求要使输出结果为，应输入的值． 【答案】(1)和 (2)A (3)或 【分析】（1）把，分别代入“函数求值机”可得其值； （2）根据函数图像的特点，即可找出对应的图像； （3）分类讨论：①当时，，求出符合题意的值；②当时，，求出符合题意的值． 【详解】（1）解：， ； ， ； ∴输出的值分别是和； （2）解：当时，，，，图像下降，交于轴的正半轴； 当时，，，，图像上升， 且时，， 综上所述，符合对应的图像是A选项． 故答案为：A； （3）解：①当时，， 即，解得：， ，符合题意； ②当时，， 即，解得：， ，符合题意； ∴应输入的值为或． 【点睛】本题考查了函数的图像以及函数的值，读懂“函数求值机”的示意图，并用分类讨论思想分析问题是解本题的关键． 类型三、比较一次函数大小 1．点和都在直线上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由直线得，，则随的增大而增大，从而求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由直线得，， ∴随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：． 2．已知一次函数的图像经过点和，则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了比较一次函数值的大小，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 由可得随的增大而减小，再结合即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和，且， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 3．已知一次函数． (1)在图中画出该函数的图象； (2)若和是一次函数图象上的两点，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析 【分析】本题主要考查一次函数图象及性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据解析式得出当时，；当时，，列表、描点，画出直线即可； （2）根据一次函数的性质，得出y随x的增大而增大即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 当时，；当时，； 列表如下： 0 2 0 描点，该函数的图象如下： （2）， 随的增大而增大， ， ． 类型四、一次函数的平移 1．将直线向上平移个单位长度后，得到的直线是函数（   ）的图象 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移变化规律是“左加右减，上加下减”． 根据一次函数图象的平移变换规律即可得到答案． 【详解】解：将直线向上平移个单位长度后，得到的直线是函数的图象， 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，将函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的图像对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】将函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的图像对应的函数表达式是 故答案为：． 3．已知直线与轴相交于点A，与轴相交于点B，将直线向上平移8个单位得直线． (1)求点A、B的坐标； (2)求直线的函数关系式． 【答案】(1)点A的坐标是，点B的坐标是； (2) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数的平移等知识， （1）分别令和进行求解即可； （2）根据一次函数平移的规律进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得， ∵直线与轴相交于点A，与轴相交于点B， ∴点A的坐标是，点B的坐标是； （2）直线向上平移8个单位得直线， 则直线的函数关系式为． 类型一、列一次函数解析式 1．已知汽车油箱内有油40L，每行驶耗油0.1L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用油箱内有油40L，每行驶1km耗油0.1L，进而得出余油量与行驶路程之间的函数关系式即可． 【详解】解：∵汽车油箱内有油40L，每行驶1km耗油0.1L， ∴汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式为： 故选：A． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系，表示出油箱内余油量是解题关键． 2．拖拉机开始工作时，油箱中有油升，如果每小时耗油升，那么油箱中的剩余油量（升）和工作时间（时）之间的函数关系式是 ，自变量x必须满足 ． 【答案】 ； ． 【分析】本题主要是考查根据实际问题列一次函数关系式，根据余油量原有油量用油量，时间应≥0，用油量不能超过原有油量得出，读懂题意，找到所求量的等量关系是解题的关键． 【详解】解：依题意得， 时间应，用油量不能超过原有油量， ∴，解得， ∴， 故答案为：，． 3．某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元． (1)写出（元）关于 （件）的函数关系式； (2)若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案． 【答案】(1) (2)方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件． 【分析】本题主要考查了列函数解析式、不等式组的应用等知识点，根据题意列出函数解析式、不等式组成为解题的关键． （1）设购进A商品件，则购进B商品件，然后根据总利润为A、B两种商品的利润之和列出函数解析式即可； （2）根据不等关系“A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元”列不等式组求得x的范围，然后确定进货方案即可． 【详解】（1）解：设购进A商品件，则购进B商品件， 由题意可得：总利润，即． （2）解：由题意可得：， 解得：， ∵x为整数， ∴，， 所以，所有的进货方案如下：方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件． 类型二、正比例函数的图象与性质 1．在同一坐标系中，一次函数与的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象及性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答的关键．根据题意，利用图象与性质逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：选项A中，由过原点的直线可得，由另一直线得， ∴两个函数的值一致，故A选项符合题意； 选项B中，两直线均不过原点，但直线必过原点，故B选项不符合题意． 选项C中，由过原点的直线得，由另一直线得， ∴两个函数的k值矛盾，故C选项不符合题意； 选项D中，两直线均不过原点，但直线必过原点，故D选项不符合题意． 故选：A． 2．正比例函数的图象经过点，则的值是 ． 【答案】 【分析】把（-3，4）代入函数解析式即可求k的值． 【详解】解：由题意知，， 解得=． 故答案为：． 【点睛】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征，比较简单，考查的是用待定系数法求正比例函数的比例系数． 3．已知与成正比例关系，且当时，． (1)求与之间的函数解析式． (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数关系式， （1）设关系式为，再将数值代入求值即可； （2）将点代入关系式，求出解即可． 【详解】（1）解：根据题意，设． 当时，， ， 解得， 与之间的函数解析式为． （2）把代入，得， 解得， 的值为． 类型三、一次函数的增减性求参 1．一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而增大，则点的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，将各点代入解析式，得出的选项，即可求解． 【详解】解：A.将代入，得，解得：， ∴的值随值的增大而增大，故该选项符合题意； B. 将代入，得，解得：， ∴的值随值的增大而减小，故该选项不符合题意；     C. 将代入，得，解得：， ∴的值随值的增大而减小，故该选项不符合题意；     D. 将代入，得，解得：， ∴的值随值的增大而减小，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．已知一次函数（k为常数，且）的函数值随自变量的增大而减小，则该一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，据此可得k的符号，对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限，当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数（k为常数，且）的函数值y随自变量x的增大而减小， ∴， ∴一次函数图象经过第二、三、四，不经过第一象限， 故答案为：一． 3．已知一次函数． (1)当y随x的增大而增大，求m的取值范围； (2)若图象经过一、二、三象限，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式（组）； （1）依题意，，解不等式，即可求解； （2）根据函数图像经过第一、二、三象限，得出，解不等式组，即可求解； （3）依题意，函数解析式为：，根据，随的增大而增大，分别求得时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：； （2）解：∵函数图像经过第一、二、三象限， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴函数解析式为：， ，随的增大而增大 当时，，当时，， ∴当时，． 类型四、一次函数的表达式 1．一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析，下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 1 4 … A．的值随值的增大而减小 B．该函数的图象不经过第四象限 C．关于的方程的解是 D．当时， 【答案】D 【分析】根据表格中的数据和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由表格可得， A、y随x的增大而增大，原说法错误，故此选项不符合题意； B、当时，，可知，y随x的增大而增大，可知，则该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，原说法错误，故此选项不符合题意； C、∵点，在该函数图象上， ∴，解得， ∴， 时，，故方程的解是，原说法错误，故此选项不符合题意； D、点在该函数图象上，y随x的增大而增大，∴当时，，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数的性质，解答本题的关键是利用一次函数的性质解答． 2．将直线平移后经过点，则平移后的直线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移、求函数的解析式，熟练掌握直线平移时的值不变是解题的关键．根据直线平移不改变的值，可设平移后的直线解析式为，再代入到解析式求出的值即可得出答案． 【详解】解：设平移后的直线解析式为， 代入得，， 解得：， 平移后的直线解析式为． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（、为常数且）的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)直线上存在点，满足的面积是的面积倍，则点的坐标为 ． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】本题考出来一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法、三角形面积公式及数形结合思想是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）根据数形结合思想求解； （3）根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， ， 解得： 一次函数的表达式为：； （2）解：由图象得，当时，， 故答案为； （3）解：设， 由题意得：， 解得：或， 或， 或， 故答案为：或． 类型一、一次函数与一元一次方程结合 1．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 2．在直角坐标系中，函数的图象如图所示，当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键． 根据题意可得出，当时函数的函数值不小于函数的函数值，据此可解决问题． 【详解】解：因为当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值， 所以， 解得． 故答案为：． 3．已知一次函数与x轴的交点为A，与y轴的交点为B． (1)求出点A和点B的坐标？ (2)求出的面积？ 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据一次函数与方程的联系求解； （2）根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）由，，则，得，； 时， ，； （2）； 【点睛】本题考查一次函数与方程的联系，理解函数与方程的联系是解题的关键． 类型二、一次函数中求直线围成的面积 1．如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】题目主要考查一次函数的基本性质及交点和三角形面积问题，根据题意得出，，结合图形计算面积即可，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点方法是解题关键 【详解】解：∵一次函数， ∴当时，， 解得：， ∵一次函数, ∴当时，， 解得： ， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 边上的高即为点A的纵坐标1， ∴的面积为：， 故选：B 2．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与三角形面积，待定系数法；由待定系数法得直线的解析式为，求出的坐标，由即可求解；能熟练求解一次函数与三角形的面积是解题的关键． 【详解】解：如图， 当时，， 当时，， 解得：， ，，， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ； 故答案：． 3．如图 ，直线与x轴相交于点 A，与y轴相交于点B． (1)求的面积 ； (2)已知点C在x轴上 ，连接，若的面积是16 ，求点C的坐标 ； (3)若P是坐标轴上的一点 ，且，求点P的坐标． 【答案】(1)12 (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出点，点坐标，由三角形的面积公式可求解； （2）由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况：当点P在x轴上时，设点P的坐标为，当点P在y轴上时，设点P的坐标为，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， 点，点， ，， 的面积； （2）解：设点， 的面积是16， ， ， ，， 点坐标为或； （3）解：当点P在x轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当点P在y轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为：或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，勾股定理，坐标与图形等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法． 1．下列函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. ，不是一次函数，故该选项不符合题意； B. ，是一次函数，故该选项符合题意； C. ，是二次函数，故该选项不符合题意； D. ，当时，不是一次函数，故该选项不符合题意； 2．若直线与的交点在第三象限，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的交点问题．联立两函数解析式可求出两直线的交点坐标，再根据两直线的交点在第三象限，可求出的取值范围． 【详解】解：联立得：， 解得：， ∴两直线的交点坐标为， ∵两直线的交点在第三象限， ∴，解得：． 故选：A 3．国庆节小明一家自驾车从贵阳到离家的昆明旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 下列说法不正确的是（    ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶耗油 C．当小明一家到达昆明时，油箱中剩余油 D．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，明确题意、正确从表格中获取信息是解题的关键．根据表格中信息逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、由表格知：行驶路程为时，油箱余油量为，故A正确，不符合题意； B、由表格信息可得该车每行驶耗油；故B正确，不符合题意； C、当 时，，故C正确，不符合题意． D、由表格知：该车每行驶耗油，则，故D错误，符合题意； 故选：D． 4．将直线沿y轴向下平移2个单位，得到的直线解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移特征解题：左加右减，上加下减即可解答． 【详解】解：将直线沿y轴向下平移2个单位，得到的直线解析式是，即． 故答案为： 5．已知点，在一次函数的图象上．当时，，则该函数图象不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，先由已知判断出该函数的增减性，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上，且当时，， ∴y随x的增大而减小， ∴， 又， ∴该一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴该函数图象不经过第三象限， 故答案为：三． 6．如图，直线（k、b为常数且）经过和两点，当x 时，． 【答案】 【分析】本题考出来一次函数与一元一次不等式的关系．由图象得：当时，，y随着x的增大而减小，根据数形结合求解即可． 【详解】解：由图象得：当时，，y随着x的增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． 7．已知一次函数 (1)当m为何值时，函数图像经过原点？ (2)图像与轴交点在x轴的上方，且随x的增大而减小，求整数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的增减性以及与轴的交点问题，熟记相关结论是解题关键． （1）对于一次函数，当时，函数图像经过原点，据此即可求解； （2）对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．当时，图像与轴交点在x轴的上方；当时，图像与轴交点在x轴的下方．据此即可求解． 【详解】（1）解：若函数图像经过原点， 则有： ∴ （2）解：∵图像与轴交点在x轴的上方，且随x的增大而减小， ∴ 解得： ∵m为整数， ∴ 8．一次函数的图象经过，两点． (1)此一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解、一次函数与坐标轴的交点问题，掌握待定系数法求出解析式是解题关键． （1）将，两点代入即可求解； （2）求出一次函数与坐标轴的交点，根据即可求解． 【详解】（1）解：将，两点代入得： ， 解得： ∴ （2）解：如图所示： 令，则； ∴， ∴ ． 9．综合与实践 项目任务：设计由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计． 素材1：弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图1，．弹簧A拉力与长度之间有关系式；测得弹簧B拉力与长度的数据如下表： 弹簧长度 10 15 20 25 拉力 5 10 15 20 素材2：在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧A每根6元，弹簧B每根3元． (1)任务1：在图2中描出以弹簧B测得数据的各对x与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上． (2)任务2：求关于x的函数表达式，并求出弹簧B在弹性限度内的最大拉力． (3)任务3：如何购买A，B两种弹簧，使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内）？并求出弹簧拉力计的最大拉力． 【答案】(1)见解析，这些点在同一直线上 (2)，弹簧B的最大拉力为 (3)购置3根弹簧A，7根弹簧B时，弹簧拉力计最大拉力为 【分析】本题考查了画函数图象、一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）先描点、再连线，即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出答案； （3）设弹簧A为m根，则弹簧B为根，根据最大拉力得到函数解析式，根据增减性解题即可． 【详解】（1）解：如图所示，是在同一直线上： （2）解：设，把和代入，得： ，解得， ， ， 随x增大而增大， 当时，， 弹簧B的最大拉力为； （3）解：设弹簧A为m根，则弹簧B为根， 则， 解得， 记最大拉力为y， 因当时弹簧A最大拉力为，弹簧B最大拉力为， 则. 且m为整数，y随m增大而增大， 当时，， 购置3根弹簧A，7根弹簧B时，弹簧拉力计最大拉力为． 10．如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线经过点B，交x轴于点C． (1)求b的值和，的长． (2)在延长线上取点D，使，过点D作轴交的延长线于点E，记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数，平面直角坐标系和三角形全等的判定，掌握了以上知识是解题的关键； （1）把代入，可得长度，然后把把代入，求出点的坐标，进而求出，把代入，求出的长度； （2）需要先证明，然后分别求出和，求出，再求出和，求出，即可求解 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴点B为， 把点代入，得， ∴， 把代入，得， 即； （2）解：记交x轴于点F，如图： ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$