17.2 函数的图象 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

17.2 函数的图象 一、函数图象的概念 函数图象是用来表示函数关系的一种图形，它能够直观地反映出函数的性质和变化规律。函数图象由平面直角坐标系中一系列的点组成，图象上每一点的坐标（x，y）代表了函数的一对对应值，其中横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与该自变量对应的函数值。 二、函数图象的绘制方法 绘制函数图象的关键是画出图象上的一些点。具体方法包括： 1.列表：在自变量的取值范围内，适当取一些自变量的值。 2.描点：求出对应的函数值，并在平面直角坐标系中标出这些点。 3.连线：用平滑的曲线或直线将这些点连接起来，得到函数的图象。这种方法通常称为描点法。 此外，根据函数的性质和特点，还可以选择其他绘制方法，如解析法、图象平移法等。 巩固课内例1:写出直角坐标系的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了各象限内点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点A位于第四象限，坐标是． 故选：C． 2．点位于轴左方，距轴3个单位长度，位于轴上方，距轴4个单位长度，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标的知识；解题的关键是熟练掌握坐标、直角坐标系的性质，从而完成求解． 根据直角坐标系中坐标的性质，结合题意分析，可分别得点P的横坐标及纵坐标，从而得到答案． 【详解】∵点P位于y轴的左侧，距y轴3个单位长度 ∴点P横坐标为： ∵点P位于x轴上方，距x轴4个单位长度 ∴点P纵坐标为： ∴点P的坐标是： 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，和的顶点均在格点上． (1)△ABC三个顶点A、B、C的坐标分别是： A： ，B： ，C： ； (2)和关于 对称（填“x轴”或“y轴”）； (3)在平面直角坐标系内作出向下平移5个单位的图形． 【答案】(1)，， (2)y轴 (3)见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系以及对称轴、平移的性质． （1）根据题意写出A、B、C的坐标即可； （2）根据轴对称的性质进行判断； （3）根据平移的性质找到．D、E、F的对应点，顺次连接其对应点可得到所求作图形 【详解】（1）解：由图可得，，， 故答案为：，，； （2）解：由图可得和关于y轴对称， 故答案为：y轴 （3）解：如图，即为所求： 巩固课内例2:画出函数图象 1．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（     ） x 0 1 2 y 10 8 6 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 在坐标系描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：根据表格数据描点，如图， ， 则点，，在同一直线上，点没在这条直线上， 故选：D. 2．李玲用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格，根据表格上的信息回答问题：该二次函数当时， ． 【答案】1 【分析】观察表格中的x，y值，找到对称点确定对称轴，在找x=3的对称点的y值，即可求出 【详解】由上表可知函数图象经过点（0，-2）和点（2，-2）， ∴对称轴为x==1， ∴当x=-1时的函数值等于当x=3时的函数值， ∵当x=-1时，y=1， ∴当x=3时，y=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决本题的关键，另外本题也可以求出二次函数解析式，然后求值 3．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小曲同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小曲同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x 0 1 2 3 4 … y 0 a b 0 … 则______，______． (2)描点并画出该函数的图象： (3)函数的图象______（填“是”或“不是”）轴对称图形； (4)观察函数图象，当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)是 (4)． 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，绝对值的意义，轴对称图形的识别，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）把x的值代入计算，即可求出a、b的值； （2）根据（1）中的表格，描点连线即可画出图象； （3）利用轴对称图形的定义对函数图象进行分析即可判断； （4）根据（2）中图象代入求解即可得出结果． 【详解】（1）解：， 当时，，即； 当时，，即， 故答案为：；； （2）解：函数图象如下： （3）解：由（2）图象可知，函数的图象是轴对称图形； 故答案为：是； （4）由（2）得，当时，取得最小值为：， 当时，取得最大值为：， ∴当时，y的取值范围是 故答案为：． 巩固课内例3:行程图象问题 1．一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距；②甲出发后到达C村；③甲每小时比乙多骑行；④相遇后，乙又骑行了或时两人相距．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，读懂函数图象是解题关键． 观察图像可解答①；由图像可得运动过程，进而判断②；根据甲在比乙多行驶了，可判断③；最后分：两人相遇后，甲未到达C村，和甲已经到达C村时两种情况，求出时间即可． 【详解】解：由图象可知，当时，，所以A，B两村相距．所以①正确； 由图象可知，甲的速度大于乙的速度，在时两人相遇，在时，甲到达了C村，之后两人之间的距离开始减小，最后相遇在C村．所以②正确； 甲每小时比乙多骑行的路程为．所以③正确； 乙的速度为，甲的速度是；当两人相遇后，甲未到达C村时，，当两人相遇后，甲已到达C村时，． 综上所述，相遇后，乙又骑行了或时两人相距，结论④错误． 综上正确的有①②③． 故选：C． 2．渔夫将渔船停靠在A地休息，等渔夫醒来时，发现渔船没有固定好，已经顺水漂流了一个半小时到达了B地，此时渔夫打开渔船的发动机，逆流匀速行驶了一段时间后又回到了A地．若水流的速度和渔船来回行驶的路线都保持不变，渔船离A地的距离（千米）与渔船移动的时间（小时）之间的图象如图所示，则该渔船从开始离开A地到回到A地所用的时间是 小时．    【答案】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，先根据函数图象求出渔船从B返回A的速度，进而求出返回到A所用的时间，再加上从A到B的时间即可得到答案． 【详解】解：由图象得，渔船返回A地时的速度为（千米/小时）， ∴渔船返回A地的时间为（小时）， ∴该渔船从开始离开A地到回到A地所用的时间是（小时）， 故答案为：． 3．一天下午，李师傅开车从成都到贵阳，货车出发前油箱中有50升油，行驶一段时间后，师傅就到服务区休息了一会儿．休息一小时后，师傅打算继续上路向贵阳方向行驶时，发现油箱中的油不多了，于是就在该服务区的加油站加了油（加油时间忽略不计），才继续上路行驶．已知进入服务区前和驶出服务区后货车都匀速行驶，且货车加油前后行驶时每小时的耗油量相同．油箱中剩余油量Q（升）与货车的行驶时间t（时）之间的函数图象如图所示． (1)师傅行驶________小时后去服务区休息，每小时耗油量________升； (2)求驶出服务区后剩余油量Q与行驶时间t之间的函数关系式； (3)加完油时，此时距贵阳还有400千米，若货车行驶的速度为80千米/时，要到达目的地，邮箱中的油是否够用？如果不够，请说明理由；如果够用，则到达目的后，邮箱里还剩多少升油？ 【答案】(1)3，12 (2)； (3)要到达目的地，油箱中的油不够用．理由见解析 【分析】本题考查函数图象的应用，从图象中获得必要的数学信息，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． （1）观察图象可知师傅行驶几小时后去服务区休息，根据每小时耗油量=耗油量÷行驶时间计算即可； （2）根据剩余油量=驶出服务区时油箱的油量-每小时耗油量×行驶时间解答即可； （3）根据时间=路程÷速度求出到贵阳还需要多长时间，从而计算出这段时间的耗油量并与加完油时油箱里的油量相比即可得出结论． 【详解】（1）解：师傅行驶3小时后去服务区休息，每小时耗油量（升）． 故答案为：3，12； （2）解：， ∴驶出服务区后剩余油量Q与行驶时间t之间的函数关系式为； （3）解：要到达目的地，油箱中的油不够用．理由如下： （小时），（升）， ∵， ∴要到达目的地，油箱中的油不够用． 类型一、用有序数对表示位置或路线 1．在白银市大地影院里，如果用表示4排7号，那么9排8号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用数对表示实际意义，理解数对的定义是解题的关键． 【详解】解：9排8号可以表示为， 故选：A． 2．如图，已知，，，点记作，点记作，点记作，照此规律，点可记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质．根据题干得出规律，从而得出答案． 【详解】解：根据题意知：横坐标表示长度，纵坐标表示角度，从而得出点可表示为， 故答案为：． 3．如图，一个点在的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动距离． (1)填空：图中(____，____)，(____，____)； (2)若这个点从A处去P处的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． 【答案】(1)，；， (2)答案见解析 【分析】本题主要考查了利用有序数对确定点的位置的方法，解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用有序数对表示． （1）根据题中规定即可获得答案； （2）结合题中规定，依次确定点，，及的位置，即可获得答案． 【详解】（1）解：由题中规定，向上向右走均为正，向下向左走均为负，则图中，； 故答案为：，；，； （2）解：点P位置如图所示． 类型二、判断点在的象限 1．在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，根据点A的横纵坐标都为负数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴在平面直角坐标系中，点落在第三象限， 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，点所在的象限是第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴点所在的象限是第四象限． 故答案为：四． 3．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标； (3)若点的横坐标比纵坐标大，则点在第几象限? 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 (3)点在第四象限 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，掌握相关知识并熟练使用，同时注意在解题过程中需注意的相关事项是解题的关键． （1）因为点在轴上，所以纵坐标为，解得值并代入横坐标的代数式中即可得到答案； （2）因为点在过点且与轴平行的直线上，所以、两点的横坐标相同，令点横坐标为，解得的值并代入纵坐标的代数式中即可； （3）根据题意列出方程，即可得到答案． 【详解】（1）解： 点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标为； （2） 点在过点且与轴平行的直线上， 点的横坐标为， ， 解得， ， 点的坐标为； （3）由题意得， 解得， ,， 点的坐标为， 点在第四象限． 类型三、坐标系中描点、并写出坐标 1．如图所示的平面直角坐标系中有原点O与A、B、C、D 四点．若有一直线 l经过点且与x轴垂直，则l也会经过（   ） A．点A B．点 B C．点C D．点 D 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标，根据题意、正确画出图形是解题的关键． 先根据题意正确画出图形，然后直角读出坐标即可． 【详解】解：根据作图如下： ∴直线 l经过点且与x轴垂直，则l也会经过点C． 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，，，且轴，则 . 【答案】 【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系内，平行于坐标轴的点的坐标的特征，即平行于轴的点的纵坐标相同；平行于轴的点的横坐标相同，解题的关键是熟练掌握平行于坐标轴的点的坐标的特征．根据轴，可得点，的纵坐标相同，可求出的值，即可求解． 【详解】解：，，且轴， ， 解得：， 点， ． 故答案为：． 3．小蒲周末打算去游乐场游玩，如图，他根据游乐场的地图在网格中着重标注了自己游玩的四个地点，其中旋转木马，过山车，摩天轮的坐标分别为，． (1)请你根据点的坐标建立平面直角坐标系； (2)写出激流勇进点的坐标为_______； (3)连接，将线段向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，得到线段，画出线段，并直接写出点和点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析， 【分析】本题主要考查坐标与图形及作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质． （1）根据旋转木马，过山车，摩天轮的坐标分别为，，建立平面直角坐标系； （2）利用所建立的直角坐标系写出激流勇进点的坐标即可； （3）由平移的性质画出线段，并直接写出点和点的坐标； 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图． （2）解：激流勇进点的坐标为， 故答案为：； （3）解：画出线段如图，． 类型四、描点法画函数图象 1．“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图像经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限． 【答案】D 【分析】根据x的取值，判断y的范围即可求解． 【详解】解：当时，；此时点在二象限； 当时，；此时点在四象限． 故选：D． 【点睛】本题主要考查函数的图像、描点法等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 2．写出一个在函数图象上的点的坐标 ． 【答案】 【分析】根据所给函数可得该函数自变量的取值范围为，在给出一个合适的x值，代入函数解析式中求出y值，即可得出点的坐标． 【详解】解：∵， ∴，即该函数自变量的取值范围为x≠0， 当时，， ∴点（1，0）在该函数图象上． 故答案为：（1，0）． 【点睛】本题主要考查函数的图象定义：对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图象上的任意点都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点是否在函数图象上的方法是：将点的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 3．数学兴趣小组在设计一个表面积为，底面为正方形的长方体盒子（有底也有盖）时，发现了一个有理的问题：盒子的体积V（单位：）与底面边长x（单位：）之间有某种函数关系．于是他们开展了如下的探究过程，请你将其补充完整： (1)【建立模型】设长方体的高为，表面积为，根据长方体的表面积公式：，∴________（用含x的代数式表示）．① 将①代入长方体的体积公式，得________．② 可知，V是x的函数，自变量的取值范围是； (2)【探究函数】根据函数解析式②，按照下表中自变量x的值计算（精确到0.01），得到了V与x的几组对应值： … 0.25 0.50 0.73 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.40 … … 0.74 1.44 2.00 2.50 2.77 2.81 2.57 2.00 1.05 0.29 … 在上画的平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象； (3)【解决问题】结合表中数据，并利用所画的函数图象推断： ①当底面边长为________（精确到0.01）时，这个盒子的体积最大； ②这个盒子的体积为2时，底面边长为________（精确到0.01）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①；②或 【分析】本题考查了函数图象以及分式的乘法，根据函数图象获取信息是解题的关键． （1）把代入计算即可得解； （2）用平滑的曲线连接即可得解； （3）①根据（2）中的表格中数据与函数图象分析可得对称轴,此时处于最高点，即可判断求解，②由当时，，当时，，结合图形判断求解即可. ②根据函数图象求解即可 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：作图如下， ； （3）解：①∵当时，此时处于最高点， ∴结合图象可得，底面边长为时，这个盒子的体积最大， 故答案为：； ②∵当时，，当时，， ∴结合图形得这个盒子的体积为2时，底面边长为或. 故答案为：或. 类型一、已知象限求参 1．若点在x轴上，点在y轴上，则三角形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是根据点的位置求其坐标，三角形的面积，先求解，，再求解三角形的面积即可． 【详解】解：点在x轴上，点在y轴上， ，， 解得，， ∴，， ∴三角形的面积为， 故选：A． 2．已知点在轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标轴上的点的坐标的特征，解决本题的关键是记住y轴上点的特点为横坐标为0．在y轴上，那么横坐标为0，就能求得m的值，求得m的值后即可求得点A的坐标． 【详解】解：点在轴上， 点的横坐标是0， ， 解得， ，点的纵坐标为2029， 点的坐标是． 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，各象限点的坐标特征，一元一次不等式的应用，掌握以上知识是解题的关键． （1）由x轴上点的纵坐标为0得出关于a的方程，解之即可； （2）由第二象限内点的坐标符号特点列出关于a的不等式组，解之即可． 【详解】（1）解：∵点P在x轴上， ∴， 解得, ∴， ∴； （2）解：∵点P在第二象限， 解得：． 类型二、函数图象识别 1．下列图象中，y不是x的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查函数的定义，根据“在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则y是x的函数，x是自变量”判断即可． 【详解】解：由图可知B中的y的值不具有唯一性，所以不是函数图象． 故选：B． 2．以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是 【答案】①④②③ 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至；②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系；③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系；④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为．据此可以得到答案． 【详解】解：①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至0； ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系； ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系； ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从0开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为0． 故顺序为①④②③． 故答案为：①④②③． 3．下图反映的过程是：扎西从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中表示时间，表示扎西离家的距离，根据图象回答下列问题： (1)体育场离扎西家______千米；扎西从家去体育场用了______分； (2)体育场离文具店______千米，扎西在文具店停留了______分； (3)请计算：扎西从文具店回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)2.5，15； (2)1，20； (3)km/分． 【分析】（1）根据观察函数图象的纵坐标，可得距离，观察函数图象的横坐标，可得时间； （2）根据观察函数图象的横坐标，可得体育场与文具店的距离，观察函数图象的横坐标，可得在文具店停留的时间； （3）根据观察函数图象的纵坐标，可得路程，根据观察函数图象的横坐标，可得回家的时间，根据路程与时间的关系，可得答案． 【详解】（1）解：由纵坐标看出体育场离扎西家2.5千米，由横坐标看出扎西从家去体育场用了15分钟； （2）由纵坐标看出体育场离文具店（千米）， 由横坐标看出 扎西在文具店停留了（分）； 故答案为： 1；20； （3）由纵坐标看出文具店距扎西家1.5千米，由横坐标看出从文具店回家用了100﹣65＝35分钟， 扎西从文具店回家的平均速度是（千米/分）， 答：扎西从文具店回家的平均速度是千米/分钟． 【点睛】本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． 类型三、点到坐标轴的距离 1．点在轴的左侧，在轴的上方，距离每个坐标轴都是4个单位长度，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标的确定与意义，点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，到y轴的距离是其横坐标的绝对值.在y轴左侧，在x轴的上侧，即点在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正． 【详解】解：∵点在y轴左侧，在x轴的上方， ∴点横坐标为负，纵坐标为正； 又∵距离每个坐标轴都是4个单位长度， ∴点的坐标为． 故选：B 2．已知点，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查到坐标轴的距离，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键. 点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，据此解题． 【详解】解：由题意得：， 或， 解得或 当时，， 当时，， ∴或 故答案为：或 3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在y轴上，求点A的坐标； (2)若点，直线轴，求a的值； (3)点C的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求b的值及点C的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)当b的值为2时，点C的坐标为；当b的值为时，点C的坐标为 【分析】本题考查了点的坐标，坐标轴上的点的特征，利用了点到坐标轴的距离：点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离． （1）根据点在y轴上横坐标为0求解； （2）根据平行x轴的纵坐标相等求解； （3）根据点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，根据点与x轴与y轴的关系，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， ， ； （2）解：直线轴， ，B两点的纵坐标相等，即， 解得； （3）解：直线轴， ，C两点的横坐标相等， 即， 解得， ， 点A的坐标为． 线段的长为5， 当点C在点A上方时， ， 解得，此时点C的坐标为； 当点C在点A下方时， ， 解得，此时点C的坐标为． 综上所述，当b的值为2时，点C的坐标为；当b的值为时，点C的坐标为． 类型四、从函数图象获取信息 1．如图是某市某天的气温变化图，根据图象判断，以下说法正确的是（   ） A．当日最低气温是 B．从早上时开始气温逐渐升高，直到时到达当日最高气温 C．当日气温为的时间点有两个 D．当日气温在以下的时长超过个小时 【答案】D 【分析】本题主要考查函数图象，熟练掌握函数的图象是解题的关键．根据函数图像可直接进行求解． 【详解】解：观察图像上的气温曲线图，可以得出： A. 当日最低气温低于，该选项错误； B. 从早上时开始气温逐渐下降，至时以后才逐渐升高，直到时到达当日最高气温，该选项错误； C. 当日气温为的时间点有四个，该选项错误； D. 当日气温在以下的时长超过个小时，该选项正确； 故选：D． 2．甲、乙两人在直线道路上从同一起点，向同一方向匀速跑米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与甲出发的时间（秒）的关系如图所示，则甲、乙两人相距米时，（秒）的值是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了函数的应用，数形结合是解题的关键．先根据图象求出甲的速度为：米/秒，设乙的速度为米/秒，根据图象可得，求出乙的速度，当乙出发前，由图可知，秒时，甲、乙两人相距米；当乙出发后，根据题意得：，当乙到达终点后，甲继续跑，两人相距75米时，根据题意可得：（秒）即可求解． 【详解】解：根据题意得，甲的速度为：米/秒， 设乙的速度为米/秒， 则， 解得：， 乙的速度为米/秒， 当乙出发前，由图可知，当时，，即秒时，甲、乙两人相距米； 当乙出发后，， 解得：， 秒时，甲、乙两人相距米； 当乙到达终点后，甲继续跑，两人相距75米时，此时的时间为： （秒） 综上所述，甲、乙两人相距米时，的值是秒或秒或秒， 故答案为：或或． 3．青春期男、女生身高变化情况不尽相同，图中是小军和小蕊青春期身高的变化情况． (1)图中反映了__________和__________两个变量之间的关系，自变量是__________，因变量是__________； (2)点A表示__________，点B表示__________ (3)小蕊10岁时身高约是__________ 【答案】(1)身高；年龄；年龄；身高 (2)小军和小蕊在11岁时身高都约是；小军和小蕊在14岁时身高都约是 (3) 【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的解决． （1）根据横坐标与纵坐标表示的量解答； （2）根据交点的纵坐标相等可知二人身高相等； （3）根据平面直角坐标系确定横坐标为10时的身高值即可． 【详解】（1）解：∵在坐标系中横轴表示年龄（岁），纵轴表示身高（）， ∴图中反映了身高和年龄两个变量之间的关系，自变量是年龄，因变量是身高． 故答案为：身高；年龄；年龄；身高 （2）解：点A表示小军和小蕊在11岁时身高都约是； 点B表示小军和小蕊在14岁时身高都约是． 故答案为：小军和小蕊在11岁时身高都约是；小军和小蕊在14岁时身高都约是 （3）解：由图象可得，小蕊10岁时身高约是． 故答案为： 类型一、变化图象 1．坎儿井是新疆吐鲁番盆地的一种特殊灌溉系统，主要是利用了连通器原理．如图是一个型连通器模型，甲水箱、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面面积是乙水箱底面面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处（体积忽略不计），现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止．设甲水箱中水面的高度为，注水时间为，则与的函数图象大致为（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，由连通器的原理可知，整个过程分为三个阶段：甲水面上升，乙水面上升，甲、乙水面一起上升，再根据甲、乙底面积的关系求出的关系即可得到结论． 【详解】解：由连通器的原理可知，整个过程分为三个阶段，第一阶段为甲水箱中的水面随着时间的推移逐渐上升，直至到达连通器的入口，第二阶段为甲水箱中的水面不上升，注入的水通过连通器流入乙中，使乙水箱中的水面上升，直至到达连通器的入口，第三阶段为甲、乙两个水箱中的水以相同的速度上升（上升速度比第一阶段慢）， 设单位时间内注水体积为，甲水箱的底面积为，则乙水箱的底面积为，则连通器的高度为， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有D选项中的函数图象符合题意， 故选：D． 2．如图①，底面积为的圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，下方实心圆柱的底面积为，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②所示，则图中的值为 ．    【答案】24.5 【分析】本题主要考查了函数图像的识别， 根据题意和函数图像可知圆柱容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高为，从开始注水，到水刚漫过第一个实心圆柱用了9s，高度为，可先求出注水的速度为，再求出漫过“几何体”到注满所用时间，然后求和即可． 【详解】解：水流速度，则从实心圆柱上方至注满水所需时间为， ∴． 故答案为：24.5． 3．如图是鸡西地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答：在这一天中： (1)气温（℃） （填“是”或“不是”）时间（时）的函数． (2) 时气温最高， 时气温最低，最高汽温是 ℃，最低气温是 ℃． (3)10时的气温是 ℃． (4) 时气温是4℃． (5) 时间内，气温不断上升． (6) 时间内，气温持续不变． 【答案】(1)是 (2)16；2；10；-2 (3)5 (4)9时和22 (5)2-12 (6)12-14 【分析】（1）由函数的定义即可得出答案； （2）分别观察图像的最高点和最低点，即可得出答案； （3）找到横轴上的10时，其对应的y轴数据即为10时的气温； （4）找到y轴上的4℃，其对应的x轴数据即气温是4℃的时间； （5）气温不断上升，即图像呈上升趋势，即可得出答案； （6）气温不变，即图像呈水平状态． 【详解】（1）气温（℃）是时间（时）的函数， 故答案为：是； （2）16时气温最高，最高气温是10℃；2时气温最低，最低气温是−2℃； 故答案为：16；2；10；-2； （3）10时的气温是5℃； 故答案为：5； （4）9时，22时的气温是4℃； 故答案为：9和22； （5）2−−12时时段内气温持续上升； 故答案为：2-12； （6）12−−14时时段内气温持续不变； 故答案为：12-14． 【点睛】本题考查了函数的图像，要求同学们能看懂图像，正确理解函数图像横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图像得到解决．本题就是结合所给图像从而解答的． 类型二、坐标系中的规律 1．如图，一个机器人从点出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的变化规律，结合题意确定点的变化规律是解题关键．由图可得，点的位置变化有4种可能的位置，除第1点外分别是在四个象限内，并确定点在第三象限，然后结合，的坐标，即可获得答案． 【详解】解：由图可得，点的位置变化有4种可能的位置，除第1点外分别是在四个象限内， ， 点在第三象限， ，，…， ． 故选：D． 2．如图，已知点，，，，，…，按这样的规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律的问题，解题的关键在于找出规律． 根据题意可得各个点分别位于象限的角平分线上逐步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，再根据规律求出点的坐标． 【详解】观察点的坐标： 点，，，，，…， 可以发现： 以4个点为一组循环，即，，，（n为自然数）． ∵， ∴， 对于： 当时，； 当时，； 当时，， 其横坐标为，纵坐标为． 根据上述规律，当时，横坐标为，纵坐标为，即． 故答案为：； 3．在平面直角坐标系中，一只电子蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：（ ， ），（ ， ），（ ， ）． (2)写出点的坐标（n是正整数）． (3)求出电子蚂蚁从点到点的移动方向． 【答案】(1)2，0；4，0；6，0 (2) (3)向右 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键． （1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，的长度，然后写出坐标即可； （2）根据（1）中规律写出的坐标即可； （3）根据是2的倍数，可知从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致． 【详解】（1）解：由图可知，，，都在轴上， ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴，， ∴，，， 故答案为：2，0；4，0；6，0； （2）解：根据（1）可得： ∴ ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴是的整数倍， ∴从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致，为向右． 类型三、图象中的动点问题 1．如图，在等腰中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，等腰三角形的性质，勾股定理，过作于点，由图象可知：，，通过面积求出，最后再通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：过作于点，由函数图象可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积的最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积的最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 3．如图①，在直角梯形中，，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，三角形的面积为，与之间的关系图像如图②所示． (1)在这个变化中，自变量、因变量分别是_____、_____； (2)当点运动的路程时，三角形的面积_____； (3)求的长和梯形的面积． 【答案】(1)点运动的路程；的面积 (2)16 (3)8， 【分析】此题考查了动点问题的函数图像，弄清函数图像上的信息是解本题的关键． （1）依据点运动的路程为，的面积为，即可得到自变量和因变量； （2）依据函数图像，即可得到点运动的路程时，的面积； （3）根据图像得出的长，以及此时三角形面积，利用三角形面积公式求出的长即可；由函数图像得出的长，利用梯形面积公式求出梯形面积即可． 【详解】（1）解：由题意得：自变量为点运动的路程为，因变量为的面积为， 故答案为：点运动的路程；的面积； （2）解：由图可得，当点运动的路程时，的面积为， 故答案为：16； （3）解：根据图像得：，此时为16， ，即， 解得； 由图像得：， 则， ，梯形的面积为26． 类型四、图象中的行程问题 1．甲、乙两车沿同一平直公路由A地匀速行驶（中途不停留）前往终点B地，甲、乙两车之间的距离y（单位：千米）与甲车行驶时间t（单位：小时）之间的函数关系如图所示，小红通过图象得出以下5条信息：①甲车速度为45千米/时；②乙车由A地到B地共用小时；③乙车行驶2小时追上甲车；④A，B两地相距240千米．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查从函数图像获取信息，从函数图像中找到所需要的信息是解题的关键． 根据题意和函数图像中的数据，逐个分析判断即可解答． 【详解】解：①∵观察函数图像，结合题意可知，甲车小时行驶30千米， ∴甲车的速度为：（千米/小时），即①正确； ②∵从函数图像获取信息可知，乙车开始行驶和到达B地的时间节点为，甲车行驶了小时和小时， ∴乙车由A地到B地用时为：（小时），即②错误． ③∵从函数图像可知，乙车开始行驶到乙车追上甲车，这两个时间节点分别是甲车行驶了小时和小时， ∴乙车行驶追上甲车所用时间为：（小时），即③正确； ④∵从函数图像数据看，甲车共行驶4小时， ∵甲车的行驶速度在上一小题中已经计算得出，是45千米/小时， ∴A、B两地的距离为：（千米），即④错误． 综上，正确的为①③． 故选B． 2．一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为（小时），航行的路程为（千米），与之间的图象如图所示． （1）图中自变量是 ，因变量是 ；（用字母表示） （2）甲、乙两地相距 千米，轮船在乙地停留了 小时． 【答案】 60 6 【分析】本题考查用图象表示变量间的关系，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． （1）根据自变量和因变量的定义进行判断即可； （2）从图象直接观察即可得出答案． 【详解】解：（1）由图象可知：自变量是t，因变量是s； 故答案为：t；s； （2）由图象可知：甲乙两地相距60千米， 轮船在乙地停留了（小时）； 故答案为：60；6． 3．甲、乙两队参加赛龙舟比赛，上午9时同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点． (1)比赛中 的速度始终保持不变，为 千米/小时； (2) 先到达终点，时间相差 小时； (3)比赛开始后 小时，他们第一次相遇． 【答案】(1)乙队，16 (2)乙队， (3) 【分析】本题考查利用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）观察图象可知，乙队的速度始终不变，利用路程除以时间进行求解即可； （2）乙队先到达终点，利用路程除以速度求出乙队所用时间，进而求出时间差即可； （3）求出甲队在段的速度，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，乙队的速度始终不变，1小时行驶了16千米， ∴乙队的速度为：千米/小时； 故答案为：乙队，16； （2）由图象可知，乙队先达到终点，所用时间为：，甲队到达终点所用时间为：小时， ∴时间相差小时； 故答案为：乙队，； （3）甲队段的速度为：千米/小时， 当他们第一次相遇时，，解得：； 故比赛开始后小时，他们第一次相遇． 类型五、坐标系中的几何问题 1．如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，如果要使与全等，那么点D的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的性质，分，两种情况，根据全等三角形的性质，坐标与图形的性质解答． 【详解】解：如下图所示， 当时，和关于轴对称， 点的坐标是， 当时，的高的高，， ， 点的坐标是或， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，位于第二象限内的点的横坐标为，连接AB，BC，AC．若，那么的面积是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形的中线等分三角形的面积及平行线的性质，熟练运用三角形的中线等分三角形的面积是解答本题的关键．过点C作，则，先证明，得到，得到，再证明，得到，得到，继而可得，再结合题目条件，利用三角形面积公式求出，继而得解； 【详解】过点C作，则， 又， 又点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为 ， ∴， 故答案为：16 3．如图，在直角坐标系中，已知三点，其中满足关系式，． (1)求的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2) (3)存在点 【分析】本题考查了坐标与图形性质，实数的非负性，熟练掌握实数的非负性，灵活运用分割法求面积是解题的关键． （1）根据非负数的性质，即可解答； （2）根据，即可解答； （3）存在，根据面积相等求出m的值，即可解答． 【详解】（1）解：由，且，得 ，，， ∴，，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵， 又∵， ∴， 解得， ∴存在点，使． 1．下列不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象识别，深刻理解函数的概念是解题的关键：函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数．对函数概念的理解，主要抓住以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；（3）对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应．注意事项：判断两个变量是否有函数关系，不仅看它们之间是否有关系式存在，更重要的是看对于的每一个确定的值，是否有唯一确定的值与其对应；函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．对于函数的定义，其中两个变量是前提，它们的对应关系是基础，必须明确两个变量之间的对应关系，即一个自变量值对应一个函数值，也可以是两个不同的自变量值对应一个函数值，但绝不能是一个自变量值对应两个不相同的函数值，因此，函数的意义反映在图象上一个简单的判断方法是：作垂直轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 根据函数的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A．根据图象可知，给一个值，有且只有个值与其对应，满足函数的定义，故选项不符合题意； B．根据图象可知，给一个值，有不止个值与其对应，不满足函数的定义，故选项符合题意； C．根据图象可知，给一个值，有且只有个值与其对应，满足函数的定义，故选项不符合题意； D．根据图象可知，给一个值，有且只有个值与其对应，满足函数的定义，故选项不符合题意； 故选：． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，若直线与轴平行，则的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形性质； 根据直线与轴平行可知点P、A的纵坐标相同，据此求解即可． 【详解】解：∵直线与轴平行， ∴， ∴， 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，对于点，把点叫作点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的规律，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由题意可得，，再找出规律求解即可． 【详解】点的坐标为 ， 观察发现，每6个点为一个循环组依次循环． 点的坐标与点的坐标相同，为． 故选：B 4．已知点与点，若直线平行于轴，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是掌握直线平行于轴时，所在直线上的点的横坐标相等． 根据直线平行于轴，得到点和点的横坐标相等，据此进行解答即可． 【详解】解：∵直线平行于轴， ∴点和点的横坐标相等， 则， 故答案为：． 5．如图，已知点，则三角形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了坐标与图形性质； 根据点A、B、C的坐标，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴三角形的面积为：, 故答案为：． 6．为落实“五育并举”，某校利用课后延时服务时间进行趣味运动，甲同学从跑道A处匀速跑往B处，乙同学从B处匀速跑往A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为x（秒），甲、乙两人之间的距离为y（米），y与x之间的函数关系如图所示，则图中t的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了函数图象，从函数图象中正确获取信息是解题关键．根据函数图象可得甲同学25秒跑完100米，从而可得甲同学的速度，再根据函数图象可得甲、乙同学跑10秒钟跑的路程之和为100米，从而可得乙同学的速度，然后用100除以乙同学的速度即可得的值． 【详解】解：由函数图象可知，两处之间的距离为100米，甲同学从处跑到处所需时间为25秒， 所以甲同学跑步的速度为（米/秒）， 设乙同学跑步的速度为米/秒， 由函数图象可知，当时，甲、乙两同学相遇， 则， 解得， 即乙同学跑步的速度为6米/秒， 由函数图象可知，当时，乙同学刚好到达处， 则， 故答案为：． 7．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是． (1)画出关于轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)求出的面积． 【答案】(1)图见详解； (2)； (3)5 【分析】本题考查了作轴对称图形，根据轴对称的性质写出坐标系中点的坐标， 求网格图中三角形的面积，数形结合，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质分别作出三个顶点关于轴的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据坐标系，写出点的坐标； （3）根据正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解∶如图所示，即为所求； （2）解：由图可得：； （3）解：． 8．如图是学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)根据所给条件建立适当的平面直角坐标系，则食堂的位置是___________，图书馆的位置是___________； (2)已知教学楼的位置是，若1个单位长度代表30m，则宿舍楼到教学楼的实际距离是___________． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查了如何在直角坐标系中根据已知点确定其他点的位置，以及利用两点间的距离公式结合单位长度进行实际距离的计算，正确得出原点的位置是解题关键． （1）直接利用旗杆的位置是和实验室的位置，建立直角坐标系的位置进而得出答案； （2）利用（1）中原点位置，宿舍楼和教学楼的位置即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：食堂、图书馆的位置； 故答案为：，． （2）如图所示：宿舍楼的位置是，教学楼的位置是，1个单位长度代表． 宿舍楼与教学楼间的实际距离为， 故答案为：． 9．某客运站为了了解早高峰时间段运营情况，有效的缓解该时段乘客的等待时间，对早上时间段内，客运站累计候车人数和累计承载人数进行统计，为了便于记录，将早上开始每10分钟记作一个单位时间，记为时间x（），累计候车人数记为，累计承载人数记为． 下面是他们的调查过程，请补充完整： (1)他们调取了客运站该时段内累计候车人数与累计承载人数随x的变化而变化的有关数据∶ 时间段 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 累计候车人数 （万人） 0.5 1.1 1.6 2.2 2.9 3.6 4.2 5.1 5.7 6.0 6.3 6.5 6.6 累计承载人数 （万人） 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 m 6.5 （1）补全表格，m的值为_______； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x的关系，在给出的平面直角坐标系中，补全表中各对对应值为坐标的点，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①大约______点______分时，客运站滞留人数最多； ②客运站将在滞留乘客人数达到0.5万人及以上的时间段增派车次缓解供需压力，公司约在______点______分至______点______分时间段增派车次更合理． 【答案】(1)6 (2)图见解析 (3)①7，20；②6，45；7，45 【分析】本题考查利用函数图象表示变量之间的关系： （1）观察表格可知，每增加1，增加0.5，进行求解即可； （2）根据表格数据，描点，连线，画出函数图象即可； （3）①求出的最大值，即可得出结果；②确定滞留乘客人数达到0.5万人及以上的时间范围，作答即可． 【详解】（1）解：观察表格可知，每增加1，增加0.5， ∴当时，； （2）描点，连线，画出函数图象如图： （3）①由图象可知，当时，滞留旅客最多为：（万人），分钟， ∴6点，经过80分钟，得到现在时间为：点分； 故答案为：7，20； ②观察图象可知：从时，（万人）到时，（万人）， 滞留旅客人数均超过0.5万人， 即：从6点50一直到7点50之间滞留旅客人数均超过0.5万人， ∴公司约在6点45分至7点45分时间段增派车次更合理． 10．小明和爸爸从家沿同一直道骑车去公园．爸爸先出发，一段时间后小明再出发，设爸爸骑行的时间为，两人离家的距离与的关系如图所示，两人之间的距离与的关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题： (1)爸爸的速度为 ，小明的速度为 ； (2)直接写出点的坐标，并解释该坐标的实际意义； (3)爸爸出发多长时间后，两人相距？ 【答案】(1)，； (2)点坐标，实际意义为：小明到达图书馆，小明和爸爸之间的距离为； (3)爸爸出发或后两人相距． 【分析】（）根据题意和函数图象中的数据可以求得爸爸和小明的速度； （）根据题意可以求出点坐标以及点的实际意义； （）由图象可知小明和爸爸相距有两种情况，然后分别计算即可； 本题考查了函数图象，明确题意，从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图和题意可知，爸爸骑行了， ∴爸爸的速度为：， ∴爸爸骑行的路程为：， ∴小明的速度为：， 故答案为：，； （2）解：设点坐标为， 由图象①可知， ∴， ∴点坐标为， ∴点的实际意义为：小明到达公园，小明和爸爸之间的距离为； （3）解：设爸爸出发小时后两人相距， 小明出发后，根据题意得：， 解得：； 小明到达终点后，， 解得：， 综上所述，爸爸出发或后两人相距． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.2 函数的图象 一、函数图象的概念 函数图象是用来表示函数关系的一种图形，它能够直观地反映出函数的性质和变化规律。函数图象由平面直角坐标系中一系列的点组成，图象上每一点的坐标（x，y）代表了函数的一对对应值，其中横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与该自变量对应的函数值。 二、函数图象的绘制方法 绘制函数图象的关键是画出图象上的一些点。具体方法包括： 1.列表：在自变量的取值范围内，适当取一些自变量的值。 2.描点：求出对应的函数值，并在平面直角坐标系中标出这些点。 3.连线：用平滑的曲线或直线将这些点连接起来，得到函数的图象。这种方法通常称为描点法。 此外，根据函数的性质和特点，还可以选择其他绘制方法，如解析法、图象平移法等。 巩固课内例1:写出直角坐标系的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．点位于轴左方，距轴3个单位长度，位于轴上方，距轴4个单位长度，则点的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，和的顶点均在格点上． (1)△ABC三个顶点A、B、C的坐标分别是： A： ，B： ，C： ； (2)和关于 对称（填“x轴”或“y轴”）； (3)在平面直角坐标系内作出向下平移5个单位的图形． 巩固课内例2:画出函数图象 1．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（     ） x 0 1 2 y 10 8 6 2 A． B． C． D． 2．李玲用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格，根据表格上的信息回答问题：该二次函数当时， ． 3．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小曲同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小曲同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x 0 1 2 3 4 … y 0 a b 0 … 则______，______． (2)描点并画出该函数的图象： (3)函数的图象______（填“是”或“不是”）轴对称图形； (4)观察函数图象，当时，y的取值范围是______． 巩固课内例3:行程图象问题 1．一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距；②甲出发后到达C村；③甲每小时比乙多骑行；④相遇后，乙又骑行了或时两人相距．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．渔夫将渔船停靠在A地休息，等渔夫醒来时，发现渔船没有固定好，已经顺水漂流了一个半小时到达了B地，此时渔夫打开渔船的发动机，逆流匀速行驶了一段时间后又回到了A地．若水流的速度和渔船来回行驶的路线都保持不变，渔船离A地的距离（千米）与渔船移动的时间（小时）之间的图象如图所示，则该渔船从开始离开A地到回到A地所用的时间是 小时．    3．一天下午，李师傅开车从成都到贵阳，货车出发前油箱中有50升油，行驶一段时间后，师傅就到服务区休息了一会儿．休息一小时后，师傅打算继续上路向贵阳方向行驶时，发现油箱中的油不多了，于是就在该服务区的加油站加了油（加油时间忽略不计），才继续上路行驶．已知进入服务区前和驶出服务区后货车都匀速行驶，且货车加油前后行驶时每小时的耗油量相同．油箱中剩余油量Q（升）与货车的行驶时间t（时）之间的函数图象如图所示． (1)师傅行驶________小时后去服务区休息，每小时耗油量________升； (2)求驶出服务区后剩余油量Q与行驶时间t之间的函数关系式； (3)加完油时，此时距贵阳还有400千米，若货车行驶的速度为80千米/时，要到达目的地，邮箱中的油是否够用？如果不够，请说明理由；如果够用，则到达目的后，邮箱里还剩多少升油？ 类型一、用有序数对表示位置或路线 1．在白银市大地影院里，如果用表示4排7号，那么9排8号可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，，点记作，点记作，点记作，照此规律，点可记作 ． 3．如图，一个点在的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动距离． (1)填空：图中(____，____)，(____，____)； (2)若这个点从A处去P处的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． 类型二、判断点在的象限 1．在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在平面直角坐标系中，点所在的象限是第 象限． 3．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标； (3)若点的横坐标比纵坐标大，则点在第几象限? 类型三、坐标系中描点、并写出坐标 1．如图所示的平面直角坐标系中有原点O与A、B、C、D 四点．若有一直线 l经过点且与x轴垂直，则l也会经过（   ） A．点A B．点 B C．点C D．点 D 2．在平面直角坐标系中，，，且轴，则 . 3．小蒲周末打算去游乐场游玩，如图，他根据游乐场的地图在网格中着重标注了自己游玩的四个地点，其中旋转木马，过山车，摩天轮的坐标分别为，． (1)请你根据点的坐标建立平面直角坐标系； (2)写出激流勇进点的坐标为_______； (3)连接，将线段向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，得到线段，画出线段，并直接写出点和点的坐标． 类型四、描点法画函数图象 1．“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图像经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限． 2．写出一个在函数图象上的点的坐标 ． 3．数学兴趣小组在设计一个表面积为，底面为正方形的长方体盒子（有底也有盖）时，发现了一个有理的问题：盒子的体积V（单位：）与底面边长x（单位：）之间有某种函数关系．于是他们开展了如下的探究过程，请你将其补充完整： (1)【建立模型】设长方体的高为，表面积为，根据长方体的表面积公式：，∴________（用含x的代数式表示）．① 将①代入长方体的体积公式，得________．② 可知，V是x的函数，自变量的取值范围是； (2)【探究函数】根据函数解析式②，按照下表中自变量x的值计算（精确到0.01），得到了V与x的几组对应值： … 0.25 0.50 0.73 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.40 … … 0.74 1.44 2.00 2.50 2.77 2.81 2.57 2.00 1.05 0.29 … 在上画的平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象； (3)【解决问题】结合表中数据，并利用所画的函数图象推断： ①当底面边长为________（精确到0.01）时，这个盒子的体积最大； ②这个盒子的体积为2时，底面边长为________（精确到0.01）． 类型一、已知象限求参 1．若点在x轴上，点在y轴上，则三角形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知点在轴上，则点的坐标是 ． 3．在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第二象限，求的取值范围． 类型二、函数图象识别 1．下列图象中，y不是x的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是 3．下图反映的过程是：扎西从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中表示时间，表示扎西离家的距离，根据图象回答下列问题： (1)体育场离扎西家______千米；扎西从家去体育场用了______分； (2)体育场离文具店______千米，扎西在文具店停留了______分； (3)请计算：扎西从文具店回家的平均速度是多少？ 类型三、点到坐标轴的距离 1．点在轴的左侧，在轴的上方，距离每个坐标轴都是4个单位长度，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知点，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为 ． 3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在y轴上，求点A的坐标； (2)若点，直线轴，求a的值； (3)点C的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求b的值及点C的坐标． 类型四、从函数图象获取信息 1．如图是某市某天的气温变化图，根据图象判断，以下说法正确的是（   ） A．当日最低气温是 B．从早上时开始气温逐渐升高，直到时到达当日最高气温 C．当日气温为的时间点有两个 D．当日气温在以下的时长超过个小时 2．甲、乙两人在直线道路上从同一起点，向同一方向匀速跑米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与甲出发的时间（秒）的关系如图所示，则甲、乙两人相距米时，（秒）的值是 ． 3．青春期男、女生身高变化情况不尽相同，图中是小军和小蕊青春期身高的变化情况． (1)图中反映了__________和__________两个变量之间的关系，自变量是__________，因变量是__________； (2)点A表示__________，点B表示__________ (3)小蕊10岁时身高约是__________ 类型一、变化图象 1．坎儿井是新疆吐鲁番盆地的一种特殊灌溉系统，主要是利用了连通器原理．如图是一个型连通器模型，甲水箱、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面面积是乙水箱底面面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处（体积忽略不计），现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止．设甲水箱中水面的高度为，注水时间为，则与的函数图象大致为（   ）    A．   B．   C．   D．   2．如图①，底面积为的圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，下方实心圆柱的底面积为，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②所示，则图中的值为 ．    3．如图是鸡西地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答：在这一天中： (1)气温（℃） （填“是”或“不是”）时间（时）的函数． (2) 时气温最高， 时气温最低，最高汽温是 ℃，最低气温是 ℃． (3)10时的气温是 ℃． (4) 时气温是4℃． (5) 时间内，气温不断上升． (6) 时间内，气温持续不变． 类型二、坐标系中的规律 1．如图，一个机器人从点出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知点，，，，，…，按这样的规律，则点的坐标为 ． 3．在平面直角坐标系中，一只电子蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：（ ， ），（ ， ），（ ， ）． (2)写出点的坐标（n是正整数）． (3)求出电子蚂蚁从点到点的移动方向． 类型三、图象中的动点问题 1．如图，在等腰中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为 ． 3．如图①，在直角梯形中，，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，三角形的面积为，与之间的关系图像如图②所示． (1)在这个变化中，自变量、因变量分别是_____、_____； (2)当点运动的路程时，三角形的面积_____； (3)求的长和梯形的面积． 类型四、图象中的行程问题 1．甲、乙两车沿同一平直公路由A地匀速行驶（中途不停留）前往终点B地，甲、乙两车之间的距离y（单位：千米）与甲车行驶时间t（单位：小时）之间的函数关系如图所示，小红通过图象得出以下5条信息：①甲车速度为45千米/时；②乙车由A地到B地共用小时；③乙车行驶2小时追上甲车；④A，B两地相距240千米．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 2．一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为（小时），航行的路程为（千米），与之间的图象如图所示． （1）图中自变量是 ，因变量是 ；（用字母表示） （2）甲、乙两地相距 千米，轮船在乙地停留了 小时． 3．甲、乙两队参加赛龙舟比赛，上午9时同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点． (1)比赛中 的速度始终保持不变，为 千米/小时； (2) 先到达终点，时间相差 小时； (3)比赛开始后 小时，他们第一次相遇． 类型五、坐标系中的几何问题 1．如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，如果要使与全等，那么点D的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或或 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，位于第二象限内的点的横坐标为，连接AB，BC，AC．若，那么的面积是 ． 3．如图，在直角坐标系中，已知三点，其中满足关系式，． (1)求的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．下列不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，若直线与轴平行，则的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．在平面直角坐标系中，对于点，把点叫作点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（） A． B． C． D． 4．已知点与点，若直线平行于轴，则 ． 5．如图，已知点，则三角形的面积为 ． 6．为落实“五育并举”，某校利用课后延时服务时间进行趣味运动，甲同学从跑道A处匀速跑往B处，乙同学从B处匀速跑往A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为x（秒），甲、乙两人之间的距离为y（米），y与x之间的函数关系如图所示，则图中t的值是 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是． (1)画出关于轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)求出的面积． 8．如图是学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)根据所给条件建立适当的平面直角坐标系，则食堂的位置是___________，图书馆的位置是___________； (2)已知教学楼的位置是，若1个单位长度代表30m，则宿舍楼到教学楼的实际距离是___________． 9．某客运站为了了解早高峰时间段运营情况，有效的缓解该时段乘客的等待时间，对早上时间段内，客运站累计候车人数和累计承载人数进行统计，为了便于记录，将早上开始每10分钟记作一个单位时间，记为时间x（），累计候车人数记为，累计承载人数记为． 下面是他们的调查过程，请补充完整： (1)他们调取了客运站该时段内累计候车人数与累计承载人数随x的变化而变化的有关数据∶ 时间段 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 累计候车人数 （万人） 0.5 1.1 1.6 2.2 2.9 3.6 4.2 5.1 5.7 6.0 6.3 6.5 6.6 累计承载人数 （万人） 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 m 6.5 （1）补全表格，m的值为_______； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x的关系，在给出的平面直角坐标系中，补全表中各对对应值为坐标的点，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①大约______点______分时，客运站滞留人数最多； ②客运站将在滞留乘客人数达到0.5万人及以上的时间段增派车次缓解供需压力，公司约在______点______分至______点______分时间段增派车次更合理． 10．小明和爸爸从家沿同一直道骑车去公园．爸爸先出发，一段时间后小明再出发，设爸爸骑行的时间为，两人离家的距离与的关系如图所示，两人之间的距离与的关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题： (1)爸爸的速度为 ，小明的速度为 ； (2)直接写出点的坐标，并解释该坐标的实际意义； (3)爸爸出发多长时间后，两人相距？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$